分からない問題はここに書いてね457

分からない問題はここに書いてね457 at MATH

[前50を表示]
200:
20/01/03 10:47:26.48 /G0ULS+T.net
双曲線のときは交点の全体のなす軌跡は準円全体の一部分のはず。

201:１３２人目の素数さん
20/01/03 11:16:53.93 JNYSFkbz.net
楕円の準円なんてあるのか知らんかった。
ググったら無限大の楕円に近づけると放物線の準線に一致するらしい。

202:１３２人目の素数さん
20/01/03 14:01:36 JCy8aH4a.net
おもしれーじゃん

203:１３２人目の素数さん
20/01/03 16:45:32.22 JNYSFkbz.net
三角形ABCの内部の点P、直線APとBCの交点をD、直線CPとABの交点をFとする。
４点BFPDが同一円周上にあるという条件を満たしながら点Pが動くときどのような曲線を描くか？

204:１３２人目の素数さん
20/01/03 21:21:04.44 6JabC2Su.net
n次正方行列A,Bに対して、AB=IならAB=BA=I？

205:
20/01/03 21:27:19.52 /G0ULS+T.net
>>196
行列環では
右可逆→両側可逆→右逆元＝左逆元

206:１３２人目の素数さん
20/01/03 21:53:40.24 NwBa1xf3.net
3n人を、三つの部屋へn人ずつ振り分ける問題で最後の二人が同部屋になる確率ですが、次の式で場合数が求められます。
216^n-12 Sum[C[n-1+i+j,n-1]C[i+j,i]C[2n-2-i-j,n-1-i] 18^n (2/3)^(i+j),{i,0,n-1},{j,0,n-1}]
{n,上の値,確率(20桁で近似表示)}　(確率は6^3nで割る)
{{1, 0, 0}, {2, 18144, 0.38888888888888888889}, {3, 5209920, 0.51697530864197530864}, {4, 1277358336, 0.58681031854900167657},
{5, 297406930176, 0.63253174799742586665}, {6, 67589314735104, 0.66551145699851912065}, {7, 15153630372661248, 0.69078107623440557760},
{8, 3368802401881104384, 0.71096059209839126823}, {9, 744659248966899388416, 0.72756839875113198117},
{10, 163938283321351774519296, 0.74155415314679864909}, {11, 35983339833191982439956480, 0.75354676153215254988},
{12, 7880031805665022883287400448, 0.76398170131777257272}, {13, 1722560951214725128467380305920, 0.77317149277716051550},
{14, 376007509734863346448921970343936, 0.78134709670837789933}, {15, 81980202854724066591387792127819776, 0.78868343876259628398}}
>>117 の結果(私の投稿です)とn=8までは完全に一致しますが、n=9,10では微妙にずれています。
cの倍精度の有効数字は15桁位なので、n=8で19桁全てが一致している方が驚きですが、
扱っている数字が 2^10 の倍数ばかりのようなケースでは、起こりえることと考えられます。

207:１３２人目の素数さん
20/01/03 23:56:26.00 ZSWMjSF9.net
零行列でない3次正方行列Aと、3次のベクトルvが与えられている。
いまAv=pとし、3次のベクトルxを用いて内積x・pを所望の値rにしたい。
このときxをrと、A,vの成分を用いて表わせ。

208:１３２人目の素数さん
20/01/04 00:16:36.54 57F64B8O.net
>>197
ユニタリ行列は
†g g = E を満たすg全体のこと
と習ったのですが、講義の中で当然のように†g g = g †g = Eが使われていたので疑問に思いました
学部1年の初学者の質問ですがよろしくお願いします…変なこと言ってたらすみません

209:１３２人目の素数さん
20/01/04 01:46:57.42 91U8H0Lr.net
>>196
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
定理[4.1]
「n次正方行列Aに対し、XA=I となるn次行列Xが存在すれば Aは正則である。
　AX=I となるXの存在を仮定しても同様である。」
ここでAが正則とは、XA=XA=I となるn次行列Xが存在することである。
このようなXをAの逆行列と言う。(p.41)
・齋藤正彦：「線型代数入門」東京大学出版会 (1966)　p.48-49
証明は行列の基本変形を利用しています。
(Nandayer氏の回答)
BX=I なるXつまりBの右逆元が存在すれば
　BA = (BA)I = (BA)(BX) = B(AB)X = BIX = BX = I,
(b_black氏の回答)

210:１３２人目の素数さん
20/01/04 02:10:37.55 57F64B8O.net
なるほど、Aが正則であればAB=I⇒BA=Iが真であることは言えるが、「Aの逆行列の定義はAB=IなるB、というだけで十分」は偽ですかね
Aの正則性を仮定すればAB=IとしてA=IA=A(BA)で、Aは正則だからBA=Iとできるということでしょうか

211:１３２人目の素数さん
20/01/04 02:12:42.77 57F64B8O.net
だいたい理解出来ました、ありがとうございます
ユニタリ行列の定義を厳密に理解していなかったのが問題でした
｛g∈GL(R)┃†gg=I｝のGL(R)の部分が重要だったんですね、gが正方行列全体を動くものと思ってました

212:１３２人目の素数さん
20/01/04 02:24:00.53 91U8H0Lr.net
>>201　訂正
ここでAが正則とは、XA=AX=I となるn次行列Xが存在することである。

213:１３２人目の素数さん
20/01/04 02:39:51.15 h3plC6DE.net
>>202
AB=I⇒BA=Iが真であることが言えれば、
Aに対してAB=IとなるBは（それが存在すれば）一意であることが言える。(*)
よって「Aの逆行列の定義はAB=IなるB」というだけで十分。
(*) AB=AC=Iを仮定する。このとき、BA=Iであるから、C=(BA)C=B(AC)=B(AB)=B。

214:１３２人目の素数さん
20/01/04 02:51:06.29 57F64B8O.net
>>205
逆元の一意性はこれで保証されるわけですね、なるほど

215:１３２人目の素数さん
20/01/04 02:53:42.03 57F64B8O.net
ん？Aが正則である、の定義はAB=IなるBが存在すること、だけで十分なんですか？左右から確かめないといけないと習ったのですが

216:１３２人目の素数さん
20/01/04 02:54:40.10 91U8H0Lr.net
>>203
　g ∈ U(n) ⊂ GL(n,C)　　( |det(g)| = 1 )　かと思いましたが・・・・
いずれにせよ、定理[4.1] は底体であるRやCが両側逆元をもつことに基づいています。

217:１３２人目の素数さん
20/01/04 03:02:43.66 rje/x3lc.net
>>203
正方行列Aについて
1. ランクやら行列式やらの同値条件で

218:考えれば明らかにAが正則⇔AB=IなるBが存在 2. AB=Iとすると1.によりAは正則だからXA=AX=IなるXが存在する 3. 特にAB=AXだから、>>205の(*)よりB=X 4. したがってAB=I⇒BA=I 5. 同様にしてBA=I⇒AB=Iも示される

219:１３２人目の素数さん
20/01/04 03:11:57.69 57F64B8O.net
完全に理解しました…。
det(AB)=detIとすればAの正則性が分かるのでAB=IなるBが存在、しかもそのようなBは一意的
あとは式変形でBA=Iが言えて逆も同様
正方行列Aの正則性の定義にはAB=IなるBの存在だけで十分、というわけですか
ばかな質問失礼しました、ありがとうございます…。

220:１３２人目の素数さん
20/01/04 03:53:06.20 jeNf4A2/.net
>>189
どなたかこの問題をお願いします。

221:１３２人目の素数さん
20/01/04 05:42:43.70 OE5Ws6/k.net
>>201
>BX=I なるXつまりBの右逆元が存在すれば
>　BA = (BA)I = (BA)(BX) = B(AB)X = BIX = BX = I,
?

222:１３２人目の素数さん
20/01/04 06:07:12.92 t4ltaTw2.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
なぜ指数に合わせるのか分かりませぬ

223:１３２人目の素数さん
20/01/04 06:19:02 j6MZVtua.net
662751611445166080

(？)
662751659365089280
662751751270580224
662751791066226688
規則性がある数列で？の中の数字を求める問題なのですが分かりません教えて頂ける方いませんか

224:哀れな素人
20/01/04 08:43:36.13 CnhWcJ/y.net
>>195
Ａから下ろした垂線の足をh1、Ｃから下ろした垂線の足をh2とし、垂心をｈとする。
まず、ｈは明らかにＰの条件を満たす。
なぜなら∠Ｆ＝∠Ｄ＝直角だから、Ｆ、ＤはＢＰを直径とする円周上にある。
次に、４点が同一円周上にあるためには、∠Ｆと∠Ｄが補角になっていればよい。
そのためには△ＡＤh1と△ＣＦh2が相似であればよい。
ゆえに、そのようにＤとＦを取り、交点Ｐを作図していく。
そして△ＡＢh1と△ＣＥh2が相似になるような点Ｅまで、その作業を続ける。
同様に△ＡＣh1と△ＣＧh2が相似になるように点Ｇを取り、
上と同様の作業を続ける。
そうするとＰの軌跡はＥ、ｈ、Ｃを通る曲線（おそらく円弧）になる。
ちなみに△ＡＢＣと△ＣＥＧは相似である。

225:１３２人目の素数さん
20/01/04 08:59:59.76 OE5Ws6/k.net
>>213
4x^2=(?)^2

226:哀れな素人
20/01/04 17:06:57.83 CnhWcJ/y.net
>>215の続き
Ｅ、ｈ、Ｃを通る曲線が円弧になる理由が分った。
４点が同一円周上にあるということは、
∠Ｐが∠Ｂと補角の関係を保ったまま動くということである。
ところでＰが△ＡＢＣの外接円の円弧上をＡからＣまで動くなら、
円周角の定理により、∠Ｐは∠Ｂと補角の関係を保ったまま動く。
そしてＰが、円弧ＡＣと（弦ＡＣと）線対称な円弧上を動いても、
∠Ｐは∠Ｂと補角の関係を保つ。
なぜなら、その線対称な円弧は、△ＡＢＣの外接円と同じ半径の円の円弧だから、
その円弧上の∠Ｐの補角は、∠Ｂと等しいからである。
ゆえに∠Ｂと補角の関係を保ったまま動くＰは、
△ＡＢＣの外接円と同じ半径の円の円弧上を動いているのだから、
Ｐの軌跡は円弧になる。
その円弧の円は△ＡＢＣの外接円と同じ半径の円であり、
その中心は、ＡＣの垂直二等分線とＥＣの垂直二等分線の交点にある。
ちなみに△ＣＥＢはＣを頂点とする二等辺三角形である。
つまりＥの作図は簡単。

227:１３２人目の素数さん
20/01/04 18:06:42.37 jeNf4A2/.net
5次方程式
x^5-5x^4+10x^3+9x^2+kx+1=0
が非負整数p,qを用いてp+qi,p-qiの形で表される2解を持つという（2解は重複してよい）。
整数kの取りうる値を求めよ。

228:!omikuji !dama
20/01/04 21:36:48 Dx7yXHIU.net
円弧にはならん

229:１３２人目の素数さん
20/01/04 22:06:25.00 jeNf4A2/.net
（1）2020年のある日から3ヶ月間の日数が以下のようになることはあるか。
ただしある日（A月B日）から3ヶ月間とは、(A+3)月(B-1)日までの期間を指す。B=1の場合は、代わりに(A+2)月の最終日を期間の最後とする。
(i)88日
(ii)89日
(iii)90日
（2）2020年のある日から20ヶ月間の日数としてあり得

230:る値をすべて求めよ。

231:１３２人目の素数さん
20/01/04 22:57:52.67 Dx7yXHIU.net
つくづく思うのはやっぱり受験数学ってやらなきゃ大学行けないって避けられない事情があるから成立するもんなんだなと。
こういうところでは問題自体に解いてみたいと思える魅力がないと全然解いてみる気がしない。

232:１３２人目の素数さん
20/01/05 00:27:47.54 WnBhQYbd.net
正の整数からなる空でない有限集合Sで以下の条件を満たすものをすべて求めよ。
(条件) 任意のSの異なる2元i, j に対して, (i+j)/gcd(i, j) もまたSの元となる。

233:
20/01/05 00:59:58.44 Cssr3MUc.net
前 >>182
>>195
∠ABCの二等分線が怪しい。

234:１３２人目の素数さん
20/01/05 02:11:03.41 4Lce69AQ.net
>>222
そのようなSがあったとしたら、互いに素な2数はSに属さない。
（互いに素な異なる正整数n,mに対してn+kmはmと互いに素だからn,m∈Sなら｛n+km┃k∈N｝⊂Sが帰納的に言えるのでSが有限集合であることに矛盾）

235:１３２人目の素数さん
20/01/05 02:11:19.32 4Lce69AQ.net
>>222
次に異なる正整数n,m∈Sで、n,mは互いに素でないとする。S∋s_1=(n+m)/gcd(n,m)＜max｛n,m｝は、gcd(n,m)≧2で、かつn≠mであることから明らか。同様にしてs_1とmin｛n,m｝からmax｛s_1, min｛n,m｝｝より小さいSの元s_2を生成できる。
これを繰り返せばいくらでも小さいSの元を生成できるから、最終的には1すなわち任意の正整数と互いに素な数が生まれてしまう。
（この操作で生成できる数には1より大きな下限(例えばmin｛n,m｝)があるように思えるが、実際には(下限)=(生成した数)となった時ただちに1が生成される）
したがって、そのようなSは存在しない。

236:１３２人目の素数さん
20/01/05 02:16:04.01 4Lce69AQ.net
>>222
もちろん、異なる2元を取ることができない｛1｝とか｛2｝はその性質を満たすと言えるが問題の本質ではないと思う。

237:１３２人目の素数さん
20/01/05 08:28:46.05 WnBhQYbd.net
>>225
>(n+m)/gcd(n,m)＜max｛n,m｝
ここが明らかでないかと

238:１３２人目の素数さん
20/01/05 08:32:20.12 WnBhQYbd.net
>>227はミス

239:１３２人目の素数さん
20/01/05 08:35:24.22 WnBhQYbd.net
>>225
s_1=min{n,m}の場合いくらでも小さいSの元は取れない

240:１３２人目の素数さん
20/01/05 09:00:05.32 fZULsj51.net
それ明らか。

241:１３２人目の素数さん
20/01/05 09:01:06.40 fZULsj51.net
おっと >>230は >>227宛

242:１３２人目の素数さん
20/01/05 09:07:01.70 WnBhQYbd.net
>>230
ごめんごめん >>228は自分のミスって意味で書いたんだけど >>225のミスを指摘したみたいになってしまった

243:１３２人目の素数さん
20/01/05 11:53:45.40 RODnhqX5.net
>>195 BC=a, AC=b , AB=c
AF/BF=x , BD/DC=y
BFPDが同一円周上 ⇔ AP*AD=AF*AB
計算すると
y=((a^2-b^2+c^2)x+(a^2-b^2))/((b^2-c^2)x+b^2)
ここからPの軌道を計算する方法がわからん。。

244:イナ
20/01/05 15:34:50.60 Cssr3MUc.net
前 >>223レスアンカーおかしい？
>>195問題。
>>233の(設定)で、
メネラウスの定理より、
(BC/CD)(DP/PA)(AF/FB)=1より、aDP=yPAx
AP/PD=a/xy
(BA/AF)(FP/PC)(CD/DB)=1より、cFPy=PC
FP/PC=1/cy
AP/PD=(FP/PC)(b+c)(a+b)/a
a/xy=(1/cy)(b+c)(a+b)/a
x=ca^2/(b+c)(a+b)
(AF/FB)(BC/CD)(DP/PA)=1より、
(1/x){(1+y)/y}(DP/PA)=1
(1/x){(1+y)/y}=a/(FP/PC)(b+c)(a+b)
(1/x)(1+y)=acy^2/(b+c)(a+b)
(1/x)(1+y)=acy^2/(b+c)(a+b)
(1+y)/xy^2=ac/(b+c)(a+b)
大文字を消してx,yとa,b,cに分けると、
(1+y)/xy^2(1+x)=(b+c)(a+b)/a
1+x=cだから同じ式。
1+y=aを代入し、
a/(c-1)(a-1)^2c=(b+c)(a+b)/a
a^2/(c-1)(a-1)^2c=(b+c)(a+b)
a^2=(b+c)c(c-1)(a+b)(a-1)^2

245:１３２人目の素数さん
20/01/05 15:55:26.75 RODnhqX5.net
>>234
x,yの定義が >>233と一致してないんじゃ？

246:１３２人目の素数さん
20/01/05 20:02:04.65 fZULsj51.net
>>195
ACと垂心Hのうち、三角形の内部にある点全体。

247:１３２人目の素数さん
20/01/05 20:05:57.69 fZULsj51.net
>>195
垂心をHとして三角形ACHの外接球のうち三角形ABCの内部。

248:１３２人目の素数さん
20/01/05 20:46:37.02 WnBhQYbd.net
>>195
円に内接する四角形の対角は等しいから
1)∠FBD+∠DPF=180°
対頂角は等しいので
2)∠DPF=∠APC
また
3)∠FBD=∠ABC
1,2,3より∠APC=180°-∠ABC=一定
円周角の定理の逆より,A,P,Cは同一円周上にある.
この円は垂心Hを通る(AD⊥BC, CF⊥ABの時を考えよ).
よってPの軌跡はA,H,Cを通る円弧AHC.

249:１３２人目の素数さん
20/01/05 20:55:41.49 WnBhQYbd.net
>>238
×円に内接する四角形の対角は等しいから
○円に内接する四角形の対角の和は180°に等しいから
×垂心H
○三角形ABCの垂心H

250:１３２人目の素数さん
20/01/05 21:06:35.12 f8qYOfhG.net
x=x(t)、x(0)=x(1)=0に対して定義された対称作用素Lx:=(d^2x)/(dt^2)の固有値、グリーン関数を求めよ
調べてもよくわからなかったので解法も書いて頂けると助かります

251:１３２人目の素数さん
20/01/05 21:10:29.01 RODnhqX5.net
>>238
なるほど。答え見ると中学生レベルの問題だった。。

252:１３２人目の素数さん
20/01/05 22:05:40.16 fZULsj51.net
>>240
ググってわかった範囲内での答え。
自信なし
固有関数はsin(πmx) (m:整数)
グリーン関数はH(x-t)(x-t)
ここにH(x-t)はヘビサイドの階段関数。
自信なし。
どうやって導出したかはわかんね。
代入してみれば成立はしてるみたい。

253:１３２人目の素数さん
20/01/05 23:14:10.54 WnBhQYbd.net
>>222
解の存在は示せるけど求めた解で尽くされてることが証明できない

254:１３２人目の素数さん
20/01/06 00:15:55.28 vFEyziZV.net
2元集合の解{a,b} (a<b)があるとしてd=(a,b)とおけばd≠1は既出。
∴(a+b)/d<b。∴(a+b)/d=a。∴a|b。∴d=a。
∴b=a^2-a。
さらにb≠aによりa>2。
逆にこの形の集合は条件をみたす。
3元以上の解があるとして小さい順にa<b<cをとる。
先と同様にしてb=a^2-a。
やはり同様にして(a+c)=(a,c)a or (a,c)bによりa|c。
∴c=a^3-a^2-a。
容易に(b,c)=aであるから(b+c)/(b,c)=a^2-2。
さらに先程同様にa>2であるが、このとき容易にa^3-a^2-a>a>a^2-a。
これはcが3番目に小さい事に反する。
よって3元以上持つ解はない。

255:１３２人目の素数さん
20/01/06 00:20:44.14 H7xQEsjS.net
>>218
どなたかこの問題をお願いします。

256:１３２人目の素数さん
20/01/06 00:21:00.71 Bpkl9Cm1.net
>>244
なるほど納得
ありがとう

257:１３２人目の素数さん
20/01/06 00:30:22.92 H7xQEsjS.net
>>218
x^5-5x^4+10x^3+9x^2+kx+1=0
(x-1)^5+19x^2+(k-5)x+2=0
x-1=tとおくと
t^5+19t^2+(k+33)t-k+26=0
これ以降が分かりません

258:１３２人目の素数さん
20/01/06 00:30:28.31 Bpkl9Cm1.net
>>244
Sの元の小さい方から3つ取ってa<b<cとしたときに
a<b<a^2-2<c (a>2)
となっちゃって矛盾ってのがミソなのね

259:１３２人目の素数さん
20/01/06 09:50:23.04 hxDeVhhw.net
>>195
△ABCの頂点Bを辺ACについて折り返した点をB'とする。
△AB'Cの外接円の△ABCの内部にある円弧が求める曲線

260:１３２人目の素数さん
20/01/06 14:16:16.23 H7xQEsjS.net
双曲線は適当な回転によって一次分数関数にできるのに、2次曲線なんですか？

261:１３２人目の素数さん
20/01/06 14:22:17.56 H7xQEsjS.net
周長がKである凸四角形ABCDの各辺上にそれぞれ点P,Q,R,Sをとり、四角形PQRSの周長をLとおく。
P,Q,R,Sを動かすとき、Lの最大値はK/2以上であることを示せ。

262:１３２人目の素数さん
20/01/06 14:25:53.17 g5QBq4Ak.net
明らかにL=Kのときがあるのになんじゃコレ？

263:１３２人目の素数さん
20/01/06 14:30:15.80 H7xQEsjS.net
センター模試です
3次曲線C:y=x^3-3x^2-xと直線y=xの交点で、点O(0,0)以外のものをすべて求めると（　ア　）である。
このうちx座標が正のものを点Aとし、直線OAとCとで囲まれる領域をDとすると、Dの面積は（　イ　）である。
また直線OAを、点Aのまわりに時計回りに30°回転させた直線Lの式は（　ウ　）である。
LとCとで囲まれる領域Eの面積は（　エ　）であり、Eを直線OAのまわりに一回転させてできる立体の体積は（　オ　）である。

264:１３２人目の素数さん
20/01/06 14:34:55.74 hxDeVhhw.net
>>250
xy=1　は二次式やん

265:１３２人目の素数さん
20/01/06 14:41:58.88 g5QBq4Ak.net
センターで回転体の体積は範囲外

266:１３２人目の素数さん
20/01/06 14:43:41.51 XBwVwm/i.net
>>242
ありがとうございます
もうちょい考えてみます……

267:１３２人目の素数さん
20/01/06 14:45:46.42 H7xQEsjS.net
>>254
マジか

268:１３２人目の素数さん
20/01/06 16:12:46.21 H7xQEsjS.net
O(0,0),A(1,√3),B(2,0)の△OABにおいて、辺OA上の点P(p,√3p)からOBに垂線を下ろし、その交点をHとする。
ただしPはOともAとも異なる点とする。
□PHBAを対角線AHのまわりに一回転させてできる立体の体積V_Pをpで表わせ。

269:１３２人目の素数さん
20/01/06 21:56:07.65 Tp8VUXvq.net
円周率が仮に有理数だと円の形って変わるんですか？

270:１３２人目の素数さん
20/01/06 22:20:21.63 faKX/pkd.net
仮定が偽なので命題は真になります

271:１３２人目の素数さん
20/01/06 23:50:10.70 H7xQEsjS.net
方程式
e^x=x^(ae)
の実数解の個数を求めよ。
ただしaは実定数、eは自然対数の底である。

272:１３２人目の素数さん
20/01/07 05:57:26.48 445tHi5x.net
どのような自然数m,n(1<m<n-1)に対しても、次の等式が成立しないことを証明せよ。
Σ[k=1,m] 1/k = Σ[k=m+1,n] 1/k

273:１３２人目の素数さん
20/01/07 06:05:15.02 ieeMtpuj.net
>>222
要素数2の場合は解があり、n≧3のとき有限集合{n, n(n-1)}は与条件を満たす。
要素数2の場合の解はこの形しかない。
∵集合S={A,B}が与条件を満たすとする。
n=gcd(A,B)とすると、A=a*n,B=b*nとなる正整数a,bがあり、かつgcd(a,b)=1である。
与条件より(A+B)/n=a+b∈{A,B}である。
a+b=Aの場合、b=a(n-1)より、bはaの倍数である。gcd(a,b)=1なので、a=1である。
よってA=n,B=n(n-1)である。
a+b=Bの場合、同様にA=n(n-1),B=nが言える。

274:哀れな素人
20/01/07 08:55:49 7k3PMZwU.net
円（正多角形）に近い方が周の長さは小さい。
だから例えば正方形に内接する正方形で、最も周長が小さいのは、
その正方形の各辺の中点で内接する正方形である。
なぜなら、その正方形に内接する図形で周長が最少なのは円であり、
円はその正方形の各辺の中点で内接するから。

だから、もし一次変換によっても周長の比は不変だとすれば、
ABCDに内接するPQRSで、その周長が最少なのは、
ABCDの各辺の中点で内接するPQRSである。
そしてABCDの対角線をａ、ｂとすると、
そのPQRSのLはL=a+bであり、これが最小のLである。

ところでKはa+bより大きいが2(a+b)より小さい。
ゆえにK<2(a+b)　ゆえにK/2<a+b(=最小のL)
最小のLでさえK/2より大きいのだから、Lの最大値はK/2より大きい。

275:１３２人目の素数さん
20/01/07 09:26:56.88 Tgq0BG0Z.net
>>251は明らかな出題ミスがあるのになに言ってんだか。

276:１３２人目の素数さん
20/01/07 10:43:51.32 iiuZP5bH.net
>>261
y=x/log(x)とy=aeの交点の数をみればいい。

277:イナ
20/01/07 12:52:40.34 +rGyGxy4.net
前 >>234
>>258
BからAHへの垂線をBQ、
AからBHへの垂線をARとすると、
△APR∽△BPQより、
PR:AR=PQ:BQ
(1-p):√3=q:r
=q:√{(2-p)^2-q^2}
3q^2=(1-p)^2{(2-p)^2-q^2}
3q^2+q^2(1-p)^2=(1-p)^2(2-p)^2
(p^2-2p+4)q^2=(1-p)^2(2-p)^2
q^2=(1-p)^2(2-p)^2/(p^2-2p+4)
V_P=(1/3)

278:πr^2･h =(π/3){(2-p)^2-q^2}√{(1-p)^2+(√3)^2} =(π/3){3q^2/(1-p)^2}√(p^2-2p+4) =πq^2√(p^2-2p+4)/(1-p)^2 =π(2-p)^2/√(p^2-2p+4)

279:１３２人目の素数さん
20/01/07 12:58:45.22 RHhskP9s.net
>>261
e^x=x^(ae)を
e^x/x^(ae)=1
x-aeln(x)=0
と変形してからやると楽
f(x)=x-aeln(x)
とおいてf(x)の増減を調べてやれば
a<0,a=0の時f(x)=0の実数解は1個
0<a<1の時は0個
a=1の時は1個
a>1の時は2個

280:哀れな素人
20/01/07 12:59:19.84 7k3PMZwU.net
>>264は単なる思い付きで書いたものだから、合っているかどうかは不明。
三角形に内接する楕円で面積最大なのはどれか、という問題で
始めて一次変換という語を知り、非常に感心した。
そこで >>251の問題に応用できないかと考えたのである。
一次変換によっても周長の比は不変かどうかは知らないし、
（たぶん不変ではないだろう）
中点で内接するPQRSが周長最小となるのかどうかも不明。
間違っていれば誰かが訂正してくれるだろうと思って書いたものである。

281:１３２人目の素数さん
20/01/07 17:25:55.30 GqQybqJx.net
一次変換は辺の比を変えないが
長さを変えない等長変換は回転、鏡映など特別なもの

282:１３２人目の素数さん
20/01/07 21:03:12.70 iiuZP5bH.net
>>268
x/elog(x)=a
左辺のグラフを書くと
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
a<0,a=0の時f(x)=0の実数解は1個
0<a<1の時は0個
a=1の時は1個
a>1の時は2個

283:哀れな素人
20/01/07 21:15:46.52 7k3PMZwU.net
誰かに悪口を書かれる前に書いておくと、>>264は明らかに間違いだと分った。
なぜなら、ABCDの短い方の対角線をａとすると、
Lはかぎりなく2aに近い値を取りうるから。
ゆえにLの取りうる値は2a＜L≦Kだから、>>251の問題は出題ミス。
それにしても三角形に内接する楕円で面積最大のものを
一次変換を利用して解くという方法には本当に感心した。
それによると、その楕円は三角形の三辺の中点で接していることも分る。

284:１３２人目の素数さん
20/01/07 22:44:58.51 FVKRhPCa.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
⑦なのですが、この正三角形の高さは2√3cmだと解説に書いてあります。
しかし、2√3は3枚目の画像だと赤ではなく青いところの高さではないのでしょうか？

285:１３２人目の素数さん
20/01/07 22:49:04.35 VVqu10ev.net
面が正三角形なんじゃなくて"立面"に映った影が正三角形なんでね？

286:１３２人目の素数さん
20/01/07 23:24:56 FVKRhPCa.net
>>274
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

ピンクではなく、青が正三角形みたいなイメージですか？

287:１３２人目の素数さん
20/01/07 23:49:37.76 VVqu10ev.net
多分

288:１３２人目の素数さん
20/01/08 02:15:56.34 inpfJNh6.net
>>261
ae=m (偶数≠0) のときは負の解もあるんぢゃね？
x = -m･W(1/m) < 0

289:１３２人目の素数さん
20/01/08 15:17:40.86 d+48ipEg.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
3x^2 + 2xy - y^2 - x +3y - 2
= 3x^2 + (2y - 1)x - y^2 + 3y - 2
この
- y^2 + 3y - 2
が
- (y^2 - 3y + 2)
になるのがわかりましぇん
足して+3 掛けて-2
になる数字がないので符号を変えるという意味がわかりましぇん

290:１３２人目の素数さん
20/01/08 15:18:22.72 d+48ipEg.net
画像の二本あるうちの上のマーカーは間違いです

291:１３２人目の素数さん
20/01/08 15:21:46.04 RaDdbhal.net
>>278
-1でくくったからカッコ内では符号が変わっただけだぞ

292:１３２人目の素数さん
20/01/08 15:41:05.74 d+48ipEg.net
>>280
-y^2が
-(y^2
のようにマイナスが左にシフトしたのでややこしかったです！なるほど。

293:１３２人目の素数さん
20/01/08 15:42:14.41 uIjCZhya.net
この問題がわかりません
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
問1はこれであってますか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

294:１３２人目の素数さん
20/01/08 18:27:30.01 tFAJeeVx.net
>>282
z=z

295:(x,y), x=x(t), y=y(t)の微分は dz/dt=(∂z/∂x)(dx/dt)+(∂z/∂y)(dy/dt) となる公式(連鎖律)を使います。 A1-(1)の場合、 dx/dt = -3cos^2t sint, dy/dt = 3sin^2t cost をこの連鎖律に代入して dz/dt = -3cos^2t sint (∂z/∂x) + 3sin^2t cost (∂z/∂y) が答えです。したがって、>>282 の解答は合っていません。 A2は以下の連鎖律 z=z(x,y), x=x(u,v), y=y(u,v)の微分は ∂z/∂u=(∂z/∂x)(∂x/∂u)+(∂z/∂y)(∂y/∂u), ∂z/∂v=(∂z/∂x)(∂x/∂v)+(∂z/∂y)(∂y/∂v) を使います。この問題は単に 1.偏微分の意味を知ってるかどうか? 2.連鎖律が使えるかどうか? を問う問題なので、”偏微分”と”連鎖律”をキーワードで検索するなりして学んでください。

296:１３２人目の素数さん
20/01/08 18:30:57.56 inpfJNh6.net
>>278
(2) xについて整理すると、
　　3x^2 + 2xy -y^2 -x +3y -2
　= 3x^2 + (2y-1)x - (y^2 -3y +2)
　= 3x^2 + {3(y-1)-(y-2)}x - (y-1)(y-2)
　= {x + (y-1)} {3x - (y-2)}
　= (x+y-1)(3x-y+2)

297:１３２人目の素数さん
20/01/08 18:46:44.07 hFTi11qY.net
これ極座標で解こうとして解けなくなってしまいました……
助けてください
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
c=cosθとします
求積したい立体のうち、xy座標の第一象限中にあり、
x軸を母線としてz軸反時計まわりに測った偏角が0≦θ～θ+dθ≦π/2の部分の微小体積dVについて、
お絵かきで描いたみたいな回転体の体積のdθ/2π倍で近似するとdθ→0でdV/dθ=(1/2π)*∫(0→1)π(1-z)(1+c^2)dz=(1/4)(1+c^2)
これをθ=0からπ/2まで積分して4倍すればOK、と考えたのですが全然答え合いません
微小体積の近似について挟み撃ちの原理で議論できるのでこれでOKと思ったんですが(偏角θの平面APQ上にある、Ctとxy平面で囲まれる部分の回転体の体積は、θが大きくなると明らかに単調に小さくなるから)
どこがおかしいでしょうか？
URLﾘﾝｸ(o.5ch.net)

298:１３２人目の素数さん
20/01/08 18:49:12.86 hFTi11qY.net
すいません、√1+c^2というのは
P(√2cosθ,sinθ,0)なのでOPの距離がそれということです

299:１３２人目の素数さん
20/01/08 19:05:08.67 ksGmeRWR.net
0≦z≦1-x^2の回転体の体積の2倍やん

300:１３２人目の素数さん
20/01/08 19:09:02.50 ksGmeRWR.net
>>286
y=tanθと楕円の交点はそれではない。

301:１３２人目の素数さん
20/01/08 19:18:30.59 hFTi11qY.net
>>287
ありがとうございます
解説読んだので縮小して円にして解くのとz=tで切るのは読みました
極座標でやってなぜ合わないのかわからなくておかしくなりそうなので何卒お願いします
なにかミスってるはずなんですが…

302:１３２人目の素数さん
20/01/08 19:37:59.52 hFTi11qY.net
>>288
お絵かきの図は偏角θの時のCtをxz平面上に来るように回転させたものという意味で書きました
そういうことではないですかね？
理解力が足りず申し訳ありません

303:１３２人目の素数さん
20/01/08 19:50:02.80 iCr7U2gn.net
sを1より大きい実定数とする。
以下の方程式を満たすf(x)を決定せよ。
∫[1,s] log|f(xy)|*f(x) dy = Ax+B

304:１３２人目の素数さん
20/01/08 20:01:16.23 tFAJeeVx.net
>>289
ちゃんと、z軸を稜線とする微小角度の”くさび型”を放物線で切った微小体積
（z軸からの距離の二乗の積分の1/2倍）を求めて積分した？

305:１３２人目の素数さん
20/01/08 20:06:37.44 hFTi11qY.net
>>292
放物線が段々小さくなっていく（θ1<θ2ならθ1の時の回転体はθ2の回転体をすっぽり覆い尽くす）ので
挟み撃ちの原理でdV/dθを評価して
回転体そのものをdθ切ったもので近似できると思ったのですがこれが間違いですかね？

306:１３２人目の素数さん
20/01/08 20:07:33.17 hFTi11qY.net
>>292
そうやったと思います。

307:１３２人目の素数さん
20/01/08 20:11:28.52 uIjCZhya.net
>>283
ありがとうございます
学びます

308:１３２人目の素数さん
20/01/08 20:43:04.06 tFAJeeVx.net
>>294
微小角度Δθと実際の座標(√2cosθ,sinθ)=R(cosφ,sinφ)の微小角度Δφの違いは考慮に入れた？
×∫(1/4)(1+c^2)dθ
〇∫(1/4)(1+c^2)dφ
です。

309:１３２人目の素数さん
20/01/08 21:31:29.35 hFTi11qY.net
>>296
したと思うのですが…
こんなんでやりました
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

310:１３２人目の素数さん
20/01/08 21:50:17.60 ksGmeRWR.net
してませんがな

311:１３２人目の素数さん
20/01/08 21:51:12.38 tFAJeeVx.net
>>297
誤りの原因は座標(√2cosθ,sinθ)のθと座標R(cosφ,sinφ)のφを混同したため。
実際の図形の角度はθではなくてφになることに注意。
正誤表は
×dV/dθ=(1/4)(1+c^2)
〇dV/dφ=(1/4)(1+c^2)
これを正しく解くと
(√2cosθ,sinθ)=R(cosφ,sinφ)
のRを消去して
tanφ=tanθ/√2
これを微分して
dφ/cos^2φ=dθ/(√2cos^2θ)
↓
(1+cos^2θ)dφ=√2dθ
これを積分して
∫(1/4)(1+c^2)dφ = ∫(√2/4)dφ
で答えが合うんじゃないの？

312:１３２人目の素数さん
20/01/08 22:36:12.71 hFTi11qY.net
>>299
あーーありがとうございます！
バカで申し訳ありません

313:１３２人目の素数さん
20/01/08 23:17:13.50 hFTi11qY.net
1時間くらい悩んでしまいました………
無能すぎて悲しいですね(´Д⊂ヽ

314:１３２人目の素数さん
20/01/09 00:46:58.96 ewFFzSO4.net
ノイマン境界条件x'(0)=x'(1)=0 (0≦t≦1)の下で
x''(t)=f(t) (f(t)∈C[0,1]) を解け

315:１３２人目の素数さん
20/01/09 02:13:57.92 GtGK5R1Z.net
実数xに対して、[x]でxを超えない最大の整数を表す。
a=[x]、b=[1/x]を用いて、
f(x)=(x/1!)+(x^2/2!)+...(x^a/b!)
と定める。
このとき、以下の極限を求めよ。
lim[x→+0] sin(x)/f(x)

316:１３２人目の素数さん
20/01/09 02:23:33.89 81ywpafv.net
数式として成立すらしてない。

317:１３２人目の素数さん
20/01/09 03:36:22.46 GtGK5R1Z.net
実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表す。
以下を求めよ。　
∫[0,π] x{Σ[k=1,n] [x]sin(kx)} dx

318:１３２人目の素数さん
20/01/09 03:47:22.86 GtGK5R1Z.net
半径1の球面Sに内接する2つの正四面体V,Wを考える。
Vの1つの頂点Aに対して、Wの1つの頂点Pを、APが最も長くなるように選ぶ。その長さをLとする。
（1）V,Wの位置が色々変わるとき、Lの取りうる値の範囲を求めよ。
ただしV,Wは一致しても良いものとして扱い、以下も同様である。
（2）nを2以上の整数とする。
（1）に加え、V,Wの動きうる範囲に以下の制約をつける。
『Vの1つの頂点Aに対して、Aに最も近いWの頂点Qを選ぶと、π/n ≤ ∠AOQ ≤ π/(n-1)となる。』
この場合のLの取りうる値の範囲を求めよ。

319:１３２人目の素数さん
20/01/09 03:58:45.12 GtGK5R1Z.net
半径1の球面に内接する四面体ABCDに対し、↑AB=↑b、↑AC=↑c、↑AD=↑d、とおく。
これらが等式
(↑b・↑c)+(↑c・↑d)+(↑d・↑b)=0
を満たすとき、以下の問に答えよ。
（1）四面体ABCDの各面の三角形全てを考えると、計12個の平面角が存在する。
それら12個の中に鈍角は何個あるか、考えられる値をすべて求めよ。
（2）cos(∠BAC)+cos(∠CAD)+sin(∠DAB)
の最大値を求めよ。

320:１３２人目の素数さん
20/01/09 10:56:31 yUxD+KNf.net
>>305
∫[a,π] x sin(kx) dx = [ - (x/k)cos(kx) + (1/kk)sin(kx) ](x=a,π)
　　= (a/k)cos(ka) - (1/kk)sin(ka) - (π/k)(-1)^k,

(与式) = ∫[1,π] x{Σ[k=1,n] sin(kx)} dx
　　　+ ∫[2,π] x{Σ[k=1,n] sin(kx)} dx
　　　+ ∫[3,π] x{Σ[k=1,n] sin(kx)} dx
　　　 = ････

321:１３２人目の素数さん
20/01/09 11:28:43.75 k/+qeIIf.net
障害者ジャップ猿ダニゴキブリ山本ともひろ焼き殺せ

322:

323:１３２人目の素数さん
20/01/09 11:30:45.13 k/+qeIIf.net
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
ニホンザル害虫ゴキブリを焼死させろ

324:１３２人目の素数さん
20/01/09 11:32:03.63 k/+qeIIf.net
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
URLﾘﾝｸ(www.sankei.com)
ニホンザルヒトモドキゴキブリマスゴミ産廃社員の頭をすりつぶして殺せ

325:１３２人目の素数さん
20/01/09 11:34:32.61 k/+qeIIf.net
3NFXti7BmIk
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
ニホンザルヒトモドキを核で焼き殺せ
(deleted an unsolicited ad)

326:１３２人目の素数さん
20/01/09 18:34:20.04 yUxD+KNf.net
>>277
ae=2 のとき
-0.7034674225
ae=4 のとき
-0.8155534188
1.4296118247
8.6131694564
ae=6 のとき
-0.8656497043
1.2268886960
16.9988873523
など

327:１３２人目の素数さん
20/01/09 18:36:33.52 1QzSMJPU.net
ちょっと質問です
ベルヌーイ数についてなんですがwikiのページの表で n ＝1のとき　-1/2 になっているんですが

これは1/2の間違いですか？教えてください　wikiのページはここです
ベルヌーイ数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)

328:１３２人目の素数さん
20/01/09 18:41:44.44 yUxD+KNf.net
>>277
ae=-2 のとき
0.7034674225
ae=-4 のとき
0.8155534188
-1.4296118247
-8.6131694564
ae=-6 のとき
0.8656497043
-1.2268886960
-16.9988873523
など

329:１３２人目の素数さん
20/01/09 18:52:01.04 2rRMg6An.net
>>314
B_1=-1/2で合っているけど？

330:314
20/01/09 18:53:16.80 1QzSMJPU.net
>>314のつづき
ファウルハーバーの公式でｓ１（ｎ）＝　を求めるときに　B1のベルヌーイ数が　1/2でないと合いません
 >>314のn=1のときの　ベルヌーイ数　が間違っているということでいいんでしょうか？
ファウルハーバーの公式
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)

331:１３２人目の素数さん
20/01/09 18:56:29.38 1QzSMJPU.net
>>316
ファウルハーバーの公式でｓ１（ｎ）＝　を求めてみてください
あいません(´・ω・｀)

332:１３２人目の素数さん
20/01/09 18:59:15.10 yjsnHu5s.net
そのwikipediaのページの注釈2は見たか？

333:１３２人目の素数さん
20/01/09 19:03:49 65UkrVEz.net
>>302
こちら分かる方いませんか？

334:１３２人目の素数さん
20/01/09 19:21:25.24 1QzSMJPU.net
>>319
みたけど
正接関数のマクローリン展開の結果において、実数変数を仮定した場合、
ベルヌーイ数の第 3 項以降の奇数項は虚数項に対応する。
実数変数における正接関数が実数関数でなければならないので、
そのマクローリン展開に虚数項に対応する項が存在してはならない。
よって、ベルヌーイ数の第3項以降の奇数項はゼロでなければならない
って書いてあった(´・ω・｀)
でも第一項について言ってるんだけど？(´・ω・｀)
ちなみに脚注５にこう書いてあった(´・ω・｀)
ファウルハーバーの公式もベルヌーイの記述に基づき、第 1 項を1/2とする記述で説明している。

335:１３２人目の素数さん
20/01/09 19:24:11.06 N6kl/1Po.net
>>321 ファウルハーバーの方の脚注2な

336:１３２人目の素数さん
20/01/09 19:27:12.34 1QzSMJPU.net
>>322
ありがとう(´・ω・｀)
B1 = 1/2 となるようにベルヌーイ数を定義する流儀と、
B1 = －1/2 となるように定義する流儀がある。って書いてあった(´・ω・｀)

337:１３２人目の素数さん
20/01/09 21:15:04.87 GtGK5R1Z.net
>>320
分かるに決まってるだろバカ
図書館で解決するだろアホ
俺たちの頭脳を無駄に使わせるなカス

338:１３２人目の素数さん
20/01/09 22:14:23.95 v

339:0JByjnC.net

340:１３２人目の素数さん
20/01/10 09:50:27.66 K+ySvdIV.net
a>0として
a^x=log(a)x　[aを底とする対数]
が2つ以上正の実数解xを持つ条件を求めなさい。
有名な問題らしいのでお願いします

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