分からない問題はここに書いてね457

分からない問題はここ ..

158:１３２人目の素数さん
19/12/31 20:32:42.15 Lf8CwB9x.net
>>150
直線が最短だから距離というのよ

159:１３２人目の素数さん
19/12/31 21:21:10.72 YKhOMW83.net
やっとルーレットのやつ片付いたかも。
有限個を除いて0である非負整数の列sに対し
w(s)=#{i | w(i)≠0}
A(s)={t| ∃j tj=sj-11≧0, ti=si (∀i≠j)}
で定めてP(s)を
P(s)=1 (if w(s)=2, si≦1}
. =0 (if (w(s)=1)
. =1/(w(s)Σ[t∈A(s)]P(s)
で定める。
この時
P(s)=1 iff si≦1, w(s)≧2
. =(w(s)-1)/w(s) iff ( ∃j sj=2, si≦1 (∀i≠j)) or (w(s)=2, si=2,0 (∀i))
. < (w(s)-1)/w(s)
が成立する。
とくに
p(n,n,‥,n)≦(w(p)-1)/w(p) if w≧3 or n≧3。
証明は帰納法で簡単。

160:１３２人目の素数さん
19/12/31 21:45:15.69 zFzxsSS1.net
>>150
三角不等式は絶対値の基本的性質で自明でいいだろう

161:１３２人目の素数さん
19/12/31 22:08:49.68 Lf8CwB9x.net
>>152
6人を2部屋の場合の確率が5/8
6人を3部屋の場合の確率が7/18
8人を2部屋の場合の確率は11/16
8人を4部屋の場合の確率は97/288
9人を3部屋の場合の確率は85/216
になる？

162:１３２人目の素数さん
19/12/31 22:10:58.97 YKhOMW83.net
>>154
6人3部屋は手計算で確認した。

163:１３２人目の素数さん
19/12/31 22:11:48.01 Lf8CwB9x.net
>>152
別々の部屋になる確率を計算している？
なら
6人を2部屋の場合の確率が3/8
6人を3部屋の場合の確率が11/18
8人を2部屋の場合の確率は5/16
8人を4部屋の場合の確率は191/288
9人を3部屋の場合の確率は131/216
になる？

164:１３２人目の素数さん
19/12/31 22:37:58.24 tmESw+mK.net
>>154
９人３部屋だと０．５を超えない？他はパソコン計算での少数表示と合致したけど。
> # AB最後の２人の順位,rmax:部屋数,rcap:各部屋定員
> Same_Room(AB=c(5,6),rmax=2,rcap=3) ; 5/8
[1] 0.625
[1] 0.625
> Same_Room(AB=c(5,6),rmax=3,rcap=2) ; 7/18
[1] 0.3888888889
[1] 0.3888888889
> Same_Room(AB=c(7,8),rmax=2,rcap=4) ; 11/16
[1] 0.6875
[1] 0.6875
> Same_Room(AB=c(7,8),rmax=4,rcap=2) ; 97/288
[1] 0.3368055556
[1] 0.3368055556
> Same_Room(AB=c(8,9),rmax=3,rcap=3) ; 85/216
[1] 0.5169753086
[1] 0.3935185185

165:１３２人目の素数さん
19/12/31 22:46:41.38 tmESw+mK.net
>>139
ちょっと問題を直線から円に変えてみた。
平面上に2点A(2，3)，B(5，3)と円x^2+y^2=2^2がある。この直線上に点Pをとるとき，
AP+BPを最小にするような点Pの座標を求めよ。

166:１３２人目の素数さん
19/12/31 22:57:09.03 tmESw+mK.net
>>158
思考停止のパソコン解
f <- function(theta,A=2+3i,B=5+3i){
P=2*cos(theta)+2i*sin(theta)
abs(A-P)+abs(B-P)
}
opt=optimise(f,c(-pi,pi))
theta=opt$minimum
c(2*cos(theta),2*sin(theta))
> c(2*cos(theta),2*sin(theta))
[1] 1.3892 1.4388

167:１３２人目の素数さん
19/12/31 23:12:18.30 oOZ0efPo.net
9人3部屋は335/648になった。

168:１３２人目の素数さん
19/12/31 23:25:20.20 oOZ0efPo.net
import Data.Ratio
import Data.List
w s = fromIntegral $ length [e| e<-s, e/= 0]
rotations x = tail$ zipWith (++) ( tails x) (inits x)
p s = case [e | e<-s, e /= 0] of
[1,1] -> 1%1
[_] -> 0
x -> (/(w s)) $ sum [p $ ((head t)-1):((tail t)) | t <- (rotations x)]
printP s = print (s, p s,fromRational $ p s)
main = do
printP [3,3]
printP [2,2,2]
printP [4,4]
printP [2,2,2,2]
printP [3,3,3]
結果
([3,3],3 % 8,0.375)
([2,2,2],11 % 18,0.6111111111111112)
([4,4],5 % 16,0.3125)
([2,2,2,2],191 % 288,0.6631944444444444)
([3,3,3],313 % 648,0.48302469135802467)

169:イナ
19/12/31 23:39:36.44 DdtTHOH4.net
前 >>86
>>139高校スレに書いたけど、図を描いてP(1,1)がちょうどA,B双方から同じ角度だな、と思ったらそこで決まりというのが1つの解答。
教科書的な解答は、
y=-x+2という川からの距離を比べると、A(2,3)は(1/2,3/2)がもっとも近く、B(5,3)は(0,2)がもっとも近い。
川までの距離はAが3√2/2,Bが3√2すなわち1:2でAが近い。
つまり(1/2,3/2)と(2,0)を1:2に分ける地点にPをとればAP+BPは最短になる。
∴P(1,1)

170:１３２人目の素数さん
20/01/01 00:21:03.47 alGEK3yy.net
>>127
>3≦i≦5, 6≦j≦7
3≦i≦6だった
(i, j)=(6,7) 5C2*3C2(1/3)^6(1/2)
3!523/3333332=25/3333=10/81追加で
85/216+10/81=335/648
>>157,159
サンクス

171:１３２人目の素数さん
20/01/01 01:19:13 alGEK3yy.net
10人を2部屋
2!{(1/2)^5+5(1/2)^6+35(1/2)^7+75(1/2)^8}=83/128
10人を5部屋
1部屋目満室i1人目・・・4部屋目満室i1+i2+i3+i4人目
(2,2,2,2) 1C1*1C1*1C1*1C1/55443322
(2,2,3,1) 1C1*1C1*2C1*1C1/55443332
(2,3.1,2) 1C1*2C1*1C1*1C1/55444322
(2,3.2,1) 1C1*2C1*2C1*1C1/55444332
(2,4,1,1) 1C1*3C1*2C1*1C1/55444432
(3,1,2,2) 2C1*1C1*1C1*1C1/55543322
(3,1.3,1) 2C1*1C1*2C1*1C1/55543332
(3,2,1,2) 2C1*2C1*1C1*1C1/55544322
(3,2,2,1) 2C1*2C1*2C1*1C1/55544332
(3,3,1,1) 2C1*3C1*2C1*1C1/55544432
(4,1,1,2) 3C1*2C1*1C1*1C1/55554322
(4,1,2,1) 3C1*2C1*2C1*1C1/55554332
(4,2,1,1) 3C1*3C1*2C1*1C1/55554432
(5,1,1,1) 4C1*3C1*2C1*1C1/55555432
5!(555443+2555442+2555433+22555432+32555332+2554443+22554442+22554433+222554432+232554332+32544433+322544432+332544332+432444332)/55555444433322
=(55543+255542+255533+2255532+355533+255443+2255442+2255433+22255432+23255332+3254433+32254432+332544332+43244332)/555544332
=(1500+2000+2250+3000+3375+2400+3200+3600+4800+5400+4320+5760+8640+6912)/180000=57157/180000
>1/5

172:１３２人目の素数さん
20/01/01 01:23:41 alGEK3yy.net
>>161
>([3,3,3],313 % 648,0.48302469135802467)
ここ違うんでない？

173:１３２人目の素数さん
20/01/01 01:30:20 qvt4WfZQ.net
それ同室にならない確率。
同室なら335/648で既出の数値と合ってる。

174:１３２人目の素数さん
20/01/01 01:32:28 alGEK3yy.net
>>160
サンクス

175:１３２人目の素数さん
20/01/01 01:33:18 alGEK3yy.net
>>166
サンクス

176:１３２人目の素数さん
20/01/01 01:34:02 HJFk4lop.net
同室バージョン

import Data.Ratio
import Data.List

rotations x = tail $ zipWith (++) (tails x) (inits x)
w s = fromIntegral $ length s
a s = [ filter (/=0) $ ((head t)-1):(tail t) | t <- rotations s]
p s = case s of
[1,1] -> 0%1
[_] -> 1%1
x -> (/(w s)) $ sum $ map p $ a s

printP s = print (s, p s,fromRational $ p s)
main = do
printP [3,3]
printP [2,2,2]
printP [4,4]
printP [2,2,2,2]
printP [3,3,3]
printP [5,5]
printP [2,2,2,2,2]

実行結果

([3,3],5 % 8,0.625)
([2,2,2],7 % 18,0.3888888888888889)
([4,4],11 % 16,0.6875)
([2,2,2,2],97 % 288,0.3368055555555556)
([3,3,3],335 % 648,0.5169753086419753)
([5,5],93 % 128,0.7265625)
([2,2,2,2,2],54997 % 180000,0.3055388888888889)

177:１３２人目の素数さん
20/01/01 01:35:03 alGEK3yy.net
>>152,161
解説希望

178:１３２人目の素数さん
20/01/01 01:41:52 alGEK3yy.net
>>164
>=83/128
=93/128

179:１３２人目の素数さん
20/01/01 02:35:23 ws23IPni.net
>>152
の漸化式は問題文の文章そのまま立式してるだけ。
p s はsの部屋割りのとき最後の2人がバラける確率。
p [1,1] = 1 は定員1人の部屋2部屋なら必ずバラける。
p [m] =0 は定員m人の部屋一部屋なら必ず同室。
それ以外なら1人目をどの部屋に入れる確率も等しいのが仮定だから最後の2人が同室になる確率は
p(s)Σp(t)/部屋の数、ただしtはいずれか一部屋の定員を1だけ減らした部屋の組みを渡る。
この漸化式を満たすとき、示したのは
p [1,1,‥,1] = 1 (全ての部屋の定員が1なら必ずバラける)
p [2,1,‥,1] = 1/(部屋数) (漸化式から容易)
p [2,2] = 1/2 (漸化式から容易)
それ以外の場合は
p(s) <1-1/(部屋数)
最後のは帰納法。
いずれかの部屋に1人入れて(1,‥,1)になるのは{1,‥,1)か(2,1,‥,1)しかないのでこの場合は既に示せている。
いずれかの部屋に1人入れて[2,2]になるのは[3,2]か[2,2,1]。
これらの場合は
p [3,2]= 3/8 < 1-1/2
p [2,2,1] = 11/18 < 1 - 1/3
により成立。
いずれの部屋に1人入れても上記例外ケースが現れないなら帰納法の仮定により同室にならない確率は1-1/部屋数より小さい。
説明はザックリだけどルーチンワークで難しい議論は必要ない。

180:１３２人目の素数さん
20/01/01 02:43:52 mmmCMCJr.net
>>162
＞図を描いてP(1,1)がちょうどA,B双方から同じ角度だな、と思ったらそこで決まり

決まりじゃないでしょ。そんなに自明ではない。

直線に対してどちらか一点の鏡像を考えれば、他方の点から直線上の１点
を経由して鏡像に達する経路の長さが最小になるのは、３点が同じ直線に
乗る場合。これは、3点を頂点とする三角形を考えれば明らか、
で、そこから、入射角と反射角は等しいという光の反射の法則も、光は
最短経路を通るというフェルマーの原理によって導かれる。

181:イナ
20/01/01 05:05:54.19 atsjZ6cN.net
前 >>162
A(2,3)とB(5,3)がいい感じに並んでるから、
図を描いてP(1,1)が一瞬で決まると思う。
→AP=(-1,-2)と、
→BP=(-4,-2)は、
こうやって並べて書くと、図を描いても描かなくてもy=xに対して同じ角度で入射することが実感できる。
実感できるけど、y=-x+2との距離を測れば数字で示せていい。わかってますよ、と主張するためにも川までの距離を書いたほうがいい。

182:１３２人目の素数さん
20/01/01 07:47:53 alGEK3yy.net
>>172
>それ以外なら1人目をどの部屋に入れる確率も等しいのが仮定だから最後の2人が同室になる確率は
>p(s)Σp(t)/部屋の数、ただしtはいずれか一部屋の定員を1だけ減らした部屋の組みを渡る。
p(s)=Σp(t)/部屋の数
ですねどうもありがとう

183:１３２人目の素数さん
20/01/01 09:37:07.60 AYhcyOtw.net
予備校の授業で出た問題です
（1）は東工大の問題でした、ネット上で解答を見つけて納得しました
（2）はオリジナルだと思いますが円と違ってうまく行きません。こちらを解答願えないでしょうか。よろしくお願いします。
（1）楕円x^2/8+y^2/17=25上の2接線が直交するとき、その交点の描く軌跡を求めよ。
（2）双曲線x^2/8-y^2/17=25上の2接線が直交するとき、その交点の描く軌跡を求めよ。

184:１３２人目の素数さん
20/01/01 09:47:09.09 Vft3k8P2.net
>>176
双曲線の準円。
↓の数値かえれば桶
URLﾘﾝｸ(examist.jp)

185:１３２人目の素数さん
20/01/01 13:40:59.21 vlX4la5T.net
既約分数表示できるようにRのプログラムを改造しているうちに呪文のようなHaskellの神コード投稿の出現に驚愕。
９人３部屋の同室確率の計算（他の投稿とも数字が一致しているから良しとしよう）
> # rmax 部屋の数
> # rcap 各部屋の定員
> p9=combn(9,2,function(x) Same_Room(x,rmax=3,rcap=3))
1 & 2 : 1 / 3 = 0.3333333333
1 & 3 : 1 / 3 = 0.3333333333
1 & 4 : 8 / 27 = 0.2962962963
1 & 5 : 7 / 27 = 0.2592592593
1 & 6 : 19 / 81 = 0.2345679012
1 & 7 : 193 / 972 = 0.1985596708
1 & 8 : 335 / 1944 = 0.1723251029
1 & 9 : 335 / 1944 = 0.1723251029
2 & 3 : 1 / 3 = 0.3333333333
2 & 4 : 8 / 27 = 0.2962962963
2 & 5 : 7 / 27 = 0.2592592593
2 & 6 : 19 / 81 = 0.2345679012
2 & 7 : 193 / 972 = 0.1985596708
2 & 8 : 335 / 1944 = 0.1723251029
2 & 9 : 335 / 1944 = 0.1723251029
3 & 4 : 8 / 27 = 0.2962962963
3 & 5 : 7 / 27 = 0.2592592593
3 & 6 : 19 / 81 = 0.2345679012
3 & 7 : 193 / 972 = 0.1985596708
3 & 8 : 335 / 1944 = 0.1723251029
3 & 9 : 335 / 1944 = 0.1723251029
4 & 5 : 5 / 18 = 0.2777777778
4 & 6 : 41 / 162 = 0.2530864198
4 & 7 : 413 / 1944 = 0.2124485597
4 & 8 : 715 / 3888 = 0.183899177
4 & 9 : 715 / 3888 = 0.183899177
5 & 6 : 47 / 162 = 0.2901234568
5 & 7 : 467 / 1944 = 0.2402263374
5 & 8 : 805 / 3888 = 0.2070473251
5 & 9 : 805 / 3888 = 0.2070473251
6 & 7 : 539 / 1944 = 0.2772633745
6 & 8 : 925 / 3888 = 0.2379115226
6 & 9 : 925 / 3888 = 0.2379115226
7 & 8 : 437 / 1296 = 0.337191358
7 & 9 : 437 / 1296 = 0.337191358
8 & 9 : 335 / 648 = 0.5169753086

186:イナ
20/01/01 17:19:24.36 atsjZ6cN.net
前 >>174
>>176双曲線y={(17/8)x^2-425}^(1/2)を微分すると、
y'=(1/2)(17x^2/8-425)^(-1/2)･(17x/4)
=17x/8√(17x^2/8-425)
図を描くと、
x≦-10√2と10√2≦xに、2つの双曲線が描け、差しがねを当ててずらしていくと、差しがねの角は原点を中心とした円を2つの双曲線のあいだに描く。
半径がわかれば円の方程式は決まるから、適当に直交する接線を引いてその交点と原点の距離を出せばいいはず。

187:イナ
20/01/01 19:29:18.65 atsjZ6cN.net
前 >>179
>>176(2)双曲線y=√(17x^/8-425)の接線の方程式をy=x-rとy=-x-rとしてy軸上の点(0,-r)で直交するとすると、
y=x-rとy=√(17x^2/8-425)からyを消去し辺々二乗し、
x^2-2rx+r^2=17x^2/8-425=0
9x^2/8+2rx-r^2-425=0
判別式D/4=r^2+(9/8)(r^2+425=17r^2/8+3825/8≠0
―不適。
二乗するときの符号を逆にすると、
x^2-2rx+r^2+17x^2/8-425=0
D/4=r^2-25(r^2-425)/8=0
17r^2/8=25･425/8
r^2=25･425/17=25･35=875
r=5√35
2つの接線の交点の軌跡は、
x^2+y^2=875

188:イナ
20/01/01 19:34:11.07 atsjZ6cN.net
前 >>180ちがうなぁ。
10√2より小さいrがあるはずだから。

189:イナ
20/01/01 22:42:46.29 atsjZ6cN.net
前 >>181
>>176(できたできた！)
x^2/8-y^2/17=25を変形すると、
17x^2-8y^2=3400
8y^2=17x^2-3400
y^2=17x^2/8-425
y=√(17x^2/8-425)
y=x-rがy=√(17x^2/8-425)と第Ⅰ象限で接するから、
(2r,r)がy=√(17x^2/8-425)上にある。
r=√(17･4r^2/8-425)
r^2=17r^2/2-425
15r^2/2=425
r^2=850/15=170/3
7＜r=√(170/3)＜8(妥当な範囲にある)
∴求める軌跡は、
x^2+y^2=170/3

190:１３２人目の素数さん
20/01/02 06:16:44 H/jsS3l+.net
I_n = ∫[0,1] (x^2n)/1+x^2 dx
とする。
またI_1=aとおく。

I_nについての漸化式を作ることによりI_nをnとaの式で表せ。

191:１３２人目の素数さん
20/01/02 13:07:20.19 H/jsS3l+.net
nを5の倍数でない偶数とする。
n,n^2,n^3,...,n^k,...
の1の位の数字をそれぞれn[i]（i=1,2,...）と表す。
mが十分大きいとき、n[1],...,n[m]の中に2,4,6,8のいずれも現れることを示せ。

192:１３２人目の素数さん
20/01/02 15:05:49.36 cwulRh6R.net
反例
6, 36, 216, 1296, 7776, ...

193:１３２人目の素数さん
20/01/02 15:40:08.25 gIycSv/h.net
地球と太陽の重心はほぼ太陽の位置に等しいらしいのですが、何故ですか？
太陽の質量が地球の質量に比べてとても大きいからでしょうか？

194:１３２人目の素数さん
20/01/02 16:31:17.94 U5AK8YkK.net
>>186
そうだよ。
太陽質量は地球の３３万倍だから、重心は太陽地球間を33万:1に内分する位置。
太陽地球間は1億５千万kmだから、太陽中心から450kmくらいのところになる。
太陽の半径70万kmの千分の一にも満たない。

195:１３２人目の素数さん
20/01/02 20:01:44.34 KCBR9fd0.net
>>184
ツマンネ

196:１３２人目の素数さん
20/01/03 01:42:20.06 ZSWMjSF9.net
nを自然数の定数とする。
xの方程式
x^2-(2n+a)x-{2n/(n+

197:1)}=0 が整数解を持つとき、実数aの取りうる値を述べよ。

198:１３２人目の素数さん
20/01/03 01:54:36.40 6pYHqa71.net
>>176
二次曲線
　xx/A + yy/B = 1　　(AB≠0)
を考える。
曲線上の点P(p1,p2) における接線は
　(p1/A)x + (p2/B)y = 1,
曲線上の点Q(q1,q2) における接線は
　(q1/A)x + (q2/B)y = 1,
これらの交点は
　(x,y) = (A(q2-p2)/D, B(p1-q1)/D)
ここで　D = p1･q2 - p2･q1,
　Zp = (p1/A)^2 + (p2/B)^2,
　Zq = (q1/A)^2 + (q2/B)^2,
　d = p1q1/AA + p2q2/BB = (D/AB)cotθ,
　θ は2本の接線がなす角
とおく。
　Zp +Zq -2d= (A+B)Zp･Zq + [(A-B)(p1q1/AA - p2q2/BB)-2]d
　　+ Zp(1 -q1q1/A -q2q2/B) + Zq(1 -p1p1/A -p2p2/B)
　　= (A+B)Zp･Zq + [(A-B)(p1q1/AA - p2q2/BB) -2]d
よって
　xx + yy = (AB/D)^2 (Zp +Zq -2d)
　= (AB/D)^2 {(A+B)Zp･Zq + [(A-B)(p1q1/AA -p2q2/BB) -2]d}
　= (A+B)/(sinθ)^2 + (AB/D)^2 [(A-B)(p1q1/AA -p2q2/BB) -2]d
本問では θ=90ﾟだから d=0,
　xx+yy = A+B.

199:１３２人目の素数さん
20/01/03 02:26:02.59 6pYHqa71.net
>>183
I_0 = ∫[0,1] 1/(1+xx) dx
　= [ arctan(x) ](x=0,1)
　= π/4
　= 0.7854･･･
I_n + I_{n+1} = ∫[0,1] x^(2n) dx
　= [ 1/(2n+1) x^(2n+1) ](x=0,1)
　= 1/(2n+1),

200:
20/01/03 10:47:26.48 /G0ULS+T.net
双曲線のときは交点の全体のなす軌跡は準円全体の一部分のはず。

201:１３２人目の素数さん
20/01/03 11:16:53.93 JNYSFkbz.net
楕円の準円なんてあるのか知らんかった。
ググったら無限大の楕円に近づけると放物線の準線に一致するらしい。

202:１３２人目の素数さん
20/01/03 14:01:36 JCy8aH4a.net
おもしれーじゃん

203:１３２人目の素数さん
20/01/03 16:45:32.22 JNYSFkbz.net
三角形ABCの内部の点P、直線APとBCの交点をD、直線CPとABの交点をFとする。
４点BFPDが同一円周上にあるという条件を満たしながら点Pが動くときどのような曲線を描くか？

204:１３２人目の素数さん
20/01/03 21:21:04.44 6JabC2Su.net
n次正方行列A,Bに対して、AB=IならAB=BA=I？

205:
20/01/03 21:27:19.52 /G0ULS+T.net
>>196
行列環では
右可逆→両側可逆→右逆元＝左逆元

206:１３２人目の素数さん
20/01/03 21:53:40.24 NwBa1xf3.net
3n人を、三つの部屋へn人ずつ振り分ける問題で最後の二人が同部屋になる確率ですが、次の式で場合数が求められます。
216^n-12 Sum[C[n-1+i+j,n-1]C[i+j,i]C[2n-2-i-j,n-1-i] 18^n (2/3)^(i+j),{i,0,n-1},{j,0,n-1}]
{n,上の値,確率(20桁で近似表示)}　(確率は6^3nで割る)
{{1, 0, 0}, {2, 18144, 0.38888888888888888889}, {3, 5209920, 0.51697530864197530864}, {4, 1277358336, 0.58681031854900167657},
{5, 297406930176, 0.63253174799742586665}, {6, 67589314735104, 0.66551145699851912065}, {7, 15153630372661248, 0.69078107623440557760},
{8, 3368802401881104384, 0.71096059209839126823}, {9, 744659248966899388416, 0.72756839875113198117},
{10, 163938283321351774519296, 0.74155415314679864909}, {11, 35983339833191982439956480, 0.75354676153215254988},
{12, 7880031805665022883287400448, 0.76398170131777257272}, {13, 1722560951214725128467380305920, 0.77317149277716051550},
{14, 376007509734863346448921970343936, 0.78134709670837789933}, {15, 81980202854724066591387792127819776, 0.78868343876259628398}}
>>117 の結果(私の投稿です)とn=8までは完全に一致しますが、n=9,10では微妙にずれています。
cの倍精度の有効数字は15桁位なので、n=8で19桁全てが一致している方が驚きですが、
扱っている数字が 2^10 の倍数ばかりのようなケースでは、起こりえることと考えられます。

207:１３２人目の素数さん
20/01/03 23:56:26.00 ZSWMjSF9.net
零行列でない3次正方行列Aと、3次のベクトルvが与えられている。
いまAv=pとし、3次のベクトルxを用いて内積x・pを所望の値rにしたい。
このときxをrと、A,vの成分を用いて表わせ。

208:１３２人目の素数さん
20/01/04 00:16:36.54 57F64B8O.net
>>197
ユニタリ行列は
†g g = E を満たすg全体のこと
と習ったのですが、講義の中で当然のように†g g = g †g = Eが使われていたので疑問に思いました
学部1年の初学者の質問ですがよろしくお願いします…変なこと言ってたらすみません

209:１３２人目の素数さん
20/01/04 01:46:57.42 91U8H0Lr.net
>>196
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
定理[4.1]
「n次正方行列Aに対し、XA=I となるn次行列Xが存在すれば Aは正則である。
　AX=I となるXの存在を仮定しても同様である。」
ここでAが正則とは、XA=XA=I となるn次行列Xが存在することである。
このようなXをAの逆行列と言う。(p.41)
・齋藤正彦：「線型代数入門」東京大学出版会 (1966)　p.48-49
証明は行列の基本変形を利用しています。
(Nandayer氏の回答)
BX=I なるXつまりBの右逆元が存在すれば
　BA = (BA)I = (BA)(BX) = B(AB)X = BIX = BX = I,
(b_black氏の回答)

210:１３２人目の素数さん
20/01/04 02:10:37.55 57F64B8O.net
なるほど、Aが正則であればAB=I⇒BA=Iが真であることは言えるが、「Aの逆行列の定義はAB=IなるB、というだけで十分」は偽ですかね
Aの正則性を仮定すればAB=IとしてA=IA=A(BA)で、Aは正則だからBA=Iとできるということでしょうか

211:１３２人目の素数さん
20/01/04 02:12:42.77 57F64B8O.net
だいたい理解出来ました、ありがとうございます
ユニタリ行列の定義を厳密に理解していなかったのが問題でした
｛g∈GL(R)┃†gg=I｝のGL(R)の部分が重要だったんですね、gが正方行列全体を動くものと思ってました

212:１３２人目の素数さん
20/01/04 02:24:00.53 91U8H0Lr.net
>>201　訂正
ここでAが正則とは、XA=AX=I となるn次行列Xが存在することである。

213:１３２人目の素数さん
20/01/04 02:39:51.15 h3plC6DE.net
>>202
AB=I⇒BA=Iが真であることが言えれば、
Aに対してAB=IとなるBは（それが存在すれば）一意であることが言える。(*)
よって「Aの逆行列の定義はAB=IなるB」というだけで十分。
(*) AB=AC=Iを仮定する。このとき、BA=Iであるから、C=(BA)C=B(AC)=B(AB)=B。

214:１３２人目の素数さん
20/01/04 02:51:06.29 57F64B8O.net
>>205
逆元の一意性はこれで保証されるわけですね、なるほど

215:１３２人目の素数さん
20/01/04 02:53:42.03 57F64B8O.net
ん？Aが正則である、の定義はAB=IなるBが存在すること、だけで十分なんですか？左右から確かめないといけないと習ったのですが

216:１３２人目の素数さん
20/01/04 02:54:40.10 91U8H0Lr.net
>>203
　g ∈ U(n) ⊂ GL(n,C)　　( |det(g)| = 1 )　かと思いましたが・・・・
いずれにせよ、定理[4.1] は底体であるRやCが両側逆元をもつことに基づいています。

217:１３２人目の素数さん
20/01/04 03:02:43.66 rje/x3lc.net
>>203
正方行列Aについて
1. ランクやら行列式やらの同値条件で

218:考えれば明らかにAが正則⇔AB=IなるBが存在 2. AB=Iとすると1.によりAは正則だからXA=AX=IなるXが存在する 3. 特にAB=AXだから、>>205の(*)よりB=X 4. したがってAB=I⇒BA=I 5. 同様にしてBA=I⇒AB=Iも示される

219:１３２人目の素数さん
20/01/04 03:11:57.69 57F64B8O.net
完全に理解しました…。
det(AB)=detIとすればAの正則性が分かるのでAB=IなるBが存在、しかもそのようなBは一意的
あとは式変形でBA=Iが言えて逆も同様
正方行列Aの正則性の定義にはAB=IなるBの存在だけで十分、というわけですか
ばかな質問失礼しました、ありがとうございます…。

220:１３２人目の素数さん
20/01/04 03:53:06.20 jeNf4A2/.net
>>189
どなたかこの問題をお願いします。

221:１３２人目の素数さん
20/01/04 05:42:43.70 OE5Ws6/k.net
>>201
>BX=I なるXつまりBの右逆元が存在すれば
>　BA = (BA)I = (BA)(BX) = B(AB)X = BIX = BX = I,
?

222:１３２人目の素数さん
20/01/04 06:07:12.92 t4ltaTw2.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
なぜ指数に合わせるのか分かりませぬ

223:１３２人目の素数さん
20/01/04 06:19:02 j6MZVtua.net
662751611445166080

(？)
662751659365089280
662751751270580224
662751791066226688
規則性がある数列で？の中の数字を求める問題なのですが分かりません教えて頂ける方いませんか

224:哀れな素人
20/01/04 08:43:36.13 CnhWcJ/y.net
>>195
Ａから下ろした垂線の足をh1、Ｃから下ろした垂線の足をh2とし、垂心をｈとする。
まず、ｈは明らかにＰの条件を満たす。
なぜなら∠Ｆ＝∠Ｄ＝直角だから、Ｆ、ＤはＢＰを直径とする円周上にある。
次に、４点が同一円周上にあるためには、∠Ｆと∠Ｄが補角になっていればよい。
そのためには△ＡＤh1と△ＣＦh2が相似であればよい。
ゆえに、そのようにＤとＦを取り、交点Ｐを作図していく。
そして△ＡＢh1と△ＣＥh2が相似になるような点Ｅまで、その作業を続ける。
同様に△ＡＣh1と△ＣＧh2が相似になるように点Ｇを取り、
上と同様の作業を続ける。
そうするとＰの軌跡はＥ、ｈ、Ｃを通る曲線（おそらく円弧）になる。
ちなみに△ＡＢＣと△ＣＥＧは相似である。

225:１３２人目の素数さん
20/01/04 08:59:59.76 OE5Ws6/k.net
>>213
4x^2=(?)^2

226:哀れな素人
20/01/04 17:06:57.83 CnhWcJ/y.net
>>215の続き
Ｅ、ｈ、Ｃを通る曲線が円弧になる理由が分った。
４点が同一円周上にあるということは、
∠Ｐが∠Ｂと補角の関係を保ったまま動くということである。
ところでＰが△ＡＢＣの外接円の円弧上をＡからＣまで動くなら、
円周角の定理により、∠Ｐは∠Ｂと補角の関係を保ったまま動く。
そしてＰが、円弧ＡＣと（弦ＡＣと）線対称な円弧上を動いても、
∠Ｐは∠Ｂと補角の関係を保つ。
なぜなら、その線対称な円弧は、△ＡＢＣの外接円と同じ半径の円の円弧だから、
その円弧上の∠Ｐの補角は、∠Ｂと等しいからである。
ゆえに∠Ｂと補角の関係を保ったまま動くＰは、
△ＡＢＣの外接円と同じ半径の円の円弧上を動いているのだから、
Ｐの軌跡は円弧になる。
その円弧の円は△ＡＢＣの外接円と同じ半径の円であり、
その中心は、ＡＣの垂直二等分線とＥＣの垂直二等分線の交点にある。
ちなみに△ＣＥＢはＣを頂点とする二等辺三角形である。
つまりＥの作図は簡単。

227:１３２人目の素数さん
20/01/04 18:06:42.37 jeNf4A2/.net
5次方程式
x^5-5x^4+10x^3+9x^2+kx+1=0
が非負整数p,qを用いてp+qi,p-qiの形で表される2解を持つという（2解は重複してよい）。
整数kの取りうる値を求めよ。

228:!omikuji !dama
20/01/04 21:36:48 Dx7yXHIU.net
円弧にはならん

229:１３２人目の素数さん
20/01/04 22:06:25.00 jeNf4A2/.net
（1）2020年のある日から3ヶ月間の日数が以下のようになることはあるか。
ただしある日（A月B日）から3ヶ月間とは、(A+3)月(B-1)日までの期間を指す。B=1の場合は、代わりに(A+2)月の最終日を期間の最後とする。
(i)88日
(ii)89日
(iii)90日
（2）2020年のある日から20ヶ月間の日数としてあり得

230:る値をすべて求めよ。

231:１３２人目の素数さん
20/01/04 22:57:52.67 Dx7yXHIU.net
つくづく思うのはやっぱり受験数学ってやらなきゃ大学行けないって避けられない事情があるから成立するもんなんだなと。
こういうところでは問題自体に解いてみたいと思える魅力がないと全然解いてみる気がしない。

232:１３２人目の素数さん
20/01/05 00:27:47.54 WnBhQYbd.net
正の整数からなる空でない有限集合Sで以下の条件を満たすものをすべて求めよ。
(条件) 任意のSの異なる2元i, j に対して, (i+j)/gcd(i, j) もまたSの元となる。

233:
20/01/05 00:59:58.44 Cssr3MUc.net
前 >>182
>>195
∠ABCの二等分線が怪しい。

234:１３２人目の素数さん
20/01/05 02:11:03.41 4Lce69AQ.net
>>222
そのようなSがあったとしたら、互いに素な2数はSに属さない。
（互いに素な異なる正整数n,mに対してn+kmはmと互いに素だからn,m∈Sなら｛n+km┃k∈N｝⊂Sが帰納的に言えるのでSが有限集合であることに矛盾）

235:１３２人目の素数さん
20/01/05 02:11:19.32 4Lce69AQ.net
>>222
次に異なる正整数n,m∈Sで、n,mは互いに素でないとする。S∋s_1=(n+m)/gcd(n,m)＜max｛n,m｝は、gcd(n,m)≧2で、かつn≠mであることから明らか。同様にしてs_1とmin｛n,m｝からmax｛s_1, min｛n,m｝｝より小さいSの元s_2を生成できる。
これを繰り返せばいくらでも小さいSの元を生成できるから、最終的には1すなわち任意の正整数と互いに素な数が生まれてしまう。
（この操作で生成できる数には1より大きな下限(例えばmin｛n,m｝)があるように思えるが、実際には(下限)=(生成した数)となった時ただちに1が生成される）
したがって、そのようなSは存在しない。

236:１３２人目の素数さん
20/01/05 02:16:04.01 4Lce69AQ.net
>>222
もちろん、異なる2元を取ることができない｛1｝とか｛2｝はその性質を満たすと言えるが問題の本質ではないと思う。

237:１３２人目の素数さん
20/01/05 08:28:46.05 WnBhQYbd.net
>>225
>(n+m)/gcd(n,m)＜max｛n,m｝
ここが明らかでないかと

238:１３２人目の素数さん
20/01/05 08:32:20.12 WnBhQYbd.net
>>227はミス

239:１３２人目の素数さん
20/01/05 08:35:24.22 WnBhQYbd.net
>>225
s_1=min{n,m}の場合いくらでも小さいSの元は取れない

240:１３２人目の素数さん
20/01/05 09:00:05.32 fZULsj51.net
それ明らか。

241:１３２人目の素数さん
20/01/05 09:01:06.40 fZULsj51.net
おっと >>230は >>227宛

242:１３２人目の素数さん
20/01/05 09:07:01.70 WnBhQYbd.net
>>230
ごめんごめん >>228は自分のミスって意味で書いたんだけど >>225のミスを指摘したみたいになってしまった

243:１３２人目の素数さん
20/01/05 11:53:45.40 RODnhqX5.net
>>195 BC=a, AC=b , AB=c
AF/BF=x , BD/DC=y
BFPDが同一円周上 ⇔ AP*AD=AF*AB
計算すると
y=((a^2-b^2+c^2)x+(a^2-b^2))/((b^2-c^2)x+b^2)
ここからPの軌道を計算する方法がわからん。。

244:イナ
20/01/05 15:34:50.60 Cssr3MUc.net
前 >>223レスアンカーおかしい？
>>195問題。
>>233の(設定)で、
メネラウスの定理より、
(BC/CD)(DP/PA)(AF/FB)=1より、aDP=yPAx
AP/PD=a/xy
(BA/AF)(FP/PC)(CD/DB)=1より、cFPy=PC
FP/PC=1/cy
AP/PD=(FP/PC)(b+c)(a+b)/a
a/xy=(1/cy)(b+c)(a+b)/a
x=ca^2/(b+c)(a+b)
(AF/FB)(BC/CD)(DP/PA)=1より、
(1/x){(1+y)/y}(DP/PA)=1
(1/x){(1+y)/y}=a/(FP/PC)(b+c)(a+b)
(1/x)(1+y)=acy^2/(b+c)(a+b)
(1/x)(1+y)=acy^2/(b+c)(a+b)
(1+y)/xy^2=ac/(b+c)(a+b)
大文字を消してx,yとa,b,cに分けると、
(1+y)/xy^2(1+x)=(b+c)(a+b)/a
1+x=cだから同じ式。
1+y=aを代入し、
a/(c-1)(a-1)^2c=(b+c)(a+b)/a
a^2/(c-1)(a-1)^2c=(b+c)(a+b)
a^2=(b+c)c(c-1)(a+b)(a-1)^2

245:１３２人目の素数さん
20/01/05 15:55:26.75 RODnhqX5.net
>>234
x,yの定義が >>233と一致してないんじゃ？

246:１３２人目の素数さん
20/01/05 20:02:04.65 fZULsj51.net
>>195
ACと垂心Hのうち、三角形の内部にある点全体。

247:１３２人目の素数さん
20/01/05 20:05:57.69 fZULsj51.net
>>195
垂心をHとして三角形ACHの外接球のうち三角形ABCの内部。

248:１３２人目の素数さん
20/01/05 20:46:37.02 WnBhQYbd.net
>>195
円に内接する四角形の対角は等しいから
1)∠FBD+∠DPF=180°
対頂角は等しいので
2)∠DPF=∠APC
また
3)∠FBD=∠ABC
1,2,3より∠APC=180°-∠ABC=一定
円周角の定理の逆より,A,P,Cは同一円周上にある.
この円は垂心Hを通る(AD⊥BC, CF⊥ABの時を考えよ).
よってPの軌跡はA,H,Cを通る円弧AHC.

249:１３２人目の素数さん
20/01/05 20:55:41.49 WnBhQYbd.net
>>238
×円に内接する四角形の対角は等しいから
○円に内接する四角形の対角の和は180°に等しいから
×垂心H
○三角形ABCの垂心H

250:１３２人目の素数さん
20/01/05 21:06:35.12 f8qYOfhG.net
x=x(t)、x(0)=x(1)=0に対して定義された対称作用素Lx:=(d^2x)/(dt^2)の固有値、グリーン関数を求めよ
調べてもよくわからなかったので解法も書いて頂けると助かります

251:１３２人目の素数さん
20/01/05 21:10:29.01 RODnhqX5.net
>>238
なるほど。答え見ると中学生レベルの問題だった。。

252:１３２人目の素数さん
20/01/05 22:05:40.16 fZULsj51.net
>>240
ググってわかった範囲内での答え。
自信なし
固有関数はsin(πmx) (m:整数)
グリーン関数はH(x-t)(x-t)
ここにH(x-t)はヘビサイドの階段関数。
自信なし。
どうやって導出したかはわかんね。
代入してみれば成立はしてるみたい。

253:１３２人目の素数さん
20/01/05 23:14:10.54 WnBhQYbd.net
>>222
解の存在は示せるけど求めた解で尽くされてることが証明できない

254:１３２人目の素数さん
20/01/06 00:15:55.28 vFEyziZV.net
2元集合の解{a,b} (a<b)があるとしてd=(a,b)とおけばd≠1は既出。
∴(a+b)/d<b。∴(a+b)/d=a。∴a|b。∴d=a。
∴b=a^2-a。
さらにb≠aによりa>2。
逆にこの形の集合は条件をみたす。
3元以上の解があるとして小さい順にa<b<cをとる。
先と同様にしてb=a^2-a。
やはり同様にして(a+c)=(a,c)a or (a,c)bによりa|c。
∴c=a^3-a^2-a。
容易に(b,c)=aであるから(b+c)/(b,c)=a^2-2。
さらに先程同様にa>2であるが、このとき容易にa^3-a^2-a>a>a^2-a。
これはcが3番目に小さい事に反する。
よって3元以上持つ解はない。

255:１３２人目の素数さん
20/01/06 00:20:44.14 H7xQEsjS.net
>>218
どなたかこの問題をお願いします。

256:１３２人目の素数さん
20/01/06 00:21:00.71 Bpkl9Cm1.net
>>244
なるほど納得
ありがとう

257:１３２人目の素数さん
20/01/06 00:30:22.92 H7xQEsjS.net
>>218
x^5-5x^4+10x^3+9x^2+kx+1=0
(x-1)^5+19x^2+(k-5)x+2=0
x-1=tとおくと
t^5+19t^2+(k+33)t-k+26=0
これ以降が分かりません

258:１３２人目の素数さん
20/01/06 00:30:28.31 Bpkl9Cm1.net
>>244
Sの元の小さい方から3つ取ってa<b<cとしたときに
a<b<a^2-2<c (a>2)
となっちゃって矛盾ってのがミソなのね

259:１３２人目の素数さん
20/01/06 09:50:23.04 hxDeVhhw.net
>>195
△ABCの頂点Bを辺ACについて折り返した点をB'とする。
△AB'Cの外接円の△ABCの内部にある円弧が求める曲線

260:１３２人目の素数さん
20/01/06 14:16:16.23 H7xQEsjS.net
双曲線は適当な回転によって一次分数関数にできるのに、2次曲線なんですか？

261:１３２人目の素数さん
20/01/06 14:22:17.56 H7xQEsjS.net
周長がKである凸四角形ABCDの各辺上にそれぞれ点P,Q,R,Sをとり、四角形PQRSの周長をLとおく。
P,Q,R,Sを動かすとき、Lの最大値はK/2以上であることを示せ。

262:１３２人目の素数さん
20/01/06 14:25:53.17 g5QBq4Ak.net
明らかにL=Kのときがあるのになんじゃコレ？

263:１３２人目の素数さん
20/01/06 14:30:15.80 H7xQEsjS.net
センター模試です
3次曲線C:y=x^3-3x^2-xと直線y=xの交点で、点O(0,0)以外のものをすべて求めると（　ア　）である。
このうちx座標が正のものを点Aとし、直線OAとCとで囲まれる領域をDとすると、Dの面積は（　イ　）である。
また直線OAを、点Aのまわりに時計回りに30°回転させた直線Lの式は（　ウ　）である。
LとCとで囲まれる領域Eの面積は（　エ　）であり、Eを直線OAのまわりに一回転させてできる立体の体積は（　オ　）である。

264:１３２人目の素数さん
20/01/06 14:34:55.74 hxDeVhhw.net
>>250
xy=1　は二次式やん

265:１３２人目の素数さん
20/01/06 14:41:58.88 g5QBq4Ak.net
センターで回転体の体積は範囲外

266:１３２人目の素数さん
20/01/06 14:43:41.51 XBwVwm/i.net
>>242
ありがとうございます
もうちょい考えてみます……

267:１３２人目の素数さん
20/01/06 14:45:46.42 H7xQEsjS.net
>>254
マジか

268:１３２人目の素数さん
20/01/06 16:12:46.21 H7xQEsjS.net
O(0,0),A(1,√3),B(2,0)の△OABにおいて、辺OA上の点P(p,√3p)からOBに垂線を下ろし、その交点をHとする。
ただしPはOともAとも異なる点とする。
□PHBAを対角線AHのまわりに一回転させてできる立体の体積V_Pをpで表わせ。

269:１３２人目の素数さん
20/01/06 21:56:07.65 Tp8VUXvq.net
円周率が仮に有理数だと円の形って変わるんですか？

270:１３２人目の素数さん
20/01/06 22:20:21.63 faKX/pkd.net
仮定が偽なので命題は真になります

271:１３２人目の素数さん
20/01/06 23:50:10.70 H7xQEsjS.net
方程式
e^x=x^(ae)
の実数解の個数を求めよ。
ただしaは実定数、eは自然対数の底である。

272:１３２人目の素数さん
20/01/07 05:57:26.48 445tHi5x.net
どのような自然数m,n(1<m<n-1)に対しても、次の等式が成立しないことを証明せよ。
Σ[k=1,m] 1/k = Σ[k=m+1,n] 1/k

273:１３２人目の素数さん
20/01/07 06:05:15.02 ieeMtpuj.net
>>222
要素数2の場合は解があり、n≧3のとき有限集合{n, n(n-1)}は与条件を満たす。
要素数2の場合の解はこの形しかない。
∵集合S={A,B}が与条件を満たすとする。
n=gcd(A,B)とすると、A=a*n,B=b*nとなる正整数a,bがあり、かつgcd(a,b)=1である。
与条件より(A+B)/n=a+b∈{A,B}である。
a+b=Aの場合、b=a(n-1)より、bはaの倍数である。gcd(a,b)=1なので、a=1である。
よってA=n,B=n(n-1)である。
a+b=Bの場合、同様にA=n(n-1),B=nが言える。

274:哀れな素人
20/01/07 08:55:49 7k3PMZwU.net
円（正多角形）に近い方が周の長さは小さい。
だから例えば正方形に内接する正方形で、最も周長が小さいのは、
その正方形の各辺の中点で内接する正方形である。
なぜなら、その正方形に内接する図形で周長が最少なのは円であり、
円はその正方形の各辺の中点で内接するから。

だから、もし一次変換によっても周長の比は不変だとすれば、
ABCDに内接するPQRSで、その周長が最少なのは、
ABCDの各辺の中点で内接するPQRSである。
そしてABCDの対角線をａ、ｂとすると、
そのPQRSのLはL=a+bであり、これが最小のLである。

ところでKはa+bより大きいが2(a+b)より小さい。
ゆえにK<2(a+b)　ゆえにK/2<a+b(=最小のL)
最小のLでさえK/2より大きいのだから、Lの最大値はK/2より大きい。

275:１３２人目の素数さん
20/01/07 09:26:56.88 Tgq0BG0Z.net
>>251は明らかな出題ミスがあるのになに言ってんだか。

276:１３２人目の素数さん
20/01/07 10:43:51.32 iiuZP5bH.net
>>261
y=x/log(x)とy=aeの交点の数をみればいい。

277:イナ
20/01/07 12:52:40.34 +rGyGxy4.net
前 >>234
>>258
BからAHへの垂線をBQ、
AからBHへの垂線をARとすると、
△APR∽△BPQより、
PR:AR=PQ:BQ
(1-p):√3=q:r
=q:√{(2-p)^2-q^2}
3q^2=(1-p)^2{(2-p)^2-q^2}
3q^2+q^2(1-p)^2=(1-p)^2(2-p)^2
(p^2-2p+4)q^2=(1-p)^2(2-p)^2
q^2=(1-p)^2(2-p)^2/(p^2-2p+4)
V_P=(1/3)

278:πr^2･h =(π/3){(2-p)^2-q^2}√{(1-p)^2+(√3)^2} =(π/3){3q^2/(1-p)^2}√(p^2-2p+4) =πq^2√(p^2-2p+4)/(1-p)^2 =π(2-p)^2/√(p^2-2p+4)

279:１３２人目の素数さん
20/01/07 12:58:45.22 RHhskP9s.net
>>261
e^x=x^(ae)を
e^x/x^(ae)=1
x-aeln(x)=0
と変形してからやると楽
f(x)=x-aeln(x)
とおいてf(x)の増減を調べてやれば
a<0,a=0の時f(x)=0の実数解は1個
0<a<1の時は0個
a=1の時は1個
a>1の時は2個

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