面白い問題おしえて～な 31問目

面白い問題おしえて～な 31問目 at MATH

[前50を表示]
150:１３２人目の素数さん
20/02/04 14:42:24.87 VWzue31P.net
>>81です。>>119さんの解答がほぼ用意してた解答です。
ひとつだけコメント。
たとえば経路a: (0,0,0) -> (x,y,0) -> (p,q,r)において(x,y,0)についての極小値の出し方なのですが、
これは距離関数d(A,P)のPについての全微分が
d d(A,P)=e(A,P) dP (e(A,P)はAPベクトルと同じ向きの単位ベクトル、以下同じ）
になることを用いると意味がはっきりします。
この時の所要時間Tは(p,q,r)をAとおいて陸上の速度をv、水中の速度をwとして
T = d(O,P)/v + d(A,P)/w
なので
dT = (e(O,P)/v + e(A,P)/w)dP
となります。
これが任意のz=０内のdPについて0になるのはe(OP)/v + e(A,P)/wがxy平面の法線ベクトルと平行になるときで、
すなわちe(OP)/v + e(A,P)/wのxy平面への射影が0になるときです。
これはAxyから平面へおろした垂線の足HがOPの外分点であり、
かつe(A,P)をxy平面へ射影したものの長さがw/v=1/2となるとき、すなわち∠APHが60°となるときです。
よってこの場合PはHからOの方向へPH/√3だけ移動した点なので
f1(p,q,r)=(√(p^2+q^2)-r/√3)/2 + 2r/√3/1 = √(p^2+q^2)/2 + √3/2r
が経路aの極小値です。
経路b,cは文字入れ替えるだけ、経路dについては同様に考えて
f4(p,q,r)=√((10+q)^2+r^2)/2 + √3/2(10-p)
となります。

151:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/04 15:38:31 +IjSdzOF.net
前>>145
>>146困ったら微分。
それしかない。
60°のときを考えるのはだれでもする。けどそのまま答えは60°のときとするのは高校生まで。
大人は困ったら微分する。
60°のときじゃない、と思ってθと置いたわけで、苦しんで微分するために置いたんじゃない。
未知数xの方程式を微分して極値を与える角度θを出したら60°になるよりちょっと手前で入水したらいいとわかった。問題ない。

152:１３２人目の素数さん
20/02/04 16:10:36 3+QKrfHh.net
>>148
ちょっと確認させて欲しい。

> 未知数xの方程式を微分して極値を与える角度θを出したら60°になるよりちょっと手前で入水したらいいとわかった。問題ない。

コレは本気で書いてるのか、それともココで引き下がったらレスバに負けるから間違ってるの承知でむりくり押し通してやろうと考えてるのかどっち？
もしかしてxで微分してもいいと本気で思ってるん？
xで微分しようがθで微分しようが好きな方で微分していいと本気で思ってるの？

153:イナ
20/02/04 17:11:43.29 +IjSdzOF.net
前 >>148
>>149どうやって解いたんだ？　と思って解きなおしたら何度やっても解けなくて、計算間違いかなぁと思ってあきらめかけた。
計算間違いじゃなくxで微分して極小値を与える角度θを出したんだとわかった。
一度はやろうとしたxとθの両方で微分するとどうなるか、またθで微分するとどうなるか、ぜひやってみてほしい。
xで微分して極小値を与える角度θを出して救出時間を出したのはまだ俺だけだと思う。今のところ正しいかどうか比べるものがない。なぜかみんな三次元がいいとか言って潜水してしまって、無人島にいる感じ。入水角度θ=60°のときより速いことは調べた。

154:１３２人目の素数さん
20/02/04 17:27:27.89 3+QKrfHh.net
>>150
だからxで微分しても正しい答えはでないと何度も指摘してるじゃん？
入水角が60°でない経路は最小にはなり得ません。
もし本気で出てる答え5+10/√3より小さい答えが出たと言い張るなら既出の答えの最小到達時間が最大になる点
(5(1+1/√3),5(1+1/√3))
=(7.886751345948, 7.886751345948)
に
5+10/√3 = 10.773502691896
より先に到達できる経路を明示しないとダメ。
わかる？明示？
要するにx=x.xxx‥の地点から入水したら10.77350‥より早く到達できるというx.xxx‥を一つでも見つければいい。
まぁやってごらんなさいな。

155:１３２人目の素数さん
20/02/04 17:32:07.28 W/1szoPy.net
>>148
びぶんのことはびぶんでやれ、という高木貞治を想い出したよ。

156:１３２人目の素数さん
20/02/04 18:06:56 VWzue31P.net
7.886751345948/sin(57.465773447629deg)+7.886751345948(1-1/tan(57.465773447629deg))/2
=
10.7826518083

(10-7.886751345948)/sin(57.465773447629deg)+(10-(10-7.886751345948)(1+1/tan(57.465773447629deg)))/2+5
=
10.7759541902

いずれの経路でも 10.773502691896秒より前に到達できない。

157:イナ
20/02/04 18:49:28.88 +IjSdzOF.net
前 >>150
>>61到達時間10+t=10.735371693(秒)
＜10.7735……
入水角度θ(°)、到達時間10+t(秒)、あとは─。
>>151入水地点は、
つきあたりからの距離、
10-(10-x/√2)(1+cosθ/sinθ)に、
θ=57.465773447629°と、
xを代入するとわかる。
xは到達時間、
5+{10-(10-x/√2)(1+cosθ/sinθ)}(1/2)+(10-x/√2)(1/sinθ)=10.735371693にθ=57.465773447629°を代入し、
5+5-(5-x/2√2)(1+cos57.465773447629°/sin57.465773447629°)+(10-x/√2)(1/sin57.465773447629°)=10.735371693
=5+x/2√2+(x/2√2)(0.637910393)-5(0.637910393)+(10-x/√2)(1/sin57.465773447629°)=10.735371693
求めたxを代入すると入水地点もわかるはず。

158:１３２人目の素数さん
20/02/04 18:54:24.56 3+QKrfHh.net
こいついわれてる事全く理解してない。
真性のバカなんだな。

159:１３２人目の素数さん
20/02/04 18:57:33.41 W/1szoPy.net
wolframに∂t/∂x=0, ∂t/∂y=0を解いてもらおうと
x/(2 Sqrt[x^2 + y^2]) + (-p + x)/Sqrt[r^2 + (-p + x)^2 + (-q + y)^2]=0
y/(2 Sqrt[x^2 + y^2]) + (-q + y)/Sqrt[r^2 + (-p + x)^2 + (-q + y)^2]=0
を入力すると
r = -(1.73205 sqrt(p^2 + q^2) (p - x))/p, y = (q x)/pと返ってきてx,yについて解いてもらえなかった。

160:１３２人目の素数さん
20/02/04 19:18:15 VleZ36bS.net
xy平面において、x軸上の正の部分のみ、速度 v、その他の領域は速度 1　で移動できるものとする。
原点にいる人物が、目標地点(cosθ,sinθ)　に到達すべく、移動する。
この時、より短時間で目標地点に到達するには、次の戦略αとβ、どちらが有利かを考える。
戦略α：現地点から、直接目標地点の方向へ速度 1 で移動する。
戦略β：x軸に沿って速度 v で移動する。

ε を正の小さな量とする。戦略αあるいはβ取って移動を開始し、εの時間がたった時のそれぞれの到達地点をA,Bとすると
A(εcosθ,εsinθ)、B(vε,0)
目標地点までの距離は、それぞれ、1-ε、√((vε-cosθ)^2+sin^2θ)　となるが、さて、どちらが小さいか？
二乗したもの同士の差をとって比べてみると、
(1-ε)^2-((vε-cosθ)^2+sin^2θ) = 1-2ε+ε^2 -v^2ε^2+2vεcosθ-1 = ε(2v cosθ-2)+(1-v^2)ε^2
εは小さな正の量としているので、二次の項を無視すると、cosθ＞1/v　で　
1-ε＞√((vε-cosθ)^2+sin^2θ) となる。
つまり、目的地との方向のずれがθあるものの、v 倍の速度で移動できるとき、　cosθ＞1/v　を
満たすなら、そのコースは直接目的地に向かうより有利である　とえる。

この結論は、θとvのみが関与し、他の次元にも適用可。

161:１３２人目の素数さん
20/02/04 19:18:48 VleZ36bS.net
と同時に、この類いの問題に対し、次の戦略が最速であることを示す。

現在地から目標地点へのベクトル、あるいは、その方向への単位ベクトルをｐ↑、
選択可能ないくつかの速度ベクトルｖ↑が与えられたら、
内積　ｐ↑・ｖ↑　が最大になる速度ベクトルｖ↑　に沿うコースこそ最速コースである。

この戦略に従って、四次元プールの問題を考えるなら、微分は必要なくなる。
（この戦略の背景は、微分の考え方そのものであるが、結論のみを利用するならば、微分は不使用）

目的地を、(p,q,r) ただし、対称性から　p≧q≧r　として考える。
この方向への単位ベクトルは(p/D,q/D,r/D)　但し、D=√(p^2+q^2+r^2)
直接この方向へ向かう場合、速度ベクトルも(p/D,q/D,r/D)なので、内積は、1
縁を進む場合は、三つの平面の内どれか。p≧q≧r　という条件では、平面z=0　上に、最適コースが存在し、
それは、(2p/d,2q/d,0)　但し、d=√(p^2+q^2)

時刻 t まで、移動したとき、(2pt/d,2qt/d,0)に移動しているので、目的地へのベクトルは　(p-2pt/d,q-2qt/d,r)
速度ベクトルは(2p/d,2q/d,0)であり、この時、この両者の角度がπ/3だという方程式を解くと、
t=(1/2)d±((√3)/6)r　が得られる。マイナスの方を代入して整理すると、残りの距離は((2√3)/3)rで、
トータル　(1/2)d-((√3)/6)r+((2√3)/3)r=(1/2){√(p^2+q^2)+(√3)r}　の時間がかかる

162:１３２人目の素数さん
20/02/04 19:19:23 VleZ36bS.net
以上は、向こう側の「縁」を利用しない場合の最速コースについての議論。
向こう側の縁を利用する場合は、まずは、平面x=10へ下ろした時の足の座標、(10,q,r)へ向かうコースを考える。
立方体の表面しか移動できないので、展開図上で考えることになるが、直角を挟む2辺が10+rとqである直角三角形の
斜辺上にあたるコースを辿りながら、向こう側の平面に到達したときに、(p,q,r)を目指すことになる。

これは、無限に広がるプール、ただし、三つの平面x=0、y=0、z=0上だけは、
速度2で歩けるという条件で、(10+r,q,10-p)を目標にするのと同じ事になる。

こう考えると、先ほどの結果がそのまま使えて、このコースをとった場合のトータル時間は、
(1/2){√((10+r)^2+q^2)+(√3)(10-p)}
最も時間がかかる地点の座標には、(1/2){√(p^2+q^2)+(√3)r}=(1/2){√((10+r)^2+q^2)+(√3)(10-p)}

という条件が加わる。面倒になってきたので、細かいことは省略するが、上の式で、p=q=rとして
方程式を解くと、p=q=r=(5/6)(15-4√6+√(249-96√6))
（これは、>>119さんの結果と一致）

最後端追ったが、以上は、微分を使わない方法である。

163:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/04 19:48:21 +IjSdzOF.net
前&

164:gt;>154計算のつづき。 5+x/2√2+(x/2√2)(0.637910393)-5(0.637910393)+(10-x/√2)(1/sin57.465773447629°)=10.735371693 x=(5-3.189557196+11.8614066-10.735371693)/(0.838728105-0.353553391-0.225535382) =11.309854(m)──救出地点までの直線距離つきあたりから入水地点までの距離は、 10-(10-x/√2)(1+cosθ/sinθ)=10-(10-11.309854/√2)(1+0.637910393) =6.71971502(m)

165:１３２人目の素数さん
20/02/04 19:52:12 3+QKrfHh.net
(7.886751345948,7.886751345948)に10.773502691896秒以内に到達できる地点を探せと言われて7.886751345948の全く出てこない式を立てるのはどういう頭の構造してんの？

166:１３２人目の素数さん
20/02/04 20:14:28 W/1szoPy.net
>>158
p≧q≧r　という条件では、平面z=0　上に、最適コースが存在し、
までは理解できるのですが、
入水する点の座標が
　(2p/d,2q/d,0)　但し、d=√(p^2+q^2)
が最適とはどうして分かるのでしょうか？

167:イナ
20/02/04 20:48:03.71 +IjSdzOF.net
前 >>160
>>161
救出地点まで遠いほうの縁からの距離は、
11.309854/√2=7.99727446(m)
図を描いて8mぐらいかなぁと思ってたからいい値だと思った。
7.88……だと入水角度も入水地点も変わると思う。
7.88……がどうやって出た値かだよね。
xとθを両方とも微分するか、θで微分して、
x/√2=7.88……ってことなら、あるいはありうるかも。わるい値じゃない。

168:１３２人目の素数さん
20/02/04 21:21:08 3+QKrfHh.net
>>143
まぁしつこいからマジメにつっこむと

>これらと最初のコーナーまでの5秒を足すと救出時間は、
(1/sinθ)(10-x/√2)-(1/2cosθ)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
xで微分し、
-1/sinθ√2+1/2cosθ√2+1/2√2=0とすると、

xで微分してそれが0になるθとはつまり到達地点(x,x)がどこにあろうと到達時間が一定であるようなθを探している事になる。
そんな地点は存在しないし実際wolfram大先生にグラフ書いてもらってもそんなθは存在してない。

URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)

にもかかわらずどこからかコレが解

θ=57.46773447629

なる謎の数値を導き出す。
そしてこの謎の数値を元にした到達時間の最大値を出して、それが既出の数値より小さいから既出の値は間違ってると騒ぎ立てる。
そしてだったら既出の最大地点
(7.886751345948, 7.886751345948)
に既出の最小値10.773502691896より早く到達できる経路を明示してみろというと、この7.886751345948が全く出てこない式を立式して10.773502691896より小さいと言って得意顔。
バカさの次元の桁が違う。

169:１３２人目の素数さん
20/02/04 21:23:45 VleZ36bS.net
>>162
>> 入水する点の座標が
>> 　(2p/d,2q/d,0)　但し、d=√(p^2+q^2)
>> が最適とはどうして分かるのでしょうか？

なるほど、紛らわしい書き方をしてしまったようです。申し訳ありません。
(2p/d,2q/d,0)　というのは、入水地点ではなく、速度ベクトルです。

原点から、この方向に、時刻0　から　時刻　t　まで移動すると、
(2pt/d,2qt/d,0)
に到ります。この地点から、目的地をみると、(p-2pt/d,q-2qt/d,r)という方向にあります。

このまま、この速度を維持したまま、進んだ方がいいか、戦略をβからαに切り替えた方がよいか、
その判定に用いるのが、
「cosθ＞1/v」
という式です。
この式が不成立になる時刻を求めるための、方程式が
((p-2pt/d,q-2qt/d,r),(2p/d,2q/d,0))　=(1/2)*|(p-2pt/d,q-2qt/d,r)|*|(2p/d,2q/d,0)|
です。（左辺は内積の式であり、右辺は、ベクトルの大きさの積とcos(π/3)で構成されています。）
ここで求まった時刻を、(2pt/d,2qt/d,0)　に代入すると、入水地点がわかります。

170:１３２人目の素数さん
20/02/04 21:24:31 THlBhxRo.net
>>143で救出までに最も長い時間
> 到達時間10+t=10.735371693(秒)
がかかる、と言っている点の座標はどこなん？

まあ、どこだろうが
> θ=57.465773447629°のとき、
の角度で行くより短時間のコースはあるわけだが

171:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/04 23:15:55 +IjSdzOF.net
前>>163
>>166救出地点まで遠いほうの縁からの距離は、
11.309854/√2=7.99727446(m)
救出地点を座標でいうと、最初に監視員がいる地点を原点(0,0)、つきあたり方向にy軸をとり、
-xの方向に直角に曲がってy軸から6.71971502mの地点から、
θ=57.7465773447629°の方向に入水して、原点を出てから、10.735371693秒後に、
(x,y)=(-7.99727446,7.99727446)に到達する。

172:１３２人目の素数さん
20/02/04 23:34:25 3+QKrfHh.net
>>167
> θ=57.7465773447629°の方向に入水して、原点を出てから、10.735371693秒後に、
> (x,y)=(-7.99727446,7.99727446)に到達する。

じゃあその(7.99727446, 7.99727446)の地点に60°で見込む点
(10, 6.841000330368)
から入水して何秒かかるかちゃんと計算してみたかね？
その数値は10.735371693より大きいかね？
そういう当たり前の確かめを一つもしないからダメダメなんだよ。

173:１３２人目の素数さん
20/02/04 23:47:26 THlBhxRo.net
>>167
座標
> (x,y)=(-7.99727446,7.99727446)に到達する。
までの最短時間は
(10+7.99727446-(10-7.99727446)cot(π/3))/2+(10-7.99727446)/sin(π/3)/1≒7.3305
になり、、
(10+7.99727446-(10-7.99727446)cot(θ))/2+(10-7.99727446)/sin(θ)/1
θ=57.7465773447629°
の
> 10.735371693秒
より短いな

174:
20/02/05 00:33:59.16 C9wRmgDi.net
前 >>167
>>168第Ⅰ象限には水がないという設定です。
最速になる角度を探したんでほかの角度は60°と90°と45°ぐらい。
入水地点を決めてから角度を決めたんじゃなく、微分して角度が決まってから入水地点を計算した。

175:１３２人目の素数さん
20/02/05 01:00:30 gfGkl938.net
>>170
こんだけ言われてまだ何言われてるか理解できてないの？
どこまで頭悪いの？
みんなが60°で入水が最速である理由をあれだけ手を変え品を変えいろんな方法で示してたよね？
そのどれ一つとして理解できなかったとしても、そして自分が60°以外の角でより早い経路をみつけたとしても、最低限まず自分が見つけた地点に最速でいける方法がその角度なのか確かめてみろと言ってるんだよ。
なんでそんな簡単なことがわからん？
何よりそんな事まず自分で思いつかないの？
君のそのアポレスがどんだけスレの流れ乱してるからわからんの？
そのアポレスいつまで続けるん？
もう出てけよ。

176:１３２人目の素数さん
20/02/05 01:06:11 OkeImVJQ.net
思付直感数学

177:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/05 01:55:16 C9wRmgDi.net
前>>170
問題見て最初に思いついたのがたしか60°だった。
縁と水中で速さが2:1だから。
その直感は正しいと思ってたけど、微分してθ=57.465773447629°と出て、到達時間を計算した。まだこの段階で半信半疑。
むしろ60°のとき計算したら10秒735切るぐらい速いはずと思って計算したら、
10秒9……って出て、あれ!?　ってびっくりした。
θ=57.465773447629°のほうがθ=60°のときよりコンマ2秒速かった。
今は結果を受け入れてる段階。

178:１３２人目の素数さん
20/02/05 06:23:22 +pUSmyEU.net
>>165
解説ありがとうございました。
最後の方程式をWolframに解いてもらったら
人間技では扱えそうにない答になりました。

Solve[{p - 2 p (x/d), q - 2 q (x/d), r} . {2 (p/d), 2 (q/d), 0} == Norm[{p - 2 p (x/d), q - 2 q (x/d), r}] (Norm[{2 (p/d), 2 (q/d), 0}]/2), x, MaxExtraConditions -> Automatic]

x = (d^3 p^2 (q/d)^2 + d^3 p^2 (p/d)^2 + d^3 q^2 (p/d)^2 + d^3 q^2 (q/d)^2 - sqrt(-d^6 p^2 (r)^2 (q/d)^4 - 2 d^6 p^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 +
d^6 (-p^2) (r)^2 (p/d)^4 - d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^4 - 2 d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 - d^6 q^2 (r)^2 (q/d)^4 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (p/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (q/d)^2) - 4 d p^4 -
8 d p^2 q^2 - 4 d q^4)/(2 (d^2 p^2 (q/d)^2 + d^2 p^2 (p/d)^2 + d^2 q^2 (p/d)^2 + d^2 q^2 (q/d)^2 - 4 p^4 - 8 p^2 q^2 - 4 q^4))

x = (d^3 p^2 (q/d)^2 + d^3 p^2 (p/d)^2 - d^3 q^2 (p/d)^2 + d^3 q^2 (q/d)^2 + sqrt(-d^6 p^2 (r)^2 (q/d)^4 - 2 d^6 p^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 +
d^6 (-p^2) (r)^2 (p/d)^4 - d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^4 - 2 d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 - d^6 q^2 (r)^2 (q/d)^4 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (p/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (q/d)^2) - 4 d p^4 -
8 d p^2 q^2 - 4 d q^4)/(2 (d^2 p^2 (q/d)^2 + d^2 p^2 (p/d)^2 + d^2 q^2 (p/d)^2 + d^2 q^2 (q/d)^2 - 4 p^4 - 8 p^2 q^2 - 4 q^4))

179:１３２人目の素数さん
20/02/05 08:43:38.73 t1CV2afM.net
>>174
なぜ FullSimplify しない？
X=の最初の式を%とすると
FullSimplify[%, d > 0 && p > 0 && q > 0 && r > 0]
1/6 d (3 + (Sqrt[3] r)/Sqrt[p^2 + q^2])

180:１３２人目の素数さん
20/02/05 09:26:37.46 VrbXRcrj.net
>>174
165です。これは自戒を含めてのコメントになりますが、あの方程式は、手で簡単に計算できます。
お試しください。

181:１３２人目の素数さん
20/02/05 09:41:51 PzHdrrq1.net
>>175
ありがとうございます。
その機能をはじめて知りました。

182:１３２人目の素数さん
20/02/05 14:10:45 VrbXRcrj.net
>>174
「お試しください」と書きましたが、実際にお示しします。

あの戦略からの要請、二つのベクトル、P-Vt と V のなす角度がπ/3であるという方程式は

(P - V t).V=(1/2)*|(P -V t)|*|V|

と書けます。ピリオドはベクトルの内積、絶対値記号はノルムを表す記号としてます。
　>>165では、無理矢理成分表示で、式を表していたため、見苦しくなりましたが、最初からこう書けばよかったですね。
|V|=2、P.V=p*(2p/d)+q*(2q/d)+r*0=2d、P.P=p^2+q^2+r^2=d^2+r^2 に注意して変形すると

P.V-t*V.V = |P -V t|
2d-4t = √(P.P-2t*P.V

183:+4t^2) 16t^2-16td+4d^2=d^2+r^2-4td+4t^2 12t^2-12td+3d^2-r^2=0 t=(1/12){6d±√(36d^2-12(3d^2-r^2))}=(1/12){6d±(2√3)r} と、言う具合に、簡単に t を求めることができます。

184:１３２人目の素数さん
20/02/05 14:25:04 t1CV2afM.net
二次元平面上に無限に続く、1オームの抵抗で作られた正方形の格子において、
ナイトの動き(桂馬飛び)の位置にある2つのノード間の抵抗は
4/π-1/2 オームであることを示せ。
（Google入社試験 - 難易度を下げるために一部簡単化）

185:１３２人目の素数さん
20/02/05 14:36:16 298bnSpu.net
>>179
コレは電気抵抗の知識なくても解けるの？
Googleの試験だからそこは知らなくても推定しろなのかな？
とりあえずググったら長さに比例して断面積に反比例するというのしか見つからない。

URLﾘﾝｸ(kenkou888.com)

186:１３２人目の素数さん
20/02/05 14:38:21 298bnSpu.net
あれ？
格子点と格子点を結ぶように1Ωの抵抗が繋がってるという意味？
もしかして？

187:１３２人目の素数さん
20/02/05 14:55:22 t1CV2afM.net
>>181
そうです。

>>179
の補足ですが、1オームの二次元無限格子の隣接ノード間の抵抗は
対称性の意味を知っていれば中学生で出せます。
より一般的には、任意の二つのノード間の抵抗は
有理数＋有理数×1/πであらわされることを示してください。

188:１３２人目の素数さん
20/02/05 15:02:45 t1CV2afM.net
>>180
前提となる物理知識は、中学生レベルのオームの法則とキルヒホッフの法則のみです。

189:１３２人目の素数さん
20/02/05 15:28:22 298bnSpu.net
つまりijにおける電位をe[i,j]として(0,0)から-1A、(2,1)に+1A流入してるとして
e[i+1,j]+e[i-1,j]+e[i,j+1]+e[i,j-1]-4e[i,j]
=δi0δj0-δi2δj1
のときのe[2,1]-e[0,0]かな？
留数定理の香りがする。

190:１３２人目の素数さん
20/02/05 22:11:30 +pUSmyEU.net
>>178
どうもありがとうございました。
d=√(p^2+q^2)の情報なしでwolframに入力したので複雑な答で表示されたのだと理解しました。

191:１３２人目の素数さん
20/02/05 23:39:40.39 t1CV2afM.net
>>184
ヒント
ローラン展開による母関数
E(z,w)=Σ[i,j:整数] e(i,j) z^i w^j

192:イナ
20/02/06 04:43:23.90 Mv+y98sK.net
前 >>173だれか入水角度60°の決め打ちじゃなくて、微分してみたって人いないかなぁ。

193:１３２人目の素数さん
20/02/06 06:18:07.30 Ya801udz.net
>>187
前スレで
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:807番)
が偏微分で極値を出している。
プログラムでの数値解と合致した。
立方体の方の計算にうつったら。
オリンピップールの直方体の方が計算のしがいがあると思う。

194:１３２人目の素数さん
20/02/06 09:32:28.14 tNI6h0TT.net
>>188
前スレの807を書いた者だが、極値は二つ出たが、807では採用する方を誤ってしまった。
訂正内容を824に記してあるので、807を見る場合は、824もセットで見て欲しい。

195:１３２人目の素数さん
20/02/06 10:42:10.03 5WVjoOPr.net
>>187
偏微分以外は全部決め打ちと思ってる時点でもうこのスレでレスできるレベルに到達してない。

196:１３２人目の素数さん
20/02/06 22:27:39.52 eS4p1xAB.net
> だれか入水角度60°の決め打ちじゃなくて、微分してみたって人いないかなぁ。
イナ以外で60°という角度を使っている人は、思い付きだけで使っているわけでなく、
書くまでもなく計算したり、スネルの法則等の定理を用いて60度を導出しているんだからな

197:１３２人目の素数さん
20/02/06 23:33:31 Ya801udz.net
タクシー料金の改訂

# 京浜地区
# 旧運賃（小型)
F1=740 # 初乗運賃 Fair
D1=2000 # 初乗り距離 initial Distance
C1=90　 # 加算運賃 Charge by distance
B1=288 # 加算距離 charge By distancce

# 新運賃
F2=500
D2=1200
C2=100
B2=264

URLﾘﾝｸ(travel.watch.impress.co.jp)

距離と新旧運賃および差額をグラフにしてみた。
運賃改定率が8.88％と記載されているのだがどうやって計算するんだろう？

198:１３２人目の素数さん
20/02/07 01:43:45 YN6u30Ej.net
>>187
横に１０ｍ走って縦に方向を変えてプールサイドからθの角度で座標(p,q）に向かって飛び込む時の所要時間は

10/2+((p-10)/tan(θ)+q)/2+sqrt((10-p)^2+((10-p)/tan(θ))^2)

角度を決めたら縦方向の走行距離が決まってしまう。

これを微分すればいい

D[5 + (q + (-10 + p) Cot[θ])/2 + Sqrt[(10 - p)^2 + (10 - p)^2 Cot[θ]^2], θ]　をWolfram先生にお願いすると

導関数は((10 - p) Csc[θ]^2)/2 - ((10 - p)^2 Cot[θ] Csc[θ]^2)/Sqrt[(10 - p)^2 + (10 - p)^2 Cot[θ]^2]

んでもって

solve ((10 - p) Csc[θ]^2)/2 - ((10 - p)^2 Cot[θ] Csc[θ]^2)/Sqrt[(10 - p)^2 + (10 - p)^2 Cot[θ]^2]==0 for θ

導関数が０になるθを求めてもらうと

θ = π/3　θ = -π/3

マイナスだとプールに飛び込めないから、θ = π/3

目的の座標に関わりなく６０°と算出されました。

199:１３２人目の素数さん
20/02/07 02:37:34 JwTQ0wHH.net
>>192
8.88%をだしたいのなら、例えば、
100m利用、200m利用、...、6600m利用、6700m利用
の料金の合計を、新旧で比較すると、8.8位のアップになる。

1200m以下だと、新運賃は240円安い
1800m位から、逆転し、その後、じわじわ差が大きくなり、
4200m位から、240円位高くなる。

100mから4200m位をまんべんなく利用する人がいたとすると、この改定により、
利用額の増減はほとんど無いという解釈も可能。

距離が大きくなれば、値上げの効果がどんどん大きくなる。
最終的には、1m辺りの加算運賃の比　90/288　：　100/264　=　33:40
なので、21.212121...%の上昇に近づく。
それが、6.7km辺りでは、8.8%だというだけ。
つまり、8.88位になるよう、最小距離100mと最大距離を6.7kmを恣意的に選んだだけ。
文頭の説明には説得力は全く無い。

恐らく、距離別利用割合のデータに基づいて、新旧の料金比較したのだろう。
この情報が無ければ、8.88%等の数値は出せないと思われる。

200:１３２人目の素数さん
20/02/07 03:19:17 9IJwzjmO.net
>>179
でけたかも。
まず(0,0)以外で漸化式
4e(i,j)=e(i+1,j) + e(i-1,j) + e(i,j+1) + e(i,j-1)
を満たす列を探す。
e(i,j)=∫[|x|,|y|<π] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
がこの条件を満たす。
また|i|,|j|→∞で0に行く。
そこで点i,jに電荷はe[i,j]-e[2-i,1-j]となる。(多分解は一意、ノーチェック)
e[0,0]=0, e[2,1]=32π-4π^2
であるから電位差は64π-8π^2。
e[1,0]=4π^2だから原点から隣接する4点に計16π^2の電流が流れる。
よって求める抵抗値は(32π-4π^2)/16π^2=4/π-1/2である。
またe[i,i]が
e[i,i]=∫(1-cosix))/(1-cos(x)cos(y))dxdy
であるが、yについて先に積分すると
e[i,i]=π∫(1-cosix))/|sin(x)|dx
となり、この値はπの有理数倍になる。
コレと漸化式によりe[i,j]はπとπ^2の有理係数の線形結合である。□
e[i,i]の計算が全く思いつかなかった。
e[i,j]の母関数って作れるのかな？

201:１３２人目の素数さん
20/02/07 08:18:59 YN6u30Ej.net
>>194
レスありがとうございます。

距離と新旧運賃と差額のグラフのアップロードを忘れておりました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
与えられたデータだけからは平均値上げ率は算出できない思っていたのが確認できました。
ある距離までの乗客数が同じと仮定したときの平均の値上げ率をグラフにすると
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

> which.min((crs-0.0888)^2)
[1] 6869
> pir(6869)
[1] 0.08882413

6．9キロくらいの平均で8.9％の値上げ率になりました。

計算したひとはこういう数字を使ったのでしょう。

202:イナ
20/02/07 08:40:02.32 VtLCtPNo.net
前 >>187
>>193
角度を決めたら泳ぐ距離が決まる。θで微分するか、θとxの両方で微分するかってとこですか。

203:１３２人目の素数さん
20/02/07 10:21:34.08 YN6u30Ej.net
>>197
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
Oから出発してAを経て角度θで入水してS(p,q)に泳ぐとする
AJの長さをxとすると
tan(θ)=(10-p)/(q-x)だから
x=q-(10-p)/tan(θ)
となり、
所要時間の計算からxは消去できて
　10/2+((p-10)/tan(θ)+q)/2+sqrt((10-p)^2+((10-p)/tan(θ))^2)
となる。
この極値を与えるθはp,qによらないのは>193に書いた通り。

204:１３２人目の素数さん
20/02/07 15:11:11.89 YN6u30Ej.net
>>197
>角度を決めたら泳ぐ距離が決まる。
違う、角度を決めたら走る距離も泳ぐ距離も決まる

205:１３２人目の素数さん
20/02/07 15:12:19.07 YN6u30Ej.net
走る距離　10+((p-10)/tan(θ)+q)
泳ぐ距離　sqrt((10-p)^2+((10-p)/tan(θ))^2)

206:１３２人目の素数さん
20/02/07 20:35:27.63 CyUpE86n.net
>>179の解の一意性の証明ができないなぁ。
昔これエレガントな解答を求むかなんかで
4a[ij]=a[i+1j]+a[i-1j]+a[ij+1]+a[ij-1]
をみたす有界な列は定数に限る事を示せ
の形で出題されて2chにえらいエレガントな解答が上がって数セミに載ったっていう事件があったけど、あれどんな証明でしたっけ？
誰か覚えてます？

207:１３２人目の素数さん
20/02/07 20:48:28.93 oSzq3jEL.net
>>195
正解です。よく特殊解を探せましたね。
その特殊解を(i',j')個すらして符号を変えて重ね合わせて正規化すれば、
2点(i',j')--(0,0)間に1Aの電流を流した時の電位の式が出ます。
想定していた解答は、2点(2,1)--(0,0)間に1Aの電流を流した時の電位の式
e[i+1,j]+e[i-1,j]+e[i,j+1]+e[i,j-1]-4e[i,j]=δi0δj0-δi2δj1
にexp(√-1 (ix+jy))をかけてi,jで和を取ると
(exp(-√-1 x)+exp(√-1 x)+exp(-√-1 y)+exp(√-1 y)-4)E(x,y)=1-exp(√-1 (2x+y))
(ここで E(x,y)=Σ[i,j:整数] e[i,j] exp(√-1 (ix+jy)) と置く)
より
E(x,y)=(1-exp(√-1 (2x+y)))/(2cosx+2cosy-4)
これをフーリエ級数の公式(留数定理)
e[i,j]=(1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π]E(x,y)exp(-√-1 (ix+jy))dxdy
を用いて逆変換すると、(2,1)--(0,0) 間の電位は
e[2,1]-e[0,0]=(1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π](exp(-√-1 (2x+y))-1)(1-exp(√-1 (2x+y)))/(2cosx+2cosy-4) dxdy
=(1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos(2x+y))/(2-cosx-cosy) dxdy
=4/π-1/2
一般に(0,0)--(i,j)間の抵抗値は
(1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos(ix+jy))/(2-cosx-cosy) dxdy
=(1/(8π^2))∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos(i(x+y)+j(x-y)))/(1-cosxcosy) dxdy
=(1/(8π^2))∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos((i+j)x)cos((i-j)y))/(1-cosxcosy) dxdy
=(1/(2π))∫[0,π] (1-cos((i+j)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j|)/|sinx| dx
(0,0)--(i,i)間の抵抗値は
(1/(2π))∫[0,π] (1-cos((i+j)x))/|sinx| dx
=(2/π)(1+1/3+1/5+1/7+...+1/(|2i|-1))

208:１３２人目の素数さん
20/02/07 21:19:32.21 CyUpE86n.net
>>200
その解は
f(x,y)=Σe[kl]exp(ikx+ily)
が収束すると仮定して(仕事率の有限性から二乗は収束する)みたすべき関数方程式で見つけました。
見つかっちゃえば解答はコレが解だでいいハズなんですが、級数の収束性とかが自明でないのでコレのみが解なのか示せてなくて気持ち悪い。
まぁ入社試験ではそこまで求められないんだろけど。
>>201のエレガントな解答求むのやつは確か与式が等号でなくて不等号だったかな？
しかしそこから等号の有界な非自明解の存在が必要性で出てきて矛盾を導くという流れだったような。
検索しても出てこないなぁ？

209:１３２人目の素数さん
20/02/08 00:08:01.33 aj0WebTe.net
>>202
補足
特殊解(原点に8π^2の電流を注入した解)
∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos((i+j)x)cos((i-j)y))/(1-cosxcosy) dxdy
=4π∫[0,π] (1-cos((i+j)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j|)/|sinx| dx
は|i|=|j|で 4πΣ[n=1,|i|] 1/(2n-1) になって |i|=|j|→∞で発散します。
一方、2点間(0,0)--(2,1)で符号を変えて重ね合わせた解((0,0)--(2,1)間に8π^2の電流を流した解)
∫[0,2π]∫[0,2π](cos((i+j)x)cos((i-j)y)-cos((i+j-3)x)cos((i-j-1)y))/(1-cosxcosy)dxdy
=4π∫[0,π](cos((i+j)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j|-cos((i+j-3)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j-1|)/|sinx|dx
はリーマン・ルベーグの補題より|i|,|j|→∞で0に収束します。
ちなみに、3次元の無限格子ではこのような発散は起こりません。

210:１３２人目の素数さん
20/02/08 07:44:31.25 MW5Whxwa.net
隔離中のクルーズ船では
船内の換気が共通らしいから13日後に発症した奴がいるとその近くの部屋のやつはプラスで14日隔離しないといけない
それが今の船内の状況という。
こんな問題を考えてみた（答は自分でもまだ持ってません）。
計算には追加の設定がいるかもしれません。
両隣のどちらかが感染したら14日延長、どの部屋も1日で感染する確率pは1%
部屋の配置は長方形（つまり始まりも終わりもなし）。
発症するか、隔離期間が終われば下船できる。全員定員１の個室として客と乗務員を合わせた人数nは3000人。
クルーズ船から全員下船できる日数の期待値は？

211:１３２人目の素数さん
20/02/08 08:08:03 MW5Whxwa.net
>>190
正解が出てから誤答を連投する芸人をどう納得させるかというゲームだと思って俺は楽しんでる。

212:１３２人目の素数さん
20/02/08 08:11:36 MW5Whxwa.net
部屋の配置は長方形（つまり始まりも終わりもなし）。
どの部屋にも両隣があると言う意味。
長方形に意味なし、円形配置でも同じ。

213:１３２人目の素数さん
20/02/08 11:46:54 MU+ZFKMw.net
もし 4a[i,j] = a[i,j+1]+a[i,j-1]+a[i+1,j]+a[i-1,j] =: 4(Δa)[i,j] が全ての(i,j)で成り立つ状況なら、
閉領域[-n,n]^2に属する格子点(i,j)全体におけるa[i,j]の最大値、最小値は、
どちらも辺∂([-n,n]^2)上でとらなければならないから、一意性はこれが鍵になったりするのかなあ

状況的にはリウヴィルの定理に似てるから、その証明と同じ手法が使えたりはしないだろうか

214:１３２人目の素数さん
20/02/08 13:31:28.34 dmI15PZj.net
ある1点のみで微分可能であり、他の至る所で微分可能でないような関数の例を挙げよ。

215:１３２人目の素数さん
20/02/08 13:49:21.83 kYb/Jpp8.net
f(x)=x^2 (x: rational)
. =0 (otherwise)

216:イナ
20/02/08 17:08:45.78 JlYEzXuq.net
前 >>197
θで微分するのとθとxの両方で微分するのとどっちが妥当か考えてみたい。

217:１３２人目の素数さん
20/02/08 17:15:30.17 +JttXwIS.net
>>205
とても解析的には解けそうもないのでシミュレーションで計算してみた。
１０万回のシミュレーションで平均値
> mean(RE)
[1] 57.942
と計算された。

218:１３２人目の素数さん
20/02/08 17:37:24.71 +JttXwIS.net
>>205
１日で新たに3人ということなので感染確立を0.1％にしてシミュレーションしたら。
> k=1e4
> RE=replicate(k,sim())
> mean(RE)
[1] 30.8222
全員が下船できるのは１か月後という予想になった。

219:１３２人目の素数さん
20/02/08 19:56:19 kYb/Jpp8.net
>>208
それだな。
格子点の集合Sn={(k,l) | |k|+|l|≦n}を考えるとき任意のx∈Snに対して∂Sn上の関数w(y)でw(y)∈[0,1]Σw(y)=1、e(x)=Σw(y)e(y)を満たすものが存在する。
特にmax{|e(x)| ; x∈Sn}= max{|e(y)| ; y∈∂Sn}。
証明はnについての帰納法。

220:１３２人目の素数さん
20/02/08 22:42:10.34 +JttXwIS.net
>>205
シミュレーションで全員下船までの日数と1日の感染確率の関係をグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ｐを大きくするとシミュレーションが終わらない。
p=0.9999とかすると1日で全員下船と瞬時に終わるけど。

221:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/09 05:26:49 glwDVnx4.net
前>>211

222:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/09 05:35:52 glwDVnx4.net
前>>211
初めの座標のとり方から、文字の置き方まで人の数だけ異なる解法があっていいと思う。
4sin^4θ+4sin^3θ+5sin^2θ-4=0
シュクメルリの定理によりθ＜60°みたいな決定的な式をみつけたい。

223:１３２人目の素数さん
20/02/09 07:24:54.89 Unvdz8cL.net
ある小学校のあるクラスでは、バスで遠足に行くことになった。
バスの座席は事前に決まっていたが、最初にバスに乗った児童が自分の座席を忘れて、任意の座席に座ってしまった。
他の児童は、一人ずつバスに乗り込み、自分の座席が空いていればその座席に、そうでなければ空いている任意の座席に座った。
このとき、最後の児童が自分の座席に座れる確率は、クラスの児童数にかかわらず一定であることを証明せよ。

224:１３２人目の素数さん
20/02/09 08:42:25.56 +DmUozks.net
>>218
シミュレーションしてみたら、0.5前後の値が返ってきた。
seat.n <- function(n){ # n: 生徒の人数
s=1:n # 残り座席番号
s1=sample(s,1) # 最初の生徒１の座る席番号s1
s=s[-s1] # s1を残り座席から除く
for(i in 2:(n-1)){ # 生徒２から生徒n-1まで
if(i %in% s){ # 生徒iの座席iが残っていれば
s=s[-which(s==i)] # その座席をsから除く
}else{
ls=length(s) # 残り座席数 length of s
si=sample(ls,1) # 1:lsの中から1個選びsiとする
s=s[-si] # si番目の座席を除く
}
}
s==n # 生徒ｎの席番号はｎかの真偽を返す
}
sim <- function(n,k=1e4){
mean(replicate(k,seat.n(n)))
}

225:１３２人目の素数さん
20/02/09 08:58:40.02 +DmUozks.net
nを３から５０までに変化させて最後の児童が自分の座席に座れる頻度をだしてグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

226:１３２人目の素数さん
20/02/09 09:01:00.76 +DmUozks.net
>>217
>人の数だけ異なる解法があっていい
そして、正しければ答が一致する。

227:１３２人目の素数さん
20/02/09 09:18:05.66 a34FdUHe.net
>>218
p(最後の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が正しい席にすわる)=1
p(最後の生徒が正しい席にすわる|最初の最後の生徒の席にすわる)=0
p(最後の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が最初と最後の生徒の席以外の席にすわる)=1/2 (∵ 生徒の数が少ない場合に還元される)
∴ p(最後の生徒が正しい席にすわる)=1/2。

228:１３２人目の素数さん
20/02/09 12:15:25 +DmUozks.net
数学的帰納法を使うんじゃないのか？

229:１３２人目の素数さん
20/02/09 13:25:33.82 BHX2wTJj.net
>>179の問題は自分的には納得できたのだけど >>201で書いたエレガントな証明が思い出せなくてムカつく。
ネットで検索すると、やはりあるのはあるはず
この↓インターネット上の匿名氏の証明。
誰か知りませんか？
URLﾘﾝｸ(www.cc.miyazaki-u.ac.jp)
というのが有名な雨宮問題であり、長年初等的証明は懸案であった。もともとは一松信による英語本の問題であったが、雨宮が初等的解法の存在を数セミの「エレガントな解法を求む」に出題したのである。最近では
０．もともとの英語本の著者による位相空間の端点理論を使う証明
１．名古屋大学の山田氏による証明
２．インターネット上の匿名氏の証明
３．（有界な場合のみ通用する）関数解析的証明
が存在することが知られている。

230:イナ
20/02/09 13:42:01.97 glwDVnx4.net
前 >>217
xを+にとったのはいい。
もう一度考えてみる。

231:１３２人目の素数さん
20/02/09 14:24:06 drHYoHKW.net
>>224
このリンク先に意味があるのかね？

232:イナ
20/02/09 15:46:18.09 glwDVnx4.net
51.56095029371006087°
前 >>225
うまく決まらないな。

233:１３２人目の素数さん
20/02/09 17:31:29.03 31X3KU8h.net
>>218
m人が残っていているとき、このうち何人分の正しい席が残っているかと考えると、
m-1人の正しい席が残っているか、m人全ての正しい席が残っているかどちらか。
なぜそのようなことが言えるか？
m人、残っている状態で、ある人物Ｘがいて、自分の席に座ろうと、自分の席があるであろう場所に向かい、
他の生徒が座っているのを見たとする。問題では、全ての生徒が気弱設定なのかもしれないが、この人物Ｘは
たまたま強気で、「この番号札を見ろ。ここは俺の席だ。どっか行け。」と追い出したとする。
この追い出された人物は、『自分だって本当の席に座りたかったんだ』と心の中で反論し、本当の自分の席に
向かい、さっき自分が言われたのと同じ台詞「この番号札を見ろ。ここは俺の席だ。どっか行け。」を言って、
憂さを晴らした。これが繰り返されるとどうなるか？
最初にバスに乗り、適当に座った人物、以後これをＡと称すが、Ａだけが追い出される。
この追い出し作業の間、空席には、全く変化は無いし、Ａ以外、全て正しい席に座っている。
困ったＡは、残った席の中から、適当な席を見つけて座ったとする。
さて、ここで、Ａが座った席。これを、文頭で登場した人物Ｘを、問題通り気弱設定にして、
自分の席が他の人物に占拠されていて仕方なく適当に選んだ席に置き換えてみよう。
何が違うか？何も変わらない。
問題では、バスに最初に乗り込んだ人物が、自分の席が書かれた番号札を無くしたことになっているが、
残り、m人が残っている状態で乗り込んだ人物が、番号札を無くしていたのと同じ。
最後に登場した人物に正しい席が残されている確率は、最後から二番目の人物が、番号札を無くしていて、
かつ、残りの席から、間違った席を選んだ確率に等しい。つまり、１／２である。

234:１３２人目の素数さん
20/02/09 17:35:02.88 31X3KU8h.net
あ、間違った。
×：最後に登場した人物に正しい席が残されている確率は、最後から二番目の人物が、番号札を無くしていて、
×：かつ、残りの席から、間違った席を選んだ確率に等しい。つまり、１／２である。
○：最後に登場した人物に正しい席が残されている確率は、最後から二番目の人物が、番号札を無くしていて、
○：かつ、残りの席から、正しい席を選んだ確率に等しいとして計算できる。つまり、１／２である。

235:１３２人目の素数さん
20/02/09 17:52:28 pAXGuv7W.net
>>223
>>222 の解答を丁寧に書くと
人数がn人のときの最後の人が自分の席に座る確率をp[n]として帰納法を用いる
n=2のとき明らかにp[2]=1/2
n>2のときp[n-1]=...=p[2]=1/2と仮定すると
1人目が自分の席に座る確率 = 1人目が最後の人の席に座る確率 = 1/n, 1人目が2からn-1人目の席に座る確率 = (n-2)/n
・1人目が自分の席に座るときの最後の人が自分の席に座る条件付確率 = 1
・1人目が最後の人の席に座るときの最後の人が自分の席に座る条件付確率 = 0
・1人目がk人目(2≦k≦n-1)の席に座るときの最後の人が自分の席に座る条件付確率 = p[n-k+1] = 1/2
従って
p[n]=(1/n)*1+(1/n)*0+((n-2)/n)*1/2=1/2

236:１３２人目の素数さん
20/02/09 18:41:02.01 zmPDrO9K.net
>>222
>(∵ 生徒の数が少ない場合に還元される)
この場合
2人目～最後の置かれた状況は1人目～最後の場合と異なっているけど帰納法使えるってなんで？

237:１３２人目の素数さん
20/02/09 19:24:31.42 pAXGuv7W.net
>>231
1人目が2人目の席に座った場合、2人目は名簿を持っていないのと同じ状況になるから

238:１３２人目の素数さん
20/02/09 19:31:11.92 zmPDrO9K.net
>>232
1人目の人は自分の席に座る可能性があるけれど
その場合の2人目の人はその可能性がないでしょ？

239:１３２人目の素数さん
20/02/09 19:32:38.31 zmPDrO9K.net
ああそうか1人目の席に座る可能性があると言うことか
わかった

240:１３２人目の素数さん
20/02/09 19:38:31.86 pAXGuv7W.net
>1人目の人は自分の席に座る可能性があるけれど
その場合は最後の席まで問題なく正しく決まり、条件付き確率は1になる(だから解答は３つの場合分けをしてある)

241:イナ
20/02/09 19:50:10.02 glwDVnx4.net
前 >>227計算に自信ない。極値与えるθに理由ない。
救出時間f(θ)=5+{x-(10-x)cosθ/sinθ}(1/2)+(10-x)/sinθ
=5+x/2-(5-x/2)cosθ/sinθ+10/sinθ-x/sinθ
=5+x/2-5cosθ/sinθ+xcosθ/2sinθ+(10-x)/sinθ
f'(θ)={5sin^2θ-(-5cos^2θ}/sin^2θ+(-xsinθ2sinθ-xcosθ2cosθ)/4sin^2θ+(10-x)cosθ/sin^2θ
=5/sin^2θ-1/sin^2θ+10cosθ/sin^2θ-xcosθ/sin^2θ
=4/sin^2θ+(10-x)cosθ/sin^2θ
f'(θ)の分子=0より、
2+5cosθ-xcosθ=0
xcosθ=2+5cosθ
x=2/cosθ+5
などかはしらねθ=60°と仮定すると、
x=2/(1/2)+5=4+5=9
f(60°)=5+{9-(10-9)cos60°/sin60°}(1/2)+(10-9)/sin60°
=5+(9-1/√3)(1/2)+√3/2
=5+9/2-1/2√3+√3/2
=19/2+1/√3
=(57+2√3)/6
=10.0773503……

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