面白い問題おしえて～な 31問目

面白い問題おしえて～な 31問目 at MATH

[1からを表示]
50:１３２人目の素数さん
20/01/29 15:27:39.32 qqQ5iFrx.net
>>47
×>>34の開球
○>>33の開球

51:１３２人目の素数さん
20/01/29 15:49:56.60 bSeLoPS+.net
そもそも大元の >>11が気になるんだけど。
コホモロジー使うとか言ってるけど可縮じゃないのかな？

52:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/29 16:31:07 +KHtl67s.net
前>>42
10秒77では到達できなくて10秒85で到達できるエリアで溺れた人は監視員によっては救えるけど監視員によっては救えない運命にあるってことか。

53:イナ
20/01/29 20:35:21.32 +KHtl67s.net
／∥卍`∥￣￣∥前 >>42
∥∩∩`∥ □ ∥[臥薪嘗
（(-_-)∥　　∥______
（っц~∥　｡∥╂─╂
■`(_)_)　　 ∥╂─╂
＼■υυ■___∥､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`対角線を泳ぐより、少しだけプールサイドを進んで進行方向に対して60°の方向に飛びこむと速い。10+t(秒)で監視員が溺れてる人がおってんとこに到達するとして、
突き当たりまで5秒進んで直角に曲がって5秒から10秒までのあいだに進行方向に対して60°の方向に飛びこんだ別の監視員が、10+t(秒)で溺れてる人がおってんとこに到達することも可能。

54:イナ
20/01/29 22:31:53.37 +KHtl67s.net
前 >>51
対角線上に監視員からx(m)の位置で溺れた人のとこに手前の縁から進行方向に対して60°に飛びんでも、向こう側の縁から進行方向に対して60°の方向に飛びこんでも同時に到達するとすると、
(x/√2-x/√6)(1/2)+(x/√2)(2/√3)=5+{10-(10-x/√2)(1+1/√3)}(1/2)+(10-x/√2)(2/√3)
辺々2√6掛けて、
(3+√3)x=10√6+√6(x/√2-10/√3-x/√6)+40√2-4x
(3+√3-√3+1+4)x=10√6-10√2+40√2
8x=(10√6+30√2)
x=5(√6+3√2)/4
=8.36516304……
∴5秒進んで直角に曲がって5秒から10秒までのあいだに60°の方向に飛びこむといい。

55:１３２人目の素数さん
20/01/30 00:32:27 QWolHuOm.net
惜しいねぇ

56:イナ
20/01/30 03:48:20.72 ghDavkZm.net
前 >>52
向こう側の縁からθの角度で飛びこんだ監視員が泳ぐ時間は、
(10-x/√2)秒。
突き当たりを直角に曲がって飛びこむまでの時間は、
{10-(10-x/√2)(1+1/cosθ)}(1/2)
=5-(5-x/2√2)(1+1/cosθ)
=-5/cosθ+x/2cosθ√2+x/2√2(秒)
これらと最初のコーナーまでの5秒を足すと救出時間は、
(1/sinθ)(10-x/√2)-(1/2cosθ)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
微分すると、
-1/sinθ√2+1/2cosθ√2+1/2√2=0
-2/sinθ+1/cosθ+1=0
-2cosθ+sinθ+sinθcosθ=0
(2-sinθ)cosθ=sinθ
cosθ=sinθ/(2-sinθ)
sin^2θ+{sinθ/(2-sinθ)}^2=1
sin^2θ(2-sinθ)^2+sin^2θ=(2-sinθ)^2
4sin^2θ-4sin^3θ+sin^4θ+sin^2θ=4-4sin^2θ+sin^4θ
4sin^3θ-9sin^2θ+4=0
sin^3θ-(3sinθ/2)^2+1=0
sin^3θ+1=(3sinθ/2)^2
3sinθ/2-√(sin^3θ+1)=0になるθを探すと、
θ=57.465773447629°のとき、
(3/2)(sin57.465773447629°)-√((sin57.465773447629°)^3+1)=0となり極大値を与える。
向こう側の縁から57.465773447629°の方向に飛びこむと最速で救出できる。
救出時間は、
(1/sin57.465773447629°)(10-x/√2)-(1/2cos57.465773447629°)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
=(1/sin57.465773447629°-1/2cos57.465773447629°)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
=2.56432763+5+x(1/2√2-0.256432763/√2)
=7.56432763+0.172228045x
10＜x≦10√2
救出時間が9秒台。あまりにも速すぎる監視員。

57:１３２人目の素数さん
20/01/30 08:06:02 QWolHuOm.net
また遠のいた

58:１３２人目の素数さん
20/01/30 12:38:02.12 lFGe72YJ.net
>>18
円の共通接線の方程式
↓
交点の座標
↓
三角形に分割した辺の長さ
↓
ヘロンの公式
は計算が複雑過ぎて俺には無理だな。

59:１３２人目の素数さん
20/01/30 13:41:59 Xe9+JgnQ.net
t=10の時点で下ヘリの直線が(20,0)を通る傾き1/√3の直線とわかれば簡単。
座標設定しなくても下側の頂点からx軸に垂線下ろして直角二等辺三角形と台形に分ければ相似な三角形出まくる(1:1:√2のやつと1:2:√3のやつしか出てこない)のでそれを利用すれば中学生でも解ける。
ちなみに四角形が潰れる時点の算出も上手く補助線引けば中学生でもできる。
もちろん共通接線が1m/秒でそれぞれ傾き√3と1/√3を保ちながら平行移動している事がわかる前提だけど。

60:イナ
20/01/30 15:00:42.01 ghDavkZm.net
前 >>54
>>57
θ=60°のとき、
微分=0より、
3sin60°/2-√{sin^3(60°)+1}=0.0147020699……
≠0
●●ヘリの傾きは1/√3より少し小さいとわかった。y切片もどうだろう。手描きで20超えてる。中学生には無理だと思う。

61:１３２人目の素数さん
20/01/30 15:06:36.60 Xe9+JgnQ.net
>>58
頭使って考えてないからわからんのだよ。
>>14の図のx軸上に中心がある円を描く作業をどんどん続けていったらどこで半径0になるかわからんかね？その点を通ってx^2+y^2=100に接する直線はきみにはお手上げ？

62:１３２人目の素数さん
20/01/30 16:21:58 YqjWsCqQ.net
>>58
原点スタート右上ゴールに採れば円三つ（原点中心, 右下の角中心, 右上の角中心）書くだけで解けるよ
辺の比1:2:√3の直角三角形と一次関数が分かる中学生なら解ける

63:イナ
20/01/30 17:06:50.80 ghDavkZm.net
前 >>58
θ=57.465773447629°
向こう側の縁から飛びこむ角度が57.465773447629°ということは、
監視員が最初にいるコーナーの対角コーナーから、泳ぐ経路に引いた垂線が、向こう側の縁となす角は、
90°-57.46773447629°=32.53226552371°
対角線となす角は、
45°-32.53226552371°=12.46773447629°
監視員が10秒過ぎてから救出地点に達するまでに泳いだ時間t(秒)または距離t(m)は、
(10√2-10-t)sin12.465773447629°=t
(10√2-10)sin12.465773447629°=t+tsin12.465773447629°
t=(10√2-10)sin12.465773447629°/(1+sin12.465773447629°)
=0.735371693
到達時間10+t=10.735371693(秒)

64:１３２人目の素数さん
20/01/30 18:05:26.29 Xe9+JgnQ.net
謎の57.‥°にこだわってる限り永遠に答えは出ないねぇ。

65:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/30 20:00:55 ghDavkZm.net
前>>61
>>62なぞは解ける。微分して極値を求めない人にはわからない。
>>54で救出時間を微分して=0のときθ=57.465773447629°
飛びこむ角度、飛びこむ地点、泳ぐ距離、救出時間、すべて求まる。
60°は当たりをつけただけだ。それで近い値は出る。実際に速いのは61°なのか59°なのか、監視員のとっさの判断を計算で求めることに数学の意味があると思う。
57°や58°はだれでもやる。57.465773447629°をやった者だけが味わいうる解放感がある。

66:１３２人目の素数さん
20/01/30 20:07:06 Usr95p92.net
>>63
その微分計算がおかしいと何故思わん？
>>14の図の直線の最先端、つまり直線と接している各円とその中心のプールサイドとのなす角は何度だね？
なんで図に直線が現れたらその直線の方程式を求めてみようと思わんの？
そういう問題云々いう以前の部分まるっきしダメダメなんだよ。

67:イナ
20/01/30 20:55:35.69 ghDavkZm.net
前 >>63
>>64
60°や30°や45°で当たりをつけるのはいいと思う。でも結局はθで一般式を立てなきゃ正確な値が出ないと思う。
60°よりちょっと早いタイミングで飛びこむと、縁の距離が短くなって泳ぐ距離は長くなる。けど全体として距離は少しだけ短くなるし、直角に飛びこむのはたしか30°の方向に飛びこむときと同じだと思ったから、それなら少し早めに飛びこむと速いと思った。
せめぎあいだと思う。
微分=0で極値を求めるでいいと思う。
ちょっと勇気があれば微分できる。そんなに難しくなかった。

68:１３２人目の素数さん
20/01/30 21:04:37.08 Usr95p92.net
イナwolfram先生の採点。
(0,0) から(1,1)までかかる所要時間。
何度で最小かね？

69:１３２人目の素数さん
20/01/30 21:05:28.48 Usr95p92.net
57度かね？
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)

70:１３２人目の素数さん
20/01/30 21:17:37.28 lFGe72YJ.net
>>57
レスありがとうございます。
秒数を指定して描画できるようにプログラムを作ったついでに
時間ｔの時の空白面積を算出するプログラムを作ろうと思っていたんだけど複雑すぎて諦めました。

71:１３２人目の素数さん
20/01/30 21:47:33.55 Xe9+JgnQ.net
>>65
wolfram先生に微分をお願いした
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
d/dx(1/2 (a - b cot(x)) + b/sin(x)) = 1/2 b csc(x) (csc(x) - 2 cot(x))
csc(x)=1/sin(x)
cot(x)=cos(x)/sin(x)
つまりくくると
= 1/2 b csc(x) 2/sin(x)(1/2- cos(x))
ですわ。
イナ君よ。1/2-cos(x)はどこで符号が変わるかね？
57.‥のところかね？

72:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/30 22:01:48 ghDavkZm.net
前>>65
>>69微分は難しいから、相手よく見て。
泳げる人や縁の近くにいる人は救出しなくていい。
まぁでも溺れてる人は自分が縁にいるとわかってないから溺れてるわけだし、縁からひっぱりあげることは必要。
ただ安易に飛びこむと監視員が溺れることになりかねない。距離が長いときは注意しないと。
縁をまっすぐ10秒でいいと思う。

73:１３２人目の素数さん
20/01/30 23:27:12 Xe9+JgnQ.net
大体考えたらわかるでしょ？
大学入試の問題で最小値をとる角度が60°みたいないわゆる"有名角"になってるかどうかはともかくとして、答えないといけない最小値自身は計算機使わないと答えでないような中途半端な値なわけないやん？

74:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/30 23:45:58 ghDavkZm.net
前>>70
>>71
入試の問題かどうかは知らない。
最速何秒か求めようと微分して分子=0で極値を求めたらたまたま出た。
その値に端数が出たので違うとかあってるとか言われても知らない。

75:１３２人目の素数さん
20/01/31 00:11:23 BSBc/B6d.net
無限の「表面」ネタを押し流すために頑張ってるようにすら見えるな。このコテ。

76:１３２人目の素数さん
20/01/31 00:36:53.63 BSBc/B6d.net
無限は表面しかない。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

立てた。

77:１３２人目の素数さん
20/01/31 00:52:33.84 z/KD0w6T.net
>>72
何も出てない。
強いて言えば間違った答えが出ただけ。
もはや永遠にイナのレスから正解が出る事はないのだろうか？

78:１３２人目の素数さん
20/01/31 01:31:49.29 NEbeyvsi.net
>>74
荒い位相だからね

79:イナ
20/01/31 03:25:42.12 oSeo+rOS.net
前 >>72
>>75そのときはわかって確信を持って書いてるけど、時間が経つとなんのことだかさっぱりわからない。
とにかく同じ思考にたどり着くまでに時間がかかるからちょっと待ってほしい。
ほんとに俺が解いたのかと思うぐらい計算間違いをしてる可能性もあるし、逆にどこか間違えたまま計算はあってる可能性もある。

80:イナ
20/02/01 04:55:29.22 MAkALVaE.net
前 >>77
y=-(1/√3)(x+10)+10
y=(x+10/√2)√3+10/√2
の交点のx座標は、
-(1/√3)(x+10)+10=(x+10/√2)√3+10/√2
x=-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4
y座標は、
y=-(1/√3)(-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4+10)+10
=15/2-5√3/2+5√6/4+5√2/4
この交点を通り、傾きが、
(√3-1)/(√3+1)の直線と、y=-xの交点のy座標をYとおく。

81:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/01 14:24:19 MAkALVaE.net
前>>78
-x={-(√3-1)/(√3+1)}(-x-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4)+15/2-5√3/2+5√6/4+5√2/4
Y={-(√3-1)/(√3+1)}(Y-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4)+15/2-5√3/2+5√6/4+5√2/4
(√3+1)Y=-(√3-1)(-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4)+(√3+1)(15/2-5√3/2+5√6/4+5√2/4)
2Y√3=-(4-2√3)(-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4)+2(15/2-5√3/2+5√6/4+5√2/4)
Y=(-2/√3+1)(-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4)+15/2√3-5/2+5√2/4+5√2/4√3
=-2/√3(-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4)-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4+15/2√3-5/2+5√2/4+5√2/4√3
=5/√3-5+15√2/2√3+5√2/2-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4+15/2√3-5/2+5√2/4+5√2/4√3
=25√3/6-10+50√6/12
救出時間=5+{Y+(10-Y)√3}/2
=5+{25√3/6-10+50√6/12+(10-25√3/6+10-50√6/12)√3}/2
=5+(25√3/6-10+50√6/12+20√3-25/2-50√2/4)/2
=5+(145√3/6+50√6/12-45/2-50√2/4)/2
=5+145√3/12+25√6/12-45/4-25√2/4
=145√3/12+25√6/12-25/4-25√2/4
=10.9432161……(秒)

82:イナ
20/02/01 15:26:14.08 MAkALVaE.net
前 >>79
>>61のほうが速い。

83:１３２人目の素数さん
20/02/02 07:29:44 RsjgDQhE.net
4次元世界の問題

一辺の長さが10mの立方体のプールの一つの角に監視員を置く.この監視員は水中は秒速1mで,プールの縁上は秒速 2m で移動するものとする.この監視員がプールのどこへでも到達しうるには，最短で何秒必要か計算せよ.

84:１３２人目の素数さん
20/02/02 15:37:37.40 q2RgJvbX.net
>>81
プログラムを組んでやってみた。
監視員の座標を(0,0,0)とすると、
> opt[1]
$par
[1] 7.691099 7.691099 7.691099
への到達が最も時間がかかり、
> opt[2]
$value
[1] 13.26518
秒とでてきた。
後は数理の達人の解析解と一致するかを待つまつのみ。

85:１３２人目の素数さん
20/02/02 16:16:11.62 q2RgJvbX.net
>>82
この点に到着する最短ルートは
(1.41135,0,0) (0,1.41135,0) (0,0,1.41135)のいずれかから水中に入るという結果になった。
数理的には偏微分して解くのかな？

86:１３２人目の素数さん
20/02/02 17:40:38.42 RsjgDQhE.net
理論値とまぁまぁ離れてるな。
まぁこっちの持ってる解も100%自信があるわけではないけど。

87:１３２人目の素数さん
20/02/02 18:07:40.48 RsjgDQhE.net
>>83
それおかしくない？
その入水地点(1.41135,0,0)から直線y=x,z=0に下ろした垂線の足から入水すれば歩く距離も泳ぐ距離も短くならない？

88:１３２人目の素数さん
20/02/02 20:38:00.28 q2RgJvbX.net
>>85
プールサイドからしか入水できないという前提じゃないの？　プールの壁のどの点からでも入水できるということなら俺は全く別物を計算していることになる。
# O (Oから水没)
# O-X(X軸上から水没)
# O-X-Y(Xを全長走行してY軸上から水没)
# O-X-Y-Z(X,Yを全長走行してZ軸上から水没)
という風にして時間を計測したんだけど。

89:１３２人目の素数さん
20/02/02 20:48:44.75 q2RgJvbX.net
つまり、横に5m走ってから上に5m走った点から目標にむけて入水も可能という設定ですか？

90:１３２人目の素数さん
20/02/02 21:01:18.47 eOqQ3fgS.net
>>87-88
もちろん設定は4次元なんだからプールサイドは立方体の表面ですよ？
表面どこからでも入水可能です。

91:１３２人目の素数さん
20/02/02 21:04:59.58 q2RgJvbX.net
>>88
立方体の辺からしか入水できないものとしてプログラムを組んだのでやり直します。

92:１３２人目の素数さん
20/02/02 22:53:30.63 q2RgJvbX.net
>>89
プログラムをやり直してみた。
> opt$objective
[1] 8.327796
秒で
> opt$maximum*e
[1] 5.293786 5.293786 5.293786
が座標
という結果になった。

93:１３２人目の素数さん
20/02/02 23:01:18.82 q2RgJvbX.net
入水する座標は　(1.965991, 8.621582, 10)となった。

94:１３２人目の素数さん
20/02/02 23:42:45.05 EzepMClR.net
多分違う。
二次元のときと同じで入水地点からの泳ぐ経路と入水した面のなす角は60°である事が必要だけど60°になってません。

95:１３２人目の素数さん
20/02/02 23:56:43.95 miBDuDBm.net
多分違う。
二次元のときと同じで入水地点からの泳ぐ経路と入水した面のなす角は60°である事が必要だけど60°になってません。

96:
20/02/02 23:57:14.88 mBdy+u7t.net
前 >>80
>>54の前半と、
>>61で最小値あってるよね？

97:１３２人目の素数さん
20/02/03 00:02:55.43 QjeNGJ5C.net
あってない。
もう諦めよう。

98:１３２人目の素数さん
20/02/03 00:06:49.92 ofWvSfGK.net
ちなみにウソだと思うなら2007 東工大 AO入試で検索してみるといい。
山ほど5+10/√3出てくるから。
これだけ時間かけてまだダメならもう無理でしょう。

99:イナ
20/02/03 00:20:33.82 avp8Qlns.net
前 >>96
10.7735秒より10.735秒のほうが速い。

100:１３２人目の素数さん
20/02/03 00:40:08 n+PD/BkY.net
じゃあよかったじゃん。
おめでとう。
じゃあネット中に転がってる解答は全部間違ってるんだね。
すげーじゃん。イナ。
世間に転がってる解答の上を行ったんだね。

101: 【大吉】
20/02/03 00:

102:59:37 ID:avp8Qlns.net

103:１３２人目の素数さん
20/02/03 01:14:14 mN5A/Qik.net
うん、諦めが肝心。

104:１３２人目の素数さん
20/02/03 05:26:34.59 0LuwDr/b.net
>>93
ありがとうございます。
ｘ＝１０の平面（壁）から入水する場合にはｚ＝０の壁を通るルートとｙ＝０の壁を通るルートの二つがあるのを見逃していました。
そこを修正してみたら、
> opt$objective # 最短でも必要な秒数
[1] 11.74535
最も時間がかかる位置は
> (Scrit=opt$maximum*e) # 最遅点の座標Scritical = 対角線上距離×方向単位ベクトル
[1] 7.466237 7.466237 7.466237
入水する点はのいずれか
(6.541114, 6.541114,10)
(10, 6.541114,6.541114)
(6.541114,10, 6.541114)
とういう数字になりました。
まだ、別のバグがあるかもしれません。

105:１３２人目の素数さん
20/02/03 06:09:33.40 mpjDkD/V.net
解析解を求めようとしましたが、きれいに出そうもないので、最後はNSolveを使いました。結果は次です。
(x,x,0)、あるいは、(10,y,y)で、水中に進入して、(p,p,p)　へ向かったときに要する時間 t　が最大必要時間。ただし、
x= 4.4181491667177352242257646161...
y= 6.5411105380457743031791097544...
p= 7.4662212132535098497019158523...
t=11.7453528906822212444517842198...

106:１３２人目の素数さん
20/02/03 06:11:27.64 0LuwDr/b.net
>>101
入水角度
> asin(h/r)*180/pi # 理論値=60°
[1] 62.69019
になったから、数値解での誤差なのか、プログラムのバクの可能性も十分にあるな。

107:１３２人目の素数さん
20/02/03 06:19:48.79 0LuwDr/b.net
最適化のアルゴリズムをNelder-Mead法に変えて計算し直してみた。
> opt$objective # 最短でも必要な秒数
[1] 11.69816
> (Scrit=opt$maximum*e) # 最遅点の座標Scritical = 対角線上距離×方向単位ベクトル
[1] 7.43622 7.43622 7.43622
> sim(opt$maximum,print=T) # 最遅点に最速で到達する経路を表示
Z10 Y10 X10 : 11.69816
> (Jz=c(jmpz$par,Lz)) # 入水点の面z=10での座標
[1] 6.074329 6.855617 10.000000
この時の入水角度は
> asin(h/r)*180/pi # 理論値=60°
[1] 59.99515
理論値と近似した！
後は、出題者の解析解と一致しているかが楽しみ。

108:１３２人目の素数さん
20/02/03 06:33:56.89 0LuwDr/b.net
>>102
その数値だと入水角度がぴったり６０度になりました。
> x= 4.4181491667177352242257646161
> p= 7.4662212132535098497019158523
> Scrit=c(p,p,p)
> h=p
> J=c(x,x,0)
> r=dit(Scrit,J,1)
> asin(h/r)*180/pi
[1] 60

109:１３２人目の素数さん
20/02/03 06:57:23.52 0LuwDr/b.net
>>97
√3の小数表示から立方体プールの方に移ればいいじゃないの？
きれいな式での解は困難ということだから、計算が二次元プール以上に楽しめると思うんだけど。

110:１３２人目の素数さん
20/02/03 07:02:57.07 mpjDkD/V.net
>>105
>> > (Jz=c(jmpz$par,Lz)) # 入水点の面z=10での座標
>> [1] 6.074329 6.855617 10.000000
あれ、こんなところで、対称性の破れが、．．．
驚きました。手抜きすべきではありませんでした。
>>102　は取り下げます。

111:１３２人目の素数さん
20/02/03 07:04:51.54 mpjDkD/V.net
上記は
105 ではなく、>>104の間違いです。

112:１３２人目の素数さん
20/02/03 07:48:20.98 0LuwDr/b.net
>>107
対称性からいえば
Z=10の平面での入水点は
（6.074329 ,6.855617, 10)
（6.855617, 6.074329 ,10)
の二つがあることになり、
どちらを経由しても
所要時間は同じになりました（まあ、当然とでしょうけど）
> f(jmpz$par[1],jmpz$par[2])
[1] 11.698156288555285
> f(jmpz$par[2],jmpz$par[1])
[1] 11.698156288555285
>

113:１３２人目の素数さん
20/02/03 08:21:54.06 5QqjKgBu.net
理論値は
11.69815627019646153787418090069489267584187319472412254855
です。

114:１３２人目の素数さん
20/02/03 09:20:05.75 xmpWmdc0.net
ちなみに方程式は4次方程式なので手計算で答え出すのは大変ですが、wolfram先生にお願いすれば二重までの根号で出るようです。
方程式自体は簡単です。
むしろ難しいのは、方程式を立式する上で、二次元の場合なら当たり前で許してもらえる事が三次元ではそこまで当たり前に思えない事。
本問では所要時間最大になる点がx=y=z上にある事を示すのがやや難しい。
今のところ持ってる解法はあまり美しくない。

115:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/03 11:08:18 avp8Qlns.net
前>>99訂正。
前々>>97
前々の前>>94
>>54入水角度=57.465773447629°のときが最速とわかり、
>>61救出時間=10秒735371693

116:１３２人目の素数さん
20/02/03 11:42:45 MOGD/Do4.net
>>111
所要時間の式を偏微分して極値を出すのではないの？

117:１３２人目の素数さん
20/02/03 12:12:04 04w+XRU0.net
>>114
所要時間のなす関数は最大値を与える点で偏微分不可能です。
理由は二次元の場合と同じく、関数の定義にminが入るから。
明らかに無視できる経路を除いて最短経路になる候補が６個あり、所要時間=min{f1,f2,‥,f6}の形になる。
各々のfiは偏微分可能ですが、求める点はいずれのfiの極値にもなってはいません。
x=y=zに制限してもダメ。
手持ちの解答の方針としては
・まず６個に絞る。
・x=y=zに絞る。
・実質二個になる。
・min{f1,f2}の最大値は？
です。
６個に絞るのはめんどくさいだけ。
x=y=zに絞るところが手持ちの解はあまり綺麗でない。
以下は簡単。

118:１３２人目の素数さん
20/02/03 12:19:10 04w+XRU0.net
あ、ウソ言った。
・６個に絞る。
・実質２個に絞る。
・x=y=zに絞る
でした。
やってる事は東工大のと同じ。

119:１３２人目の素数さん
20/02/03 12:37:52.30 MOGD/Do4.net
>>114
個々のfをwolfram使って偏微分しようと思っていたけど無駄なんだな。
確かに自分のプログラムコードでもminを使っている。

120:１３２人目の素数さん
20/02/03 12:38:51.80 MOGD/Do4.net
>>112
話題は立方体に移っているよ。

121:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/03 15:59:52 avp8Qlns.net
前>>112
>>113偏微分。
それだと思う！
入水角度θと監視員が最初にいる地点から対角線上にある救出場所までの距離xという2つの変数がある。
xが一次だから解けたのかもしれない。

122:１３２人目の素数さん
20/02/03 16:24:28.58 Bd06CPXX.net
>>81
単純化のためp≧q≧rとし
経路a: (0,0,0) -> (x,y,0) -> (p,q,r)
経路b: (0,0,0) -> (0,y,z) -> (p,q,r)
経路c: (0,0,0) -> (x,0,z) -> (p,q,r)
とするとき、経路aの所要時間
t=√(x^2+y^2)/2+√((p-x)^2+(q-y)^2+r^2)
の極小値(∂t/∂x=0,∂t/∂y=0)を計算すると
t=(√(p^2+q^2)+√3 r)/2,
(x/p=y/q=1-r/(√3 √(p^2+q^2))のとき)
で、これは経路a～cで最も小さい。
この所要時間はp=q=rのとき最大となり
t=((√2+√3)/2)p ----(1)
経路d: (0,0,0) -> (10,y,z) -> (p,q,r)
経路e: (0,0,0) -> (x,10,z) -> (p,q,r)
経路f: (0,0,0) -> (x,y,10) -> (p,q,r)
とするとき、経路aの所要時間
t=√((10+y)^2+z^2)/2 + √((10-p)^2+(q-y)^2+(r-z)^2), (y<zのとき)
t=√(y^2+(10+z)^2)/2 + √((10-p)^2+(q-y)^2+(r-z)^2), (y≧zのとき)
の極小値(∂t/∂x=0,∂t/∂y=0)を計算すると
t=(√3 (10-p)+√(q^2+(10+r)^2))/2,
((q-y)/y=(r-z)/(10+z)=(10-p)/(-(10-p)+√3 √((10+q)^2+r^2))のとき)
で、これは経路d～fで最も小さい。
この所要時間はp=q=rのとき最大となり
t=(√3 (10-p)+√(p^2+(10+p)^2))/2 ----(2)
(1)(2)を連立させて
√(p^2+(10+p)^2)=(√2+2√3)p-10√3
これを解くと
p=(5/6)(15-4√6+√(249-96√6))
のとき
t=(5/12)(3+√6)(5√3-4√2+√(83-32√6))
=11.69815627...

123:１３２人目の素数さん
20/02/03 17:22:13.38 lGSYI3JC.net
>>119
(1)(2)を連立させての意味が直ぐには理解できなかったのでグラフにしてみました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

124:１３２人目の素数さん
20/02/03 19:21:36 lGSYI3JC.net
wolframに

local minimum sqrt(x^2+y^2)/2+sqrt((p-x)^2+(q-y)^2+r^2) where 0<x<10 and 0<y<10

local minimum sqrt((10+y)^2+z^2)/2 + sqrt((10-p)^2+(q-y)^2+(r-z)^2) where 0<y<10 and 0<z<10 and y<z

local minimum sqrt(y^2+(10+z)^2)/2 + sqrt((10-p)^2+(q-y)^2+(r-z)^2) where 0<y<10 and 0<z<10 and y>=z

を入力したけど、どれも上手くいかなかった。

125:１３２人目の素数さん
20/02/03 19:29:46 lGSYI3JC.net
所要時間はp=q=rのとき最大　というのが私には明らかでないので

座標をいれたら所要時間を計算する関数sim2を作ってコンピュータに最大値を探索させてみた。
探索を始める初期値によって収束しないこともあるので初期値を乱数発生させて収束したら表示するように設定。

> while(opt$convergence!=0){ #　初期値を乱数発生させて収束するまで繰り返す
+ opt=optim(par=sample(0:10,3),sim2,control = list(fnscale=-1),method='N')
+ }
> opt
$par
[1] 7.436222 7.436221 7.436221

$value
[1] 11.69816

$counts
function gradient
308 NA

$convergence
[1] 0

$message
NULL

コンピュータでの探索値では収束したらp=q=rになった。

126:１３２人目の素数さん
20/02/03 19:38:43 Bd06CPXX.net
>>122
>所要時間はp=q=rのとき最大　というのが私には明らかでないので
pを固定させてq,rをp≧q≧rの範囲で動かすことを考える。
このとき、所要時間はqまたはrの単調増加関数だから明らか。

127:１３２人目の素数さん
20/02/03 21:19:57 lGSYI3JC.net
>>123
立方体でなくて直方体のときも所要時間最大の点は
原点と最遠の頂点を結ぶ線上にあるのかな？

128:１３２人目の素数さん
20/02/03 21:54:52.14 lGSYI3JC.net
数値を変えて
オリンピックサイズ・プール50m×25mの水の入ったプールの一つの角に監視員を置く。
水深2.5mとする。
この監視員は世界記録で移動するものとする。
水泳100m自由形 46秒91で水中を移動
陸上100m9秒58でプールを囲む面を」移動
この監視員がプールのどこへでも到達しうるには，最短で何秒必要か計算せよ。
をやってみたけど、最遠の頂点が一番時間がかかるという結果になったので面白みがなかった。
ただ、所要時間最大点はこの頂点と原点を結ぶ線上にあるという前提でのプログラムなので結果には自信がない。

129:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/03 22:59:09 avp8Qlns.net
微分して極値を与える角度と距離だと思うんだよ。
／∥__`∥￣￣∥;;;;;;
∥∩∩ ∥ □ ∥;;;;;;
（(-_-)∥　　∥;;;;;;
（っ⌒⌒　　｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~　∥╂─╂
＼■υυ■___∥､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`前>>118＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼

130:１３２人目の素数さん
20/02/03 23:19:00 SKsq1rTN.net
>>125
> 水深2.5mとする。
この情報いる？

それはともかく、対角までの時間は、
75*0.0958=7.185
で、例えばプールの中心までは
(25-12.5tan(asin(9.58/46.91)))*0.0958+12.5cos(asin(9.58/46.91))*0.4691≒7.88
じゃないの？

> 所要時間最大点はこの頂点と原点を結ぶ線上にあるという前提
そんな根拠はない、というか間違いだろう
ぱっと考えられるのが、対角の2等分線上が考え付くが、それを採用するにも根拠がいる

131:１３２人目の素数さん
20/02/03 23:19:19 to5eQB6u.net
陸上の速度をv、水中の速度をwとし、m=w/√(v^2-w^2)とする。
プールを0<x<a、0<y<bとする。
辺y=0から入水してt秒後に到達できる領域はmx+y≦mvt、
辺x=0から入水してt秒後に到達できる領域はmy+x≦mvt、
辺y=bから入水してt秒後に到達できる領域は-y+mx≦-b+mvt、
辺x=aから入水してt秒後に到達できる領域は-x+my≦-a+mvt
である。
方程式
mx+y=mvt‥?、my+x=mvt‥?、
-y+mx=-b+mvt‥?、-x+my≦-a+mvt‥?
において
???を連立して得られるtをt1、
???を連立して得られるtをt2とすれば到達時刻の最大値はmin{t1,t2}である。

132: 【大吉】
20/02/04 00:08:14 +IjSdzOF.net
前>>126
>>54修正。
向こう側の縁からθの角度で飛びこんだ監視員が泳ぐ時間は、
(10-x/√2)/sinθ(秒)

表記ミスがあった。計算が間違ってなければいいんだけど。

133:１３２人目の素数さん
20/02/04 03:29:19 W/1szoPy.net
>>127
z軸もあるから水深は必要。

134:１３２人目の素数さん
20/02/04 03:33:34 W/1szoPy.net
>>123
経路 a のt をqで偏微分すると
(q - y)/√((p - x)^2 + (q - y)^2 + r^2)
増加関数と言いるんだろうか？

135:１３２人目の素数さん
20/02/04 04:18:31.12 LNHsvcqa.net
>>131
そっちじゃなくて、tの極小値のほう
t=(√(p^2+q^2)+√3 r)/2,
これは明らかにqまたはrの増加関数

136:１３２人目の素数さん
20/02/04 05:36:20 W/1szoPy.net
>>127
立体だと複雑になるので平面で考えて

横２０ｍ縦１０ｍのプールで陸上速度毎秒２ｍ、水中速度毎秒１ｍで１５．５秒で到達できる範囲を描画してみました。

URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

ご指摘の通り、対角線上に所要到達時間最大点があるというのは間違いであると確認できました。

137:１３２人目の素数さん
20/02/04 05:49:23 W/1szoPy.net
>>133
すいません、プログラムにバグを発見したので撤回します。m(__)m

138:１３２人目の素数さん
20/02/04 06:22:55.67 W/1szoPy.net
気づいたバグを修正して長方形プールで描画しました。
対角線と対角二等分線をあわせて描画しました。

横２０ｍ縦３０ｍのプールで陸上速度毎秒２ｍ、水中速度毎秒１ｍで２６秒で到達できる範囲
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
横３０ｍ縦２０ｍのプールで陸上速度毎秒２ｍ、水中速度毎秒１ｍで２６秒で到達できる範囲
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
>127の直感通り、対角の２等分線上に所要時間最頂点が位置するようです。

139:１３２人目の素数さん
20/02/04 06:27:09.62 W/1szoPy.net
>>132
レスありがとうございます。
立法体なのでp≧q≧rという仮定が許されるということと理解しました。

140:１３２人目の素数さん
20/02/04 07:24:13 W/1szoPy.net
>81の問題を立方体から直方体に拡張して考えてみた。

オリンピックサイズ・プール50m×25mで水深2.5mの水の入った直方体プールの一つの角に監視員を置く。

この監視員は世界記録で直方体の面上や水中を移動するものとする。
水泳100m自由形 46秒91で水中を移動
陸上100m9秒58でプールを囲む面を」移動
この監視員がプールのどこへでも到達しうるには，最短で何秒必要か計算せよ。

立方体でなくて直方体のときには、所要時間最大の点は原点と最遠の頂点を結ぶ線上にはない、ということを教えていただいたのでプログラムを組み直した。

所要時間最大点の座標
par
[1] 49.980916 24.788643 2.288643

所要時間
$value
[1] 5.552414

という数値がでてきた。

141:１３２人目の素数さん
20/02/04 07:48:42 W/1szoPy.net
探索初期値設定により、結果がばらつくけど

多数派意見(？）は

> opt
$par
[1] 49.06521 23.86881 1.36881

$value
[1] 5.855706

$counts
function gradient
256 NA

$convergence
[1] 0

$message
NULL
になった。

確かに、この方が到達時間が長い。

142:１３２人目の素数さん
20/02/04 10:56:49 3+QKrfHh.net
>>128
??の交点が頂点(a,b)にある角の二等分線上lなのでt1での???の交点もt2での???の交点もl上。
よくよく考えたらt1=t2だった。

143:１３２人目の素数さん
20/02/04 11:21:43 3+QKrfHh.net
>>139
ウソ書いた。
a,bの大小とt1,t2の大小は一致するでした。

144:イナ
20/02/04 11:44:43.02 +IjSdzOF.net
前 >>129問題(前スレ760)
向こう側の縁からθの角度で飛びこんだ監視員が泳ぐ時間は、
(10-x/√2)/sinθ(秒)
突き当たりを直角に曲がって飛びこむまでの時間は、
{10-(10-x/√2)(1+1/cosθ)}(1/2)
=5-(5-x/2√2)(1+1/cosθ)
=-5/cosθ+x/2cosθ√2+x/2√2(秒)
これらと最初のコーナーまでの5秒を足すと救出時間は、
(1/sinθ)(10-x/√2)-(1/2cosθ)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
微分すると、
-1/sinθ√2+1/2cosθ√2+1/2√2=0
-2/sinθ+1/cosθ+1=0
-2cosθ+sinθ+sinθcosθ=0
(2-sinθ)cosθ=sinθ
cosθ=sinθ/(2-sinθ)
sin^2θ+{sinθ/(2-sinθ)}^2=1
sin^2θ(2-sinθ)^2+sin^2θ=(2-sinθ)^2
4sin^2θ-4sin^3θ+sin^4θ+sin^2θ=4-4sin^2θ+sin^4θ
4sin^3θ-9sin^2θ+4=0
sin^3θ-(3sinθ/2)^2+1=0
sin^3θ+1=(3sinθ/2)^2
3sinθ/2-√(sin^3θ+1)=0になるθを探すと、
θ=57.465773447629°のとき、
(3/2)(sin57.465773447629°)-√((sin57.465773447629°)^3+1)=0となり極小値を与える。
すなわち向こう側の縁から57.465773447629°の方向に飛びこむと最速で救出できる。
監視員が最初にいるコーナーの対角コーナーから、泳ぐ経路に引いた垂線が、向こう側の縁となす角は、
90°-57.46773447629°=32.53226552371°
対角線となす角は、
45°-32.53226552371°=12.46773447629°
監視員が10秒過ぎてから救出地点に達するまでに泳いだ時間t(秒)または距離t(m)は、
(10√2-10-t)sin12.465773447629°=t
(10√2-10)sin12.465773447629°=t+tsin12.465773447629°
t=(10√2-10)sin12.465773447629°/(1+sin12.465773447629°)
=0.735371693
到達時間10+t=10.735371693(秒)

145:１３２人目の素数さん
20/02/04 12:03:49.77 3+QKrfHh.net
xで微分してそれが0になるθ探してどーするん？
微分の意味がまるで分かってない。
結局意味もわからずやり方だけ覚えたらいいと思ってるから一つも前進しない。

146:イナ
20/02/04 12:39:12.69 +IjSdzOF.net
前 >>141問題(前スレ760)再考察。
救出する最遠方地点は監視員が最初にいる位置から対角線上x(m)にあると見て、向こう側の縁からθの角度で飛びこんだ監視員が泳ぐ時間は、
(10-x/√2)/sinθ(秒)
突き当たりを直角に曲がって飛びこむまでの時間は、
{10-(10-x/√2)(1+1/cosθ)}(1/2)
=5-(5-x/2√2)(1+1/cosθ)
=-5/cosθ+x/2cosθ√2+x/2√2(秒)
これらと最初のコーナーまでの5秒を足すと救出時間は、
(1/sinθ)(10-x/√2)-(1/2cosθ)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
xで微分し、
-1/sinθ√2+1/2cosθ√2+1/2√2=0とすると、
-2/sinθ+1/cosθ+1=0
-2cosθ+sinθ+sinθcosθ=0
(2-sinθ)cosθ=sinθ
cosθ=sinθ/(2-sinθ)
sin^2θ+{sinθ/(2-sinθ)}^2=1
sin^2θ(2-sinθ)^2+sin^2θ=(2-sinθ)^2
4sin^2θ-4sin^3θ+sin^4θ+sin^2θ=4-4sin^2θ+sin^4θ
4sin^3θ-9sin^2θ+4=0
sin^3θ-(3sinθ/2)^2+1=0
sin^3θ+1=(3sinθ/2)^2
3sinθ/2-√(sin^3θ+1)=0になるθを探すと、
θ=57.465773447629°のとき、
(3/2)(sin57.465773447629°)-√{(sin57.465773447629°)^3+1}=0となり極小値を与える。
すなわち向こう側の縁から57.465773447629°の方向に飛びこむと最速で救出できる。
監視員が最初にいるコーナーの対角コーナーから、泳ぐ経路に引いた垂線が、向こう側の縁となす角は、
90°-57.46773447629°=32.53226552371°
対角線となす角は、
45°-32.53226552371°=12.46773447629°
監視員が10秒過ぎてから救出地点に達するまでに泳いだ時間t(秒)または距離t(m)は、
(10√2-10-t)sin12.465773447629°=t
(10√2-10)sin12.465773447629°=t+tsin12.465773447629°
t=(10√2-10)sin12.465773447629°/(1+sin12.465773447629°)
=0.735371693
到達時間10+t=10.735371693(秒)

147:１３２人目の素数さん
20/02/04 12:54:31.79 VWzue31P.net
>>143
直前のレス読んでるか？
xで微分してそれが0になるところ求めてどーするん？
それで何で所要時間が最小になるθが見つかるの？
微分というのが何か？
それで何故最小値が求まるのかという当たり前の理屈が分かってないから答えられないんだよ。
何度も解答見直した？
xで微分した。
＝0としてθについて解いた。
あれ？なんでコレで答え見つかるんだっけ？と自分に問い直してみないの？

148:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/04 13:38:50 +IjSdzOF.net
前>>143
>>144前スレ760を見たら、なんで答えがみつかるかを説明せよとは問われてない。
ただ最短となる時間を計算せよとある。
だから計算した。そんなけ。AO入試ってなんだ？　と思って調べたら、論文みたいだった。答えはこうじゃないかああじゃないかと思案検討し計算する姿勢が求められてるんじゃないかと思う。
なんでxで微分して答えがみつかるか知りたい気もするし、べつに知りたくない気もする。
入水角度が60°のときも計算した。60°のときは計算しやすいけど最短でということでは角度が甘いと思った。

149:１３２人目の素数さん
20/02/04 13:51:00 3+QKrfHh.net
>>145
なんで答えが微分でもとまるか書けといわれてないから書かなくていい、分かってなくていいって思ってるからいつまで経ってもデキフるようにだけならないんだよ。
思案検討ってなんで微分したら答えがわかるという事は思案したの？
してないよね？
なーんにも考えてないよね？
なんとなく最小値求める時は微分。
でもθで微分なんてできない。
よーしxで微分してみよう！
おぉできた。
60°っぽいぞ！
きっとみんなの答えより正確なハズだ！
カッコいい！オレ！
‥‥
そういうのは思案とはいわん。

150:１３２人目の素数さん
20/02/04 14:42:24.87 VWzue31P.net
>>81です。>>119さんの解答がほぼ用意してた解答です。
ひとつだけコメント。
たとえば経路a: (0,0,0) -> (x,y,0) -> (p,q,r)において(x,y,0)についての極小値の出し方なのですが、
これは距離関数d(A,P)のPについての全微分が
d d(A,P)=e(A,P) dP (e(A,P)はAPベクトルと同じ向きの単位ベクトル、以下同じ）
になることを用いると意味がはっきりします。
この時の所要時間Tは(p,q,r)をAとおいて陸上の速度をv、水中の速度をwとして
T = d(O,P)/v + d(A,P)/w
なので
dT = (e(O,P)/v + e(A,P)/w)dP
となります。
これが任意のz=０内のdPについて0になるのはe(OP)/v + e(A,P)/wがxy平面の法線ベクトルと平行になるときで、
すなわちe(OP)/v + e(A,P)/wのxy平面への射影が0になるときです。
これはAxyから平面へおろした垂線の足HがOPの外分点であり、
かつe(A,P)をxy平面へ射影したものの長さがw/v=1/2となるとき、すなわち∠APHが60°となるときです。
よってこの場合PはHからOの方向へPH/√3だけ移動した点なので
f1(p,q,r)=(√(p^2+q^2)-r/√3)/2 + 2r/√3/1 = √(p^2+q^2)/2 + √3/2r
が経路aの極小値です。
経路b,cは文字入れ替えるだけ、経路dについては同様に考えて
f4(p,q,r)=√((10+q)^2+r^2)/2 + √3/2(10-p)
となります。

151:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/04 15:38:31 +IjSdzOF.net
前>>145
>>146困ったら微分。
それしかない。
60°のときを考えるのはだれでもする。けどそのまま答えは60°のときとするのは高校生まで。
大人は困ったら微分する。
60°のときじゃない、と思ってθと置いたわけで、苦しんで微分するために置いたんじゃない。
未知数xの方程式を微分して極値を与える角度θを出したら60°になるよりちょっと手前で入水したらいいとわかった。問題ない。

152:１３２人目の素数さん
20/02/04 16:10:36 3+QKrfHh.net
>>148
ちょっと確認させて欲しい。

> 未知数xの方程式を微分して極値を与える角度θを出したら60°になるよりちょっと手前で入水したらいいとわかった。問題ない。

コレは本気で書いてるのか、それともココで引き下がったらレスバに負けるから間違ってるの承知でむりくり押し通してやろうと考えてるのかどっち？
もしかしてxで微分してもいいと本気で思ってるん？
xで微分しようがθで微分しようが好きな方で微分していいと本気で思ってるの？

153:イナ
20/02/04 17:11:43.29 +IjSdzOF.net
前 >>148
>>149どうやって解いたんだ？　と思って解きなおしたら何度やっても解けなくて、計算間違いかなぁと思ってあきらめかけた。
計算間違いじゃなくxで微分して極小値を与える角度θを出したんだとわかった。
一度はやろうとしたxとθの両方で微分するとどうなるか、またθで微分するとどうなるか、ぜひやってみてほしい。
xで微分して極小値を与える角度θを出して救出時間を出したのはまだ俺だけだと思う。今のところ正しいかどうか比べるものがない。なぜかみんな三次元がいいとか言って潜水してしまって、無人島にいる感じ。入水角度θ=60°のときより速いことは調べた。

154:１３２人目の素数さん
20/02/04 17:27:27.89 3+QKrfHh.net
>>150
だからxで微分しても正しい答えはでないと何度も指摘してるじゃん？
入水角が60°でない経路は最小にはなり得ません。
もし本気で出てる答え5+10/√3より小さい答えが出たと言い張るなら既出の答えの最小到達時間が最大になる点
(5(1+1/√3),5(1+1/√3))
=(7.886751345948, 7.886751345948)
に
5+10/√3 = 10.773502691896
より先に到達できる経路を明示しないとダメ。
わかる？明示？
要するにx=x.xxx‥の地点から入水したら10.77350‥より早く到達できるというx.xxx‥を一つでも見つければいい。
まぁやってごらんなさいな。

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