面白い問題おしえて～な 31問目

面白い問題おしえて～ ..

2:１３２人目の素数さん
20/01/27 20:19:50 QSsw4R/8.net
面白い問題おしえて～な 30問目
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:997番)

997 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/01/27(月) 19:28:57.79 ID:VuOY61Uq
あとこれは本当に興味本意だけど, 例えば
各Xiを集合{-1, 1-√2, √2}上の離散一様分布とした時に同じ主張が成り立つか, というのは興味がある
あくまで離散的だけど, 畳み込みする毎に中央あたりがどんどん"密"になっていく訳だから…

の�

3:ｲ要望にこたえて、やってみた。収束しそうにない印象。 https://i.imgur.com/LXkHRpW.jpg 色彩には意味なし、単に俺が遊んでみただけ。 v=c(-1, 1-sqrt(2), sqrt(2)) # 指定の数値 a=(max(v)-min(v))/2 # a はｖの幅の半分にした qn <- function(n,k=1000){ # ｎ個の乱数発生での実験を1000回繰り返す f=function() abs(sum(sample(v,n,replace=TRUE)))<a 　　# vから重複をゆるしてn個取り出し、総和の絶対値がaより小さければTRUEを返す関数ｆ mean(replicate(k,f())) # fを1000回繰り返しTRUEの頻度を返す } n=1:1000 #　ｎを変化させてqnを実行してグラフにする y=sapply(n,function(n) sqrt(n)*qn(n)) # nを1~1000でsqrt(n)*qnを実行 plot(n,y,pch=19,bty='n',col=sample(colours()))

4:１３２人目の素数さん
20/01/27 20:46:13 VuOY61Uq.net
>>2
ありがたい…予想よりかなりばらばらになってて意外だ
思ったより繊細な条件なのかアレは…

5:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/27 20:54:26 1cp91WSt.net
前スレのプールの問題。
最短10秒じゃないの？
プールサイドを5秒、直角に曲がって向こう側から進行方向に対して60°の方向に飛びこめば、ちょうど10秒で対角線に達する。
直角三角形の辺の比が1:2:√3になるから、プールサイドから対角線まで、プールサイドの残りのちょうど2倍の距離を泳ぐことになる。
水中では速さが半分になるから時間はプールサイドを端まで行くのと同じ。つまり5秒。プールサイドのどこから飛びこんでも対角線まで5秒。
5秒+5秒=10秒
どうですか？
これが正解ではないか。

6:１３２人目の素数さん
20/01/27 22:11:58.10 jyV1bY+U.net
V={(x_1,..,x_n)∈[-1/2,1/2)^n | x_1+..+x_n >= 1/2}の体積が大体1/2-c/√nのオーダーって言うのは何か奇妙だな
n次元単体の体積が1/n!らしいし次元の増加に対して減少してもよさそうだけど

7:１３２人目の素数さん
20/01/27 22:41:01.22 jyV1bY+U.net
この奇妙な感じは機械学習で言うところの球面集中現象と同じ感じかな

8:１３２人目の素数さん
20/01/27 23:08:53.38 YG6teE6r.net
まぁしかし理論値もシミュレーションもあってるからそんなもんと思うか、直接体積(のオーダー)計算してみるかしかないのでは？

9:１３２人目の素数さん
20/01/27 23:16:47.43 jyV1bY+U.net
>>7
奇妙って言うのはどこかに誤りを感じるっていう類いの物じゃなくて、n次元立方体っていうのが直観よりもイビツだなぁという感じの物かな
次元が増加すると角のあたりの体積がどんどん増加していって中心に近い部分がペシャンコになるって言うのが面白い

10:１３２人目の素数さん
20/01/27 23:17:40.47 YG6teE6r.net
>>4
方眼紙買ってきなさい。
10cm×10cmの正方形を書く。
左下隅中心の半径10cmの円を書く。
1cm右にズレて半径9.5cmの円を書く。
1cm右にズレて半径9cmの円を書く。
‥
1cm右にズレて半径5cmの円を書く。
1cm上ズレて半径4.5cmの円を書く。
1cm上ズレて半径4cmの円を書く。
‥
1cm上ズレて半径0.5cmの円を書く。
コレが大体10秒で到達できる領域。

11:イナ
20/01/27 23:46:12.80 1cp91WSt.net
前 >>4
10秒で到達しないエリアが存在する。
最初に監視員がいるコーナーから半径10mの扇形の範囲は救える。
向かい側の縁から60の方向に対角線に向かっても10秒の時点では対角線まで到達しない。
最初に監視員がいた地点の反対側のコーナーを30°ずつ三分割したときの真ん中の対角線付近の30°のエリアで半径10mの扇形の外は10秒では到達しない。
10秒のt秒後に対角線上を泳ぐ監視員と、
向かい側の縁から進行方向に対して60°で飛びこみ、対角線に対して、
180°-60°-45°=75°の角度で泳いできた監視員が、同時に到達する地点がただ一点存在する。
15°と75°の直角三角形においてピタゴラスの定理より、向かい側の縁から60°の角度で飛びこむときの到達時間と、対角線上を泳ぐ監視員の到達時間で立式し、
5+5-√{(10√2-10-t)^2-t^2}(2/√3)(1/2)+√{(10√2-10-t)^2-t^2}(1/√3)+t=10+t

12:１３２人目の素数さん
20/01/27 23:52:17.33 skP32gBw.net
>>5-8
無限次元だとなんと表面しかないぞ。
（余）境界輪体とかコホモロジーだけで論じられるケースが多いから助かるけど。

13:１３２人目の素数さん
20/01/28 00:03:58.54 DNYbdktV.net
>>11
へぇー何か想像もつかないな
まあ[0,1]^nの表面付近の占める体積の割合がどんどん増えるのは分かるけど
数学科だと何の授業でやるんだろうか

14:１３２人目の素数さん
20/01/28 00:39:01.11 KMW2IGzj.net
>>11
うわ、ホントだ。
境界しかないね。
(　･∀･)つ〃∩ へぇ～へぇ～へぇ～

15:１３２人目の素数さん
20/01/28 10:51:36.22 NOAgSK8J.net
>>9
イナ氏に代わって作図の練習に１０秒で到達できる範囲の図を書いてみました。
先に上に行ってから右に行くのも付け加えました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

16:イナ
20/01/28 11:52:36.33 JYMx7E8e.net
前 >>10
>>14惜しい!!
白い空白部分を実線で囲んで、真ん中ら辺に最遅到達点の印があれば正解。

17:１３２人目の素数さん
20/01/28 12:33:22 KMW2IGzj.net
この図に4本の直線が浮かび上がってるのを読み取れないのがイナの限界だな。

18:１３２人目の素数さん
20/01/28 12:48:45.88 NOAgSK8J.net
>>15
せっかくなので秒数を指定して描画できるようにプログラムしてみました。
８秒、９秒、１０秒、１１秒で到達できる範囲を描いてみました。
正解が１０から１１秒の間にあることが読み取れます。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

19:１３２人目の素数さん
20/01/28 13:20:24.18 NOAgSK8J.net
>>10
方眼紙に作図したら
１０秒以内に到達できない領域が白の部分と判明。
ここで疑問。
この白の部分の面積はいくつか？
（自作問題につき正解はもっておりませんので悪しからず）

URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

20:１３２人目の素数さん
20/01/28 13:26:08.09 KMW2IGzj.net
>>18
中学生でもできる。

21:イナ
20/01/28 14:05:31.35 JYMx7E8e.net
前 >>15
問題は(10+t)秒のtを求めよってことなんだよ。方程式立てて解こうとすると0=0になるからみんな放置して

22:作図に精を出してんだよ。でももうちょい作図すると出ると思う。

23:１３２人目の素数さん
20/01/28 14:14:11.73 KMW2IGzj.net
みんなって誰？
というかこの問題最初のレスで >>17の図の四角形が潰れる時刻求めてるじゃん。
この問題である時刻までに到達できない領域が四角形か六角形になる事に気づいてないのは君を含む極々一部だけで他の住人はみんなわかってるんだよ。
ただその極々一部のひとがアホほど意味ないレスつけてるからわかってない人間が多くいるように見えるだけ。
おそらくこの問題まだできてないのは2、3人しかいない。

24:１３２人目の素数さん
20/01/28 15:21:28.55 DNYbdktV.net
>>13
>境界しかないね
これどうやって確かめたの

25:イナ
20/01/28 15:41:20.21 JYMx7E8e.net
前 >>20
監視員のいる反対コーナーと最遅到達点と縁の向こう側の飛びこみ地点を結ぶ三角形において、正弦定理よりtの二次式を立てこれを解き、tの値を出そうとしてtにiがかかってる状態。

26:１３２人目の素数さん
20/01/28 16:10:54.20 2Xgr28xI.net
>>8
立方体回転で感じれない？

27:１３２人目の素数さん
20/01/28 16:16:05.56 DNYbdktV.net
>>24
どういうこっちゃ

28:１３２人目の素数さん
20/01/28 16:30:20.72 DNYbdktV.net
何か安直に単位n次元立方体の厚さ(e/2)の皮が占める体積の割合考えて
(1^n-(1-e)^n)/1^n=1-(1-e)^n -> 1 (n->∞)
で良いような気がしてきた

29:イナ
20/01/28 17:32:24.59 JYMx7E8e.net
前 >>23
図を描くとtの値は11秒弱なんだけど、
計算結果は今のところ、
10+t=13.81376309……(秒)
もうちょいだなぁ。
約分間違えたかなぁ。

30:１３２人目の素数さん
20/01/28 17:43:51.84 WcYqODqP.net
>>22
直積位相の定義。
任意のx∈I^∞の点とその開近傍の基U=Π(ai,bi) (xi∈(ai,bi), 有限個を除いてai=-∞、bi=∞)をとるときUは必ずI^∞でない点を含む。
つまり内点なし。

31:１３２人目の素数さん
20/01/28 18:09:12 2Xgr28xI.net
I^∞って（射影）極限か
ちょっと過激では

32:１３２人目の素数さん
20/01/28 18:11:23 Y6uDbGuQ.net
>>29
しかし>>11は無限直積の意味でしょ？
多分。

33:イナ
20/01/28 19:49:07.27 JYMx7E8e.net
前 >>27
t/(10√2-10-t)=sin15°
t=(10√2-10-t)sin15°
=(10√2-10)sin15°-tsin15°
(1+sin15°)t=10(√2-1)sin15°
t=10(√2-1)sin15°/(1+sin15°)
=0.851642332……
10+t=10.851642332……(秒)
60°よりもっといい飛びこみ角があるってことか。

34:イナ
20/01/28 20:08:34.51 JYMx7E8e.net
前 >>31
t/(10√2-10-t)=sin13°
t=(10√2-10-t)sin13°
=(10√2-10)sin13°-tsin13°
(1+sin13°)t=10(√2-1)sin13°
t=10(√2-1)sin13°/(1+sin13°)
=0.712964721……
10+t=10.712964721……(秒)
縁からバサロが速いってか。

35:１３２人目の素数さん
20/01/28 20:34:54.86 DNYbdktV.net
>>28
位相は良く知らないんだけど、x中心の半径超小さい球をとればxの開近傍でI^∞に含まれるように出来ると思うんだけど

36:１３２人目の素数さん
20/01/28 21:27:26 KMW2IGzj.net
>>33
何故それを開近傍と呼ばないのかは多分数学科以外では教えてない。
すごい高度といえば高度、どうでもいいといえばどうでもいい話なので気にしなくていい。
理解しようと思うとまぁまぁ頑張らないとダメで、しかも数学科以外の人間には役に立たない。

37:１３２人目の素数さん
20/01/28 21:35:09 DNYbdktV.net
>>34
距離空間だと球の内部は開集合ぐらいの認識なんだけど、無限次元の時だけ開集合じゃなくなる感じなのかな？
出来たらキーワードというかヒントとか教えて欲しい
ちなみに>>28でなぜ有限個を除いてai=-∞、bi=∞っていう制限が付くのかも知りたい

38:１３２人目の素数さん
20/01/28 21:44:05 KMW2IGzj.net
>>35
とりあえず直積空間の定義は
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
で何故こういう定義になるかというと
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
平たくいうとXiの直積空間Xは
?第i成分を取り出す写像X→Xiが連続にならないと困る。
そのためにはある程度たくさん開集合がないとダメ。
?成分の空間への連続写像の組みfi:Y→Xiが与えられたら、それを第i成分とするような連続写像f:Y→Xが作れないと困る。
そのためにはあまりXに開集合がありすぎても困る。
の両方の要請を満たすのがwikiにある定義。
有限個を除いてai=-∞、bi=∞でないとダメというルールがないと開集合が増え過ぎて?を満たさなくなってしまう。

39:１３２人目の素数さん
20/01/28 22:01:44.30 B7pSAEXp.net
>>32
監視員はプールの水を抜けばいいんだよ。

40:１３２人目の素数さん
20/01/28 22:45:34.70 DNYbdktV.net
>>36
とりあえず積空間の普遍性が開近傍に有限個を除いてai=-∞、bi=∞という条件を要請してて
ゆえにどんなxの開近傍をとってもI^∞からはみ出てしまうっていう流れなのかな
>有限個を除いてai=-∞、bi=∞でないとダメというルールがないと開集合が増え過ぎて②を満たさなくなってしまう。
これ証明するの難しそうだが気になる
とりあえず積位相が射影極限の特殊なケースだってのは理解したがこれは積位相の普遍性だけ気にしてればあんまり考えなくても良いことっぽいな

41:イナ
20/01/28 23:02:33.29 JYMx7E8e.net
前 >>32
>>37
10秒で遠浅にはならんら。

42:１３２人目の素数さん
20/01/28 23:28:35 KMW2IGzj.net
>>38
証明はそんなに難しいわけではないよ。
数学科の学生さんや卒業生なら腕試しにちょうどいいくらい。

43:１３２人目の素数さん
20/01/29 00:31:08 qqQ5iFrx.net
>>40
これを見て理解した
URLﾘﾝｸ(www.rs.tus.ac.jp)
位相の生成の時に有限個の共通部分をとる操作と、射影p_i:X->X_iの逆像が第i成分以外X_j全体になるってところが有限の添え字を除いて空間全体(-∞,∞)っていう制限の由来だったのか
射影を連続にする最弱の位相を入れようとすると自然と開近傍の第i成分が第i空間全体を覆ってしまうほどでかくなるってのは面白いね
大まかな流れを示してくれてありがとう

44:イナ
20/01/29 08:44:32.29 +KHtl67s.net
前 >>39`∥____∥ ; ; ;
／∥__`∥￣￣∥; ; ; ;
∥∩∩ ∥ □ ∥ ; ; ;
（(-_-)∥　　∥;_;_;_;
（`～っ∥　｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~　∥╂─╂
＼■υυ■___∥､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`なんで10秒後がわかるのに到達時間が出ないんだ。面白い。

45:１３２人目の素数さん
20/01/29 12:27:18.95 82ygfiEH.net
前スレの
「V_n={(x_1,..,x_n)∈[-1/2,1/2)^n | -1/2≦x_1+..+x_n<1/2} の体積が
|V_n|=(1/π)∫[-∞,∞](sinx/x)^(n+1)dx であることを示せ。」
という問題の難易度はどれくらいで解答パターンはいくつぐらいあるのだろうか？

46:１３２人目の素数さん
20/01/29 13:30:36.57 ChU8VoG8.net
>>33
>>28,30に書いている解釈だと無理

47:１３２人目の素数さん
20/01/29 13:31:17 ChU8VoG8.net
>>34
>何故それを開近傍と呼ばないのかは多分数学科以外では教えてない。
開近傍でもイイヨ
位相が違うだけ

48:１３２人目の素数さん
20/01/29 13:32:39 ChU8VoG8.net
>>35
座標への射影に関する弱位相入れるのが普通だから
別の位相でもイイ

49:１３２人目の素数さん
20/01/29 15:06:00.80 qqQ5iFrx.net
>>45
>>33はx中心の開球でI^∞に収まるようなものをxの開近傍として取れるのではと言ってるが
 >>34は積空間の普遍性を満たすような位相を入れると >>34の開球は開近傍にはならないと言ってるのでは

50:１３２人目の素数さん
20/01/29 15:27:39.32 qqQ5iFrx.net
>>47
×>>34の開球
○>>33の開球

51:１３２人目の素数さん
20/01/29 15:49:56.60 bSeLoPS+.net
そもそも大元の >>11が気になるんだけど。
コホモロジー使うとか言ってるけど可縮じゃないのかな？

52:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/29 16:31:07 +KHtl67s.net
前>>42
10秒77では到達できなくて10秒85で到達できるエリアで溺れた人は監視員によっては救えるけど監視員によっては救えない運命にあるってことか。

53:イナ
20/01/29 20:35:21.32 +KHtl67s.net
／∥卍`∥￣￣∥前 >>42
∥∩∩`∥ □ ∥[臥薪嘗
（(-_-)∥　　∥______
（っц~∥　｡∥╂─╂
■`(_)_)　　 ∥╂─╂
＼■υυ■___∥､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`対角線を泳ぐより、少しだけプールサイドを進んで進行方向に対して60°の方向に飛びこむと速い。10+t(秒)で監視員が溺れてる人がおってんとこに到達するとして、
突き当たりまで5秒進んで直角に曲がって5秒から10秒までのあいだに進行方向に対して60°の方向に飛びこんだ別の監視員が、10+t(秒)で溺れてる人がおってんとこに到達することも可能。

54:イナ
20/01/29 22:31:53.37 +KHtl67s.net
前 >>51
対角線上に監視員からx(m)の位置で溺れた人のとこに手前の縁から進行方向に対して60°に飛びんでも、向こう側の縁から進行方向に対して60°の方向に飛びこんでも同時に到達するとすると、
(x/√2-x/√6)(1/2)+(x/√2)(2/√3)=5+{10-(10-x/√2)(1+1/√3)}(1/2)+(10-x/√2)(2/√3)
辺々2√6掛けて、
(3+√3)x=10√6+√6(x/√2-10/√3-x/√6)+40√2-4x
(3+√3-√3+1+4)x=10√6-10√2+40√2
8x=(10√6+30√2)
x=5(√6+3√2)/4
=8.36516304……
∴5秒進んで直角に曲がって5秒から10秒までのあいだに60°の方向に飛びこむといい。

55:１３２人目の素数さん
20/01/30 00:32:27 QWolHuOm.net
惜しいねぇ

56:イナ
20/01/30 03:48:20.72 ghDavkZm.net
前 >>52
向こう側の縁からθの角度で飛びこんだ監視員が泳ぐ時間は、
(10-x/√2)秒。
突き当たりを直角に曲がって飛びこむまでの時間は、
{10-(10-x/√2)(1+1/cosθ)}(1/2)
=5-(5-x/2√2)(1+1/cosθ)
=-5/cosθ+x/2cosθ√2+x/2√2(秒)
これらと最初のコーナーまでの5秒を足すと救出時間は、
(1/sinθ)(10-x/√2)-(1/2cosθ)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
微分すると、
-1/sinθ√2+1/2cosθ√2+1/2√2=0
-2/sinθ+1/cosθ+1=0
-2cosθ+sinθ+sinθcosθ=0
(2-sinθ)cosθ=sinθ
cosθ=sinθ/(2-sinθ)
sin^2θ+{sinθ/(2-sinθ)}^2=1
sin^2θ(2-sinθ)^2+sin^2θ=(2-sinθ)^2
4sin^2θ-4sin^3θ+sin^4θ+sin^2θ=4-4sin^2θ+sin^4θ
4sin^3θ-9sin^2θ+4=0
sin^3θ-(3sinθ/2)^2+1=0
sin^3θ+1=(3sinθ/2)^2
3sinθ/2-√(sin^3θ+1)=0になるθを探すと、
θ=57.465773447629°のとき、
(3/2)(sin57.465773447629°)-√((sin57.465773447629°)^3+1)=0となり極大値を与える。
向こう側の縁から57.465773447629°の方向に飛びこむと最速で救出できる。
救出時間は、
(1/sin57.465773447629°)(10-x/√2)-(1/2cos57.465773447629°)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
=(1/sin57.465773447629°-1/2cos57.465773447629°)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
=2.56432763+5+x(1/2√2-0.256432763/√2)
=7.56432763+0.172228045x
10＜x≦10√2
救出時間が9秒台。あまりにも速すぎる監視員。

57:１３２人目の素数さん
20/01/30 08:06:02 QWolHuOm.net
また遠のいた

58:１３２人目の素数さん
20/01/30 12:38:02.12 lFGe72YJ.net
>>18
円の共通接線の方程式
↓
交点の座標
↓
三角形に分割した辺の長さ
↓
ヘロンの公式
は計算が複雑過ぎて俺には無理だな。

59:１３２人目の素数さん
20/01/30 13:41:59 Xe9+JgnQ.net
t=10の時点で下ヘリの直線が(20,0)を通る傾き1/√3の直線とわかれば簡単。
座標設定しなくても下側の頂点からx軸に垂線下ろして直角二等辺三角形と台形に分ければ相似な三角形出まくる(1:1:√2のやつと1:2:√3のやつしか出てこない)のでそれを利用すれば中学生でも解ける。
ちなみに四角形が潰れる時点の算出も上手く補助線引けば中学生でもできる。
もちろん共通接線が1m/秒でそれぞれ傾き√3と1/√3を保ちながら平行移動している事がわかる前提だけど。

60:イナ
20/01/30 15:00:42.01 ghDavkZm.net
前 >>54
>>57
θ=60°のとき、
微分=0より、
3sin60°/2-√{sin^3(60°)+1}=0.0147020699……
≠0
●●ヘリの傾きは1/√3より少し小さいとわかった。y切片もどうだろう。手描きで20超えてる。中学生には無理だと思う。

61:１３２人目の素数さん
20/01/30 15:06:36.60 Xe9+JgnQ.net
>>58
頭使って考えてないからわからんのだよ。
>>14の図のx軸上に中心がある円を描く作業をどんどん続けていったらどこで半径0になるかわからんかね？その点を通ってx^2+y^2=100に接する直線はきみにはお手上げ？

62:１３２人目の素数さん
20/01/30 16:21:58 YqjWsCqQ.net
>>58
原点スタート右上ゴールに採れば円三つ（原点中心, 右下の角中心, 右上の角中心）書くだけで解けるよ
辺の比1:2:√3の直角三角形と一次関数が分かる中学生なら解ける

63:イナ
20/01/30 17:06:50.80 ghDavkZm.net
前 >>58
θ=57.465773447629°
向こう側の縁から飛びこむ角度が57.465773447629°ということは、
監視員が最初にいるコーナーの対角コーナーから、泳ぐ経路に引いた垂線が、向こう側の縁となす角は、
90°-57.46773447629°=32.53226552371°
対角線となす角は、
45°-32.53226552371°=12.46773447629°
監視員が10秒過ぎてから救出地点に達するまでに泳いだ時間t(秒)または距離t(m)は、
(10√2-10-t)sin12.465773447629°=t
(10√2-10)sin12.465773447629°=t+tsin12.465773447629°
t=(10√2-10)sin12.465773447629°/(1+sin12.465773447629°)
=0.735371693
到達時間10+t=10.735371693(秒)

64:１３２人目の素数さん
20/01/30 18:05:26.29 Xe9+JgnQ.net
謎の57.‥°にこだわってる限り永遠に答えは出ないねぇ。

65:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/30 20:00:55 ghDavkZm.net
前>>61
>>62なぞは解ける。微分して極値を求めない人にはわからない。
>>54で救出時間を微分して=0のときθ=57.465773447629°
飛びこむ角度、飛びこむ地点、泳ぐ距離、救出時間、すべて求まる。
60°は当たりをつけただけだ。それで近い値は出る。実際に速いのは61°なのか59°なのか、監視員のとっさの判断を計算で求めることに数学の意味があると思う。
57°や58°はだれでもやる。57.465773447629°をやった者だけが味わいうる解放感がある。

66:１３２人目の素数さん
20/01/30 20:07:06 Usr95p92.net
>>63
その微分計算がおかしいと何故思わん？
>>14の図の直線の最先端、つまり直線と接している各円とその中心のプールサイドとのなす角は何度だね？
なんで図に直線が現れたらその直線の方程式を求めてみようと思わんの？
そういう問題云々いう以前の部分まるっきしダメダメなんだよ。

67:イナ
20/01/30 20:55:35.69 ghDavkZm.net
前 >>63
>>64
60°や30°や45°で当たりをつけるのはいいと思う。でも結局はθで一般式を立てなきゃ正確な値が出ないと思う。
60°よりちょっと早いタイミングで飛びこむと、縁の距離が短くなって泳ぐ距離は長くなる。けど全体として距離は少しだけ短くなるし、直角に飛びこむのはたしか30°の方向に飛びこむときと同じだと思ったから、それなら少し早めに飛びこむと速いと思った。
せめぎあいだと思う。
微分=0で極値を求めるでいいと思う。
ちょっと勇気があれば微分できる。そんなに難しくなかった。

68:１３２人目の素数さん
20/01/30 21:04:37.08 Usr95p92.net
イナwolfram先生の採点。
(0,0) から(1,1)までかかる所要時間。
何度で最小かね？

69:１３２人目の素数さん
20/01/30 21:05:28.48 Usr95p92.net
57度かね？
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)

70:１３２人目の素数さん
20/01/30 21:17:37.28 lFGe72YJ.net
>>57
レスありがとうございます。
秒数を指定して描画できるようにプログラムを作ったついでに
時間ｔの時の空白面積を算出するプログラムを作ろうと思っていたんだけど複雑すぎて諦めました。

71:１３２人目の素数さん
20/01/30 21:47:33.55 Xe9+JgnQ.net
>>65
wolfram先生に微分をお願いした
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
d/dx(1/2 (a - b cot(x)) + b/sin(x)) = 1/2 b csc(x) (csc(x) - 2 cot(x))
csc(x)=1/sin(x)
cot(x)=cos(x)/sin(x)
つまりくくると
= 1/2 b csc(x) 2/sin(x)(1/2- cos(x))
ですわ。
イナ君よ。1/2-cos(x)はどこで符号が変わるかね？
57.‥のところかね？

72:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/30 22:01:48 ghDavkZm.net
前>>65
>>69微分は難しいから、相手よく見て。
泳げる人や縁の近くにいる人は救出しなくていい。
まぁでも溺れてる人は自分が縁にいるとわかってないから溺れてるわけだし、縁からひっぱりあげることは必要。
ただ安易に飛びこむと監視員が溺れることになりかねない。距離が長いときは注意しないと。
縁をまっすぐ10秒でいいと思う。

73:１３２人目の素数さん
20/01/30 23:27:12 Xe9+JgnQ.net
大体考えたらわかるでしょ？
大学入試の問題で最小値をとる角度が60°みたいないわゆる"有名角"になってるかどうかはともかくとして、答えないといけない最小値自身は計算機使わないと答えでないような中途半端な値なわけないやん？

74:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/30 23:45:58 ghDavkZm.net
前>>70
>>71
入試の問題かどうかは知らない。
最速何秒か求めようと微分して分子=0で極値を求めたらたまたま出た。
その値に端数が出たので違うとかあってるとか言われても知らない。

75:１３２人目の素数さん
20/01/31 00:11:23 BSBc/B6d.net
無限の「表面」ネタを押し流すために頑張ってるようにすら見えるな。このコテ。

76:１３２人目の素数さん
20/01/31 00:36:53.63 BSBc/B6d.net
無限は表面しかない。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

立てた。

77:１３２人目の素数さん
20/01/31 00:52:33.84 z/KD0w6T.net
>>72
何も出てない。
強いて言えば間違った答えが出ただけ。
もはや永遠にイナのレスから正解が出る事はないのだろうか？

78:１３２人目の素数さん
20/01/31 01:31:49.29 NEbeyvsi.net
>>74
荒い位相だからね

79:イナ
20/01/31 03:25:42.12 oSeo+rOS.net
前 >>72
>>75そのときはわかって確信を持って書いてるけど、時間が経つとなんのことだかさっぱりわからない。
とにかく同じ思考にたどり着くまでに時間がかかるからちょっと待ってほしい。
ほんとに俺が解いたのかと思うぐらい計算間違いをしてる可能性もあるし、逆にどこか間違えたまま計算はあってる可能性もある。

80:イナ
20/02/01 04:55:29.22 MAkALVaE.net
前 >>77
y=-(1/√3)(x+10)+10
y=(x+10/√2)√3+10/√2
の交点のx座標は、
-(1/√3)(x+10)+10=(x+10/√2)√3+10/√2
x=-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4
y座標は、
y=-(1/√3)(-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4+10)+10
=15/2-5√3/2+5√6/4+5√2/4
この交点を通り、傾きが、
(√3-1)/(√3+1)の直線と、y=-xの交点のy座標をYとおく。

81:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/01 14:24:19 MAkALVaE.net
前>>78
-x={-(√3-1)/(√3+1)}(-x-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4)+15/2-5√3/2+5√6/4+5√2/4
Y={-(√3-1)/(√3+1)}(Y-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4)+15/2-5√3/2+5√6/4+5√2/4
(√3+1)Y=-(√3-1)(-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4)+(√3+1)(15/2-5√3/2+5√6/4+5√2/4)
2Y√3=-(4-2√3)(-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4)+2(15/2-5√3/2+5√6/4+5√2/4)
Y=(-2/√3+1)(-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4)+15/2√3-5/2+5√2/4+5√2/4√3
=-2/√3(-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4)-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4+15/2√3-5/2+5√2/4+5√2/4√3
=5/√3-5+15√2/2√3+5√2/2-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4+15/2√3-5/2+5√2/4+5√2/4√3
=25√3/6-10+50√6/12
救出時間=5+{Y+(10-Y)√3}/2
=5+{25√3/6-10+50√6/12+(10-25√3/6+10-50√6/12)√3}/2
=5+(25√3/6-10+50√6/12+20√3-25/2-50√2/4)/2
=5+(145√3/6+50√6/12-45/2-50√2/4)/2
=5+145√3/12+25√6/12-45/4-25√2/4
=145√3/12+25√6/12-25/4-25√2/4
=10.9432161……(秒)

82:イナ
20/02/01 15:26:14.08 MAkALVaE.net
前 >>79
>>61のほうが速い。

83:１３２人目の素数さん
20/02/02 07:29:44 RsjgDQhE.net
4次元世界の問題

一辺の長さが10mの立方体のプールの一つの角に監視員を置く.この監視員は水中は秒速1mで,プールの縁上は秒速 2m で移動するものとする.この監視員がプールのどこへでも到達しうるには，最短で何秒必要か計算せよ.

84:１３２人目の素数さん
20/02/02 15:37:37.40 q2RgJvbX.net
>>81
プログラムを組んでやってみた。
監視員の座標を(0,0,0)とすると、
> opt[1]
$par
[1] 7.691099 7.691099 7.691099
への到達が最も時間がかかり、
> opt[2]
$value
[1] 13.26518
秒とでてきた。
後は数理の達人の解析解と一致するかを待つまつのみ。

85:１３２人目の素数さん
20/02/02 16:16:11.62 q2RgJvbX.net
>>82
この点に到着する最短ルートは
(1.41135,0,0) (0,1.41135,0) (0,0,1.41135)のいずれかから水中に入るという結果になった。
数理的には偏微分して解くのかな？

86:１３２人目の素数さん
20/02/02 17:40:38.42 RsjgDQhE.net
理論値とまぁまぁ離れてるな。
まぁこっちの持ってる解も100%自信があるわけではないけど。

87:１３２人目の素数さん
20/02/02 18:07:40.48 RsjgDQhE.net
>>83
それおかしくない？
その入水地点(1.41135,0,0)から直線y=x,z=0に下ろした垂線の足から入水すれば歩く距離も泳ぐ距離も短くならない？

88:１３２人目の素数さん
20/02/02 20:38:00.28 q2RgJvbX.net
>>85
プールサイドからしか入水できないという前提じゃないの？　プールの壁のどの点からでも入水できるということなら俺は全く別物を計算していることになる。
# O (Oから水没)
# O-X(X軸上から水没)
# O-X-Y(Xを全長走行してY軸上から水没)
# O-X-Y-Z(X,Yを全長走行してZ軸上から水没)
という風にして時間を計測したんだけど。

89:１３２人目の素数さん
20/02/02 20:48:44.75 q2RgJvbX.net
つまり、横に5m走ってから上に5m走った点から目標にむけて入水も可能という設定ですか？

90:１３２人目の素数さん
20/02/02 21:01:18.47 eOqQ3fgS.net
>>87-88
もちろん設定は4次元なんだからプールサイドは立方体の表面ですよ？
表面どこからでも入水可能です。

91:１３２人目の素数さん
20/02/02 21:04:59.58 q2RgJvbX.net
>>88
立方体の辺からしか入水できないものとしてプログラムを組んだのでやり直します。

92:１３２人目の素数さん
20/02/02 22:53:30.63 q2RgJvbX.net
>>89
プログラムをやり直してみた。
> opt$objective
[1] 8.327796
秒で
> opt$maximum*e
[1] 5.293786 5.293786 5.293786
が座標
という結果になった。

93:１３２人目の素数さん
20/02/02 23:01:18.82 q2RgJvbX.net
入水する座標は　(1.965991, 8.621582, 10)となった。

94:１３２人目の素数さん
20/02/02 23:42:45.05 EzepMClR.net
多分違う。
二次元のときと同じで入水地点からの泳ぐ経路と入水した面のなす角は60°である事が必要だけど60°になってません。

95:１３２人目の素数さん
20/02/02 23:56:43.95 miBDuDBm.net
多分違う。
二次元のときと同じで入水地点からの泳ぐ経路と入水した面のなす角は60°である事が必要だけど60°になってません。

96:
20/02/02 23:57:14.88 mBdy+u7t.net
前 >>80
>>54の前半と、
>>61で最小値あってるよね？

97:１３２人目の素数さん
20/02/03 00:02:55.43 QjeNGJ5C.net
あってない。
もう諦めよう。

98:１３２人目の素数さん
20/02/03 00:06:49.92 ofWvSfGK.net
ちなみにウソだと思うなら2007 東工大 AO入試で検索してみるといい。
山ほど5+10/√3出てくるから。
これだけ時間かけてまだダメならもう無理でしょう。

99:イナ
20/02/03 00:20:33.82 avp8Qlns.net
前 >>96
10.7735秒より10.735秒のほうが速い。

100:１３２人目の素数さん
20/02/03 00:40:08 n+PD/BkY.net
じゃあよかったじゃん。
おめでとう。
じゃあネット中に転がってる解答は全部間違ってるんだね。
すげーじゃん。イナ。
世間に転がってる解答の上を行ったんだね。

101: 【大吉】
20/02/03 00:

102:59:37 ID:avp8Qlns.net

103:１３２人目の素数さん
20/02/03 01:14:14 mN5A/Qik.net
うん、諦めが肝心。

104:１３２人目の素数さん
20/02/03 05:26:34.59 0LuwDr/b.net
>>93
ありがとうございます。
ｘ＝１０の平面（壁）から入水する場合にはｚ＝０の壁を通るルートとｙ＝０の壁を通るルートの二つがあるのを見逃していました。
そこを修正してみたら、
> opt$objective # 最短でも必要な秒数
[1] 11.74535
最も時間がかかる位置は
> (Scrit=opt$maximum*e) # 最遅点の座標Scritical = 対角線上距離×方向単位ベクトル
[1] 7.466237 7.466237 7.466237
入水する点はのいずれか
(6.541114, 6.541114,10)
(10, 6.541114,6.541114)
(6.541114,10, 6.541114)
とういう数字になりました。
まだ、別のバグがあるかもしれません。

105:１３２人目の素数さん
20/02/03 06:09:33.40 mpjDkD/V.net
解析解を求めようとしましたが、きれいに出そうもないので、最後はNSolveを使いました。結果は次です。
(x,x,0)、あるいは、(10,y,y)で、水中に進入して、(p,p,p)　へ向かったときに要する時間 t　が最大必要時間。ただし、
x= 4.4181491667177352242257646161...
y= 6.5411105380457743031791097544...
p= 7.4662212132535098497019158523...
t=11.7453528906822212444517842198...

106:１３２人目の素数さん
20/02/03 06:11:27.64 0LuwDr/b.net
>>101
入水角度
> asin(h/r)*180/pi # 理論値=60°
[1] 62.69019
になったから、数値解での誤差なのか、プログラムのバクの可能性も十分にあるな。

107:１３２人目の素数さん
20/02/03 06:19:48.79 0LuwDr/b.net
最適化のアルゴリズムをNelder-Mead法に変えて計算し直してみた。
> opt$objective # 最短でも必要な秒数
[1] 11.69816
> (Scrit=opt$maximum*e) # 最遅点の座標Scritical = 対角線上距離×方向単位ベクトル
[1] 7.43622 7.43622 7.43622
> sim(opt$maximum,print=T) # 最遅点に最速で到達する経路を表示
Z10 Y10 X10 : 11.69816
> (Jz=c(jmpz$par,Lz)) # 入水点の面z=10での座標
[1] 6.074329 6.855617 10.000000
この時の入水角度は
> asin(h/r)*180/pi # 理論値=60°
[1] 59.99515
理論値と近似した！
後は、出題者の解析解と一致しているかが楽しみ。

108:１３２人目の素数さん
20/02/03 06:33:56.89 0LuwDr/b.net
>>102
その数値だと入水角度がぴったり６０度になりました。
> x= 4.4181491667177352242257646161
> p= 7.4662212132535098497019158523
> Scrit=c(p,p,p)
> h=p
> J=c(x,x,0)
> r=dit(Scrit,J,1)
> asin(h/r)*180/pi
[1] 60

109:１３２人目の素数さん
20/02/03 06:57:23.52 0LuwDr/b.net
>>97
√3の小数表示から立方体プールの方に移ればいいじゃないの？
きれいな式での解は困難ということだから、計算が二次元プール以上に楽しめると思うんだけど。

110:１３２人目の素数さん
20/02/03 07:02:57.07 mpjDkD/V.net
>>105
>> > (Jz=c(jmpz$par,Lz)) # 入水点の面z=10での座標
>> [1] 6.074329 6.855617 10.000000
あれ、こんなところで、対称性の破れが、．．．
驚きました。手抜きすべきではありませんでした。
>>102　は取り下げます。

111:１３２人目の素数さん
20/02/03 07:04:51.54 mpjDkD/V.net
上記は
105 ではなく、>>104の間違いです。

112:１３２人目の素数さん
20/02/03 07:48:20.98 0LuwDr/b.net
>>107
対称性からいえば
Z=10の平面での入水点は
（6.074329 ,6.855617, 10)
（6.855617, 6.074329 ,10)
の二つがあることになり、
どちらを経由しても
所要時間は同じになりました（まあ、当然とでしょうけど）
> f(jmpz$par[1],jmpz$par[2])
[1] 11.698156288555285
> f(jmpz$par[2],jmpz$par[1])
[1] 11.698156288555285
>

113:１３２人目の素数さん
20/02/03 08:21:54.06 5QqjKgBu.net
理論値は
11.69815627019646153787418090069489267584187319472412254855
です。

114:１３２人目の素数さん
20/02/03 09:20:05.75 xmpWmdc0.net
ちなみに方程式は4次方程式なので手計算で答え出すのは大変ですが、wolfram先生にお願いすれば二重までの根号で出るようです。
方程式自体は簡単です。
むしろ難しいのは、方程式を立式する上で、二次元の場合なら当たり前で許してもらえる事が三次元ではそこまで当たり前に思えない事。
本問では所要時間最大になる点がx=y=z上にある事を示すのがやや難しい。
今のところ持ってる解法はあまり美しくない。

115:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/03 11:08:18 avp8Qlns.net
前>>99訂正。
前々>>97
前々の前>>94
>>54入水角度=57.465773447629°のときが最速とわかり、
>>61救出時間=10秒735371693

116:１３２人目の素数さん
20/02/03 11:42:45 MOGD/Do4.net
>>111
所要時間の式を偏微分して極値を出すのではないの？

117:１３２人目の素数さん
20/02/03 12:12:04 04w+XRU0.net
>>114
所要時間のなす関数は最大値を与える点で偏微分不可能です。
理由は二次元の場合と同じく、関数の定義にminが入るから。
明らかに無視できる経路を除いて最短経路になる候補が６個あり、所要時間=min{f1,f2,‥,f6}の形になる。
各々のfiは偏微分可能ですが、求める点はいずれのfiの極値にもなってはいません。
x=y=zに制限してもダメ。
手持ちの解答の方針としては
・まず６個に絞る。
・x=y=zに絞る。
・実質二個になる。
・min{f1,f2}の最大値は？
です。
６個に絞るのはめんどくさいだけ。
x=y=zに絞るところが手持ちの解はあまり綺麗でない。
以下は簡単。

118:１３２人目の素数さん
20/02/03 12:19:10 04w+XRU0.net
あ、ウソ言った。
・６個に絞る。
・実質２個に絞る。
・x=y=zに絞る
でした。
やってる事は東工大のと同じ。

119:１３２人目の素数さん
20/02/03 12:37:52.30 MOGD/Do4.net
>>114
個々のfをwolfram使って偏微分しようと思っていたけど無駄なんだな。
確かに自分のプログラムコードでもminを使っている。

120:１３２人目の素数さん
20/02/03 12:38:51.80 MOGD/Do4.net
>>112
話題は立方体に移っているよ。

121:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/03 15:59:52 avp8Qlns.net
前>>112
>>113偏微分。
それだと思う！
入水角度θと監視員が最初にいる地点から対角線上にある救出場所までの距離xという2つの変数がある。
xが一次だから解けたのかもしれない。

122:１３２人目の素数さん
20/02/03 16:24:28.58 Bd06CPXX.net
>>81
単純化のためp≧q≧rとし
経路a: (0,0,0) -> (x,y,0) -> (p,q,r)
経路b: (0,0,0) -> (0,y,z) -> (p,q,r)
経路c: (0,0,0) -> (x,0,z) -> (p,q,r)
とするとき、経路aの所要時間
t=√(x^2+y^2)/2+√((p-x)^2+(q-y)^2+r^2)
の極小値(∂t/∂x=0,∂t/∂y=0)を計算すると
t=(√(p^2+q^2)+√3 r)/2,
(x/p=y/q=1-r/(√3 √(p^2+q^2))のとき)
で、これは経路a～cで最も小さい。
この所要時間はp=q=rのとき最大となり
t=((√2+√3)/2)p ----(1)
経路d: (0,0,0) -> (10,y,z) -> (p,q,r)
経路e: (0,0,0) -> (x,10,z) -> (p,q,r)
経路f: (0,0,0) -> (x,y,10) -> (p,q,r)
とするとき、経路aの所要時間
t=√((10+y)^2+z^2)/2 + √((10-p)^2+(q-y)^2+(r-z)^2), (y<zのとき)
t=√(y^2+(10+z)^2)/2 + √((10-p)^2+(q-y)^2+(r-z)^2), (y≧zのとき)
の極小値(∂t/∂x=0,∂t/∂y=0)を計算すると
t=(√3 (10-p)+√(q^2+(10+r)^2))/2,
((q-y)/y=(r-z)/(10+z)=(10-p)/(-(10-p)+√3 √((10+q)^2+r^2))のとき)
で、これは経路d～fで最も小さい。
この所要時間はp=q=rのとき最大となり
t=(√3 (10-p)+√(p^2+(10+p)^2))/2 ----(2)
(1)(2)を連立させて
√(p^2+(10+p)^2)=(√2+2√3)p-10√3
これを解くと
p=(5/6)(15-4√6+√(249-96√6))
のとき
t=(5/12)(3+√6)(5√3-4√2+√(83-32√6))
=11.69815627...

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