面白い問題おしえて～な 31問目

面白い問題おしえて～ ..

160:１３２人目の素数さん
20/02/04 19:18:15 VleZ36bS.net
xy平面において、x軸上の正の部分のみ、速度 v、その他の領域は速度 1　で移動できるものとする。
原点にいる人物が、目標地点(cosθ,sinθ)　に到達すべく、移動する。
この時、より短時間で目標地点に到達するには、次の戦略αとβ、どちらが有利かを考える。
戦略α：現地点から、直接目標地点の方向へ速度 1 で移動する。
戦略β：x軸に沿って速度 v で移動する。

ε を正の小さな量とする。戦略αあるいはβ取って移動を開始し、εの時間がたった時のそれぞれの到達地点をA,Bとすると
A(εcosθ,εsinθ)、B(vε,0)
目標地点までの距離は、それぞれ、1-ε、√((vε-cosθ)^2+sin^2θ)　となるが、さて、どちらが小さいか？
二乗したもの同士の差をとって比べてみると、
(1-ε)^2-((vε-cosθ)^2+sin^2θ) = 1-2ε+ε^2 -v^2ε^2+2vεcosθ-1 = ε(2v cosθ-2)+(1-v^2)ε^2
εは小さな正の量としているので、二次の項を無視すると、cosθ＞1/v　で　
1-ε＞√((vε-cosθ)^2+sin^2θ) となる。
つまり、目的地との方向のずれがθあるものの、v 倍の速度で移動できるとき、　cosθ＞1/v　を
満たすなら、そのコースは直接目的地に向かうより有利である　とえる。

この結論は、θとvのみが関与し、他の次元にも適用可。

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