分からない問題はここに書いてね457

分からない問題はここに書いてね457 at MATH

[1からを表示]
50:１３２人目の素数さん
19/12/29 14:35:24.81 36JBVOYE.net
9人を定員3の3部屋に分ける場合、同室になる確率。
> data.frame(person[1,],person[2,],同室確率=p)
person.1... person.2... 同室確率
1 1 2 0.3333333333
2 1 3 0.3333333333
3 1 4 0.2962962963
4 1 5 0.2592592593
5 1 6 0.2345679012
6 1 7 0.1985596708
7 1 8 0.1723251029
8 1 9 0.1723251029
9 2 3 0.3333333333
10 2 4 0.2962962963
11 2 5 0.2592592593
12 2 6 0.2345679012
13 2 7 0.1985596708
14 2 8 0.1723251029
15 2 9 0.1723251029
16 3 4 0.2962962963
17 3 5 0.2592592593
18 3 6 0.2345679012
19 3 7 0.1985596708
20 3 8 0.1723251029
21 3 9 0.1723251029
22 4 5 0.2777777778
23 4 6 0.2530864198
24 4 7 0.2124485597
25 4 8 0.1838991770
26 4 9 0.1838991770
27 5 6 0.2901234568
28 5 7 0.2402263374
29 5 8 0.2070473251
30 5 9 0.2070473251
31 6 7 0.2772633745
32 6 8 0.2379115226
33 6 9 0.2379115226
34 7 8 0.3371913580
35 7 9 0.3371913580
36 8 9 0.5169753086
とても３０人での435通りにはオーバーフローして算出は無理でした。

51:哀れな素人
19/12/29 16:33:20.16 XEENfp7O.net
>>37
>>17の図のＺ形の折れ線の端を、左上から順にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとする。
Ｃを中心として半径ＣＢ＝ＣＤの円Ｅを描く。
次にＣＤを底辺とする正三角形を描き、その頂点と円Ｅとの交点をＦとする。
するとＡＦはＣＢと平行である。
なぜならＡＢとＣＦは長さが等しく、ＣＢとなす角も36°で等しいから。
ゆえに∠ＡＦＣ＝36°
また∠ＡＣＦも36°である。
なぜなら二等辺三角形ＢＡＣの底角72－36＝36°だから。
ゆえにＡＣＦは二等辺三角形だからＡＣ＝ＡＦ。
ゆえに△ＡＣＤと△ＡＦＤは三辺が等しいから合同。
ゆえにｘ＝30°

52:哀れな素人
19/12/29 16:37:37.10 XEENfp7O.net
なぜかIDが変わっているが、>>36の投稿は僕である(笑
名前を入れると質問少年が粘着して来るから入れなかった(笑
パソコンが壊れそうなので、投稿は控えている(笑

53:１３２人目の素数さん
19/12/29 18:00:02.82 Mst3VWUq.net
絶対収束する無限級数は足す順番を入れ替えることが出来る、と習いました。
すなわち、どんな全単射ρ:N→Nに対しても絶対収束するなら蚤_n=蚤_ρ(n)である、という説明でした。
しかしこれでは、nの偶奇で場合分けして足すことが正当化出来ない気がします。
123456789を135792468と並べ替えることは出来ますが、これが自然数全体になってくると全単射を構成するのは無理な気がします。
nの偶奇で場合分けして無限級数を計算することはどういう場合に限り正当化出来るのか教えてください。

54:１３２人目の素数さん
19/12/29 20:12:17 ktrDgrgt.net
>>27 正弦定理を使わない解き方
>>38 偏角使う方法
　-1 + e^(24ﾟi) - e^(-12ﾟi) = - e^(-30ﾟi){e^(30ﾟi) - e^(54ﾟi) + e^(18ﾟi)},

　Im{e^(30ﾟi) - e^(54ﾟi) + e^(18ﾟi)} = 1/2 - sin(54ﾟ) + sin(18ﾟ)
　= {1 + 2sin(234ﾟ) + 2sin(18ﾟ)}/2
　= {sin(90ﾟ) + sin(306ﾟ) + sin(234ﾟ) + sin(162ﾟ) + sin(18ﾟ)}/2
　= 0,　　　(←正5角形)
より
　e^(30ﾟi) - e^(54ﾟi) + e^(18ﾟi) = AC,　(=実数)

　-1 + e^(24ﾟi) - e^(-12ﾟi) = - AC･e^(-30ﾟi).

[前スレ.995]

55:１３２人目の素数さん
19/12/29 20:23:46.83 ktrDgrgt.net
>>44
４．曲面Sは原点Oを中心とし、半径が3の球面、S: x^2+y^2+z^2 = 3^2 とする。
ベクトル場Ｆ(x,y,z) を
　　Ｆ(x,y,z) = (2x+y-z)ｉ+ (x+3y+2z)ｊ+ (-x-y+4z)ｋ
とするとき、面積分∫_S Ｆ・ｎ dS をガウスの発散定理を用いて求めよ。

56:イナ
19/12/29 20:29:46.99 YfxvMMZF.net
>>48∠ABC=36°だからといって∠AFC=36°かどうかはわからないと思う。CFとABの交点がAとFから等距離にあれば底角等しいから36°だけど。線分ACからの円周角ってわけにもいかないし、たまたま36°だと思う。CB//AFなら∠AFC=36°だけど。
￣￣]/＼前 >>27_______
____/＼/,,､､　　　　 )
￣￣＼/彡-_-ﾐ　　　 /
￣￣|＼_U,~⌒ヽ___／|
□　| ∥￣~U~U~￣∥ |
____| ∥ □　□　∥ |/
_____`∥_________∥／

57:１３２人目の素数さん
19/12/29 20:33:03.80 p67i6tPG.net
>>48
おお、なるほど！GJ!!

58:イナ
19/12/29 21:08:44.97 YfxvMMZF.net
前 >>53
AC:CF=2:1+√5
∠ACF=∠ACB-∠FCB
=72°-(60°-24°)
=36°
△ACFの辺の比となす角は正五角形の一辺と対角線のそれであるから、
∠AFC=36°こうじゃないか。

59:イナ
19/12/29 21:18:50.23 YfxvMMZF.net
前 >>55
ADとCFが直交するから、
？=∠CDA=60°/2=30°
正五角形の中に正三角形を描くなんてずるいな。
もっとメネラウスとかでポンッと出してみろよ。

60:１３２人目の素数さん
19/12/29 22:02:53.36 36JBVOYE.net
>>56
もっとズルいのが複素平面で偏角を使って解く方法。
幾何の知識ほぼ０でも解けちゃう。
こんな感じ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
Rのソースはｽﾚﾘﾝｸ(hosp板:662番)

61:１３２人目の素数さん
19/12/29 22:05:15.92 p67i6tPG.net
それはあかん。
Rはあくまで近似計算しかできん。

62:イナ
19/12/29 22:07:24.23 YfxvMMZF.net
iとかeとかわかりにくい。前 >>56メネラウスでどうやって解くか。

63:１３２人目の素数さん
19/12/29 23:30:08.04 tID89LWS.net
以下の2つの方程式がともに実数解のみを持ち、かつ2つの方程式でそれらの解がすべて一致するように、実数aの値を定めよ。
ただし、実数sに対して[s]はsを超えない最大の整数を表す。
x^3-ax^2+2=0
[x]^3-a[x]^2+2=0

64:１３２人目の素数さん
19/12/29 23:45:19.44 36JBVOYE.net
>>58
いや、単に数式を書いてRに計算させるだけだぞ。
二次方程式の解の公式に係数を入力して計算させるのと同じ。
# 長さL,M,NのZ尺を角度A°（LとMのなす角）、B°（LとMのなす角）で折り曲げたとき
# 先端と終端を結ぶ線とZ尺の作る角度および先端と終端の距離
# URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
L=1；M=1；N=1；A=36；B=24
alpha=B/180*pi
beta=A/180*pi
a=M/N
b=L/N
P=a*(cos(alpha)+1i*sin(alpha))
Q=P+b*(cos(alpha+pi-beta)+1i*sin(alpha+pi-beta))
Langle=(pi-Arg(Q-1))/pi*180 # degree of Q-1-0
Uangle=Arg(Q-P)/pi*180 - Arg(Q-1)/pi*180 # degree of P-Q-1
length=abs(Q-1)*N # length of Q1

65:１３２人目の素数さん
19/12/29 23:47:10.57 p67i6tPG.net
(±1)(±1)+(±1)(±2)+(±1)(±2)≡1 (mod 2)

66:１３２人目の素数さん
19/12/29 23:48:20.64 p67i6tPG.net
>>61
だからその計算が数値計算だっての。
多分なんでダメか君にはわからん。
計算論ちゃんと勉強してないと無理。

67:１３２人目の素数さん
19/12/29 23:50:48.68 36JBVOYE.net
>>59
折れ線が長さL,M,Nとして
角度A°（LとMのなす角）、B°（LとMのなす角）のときの計算式はメネラウスで出せるの？

68:１３２人目の素数さん
19/12/29 23:59:03.88 36JBVOYE.net
>>63
偏角使って計算するだけだから、他のソフトでもできるだろ。
wolframで解いた回答も前スレにあったし。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:938番)
他のソフトでも出来るね
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)

69:１３２人目の素数さん
19/12/30 00:00:35.53 4FN+HhkB.net
>>51
ヴェクトルによる方法
↑AD の向きに主軸をとる。
↑AB:　x-12ﾟ
↑BC:　x+204ﾟ
↑CD:　x
より、↑AD の垂直成分は
　sin(x-12ﾟ) + sin(x+204ﾟ) + sin(x),
あるいは
　sin(192ﾟ-x) + sin(336ﾟ-x) + sin(x),
平均して
　{sin(x-12ﾟ) + 2sin(x) + sin(192ﾟ-x) + sin(x+204ﾟ) + sin(336ﾟ-x)}/2,
x=30ﾟとおけば左辺は
　{sin(18ﾟ) + sin(90ﾟ) + sin(162ﾟ) sin(234ﾟ) + sin(306ﾟ)}/2 = 0　　←正5角形
となり与式を満たす。

70:イナ
19/12/30 00:02:02.85 rFPDvwxb.net
前 >>59
>>64折れ線の長さは、
左上と左下の頂点間の距離aにたいして三本とも同じ長さで、
(1+√5)a/2
です。

71:
19/12/30 00:03:04.09 rFPDvwxb.net
前 >>59
>>64折れ線の長さは、
左上と左下の頂点間の距離aにたいして三本とも同じ長さで、
(1+√5)a/2
です。
開運!!

72:１３２人目の素数さん
19/12/30 00:03:17.58 /m+zTMx/.net
>>65
だから君には私がなに言ってるか理解するのは無理。
他のちゃんと計算論勉強した事があるか、もしくはそこまで行かなくてもコンピュータにいかに人間のかわりに計算、証明ができるかキチンと考えた事ある人間なら私がなに言ってるか最初のレスで分かったはず。
もうこの時点ですらそんな事いってるようでは到底理解できないよ。

73:１３２人目の素数さん
19/12/30 00:22:34.12 hOFsPt8Z.net
>>69
いや、手作業でやっていることを計算機に計算させているだけだろ。
手作業の分数表示が小数表示になるだけ。
乱数発生でのシミュレーションは疑似解だけど
該当する候補を虱潰しに列挙して確率を総和しているのは別に擬似解じゃないぞ。
> 1/2*1/3
[1] 0.1666666667
を
1/6と書くかの差だろ？

74:１３２人目の素数さん
19/12/30 00:27:01.09 hOFsPt8Z.net
>>67
同じ長さじゃないときの角度計算をしたいだけの話。
こういうプログラムを書きたかっただけの話。
長さが２，３，１で角度が３０°６０°の場合
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

75:１３２人目の素数さん
19/12/30 00:28:54.53 /m+zTMx/.net
違う。
Rがやってるのは数値計算。
抽象代数計算は標準のライブラリではやってない。
もちろんチューリング完全だから抽象代数計算させるプログラムを組めばいいが標準のライブラリは数値計算。

76:１３２人目の素数さん
19/12/30 00:30:50.92 hOFsPt8Z.net
>>72
角度を求めよ、という問題だったから、数値で答えればいいんじゃね？

77:１３２人目の素数さん
19/12/30 00:40:11.43 /m+zTMx/.net
>>73
違う。
仮に計算機が30.000000と言う値を出したとしてもそれでわかるのは30.000000±0.00000001という事でしかない。
人間や抽象代数計算のライブラリがあるソフトなら答えが正確に30になる事の証明を与える事ができる。
そのプログラムはそこまで難しくはないけど標準で入ってるソフトは多分ない。
私は昔作ったことあるけど遅いし問題を立式して方程式を与えるとこまでは手計算でしないといけない仕様でめんどくさくて実用性は全然だった。
30.000000±0.0000001だから30でいいと思えるならそれでどうぞ。

78:１３２人目の素数さん
19/12/30 00:46:49.32 4FN+HhkB.net
>>56
>>59
>>64
　出ません

79:１３２人目の素数さん
19/12/30 01:08:01.88 SWGtZdyq.net
>>17
何だかんだ言って図を描いたほうがわかりやすいかもね
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
BE=BD、∠EBD=36°、∠EBC=60°となるように点Eをとり、BEとADの交点をFとする
・∠FBD=∠FDBだから BF=DF、これと BE=DA より FE=FA
　さらに∠BFD=∠EFAだから、⊿BFD∽⊿EFA
　よって∠FEA=∠FBD=36°①
・AD=BDだから∠ABD=∠BAD=(2∠R-∠ADB)÷2=72°
　よって∠ABE=∠ABD-∠EBD=36°②
・∠CBE=60°、BC=BEだから⊿CBEは正三角形
　よって、BC=EC③
・①、②より、AB=AE これと③より、⊿ACB≡⊿ACE
　よって∠ACB=∠ACE=∠BCE÷2=30°

80:１３２人目の素数さん
19/12/30 01:17:57.43 hOFsPt8Z.net
>>74
計算器の精度を知っていればいいんじゃないの？
こういうのがプログラムのバグの原因になったりするけど。

> (1.2-1)*5
0.9999999999999998
> 0.72*5-3.6
-4.440892098500626e-16

81:１３２人目の素数さん
19/12/30 01:19:56.13 /m+zTMx/.net
>>77
やっぱりまったく分かってもらえないようだ。
ここまで説明してわからないならやっぱり君には理解できないよ。

82:イナ
19/12/30 01:24:45.01 rFPDvwxb.net
前 >>67-68
>>17答えは30°でいいと思う。
ただ出し方が正五角形とか正三角形とか自然界の偶然にあまりに委ねすぎてる感があって、実感が持てないというか、たまたま結果オーライというか。
メネラウスの定理で左上と左下の頂点間の長さとその線分と36°をなすその(1+√5)/2倍の線分上の折れ線の端と端を結んでできる交点までの長さがちょうど同じ長さになるとわかったら、それがいいと思うんだよなぁ。

83:１３２人目の素数さん
19/12/30 01:47:14.50 /5HQa3pn.net
>>77
例えばこういう例(なぜeやπは様々な性質を持つのか？-63)：
> P = ln(640320^3 + 744)/√163
> はπと30桁一致するが、πとは異なる超越数である。
は通常の計算機の精度ではπと区別がつかず、
某関数電卓ではPをπと誤って表示するそうです。
いくら計算機の誤差を認識していてもこういう例は無数に存在するので、
数学の証明には直接使えない。

84:１３２人目の素数さん
19/12/30 01:55:53.98 /m+zTMx/.net
これはまぁかなり哲学的なこだわりでもあるからなぁ。
ある意味数学畑の人間しか理解できないかもしれない。
計算機で30.の後ろに例え0が100個並んだとしても数学畑の人間には、答えは30とわかった、どうやって証明しようと考え始めるだけの話で答えが出たとは思わない。
もちろん何度か求めよから30°である事を示せに変わっただけでグッと難易度は下がる、でもそれだけ。
数学畑の人間じゃない人にはバカじゃないと思われてもしょうがない所なのかもしれないけど。

85:１３２人目の素数さん
19/12/30 02:00:50.26 7hCxsj+h.net
>>80
それを区別する必要があるかどうかは出題者が求めてるもの次第だし
駄目と一概に否定するような話じゃないでしょ

86:１３２人目の素数さん
19/12/30 02:02:32.98 7hCxsj+h.net
>>81
哲学的なこだわりというか空気読めてないだけだと思うぞ

87:１３２人目の素数さん
19/12/30 02:09:25.96 /m+zTMx/.net
数学の問題で計算機で計算して誤差0.000001ならもうOKなんて事は有り得ないでしょ？
そもそも出題者に納得してもらえないからダメなんじゃなくて±10^(-100)の誤差でも納得しないのは自分自身だよ。
逆に言えばおそらくそんなこだわりを理解してもらえるのは同じ数学畑の人間にだけわかってもらえれば十分だし、そうでないはたけあの人が30.00000なんだから30でいいだろってのは、そっちはそれでわかるしね。
この辺のこだわりがわからない人に無理にわかってもらおうとは思わない。

88:１３２人目の素数さん
19/12/30 02:20:57.73 hOFsPt8Z.net
実用上は
>(1+1/10-1)*10==1
[1] FALSE
> (1-1+1/10)*10==1
[1] TRUE
こういうのがあるから困

89:る。 n進法の小数点表示プログラムを書こうとしたときデバッグしていて気づいた。

90:イナ
19/12/30 02:21:06.42 rFPDvwxb.net
前 >>79別解。もっとも自然な解き方。右利き向け。ずるくない。
>>17折れ線の左上をA、右上をB、左下をCとすると、
AB=BC、∠ABC=36°
AB=BC=CD、∠BCD=36°となるDをとり、
AB=BC=CD=DE、∠CDE=36°となるEをとると、
AB=BC=CD=DE=EA、∠DEA=36°となった。
∠BAEの二等分線を引くとCDと直交し、折れ線の端に達するから、
？=90°-(36°+24°)
=30°
∴示された。

91:１３２人目の素数さん
19/12/30 03:06:44 wNEC1IhA.net
>>85
丸め誤差と呼ばれる
実数を扱う場合もっとも留意が必要な事柄のひとつ

92:１３２人目の素数さん
19/12/30 07:27:53.68 SJ3jnPDj.net
三角形ABCに内接する楕円で面積が最大になるとき
面積を辺の長さa,b,cを用いて表すとどうなるか

93:１３２人目の素数さん
19/12/30 08:15:28.38 /m+zTMx/.net
π√s(s-a)(s-b)(s-c)/27)

94:１３２人目の素数さん
19/12/30 08:39:35.17 efR++yGU.net
二次関数のグラフに関して気持ち悪くなってきたので質問させて下さい
xy平面に2次関数のグラフは描けますね
これは問題ない
y軸と交わればそれが方程式の解になる
これもOK
交わらないものの解は複素数になる、それは実軸と虚軸で表せる、これもOK
最初のxy平面を3次元にするとz軸が余ります
これを虚軸にしてあげれば、複素数の点が描けますね
3DCGソフトでY軸からXZ平面を見てる感じです
さて、こうなるとグラフは3次元空間でy軸とクロスするはずですね？
グラフを3次元で描くとどうなるんでしょうか？
そもそもZ軸を虚軸にするって言うのが数学的におかしいですかね？

95:１３２人目の素数さん
19/12/30 08:47:25.97 t3RnbcIo.net
四元数の話？

96:１３２人目の素数さん
19/12/30 08:50:00.90 efR++yGU.net
>>91
初めて聞きました
工学部では習わなかった

97:１３２人目の素数さん
19/12/30 09:13:44.76 0ye/7luK.net
>>60
f(x)=x^3-ax^2+2
f'(x)=3x^2-2ax=x(3x-2a)=0
x=0,2a/3
f(0)=2>0, f(2a/3)=8a^3/27-4a^3/9+2=-4a^3/27+2=-4/27(a^3-27/2)≦0
a≧3/2^(1/3)
f(α)=0
f([α])=0
n=[α]∈Z
n≦x<n+1
n=[x]
f([x])=0
NG

98:１３２人目の素数さん
19/12/30 09:28:46.96 0ye/7luK.net
>>90
>y軸と交わればそれが方程式の解になる
>これもOK
ｘ軸
>そもそもZ軸を虚軸にするって言うのが数学的におかしいですかね？
別におかしくはない
xyz空間内に
y=(x+zi)^2=(x^2-z^2)+2xzi
xz=0
y=x^2-z^2
z=0, y=x^2の曲線と
x=0, y=-z^2の曲線が描けるというだけでツマラン
ツマラン理由はyが実数だから
スコシ面白いのは
z+wi=(x+yi)^2から
z=x^2-z^2
w=2xy
にしてz軸とw軸を同じ軸としてxyz(w)空間に2枚の曲面を描く等
複素2次関数を認識すること
複素函数の認識ではこのような方法ではなく
x+yi平面とz+wi平面の対応を曲線対応で認識する（ある種等高線のようなもの）のが一般的

99:１３２人目の素数さん
19/12/30 10:01:28.82 sXy3QwYs.net
>>90
複素数を定義域にする二次関数の実部を取ればええんでないの？
たとえば、f(x)=x^2+1っていう二次関数に対しては、f(x+iy)=(x+iy)^2+1
っていう複素関数を考えて、その実部だけとるとか。
実部をzとすると、z=x^2-y^2+1　という馬の鞍型の曲面がそのグラフに
なる。虚部も０になる( xy=0）という条件を加えると、この曲面を平面、
yz平面で切った切り口の曲線で、それぞれ、z=-y^2+1 と z =x^2+1
という放物線になる。

100:xy平面と交差する（z=0）のはz=-y^2+1のほう。

101:１３２人目の素数さん
19/12/30 10:06:18.63 sXy3QwYs.net
ごめん、テレビみながらのんびり書いてるうちに、>>94と被っちゃいましたね。
あと、一部脱字があるので訂正。
>虚部も０になる( xy=0）という条件を加えると、この曲面を平面、
虚部も０になる( xy=0）という条件を加えると、この曲面をxz平面、

102:１３２人目の素数さん
19/12/30 10:16:13.51 h/5bKa0m.net
>>87
10進法の0.1は切りのいい数字に思えるけど
２進法のだと無限循環小数0.01100110011001100110...だからと思っている。
1/8は有限小数だから
> (1+1/8-1)*8==1
[1] TRUE

103:１３２人目の素数さん
19/12/30 11:36:01.77 GBeND/Rq.net
>>47
6人固定では無く、多人数対応版を作りました。(%define N 6 と書かれている部分の 6 を　変更。)
codepad　では、のタイム制限のため18人が限界でしたが、あげておきます。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
家のパソコンでは24人の計算が、1時間くらいかかったので、30人はきつそうです。
最後の方の出力を添付します。
18,21 : 1676106446227881984 (0.3537297500039)
18,22 : 1641736445103673344 (0.3464762179072)
18,23 : 1641736445103673344 (0.3464762179072)
19,20 : 2006126487611449344 (0.4233780154811)
19,21 : 1939130795867553792 (0.4092390749948)
19,22 : 1902620050033250304 (0.4015337547119)
19,23 : 1902620050033250304 (0.4015337547119)
20,21 : 2317796304041189376 (0.4891536030028)
20,22 : 2279025883235119104 (0.4809713951901)
20,23 : 2279025883235119104 (0.4809713951901)
21,22 : 2774399932531519488 (0.5855163893403)
21,23 : 2774399932531519488 (0.5855163893403)
22,23 : 3368802401881104384 (0.7109605920984)

104:１３２人目の素数さん
19/12/30 11:41:59 efR++yGU.net
>>94、95
丁寧にありがとうございます
おかげでなんだかモヤモヤしたのが解けました

105:１３２人目の素数さん
19/12/30 11:59:14.35 vQOF0tg/.net
>>98
俺もRで
# rmax=3 # 部屋の数
# rcap=2 # 各部屋の定員
# a=5 # 対象者の番号
# b=6 # 対象者の番号
を指定できる汎用版を作った
コードはこれ
ｽﾚﾘﾝｸ(hosp板:667番)
Cと違ってRだと人数12人が限度だった。

106:１３２人目の素数さん
19/12/30 13:14:30.16 vQOF0tg/.net
>>98
定員10人の3部屋30人で29番と30番の同室確率はシミュレーションで
> mean(replicate(1e6,sim(n=30,a=29,b=30)))
[1] 0.741349
になるようだけど
プログラムでの数え上げでは一晩かかっても終わりそうにないなぁ。
メモリー不足のエラーで固まりそう。

107:１３２人目の素数さん
19/12/30 13:57:46.01 4FN+HhkB.net
>>88
　一次変換により⊿ABC を正三角形△A'B'C'に移す。面積は|J|倍になる。
　△の面積は {(√3)/4}aa,　(a：一辺の長さ)
　△に内接する面積最大の楕円は内接円で、半径 r=(1/2√3)a, 面積 πrr=(π/12)aa,
　両者の面積比はπ/√27,
　逆変換すると、両面積とも 1/|J| 倍になるが、面積比は変わらない。　>>89

108:１３２人目の素数さん
19/12/30 14:03:04.07 4FN+HhkB.net
>>89
　s=(a+b+c)/2 だから
　(π/4)√{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/27}

109:ID:1lEWVa2s
19/12/30 14:05:50.18 YlM+lWze.net
>>102
>>103
すごいけど
ヘロンの公式とアルキメデスの定理でしょ。

110:ID:1lEWVa2s
19/12/30 14:13:09.02 6JPGaoWN.net
>>102
>>103
こんなきれいな文字は今年はじ

111:めてみた。すみのはちだんぱそこんだからな。

112:１３２人目の素数さん
19/12/30 14:21:20.77 4FN+HhkB.net
⊿の面積をSとする。
内接する楕円の面積の最大値
　T1 = (π/√27)S
内接円の面積
　T2 = π(S/s)^2
GM-AM より
　S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
　≦ √{s(s/3)^3}
　= (1/√27)ss,
∴　T1 ≧ T2

113:ID:1lEWVa2s
19/12/30 14:25:31.26 6JPGaoWN.net
>>106
みたものを計算機回路でうち(つ)しただけのしろものにすぎない。
私には勝てないな。
天からおりてくるみかえるにも踏まれないぞ。コンスタンティン。

114:１３２人目の素数さん
19/12/30 17:30:23.28 4FN+HhkB.net
三角形ABCに外接する楕円の面積が最小になるとき、
面積を辺の長さa,b,cを用いて表すとどうなるか？

115:１３２人目の素数さん
19/12/30 17:38:48 4FN+HhkB.net
?の面積をSとする。
外接する楕円の面積の最大値
　T'1 = 4T1 = 4(π/√27)S,
外接円の面積
　R = abc/4S より
　T'2 = πR^2 = π(abc/4S)^2

　T'1 ≦ T'2　？

116:１３２人目の素数さん
19/12/30 19:59:12.73 wh5s35zC.net
以下の条件を満たす複素数α、βの関係式を述べよ。
『複素数平面の実軸上の点A(α)と虚軸上の点B(β)を考えると、点C(αβ)は直線AB上にあり、かつOCとABは直交する』

117:１３２人目の素数さん
19/12/30 20:40:25.08 wh5s35zC.net
方程式
x^3-kx=[x]^3-kx=x^3-k[x]=[x^3-kx]
が実数解のみを持つとき、kの範囲を求めよ。

118:１３２人目の素数さん
19/12/30 20:52:11.91 AFbw2Tfa.net
>>111
ツマンネ

119:１３２人目の素数さん
19/12/30 21:01:04.71 4FN+HhkB.net
>>109
S = (1/2)sin(A)･bc = (1/2)sin(B)･ca = (1/2)sin(C)･ab,
辺々掛けて
S^3 = (1/8)sin(A)sin(B)sin(C)・(abc)^2
　≦ (1/8) sin((A+B+C)/3)^3・(abc)^2
　= {(√3)/4}^3・(abc)^2,
より
　S ≦ {(√3)/4}(abc)^(2/3),
∴　T'1 ≦ T'2
ところで内接楕円と外接楕円は相似で、相似比１：２.
∴　4T1 =　T'1
∴　4(πrr) = 4T2 ≦ 4T1 = T'1 ≦ T'2 = πRR
∴　2r ≦ R

120:１３２人目の素数さん
19/12/30 22:10:55.33 wh5s35zC.net
ガウス記号と3次方程式を組み合わせた傑作を作問してください

121:１３２人目の素数さん
19/12/30 22:22:21.68 4FN+HhkB.net
〔内接楕円〕 ⊿ABCに内接する楕円のうち面積が最大のもの。
〔外接楕円〕 ⊿ABCに外接する楕円のうち面積が最小のもの。
両者は相似で、相似比は１：２
面積はそれぞれ (π/√27)S, 4(π/√27)S である。 (Sは⊿ABCの面積)

122:１３２人目の素数さん
19/12/30 23:39:18.07 ZrJWjqhM.net
純虚数αβは虚軸上。

123:１３２人目の素数さん
19/12/31 00:24:11 g9q2vHpz.net
>>101
元々の問題は、最後の二人が同じ部屋になる確率は大きくなるのでは？　というようなものだったと思います。
この質問に答えるだけならば、全く別の方法がありました。
3N-2人の部屋振りが終了したとき、(N,N-1,N-1)等という割り振りだと、最後の二人は異なる部屋に行きます。
(N,N,N-2)等という割り振りだと、同じ部屋に行きます。
この点に注目して作ったプログラムです。30人でも、一瞬です。

URLﾘﾝｸ(codepad.org)

124:１３２人目の素数さん
19/12/31 02:07:06.83 mUIuwFhV.net
統計的推定について質問です
統計的推定問題では確率変数が与えられているのですか？その場合確率空間の確率測度の像測度をとればいいので違いますよね
だとすると、確率変数の値がいくつか与えられているということだと思いますが、これは確率変数も推測するということですか？

125:１３２人目の素数さん
19/12/31 03:56:00.34 CIMjjWYH.net
>>44
>>52
曲面Sの内部をVとおく。
　S = ∂V,
　divＦ = 2+3+4 = 9,
よって
　∫_S Ｆ・ｎ dS = ∫_V divＦ dτ　　(←発散定理)
　　= 9∫_V dτ
　　= 9(Vの体積)

126:１３２人目の素数さん
19/12/31 09:37:26.39 oOZ0efPo.net
kn人をルーレット方式でk部屋に分ける場合。
最後の2人が同部屋という事象をXとする。
最後のにまで残る2部屋がABである事

127:象をE1として、R1下での条件付き確率を比較してよい。最後の2人を除くkn-2人から(k-2)n人を選んだ集合Sに対しこのSに属する人間がAB部屋意外を選ぶ事象をE2(S)として P(X)=P(X|E1)=ΣP(E2(S))P(X|E2(S)) であるからP(E(2(S))について調べる。 Sに属しないxに対して P(xがAに入る|E2(S)) =0 if xより前のSにAが売り切れたとき。 =1 if xより前のSにBが売り切れたとき。 =1/2 iotherwise であるからこの条件下での試行はk=2である場合の試行と同じになる。この場合最後の2人が同じ部屋にはいるのは前の2n-2人によってA部屋,B部屋がn-1回ずつ選ばれた場合であり、その確率は C[2n-2,n-1](1/2)^(2n-2) である。これはn=1のとき1、n=2のとき1/2、n>2のとき1/2より小さい。

128:１３２人目の素数さん
19/12/31 09:49:48.41 kTCmhb8w.net
6人を2部屋の場合の確率が5/8
6人を3部屋の場合の確率が7/18

129:１３２人目の素数さん
19/12/31 09:50:36.00 oOZ0efPo.net
あれ？ホント？どっか間違えた？

130:１３２人目の素数さん
19/12/31 10:13:58 oOZ0efPo.net
あ、わかった。>>120は撤回します。

131:１３２人目の素数さん
19/12/31 10:36:03 kTCmhb8w.net
8人を2部屋の場合の確率は11/16
8人を4部屋の場合の確率は
AABBCC 443322
AABCBC 443332
AABCCB 443332
ABABCC 444322
ABACBC 444332
ABACCB 444332
ABBACC 444322
ABBCAC 444332
ABBCCA 444332
ABCABC 444432
ABCACB 444432
ABCBAC 444432
ABCBCA 444432
ABCCAB 444432
ABCCBA 444432
4!(443+4422+4332+4432+6332)/444433322
=(43+422+332+432+333)/44332=(12+16+18+24+27)/288=97/288
あら1/2より小さいな
こりゃ単純な思い込みでは洞察にならんか
9人を3部屋だと
AAABBBC
AAABBCB
AAABCBB
AAACBBB
AABABBC
AABABCB
AABACBB
AABBABC
AABBACB
AABBBAC
AABBBCA
AABBCAB
AABBCBA
AABCABB
AABCBAB
AABCBBA
AACABBB
AACBABB
AACBBAB
AACBBBA
ABAABBC
ABAABCB
ABAACBB
ABABABC
ABABACB
ABABBAC
ABABBCA
ABABCAB
ABABCBA
ABACABB
ABACBAB
ABACBBA
ABBAABC
あーもやだ3(3,3,1)=3*7!/3!3!=420通りもある

132:１３２人目の素数さん
19/12/31 10:42:50 oOZ0efPo.net
まぁもう計算機の考察はいいや。
そろそろ証明あげたいね。

133:１３２人目の素数さん
19/12/31 11:17:39.95 tmESw+mK.net
>>71
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
のように名付けて
角P（もとの問題では３６°）、角Q（２４°）を変化させて角Iの大きさをグラフ化してみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
＊が３６°２４°のとき。

134:１３２人目の素数さん
19/12/31 11:31:53.35 kTCmhb8w.net
9人を3部屋で1部屋目の満室がi人目と2部屋目の満室がj人目だとすると
3≦i≦5, 6≦j≦7
でなくてはならないから
(i, j)=(3,6) (1/3)^3(1/2)^3
(i, j)=(3,7) 3C2(1/3)^3(1/2)^4
(i, j)=(4,6) 3C2(1/3)^4(1/2)^2
(i, j)=(4,7) 3C2*3C2(1/3)^4(1/2)^3
(i, j)=(5,6) 4C2(1/3)^5(1/2)
(i, j)=(5,7) 4C2*3C2(1/3)^5(1/2)^2
3!/333332222(332+333+3322+3332+23222+23322)
=(32+33+322+332+2222+2322)/333222
=(6+9+12+18+16+24)/333222
=85/216<1/2

135:１３２人目の素数さん
19/12/31 11:58:53.71 p1616mHN.net
2n人を2部屋の場合1部屋目の満室がi人目とすると
n≦i≦2n-2でなくてはならないから
2!Σ[i=n, 2n-2] (i-1)C(n-1) (1/2)^i
3n人を3部屋の場合1部屋目の満室がi人目2部屋目の満室がj人目とすると
3!Σ[i=n, 3n-3]Σ[j=max(i+1,2n), min(i+n, 3n-2)] (i-1)C(n-1)*(j-n-1)C(n-1)(1/3)^i(1/2)^(j-i)
かな
ちょっとjの範囲は自信なし

136:１３２人目の素数さん
19/12/31 12:04:34.80 tmESw+mK.net
>>124
３０人を３部屋で
２９番と３０番が同じ組になる場合の数は
> 3*factorial(28)/factorial(10)/factorial(10)/factorial(8) # 3*28!/(10!*10!*8!)
[1] 1722723142140
とても虱潰しじゃあ、扱えないぁ。

137:１３２人目の素数さん
19/12/31 12:49:49.45 p1616mHN.net
一部屋目の満室は最低n人目
最大では2部屋目1人分3部屋目2人分は残すので
n≦i≦3n-3
iが何人目でも2部屋目が満室となるのが最も早いのはj=2nのとき
またi+1≦jも当然
最大ではiが何人目でも3部屋目2人分を残すので
max(i+1,2n)≦j≦3n-2
ということで3n人を3部屋の場合
3!Σ[i=n, 3n-3]Σ[j=max(i+1,2n), 3n-2] (i-1)C(n-1)*(j-n-1)C(n-1)(1/3)^i(1/2)^(j-i)
かな

138:１３２人目の素数さん
19/12/31 13:01:07 tmESw+mK.net
>>124
９人３部屋の場合を計算させてみた。　乱数発生でのシミュレーションでなくて虱潰しに列挙して加算。
person1 とperson 2が同室になる確率。
> data.frame(person[1,],person[2,],同室確率=p)
person.1... person.2... 同室確率
1 1 2 0.3333333333
2 1 3 0.3333333333
3 1 4 0.2962962963
4 1 5 0.2592592593
5 1 6 0.2345679012
6 1 7 0.1985596708
7 1 8 0.1723251029
8 1 9 0.1723251029
9 2 3 0.3333333333
10 2 4 0.2962962963
11 2 5 0.2592592593
12 2 6 0.2345679012
13 2 7 0.1985596708
14 2 8 0.1723251029
15 2 9 0.1723251029
16 3 4 0.2962962963
17 3 5 0.2592592593
18 3 6 0.2345679012
19 3 7 0.1985596708
20 3 8 0.1723251029
21 3 9 0.1723251029
22 4 5 0.2777777778
23 4 6 0.2530864198
24 4 7 0.2124485597
25 4 8 0.1838991770
26 4 9 0.1838991770
27 5 6 0.2901234568
28 5 7 0.2402263374
29 5 8 0.2070473251
30 5 9 0.2070473251
31 6 7 0.2772633745
32 6 8 0.2379115226
33 6 9 0.2379115226
34 7 8 0.3371913580
35 7 9 0.3371913580
36 8 9 0.5169753086

139:１３２人目の素数さん
19/12/31 13:12:19.56 tmESw+mK.net
>>117
いつも、華麗なコードのアップロードありがとうございます。
１００万回のシミュレーションも３桁の一致にとどまることが認識できました。
> mean(replicate(1e6,sim(n=30,a=29,b=30)))
[1] 0.741349

140:１３２人目の素数さん
19/12/31 13:33:30.27 p1616mHN.net
i<nのとき(i-1)C(n-1)=0だからi≧nを条件にしなくても良いし
j<2nのとき(j-n-1)C(n-1)=0だからj≧2nを条件にしなくても良い
とすると
3!Σ[i=1, 3n-3]Σ[j=i+1, 3n-2] (i-1)C(n-1)*(j-n-1)C(n-1)(1/3)^i(1/2)^(j-i)
=3!Σ[i=1, 3n-3]Σ[k=1, 3n-i-2] (i-1)C(n-1)*(i+k-n-1)C(n-1)(1/3)^i(1/2)^k
=3!Σ[1≦i, k, i+k≦3n-2] (i-1)C(n-1)*(i+k-n-1)C(n-1)(1/3)^i(1/2)^k
でどうかな
i+k-n-1≧n-1
から
i+k≧2n
なので
3!Σ[1≦i, k, 2n≦i+k≦3n-2] (i-1)C(n-1)*(i+k-n-1)C(n-1)(1/3)^i(1/2)^k
でいいかも

141:１３２人目の素数さん
19/12/31 13:41:31.02 p1616mHN.net
>>124
>=(43+422+332+432+333)/44332=(12+16+18+24+27)/288=97/288
>あら1/2より小さいな
1/2と比較しても仕方なかった
97/288>1/4
>>127
>=85/216<1/2
1/2と比較しても仕方なかった
85/216>1/3
でいずれも12番同室より確率は高いから
単純な洞察「残り部屋を等確率で選択」の場合
「最初の2名が同室になる確率よりも最後の2名が同室になる確率が大きい」
で問題無さそう

142:１３２人目の素数さん
19/12/31 14:35:17.43 xaU91arB.net
９人３部屋で同室になる確率の高い順
> cbind(t(person[,rev(order(p))]),rev(sort(p)))
[,1] [,2] [,3]
[1,] 8 9 0.5169753086
[2,] 7 9 0.3371913580
[3,] 7 8 0.3371913580
[4,] 1 3 0.3333333333
[5,] 1 2 0.3333333333
[6,] 2 3 0.3333333333
[7,] 1 4 0.2962962963
[8,] 2 4 0.2962962963
[9,] 3 4 0.2962962963
[10,] 5 6 0.2901234568
[11,] 4 5 0.2777777778
[12,] 6 7 0.2772633745
[13,] 3 5 0.2592592593
[14,] 1 5 0.2592592593
[15,] 2 5 0.2592592593
[16,] 4 6 0.2530864198
[17,] 5 7 0.2402263374
[18,] 6 9 0.2379115226
[19,] 6 8 0.2379115226
[20,] 2 6 0.2345679012
[21,] 1 6 0.2345679012
[22,] 3 6 0.2345679012
[23,] 4 7 0.2124485597
[24,] 5 9 0.2070473251
[25,] 5 8 0.2070473251
[26,] 2 7 0.1985596708
[27,] 3 7 0.1985596708
[28,] 1 7 0.1985596708
[29,] 4 9 0.1838991770
[30,] 4 8 0.1838991770
[31,] 1 9 0.1723251029
[32,] 1 8 0.1723251029
[33,] 3 9 0.1723251029
[34,] 3 8 0.1723251029
[35,] 2 9 0.1723251029
[36,] 2 8 0.1723251029
>

143:１３２人目の素数さん
19/12/31 15:05:28.74 +cpgM5W3.net
900人を対象に実施したある試験の得点は，平均が300点，標準偏差が30点の正規分布に従うという。
成績が上位100番までの受験者の得点は，何点以上と考えられるか。

144:１３２人目の素数さん
19/12/31 15:50:37 xaU91arB.net
>>136
> sd=30
> mu=300
> pdf <- function(x) 1/(sqrt(2*pi)*sd)*exp(-(x-mu)^2/(2*sd^2))
> cdf <- function(x) integrate(pdf,x,Inf)$value
> uniroot(function(x) cdf(x)-100/900,c(200,400))$root
[1] 336.619213

145:１３２人目の素数さん
19/12/31 16:10:09 CIMjjWYH.net
　1/√π < 4^(-n)･(√n)･(2n,n) < 1/2,

略証
　g(n) = 4^(-n)･(√n)･(2n,n) = 4^(-n)･(√n)･(2n)!/(n!)^2,
とおけば
　g(n+1)/g(n) = (2n+1)/{2√(n(n+1))} > 1
よって g(n) は単調増加で、g(n) > g(1) = 1/2.
ところで、lim[n→∞] g(n) = 1/√π　　　>>24
により g(n) < 1/√π.

大関：「不等式への招待」近代科学社 (1987) p.53 例題10.
Sierpinski: "Elementary theory of numbers", PWN-Polish Sci.Publ. (1964)

146:１３２人目の素数さん
19/12/31 16:49:26.94 +cpgM5W3.net
平面上に2点A(2，3)，B(5，3)と直線x+y-2=0がある。この直線上に点Pをとるとき，
AP+BPを最小にするような点Pの座標を求めよ。
疲れました。教科書ガイドに載っているような一番単純でまともな解き方を、
大変面倒なところ申し訳ないのですが、もう教えていただけないでしょうか？
自分の勝手な都合で教科書ガイド持っていなくて大変申し訳ありません。

147:１３２人目の素数さん
19/12/31 16:56:41.11 bBFmiBcU.net
>>139
P(p,2-p)とおく。
AP=√(p-2)^2+(-1-p)^2
=√(2p^2-2p+5)
BP=√(p-5)^2+(-1-p)^2
=√(2p^2-8p+26)
APはp=1/2のときに最小、BPはp=2のときに最小
したがってAP+BPはp=(1/2+2)/2=5/4のときに最小
あとは代入

148:１３２人目の素数さん
19/12/31 16:57:44.52 +cpgM5W3.net
900人を対象に実施したある試験の得点は，平均が300点，標準偏差が30点の正規分布に従うという。
成績が上位100番までの受験者の得点は，何点以上と考えられるか。
疲れました。教科書ガイドに載っているような一番単純でまともな解き方を、
大変面倒なところ申し訳ないのですが、もう教えていただけないでしょうか？
自分の勝手な都合で教科書ガイド持っていなくて大変申し訳ありません。

149:１３２人目の素数さん
19/12/31 17:01:33.92 Lf8CwB9x.net
>>141
前スレに回答したけど？

150:１３２人目の素数さん
19/12/31 17:07:06.90 +cpgM5W3.net
>>140
何に何を代入するのかわかりません。pの座標がばらばらです。答えは(1，1)ですよ。

151:１３２人目の素数さん
19/12/31 17:10:53 +cpgM5W3.net
>>142
最初に質問したのはこのスレの>>12です。

152:１３２人目の素数さん
19/12/31 17:15:18 Lf8CwB9x.net
>>144
じゃあ>>16

153:１３２人目の素数さん
19/12/31 17:26:35.37 bBFmiBcU.net
>>143
チッ
騙されねえかw

154:１３２人目の素数さん
19/12/31 17:52:25.62 K0zLGBuW.net
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155:１３２人目の素数さん
19/12/31 18:06:42 tmESw+mK.net
>>139
面倒なのでPCで解く、P(p,2-p)として

f <- function(p,A=2+3i,B=5+3i){
P=p+(2-p)*1i
abs(A-P)+abs(B-P)
}
optimise(f,c(-50,50),tol = .Machine$double.eps)

> optimise(f,c(-50,50),tol = .Machine$double.eps)
$minimum
[1] 1

$objective
[1] 6.708204

p=1 ゆえ P(1,1)

156:１３２人目の素数さん
19/12/31 19:13:20.06 NB4wsDH9.net
>>139
x+y-2=0に対してBと線対称の位置にある点B’(-1,-3)を考えればいい。
AP+BP=AP+B’Pだが、AP+B’Pが最小になるのはAPB’が直線上に
ある場合なのは自明。
直線APB’の方程式はy=2x-1なので、これとx+y-2=0の交点が求めるP
で、(1,1)

157:１３２人目の素数さん
19/12/31 19:35:48.92 bBFmiBcU.net
>>149
自明では駄目です
背理法で示してください。

158:１３２人目の素数さん
19/12/31 20:32:42.15 Lf8CwB9x.net
>>150
直線が最短だから距離というのよ

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