cos6°＝？ - 暇つぶし2ch

cos6°＝？ at MATH

15:１３２人目の素数さん
19/12/12 10:52:18.00 lnwY+Gmd.net
cosπ/30

16:１３２人目の素数さん
19/12/20 02:16:53.43 yiLw1Jz8.net
1700
しろ@huwa_cororon 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)

17:１３２人目の素数さん
20/01/08 23:33:38 zxSK69X3.net
sin6°＝sin66°+sin666°+sin6666°+sin66666°+sin666666°+sin6666666°+sin66666666°+sin666666666°

18:
20/01/09 00:00:07.85 RixsPfgs.net
cos6°=0.994521895……

19:１３２人目の素数さん
20/01/09 00:53:10.57 7VIHkm5+.net
0.994521895……＝cos66°+cos666°+cos6666°+cos66666°+cos666666°+cos6666666°+cos66666666°+cos666666666°

20:１３２人目の素数さん
20/01/11 08:53:11.18 RkMH+jmj.net
T_5(cos 6ﾟ) = cos(30ﾟ)　より
16x^5 -20x^3 +5x = (√3)/2,
T_6(cos 6ﾟ) = cos(36ﾟ)　より
32x^6 -48x^4 +18x^2 -1 = (1+√5)/4,

21:１３２人目の素数さん
20/02/25 23:09:34.42 GI+iZoPX.net
この問題はΣと合同式とベクトルの重心の公式、三角関数の和積公式、などなど分かってないと解けない。
なかなかの良問。大学受験の数学の問題で出してもおもしろいかもね。

22:１３２人目の素数さん
20/02/26 03:53:34.66 jrzfCjiF.net
cos(30°) = (√3)/2 = 0.866025403
cos(36°) = (1+√5)/4 = 0.809016994
sin(36°) ＝ √{(5-√5)/8} = 0.587785252
sin(30°) = 0.5
cos(6°) = cos(36°-30°) = cos(36°)cos(30°) + sin(36°)sin(30°)
　= (1+√5)/4・(√3)/2 + √{(5-√5)/8}・(1/2)
　= 0.994521895

23:１３２人目の素数さん
20/03/01 06:55:43.88 WQDcJ8ig.net
sin(6°) = sin(36°-30°) = sin(36°)cos(30°) - cos(36°)sin(30°)
　= √{(5-√5)/8}・(√3)/2 - (1+√5)/4・(1/2)
　= 0.104528463

24:１３２人目の素数さん
20/03/01 10:51:47 siseuOIi.net
>>22-23

cos(6°) = cos(36°-30°)
sin(6°) = sin(36°-30°)
いいね

URLﾘﾝｸ(denofhardworking.blog.fc2.com)
Den of Hardworking
cos36°(=cosπ/5)の3通りの求め方 2013-11-04
(抜粋)
3. 複素数平面上で単位円に内接する正5角形を利用する．
URLﾘﾝｸ(blog-imgs-62-origin.fc2.com)
予備知識が無いとやや取っつきにくいかもしれませんが，これも有名な方法です．1.の方法に比べれば，やや遠回りですが，「因数分解->相反方程式と見なす->対称式とみなす->置き換える」と流れが非常に美しい．

25:１３２人目の素数さん
20/03/03 07:07:13.52 KGTUQZbA.net
以下　θ=36ﾟ (=π/5) と置いています。
1. 式変形のみで求める。
　2θ = π - 3θ,
　sin(2θ) = sin(π-3θ) = sin(3θ),
　2sinθcosθ = 3sinθ - 4(sinθ)^3,
　2cosθ = 3 - 4(sinθ)^2 = 4(cosθ)^2 - 1,
　4(cosθ)^2 -2cosθ -1 = 0,
　0 < θ < π/2 より cosθ>0 であるから
　cosθ = (1+√5)/4,
一番記述量が少ないです。
気を付ける事は最初にcosではなく、相方のsinを角度に被せるという事です。

26:１３２人目の素数さん
20/03/03 07:08:05.10 KGTUQZbA.net
2. 頂角36ﾟの2等辺三角形を利用する。
　∠A = θ,
　∠B = ∠C = 2θ = 2∠A,
　AB = AC = 1,
　BC = x,
とする。
∠B の2等分線と辺ACの交点をDとおく。
　△ABC ∽ △BCD
なので
　BD = BC = x,
　CD = xx,
△ADB も2等辺三角形だから
　AD = BD = BC = x,
　AD = AC - CD = 1 - xx,
よって
　x = 1 - xx,
　xx+x-1 = 0,
　x>0 より
　x = (-1+√5)/2
　cos(2θ) = x/2 = (-1+√5)/4,
　2(cosθ)^2 - 1 = (-1+√5)/4,
　(cosθ)^2 = (3+√5)/8 ={(1+√5)/4}^2,
cosθ >0 より
　cosθ = (1+√5)/4.

補助線を引く事で相似な三角形が出来，辺が2通りに表せるのでそれを等しいと置いて解きます。
求めたxは cosθ ではない事に注意して下さい。
他にも2倍角の公式や2重根号等の知識が必要であったりして少し遠回りです。
　(誘導されていたら仕方ないですが････)
あと，問題の誘導によってはxと1の役割が反対になっていたりする事にも注意して下さい。
　(その場合，1/x,1/x^2 が出て来る.)

27:１３２人目の素数さん
20/03/03 07:12:58.93 KGTUQZbA.net
3. 複素数平面上で単位円に内接する正5角形を利用する。
　ω = cosθ + i sinθ = e^(iθ),
とおく。
　ω^5 = e^(i5θ) = e^(iπ) = -1,
より
　(ω+1)(ω^4 - ω^3 + ω^2 - ω + 1) = 0,
ω≠0, ω≠-1 より
　ω^2 - ω + 1 - 1/ω + 1/ω^2 = 0,
　(ω + 1/ω)^2 - (ω + 1/ω) - 1 = 0,
ω + 1/ω = 2cosθ = 2c (>0)　とおくと
　(2c)^2 - (2c) - 1 = 0,
　c = (1+√5)/4,
　cosθ = (1+√5)/4.
(コメント省略)

28:１３２人目の素数さん
20/03/03 07:26:55.99 KGTUQZbA.net
4. 式変形のみで求める。
　2θ = π - 3θ,
　cos(2θ) = cos(π-3θ) = -cos(3θ),
　2(cosθ)^2 -1 = -4(cosθ)^3 +3cosθ,
　4(cosθ)^3 +2(cosθ)^2 -3cosθ -1 = 0,
　(cosθ+1){4(cosθ)^2 -2cosθ -1} = 0,
cosθ+1 >0 だから
　4(cosθ)^2 -2cosθ -1 = 0,
　0 < θ < π/2 より cosθ>0 であるから
　cosθ = (1+√5)/4,
これもアリかと････

29:１３２人目の素数さん
20/03/04 23:41:11.84 aDVD7B8f.net
しょがねーなー、誰も分からないみたいだから解説してやるよ。
66,666,6666,66666,666666,6666666…
という数列を考える。
360を法とすると
66≡66 (mod 360) 666≡306 (mod 360)
6666≡186 (mod 360)　66666≡66 (mod 360) 以下繰り返し。
66,306,186,66,306,186,…
それぞれの角度が120°差なので、xy平面で
(cos66°,sin66°), (cos306°,sin306°), (cos186°,sin186°)
の3点は原点を重心とする正三角形になります。
ということは
{(cos66°,sin66°)+(cos306°,sin306°)+(cos186°,sin186°)}/3=(0,0)
ですから、
cos(66°)+cos(306°)+cos(186°)=0
sin6°=sin66°+sin306°=sin66°-sin54°

三角関数の和積公式より
=2cos60°sin6°=sin6°　

30:１３２人目の素数さん
20/03/04 23:47:26 aDVD7B8f.net
ごめん、最後の３行ミス。sinとごっちゃになった。

cos6°=cos66°+cos306°=cos66°+cos54°

三角関数の和積公式より

=2cos60°cos6°=cos6°　

31:１３２人目の素数さん
20/03/06 11:19:08.26 HssUQNyN.net
3, 33, 333, 3333, 33333, 333333, 3333333…
という数列を考える。
360を法とすると
3333 ≡ 93　(mod 360)
33333 ≡ 213　(mod 360)
333333 ≡ 333　(mod 360)
以下繰り返し。
3, 33, 333, 93, 213, 333, 93, 213, 333, 93, 213, 333, …
それぞれの角度が120°差なので、xy平面で
(cos(93ﾟ), sin(93ﾟ))
(cos(213ﾟ), sin(213ﾟ))
(cos(333ﾟ), sin(333ﾟ))
の3点は原点を重心とする正三角形。てぇことは････(以下同文)
>>22 の cos(6ﾟ) を入れると、
sin(93ﾟ) = cos(3ﾟ) = √{[1+cos(6ﾟ)]/2} = 0.998629534
cos(93ﾟ) = -sin(3ﾟ) = - √{[1-cos(6ﾟ)]/2} = - 0.05233596
--------------------------
3,6 → 周期３
1,2,4,5,7,8 → 周期９
9 → 周期１　(-81ﾟ)

32:１３２人目の素数さん
20/03/10 02:23:15 kBIJJBYO.net
>>31
俺の模範解答パクっただけやん（笑）

しかも分かり難くなってるし。

33:１３２人目の素数さん
20/03/11 11:52:24 T+B2GgkQ.net
cos18°とcos15°からcos3°を求めて、それを倍角にすればいいだろ。

34:１３２人目の素数さん
20/03/11 11:58:38 T+B2GgkQ.net
>>24のden of hardworkingのサイトはかなりすごいんだよなあ。
受験数学を究めたいなら参考になる。
微積と三角関数の記事が多いかな。

den of hardworkingが終わったら、怜悧玲瓏も見ておくのがおすすめ。

35:１３２人目の素数さん
20/05/27 01:25:17 2I72JytV.net
〔類題〕

sinθ = 1/2　【三角比の導入】
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 14:38,

sin(z) = 2　【数学検定1級過去問】
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 14:23,
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 04:22,