整数論を勉強するためのスレッド

整数論を勉強するため ..

164:１３２人目の素数さん
20/04/06 22:23:39 1EENeCgE.net
多元の院生でした
F先生は天才だと思うのですが、数論の天才はそれを遥かに凌駕するのですね……
この世界、ヤバスギですね……

165:１３２人目の素数さん
20/04/06 22:36:29.99 1EENeCgE.net
私が学生のころから、I先生とF先生は多元の若手でも、明らかに突出していました。
そりゃあ、論文書かない教授とか居ますよ。だけど、旧帝大の先生なんて、やっぱ普通の人じゃなれないわけですよ
その秀才集団の中でも、この2人って、学生の目から見ても明らかに天才だったんですよね。
でも、世界にゃ彼らから見ても雲の上みたいな数学者がわんさかいるんですよね
ちっぽけだわ。俺ってちっぽけだわ。

166:１３２人目の素数さん
20/04/07 00:45:04 oxk5mTUl.net
伝説級の数学者になる人
優秀な数学者になる人
数学者になる人
真面目な学生
おちこぼれ学生
そもそも学部入試すら通らないゴミ

透視図法みたいなもので、自分より遠くは粗くしか分類できない

167:１３２人目の素数さん
20/04/07 00:48:50 18gt0abs.net
K, k: 代数体
K/k: Galois拡大
O_K, O_k: K, kにおける整数環
p⊂O_k: 素イデアル

pO_K = P_1^e_1∩...∩P_g^e_g (P_*⊂O_K: 素イデアル)

と素イデアル分解したとする。

Κ_i := O_K/P_i
κ := O_k/p
f_i := [Κ_i:κ]

とおくと、

[K : k] = Σ[i = 1 to g] e_i * f_i.

Gal(K/k)のKへの作用は、{P_1, ..., P_n}への作用を誘導する。
K/kがGalois拡大の場合、この作用は推移的になる。この時、

e_1 = ... = e_g

となる。これを簡単にeと書く。

K/kがGalois拡大の場合、さらに

f_1 = ... = f_g

となる。これを簡単にeと書く。よって、

[K : k] = efg.

168:１３２人目の素数さん
20/04/07 00:52:16 18gt0abs.net
D_i := { σ∈Gal(K/k)| σ(P_i) = P_i }

とおく。このD_iをP_iの分解群という。群の作用の性質から

|{σ(P_i)| σ∈Gal(K/k) }| = |Gal(K/k)|/|D_i|.

Gal(K/k)の作用は推移的だったので、

g = [K : k]/|D_i|
∴ |D_i| = ef.

σ∈D_iとする。
x + P_i∈Κ_iに対して、σ(x) + P_iを対応させることで、群の準同型

D_i → Gal(Κ_i/κ)

が定まる。この準同型は全射だが、単射とは限らない。
その核をI_iとすると、

|D_i|/|I_i| = f_i
∴ |I_i| = e

このI_iを、P_iの惰性群という。

169:１３２人目の素数さん
20/04/07 08:20:16 18gt0abs.net
以下、e = 1の場合を考える。このとき、

D_i ～ Gal(Κ_i/κ)

Κ_i/κは有限体の代数拡大なので、Gal(Κ_i/κ)は位数fの巡回群。
その生成元をφ_iとする。φ_iのD_i⊂Gal(K/k)への引き戻しを、

[(K/k)/P_i]

と書く。この元は、

[(K/k)/P_i](x) + P_i = x^f + P_i ∈ Κ_i

となる元である。

[(K/k)/P_i]の位数が1 ⇔ pはO_Kで完全分解

τ(P_i) = P_jとなるτ∈Gal(K/k)を用いると、

[(K/k)/P_i] = τ^(-1)∘[(K/k)/P_j]∘τ

となる。
したがって、K/kがAbel拡大であれば、この元はpのみから定まるので

((K/k)/p)

と書く。

170:１３２人目の素数さん
20/04/07 08:23:14 18gt0abs.net
k = ℚの場合

K = ℚ(ζ_m) (ζ_m := exp(2πi/m))
p = (p)⊂ℤ (p:奇素数)
とする。このとき、((ℚ(ζ_m)/ℚ)/(p))は、

((ℚ(ζ_m)/ℚ)/(p))(ζ_m) = (ζ_m)^p

で定まる自己同型である。

K: 代数体
K/ℚ: Abel拡大
とする。
Kronecker-Weberの定理より、あるmがあって、

ℚ⊂K⊂ℚ(ζ_m)

となる。対応する群は、

Gal(ℚ(ζ_m)/ℚ)⊃Gal(K/ℚ)⊃{e}

であり、

Gal(K/ℚ) ～ Gal(ℚ(ζ_m)/ℚ)/Gal(K/ℚ).

よって、p: 奇素数に対し、

(p)がKで完全分解 ⇔ ((ℚ(ζ_m)/ℚ)/(p))のKへの制限が恒等写像

171:１３２人目の素数さん
20/04/07 17:44:03 teLchzzw.net
よくよく考えたら原始根以前に有限体やp進数の逆元も具体的に分かってるわけではないのか
aとbが互いに素な整数のとき、ある整数a*とb*が存在して
aa*+bb*=1
と出来る、この事実が全ての基礎になってるわけだけど
これらが簡単に表現できない(互除法で行き当たりばったりで作るしかない)ことが神秘的なのかね
文元センセも言ってた加法と乗法の複雑な絡み合い

172:１３２人目の素数さん
20/04/07 21:50:00.26 xomzJtfm.net
任意のnに対して、有理数体のガロア拡大で、ガロア群がZ/nZと同型になるものは存在しますか？

173:１３２人目の素数さん
20/04/07 22:15:15 6spc6HMY.net
算術級数定理より

p = kn + 1

となる素数pが存在する

ζを1の原始p乗根とすると、Q(ζ)/QはGalois拡大で、Gal(Q(ζ)/Q)は

(Z/pZ)^× ～ Z/(p-1)Z ～ Z/(kn)Z

これの部分群Hで、Z/kZと同形なものが存在する

(Q(ζ)^H)/Qが求めるもの

174:１３２人目の素数さん
20/04/07 22:22:16 teLchzzw.net
なるほど～
n|p-1なるpがあればいいとこまではわかったけど、算術級数定理か

175:１３２人目の素数さん
20/04/07 22:29:05.57 3T2KVGlb.net
すべての自然数を、素数と高々 k 個の素数の積である数との和で表すことのできるような、k が存在することを証明してくれ〜

176:１３２人目の素数さん
20/04/07 23:41:22 283MpXKW.net
>>175
1どうしましょ

177:１３２人目の素数さん
20/04/08 01:58:42.77 O0tyApMG.net
>>175
レー二の定理
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)

178:１３２人目の素数さん
20/04/08 05:13:10.38 Ibxp4XrV.net
この人がコーヒーの有名な一節の親なのか
「すべての自然数」てのはwikiのミスかね

179:１３２人目の素数さん
20/04/08 17:53:12 9XSIHJqK.net
> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1

4×5の場合
宝：1個　同等
宝：2〜5個　短軸有利
宝：6〜13個　長軸有利
宝：14〜20個　同等

□■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■

短軸有利☆

Table[sum[C(2n-1+C(0,(21mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]

長軸有利☆

Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,C(3,n-2)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]

同等☆

Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}]

180:１３２人目の素数さん
20/04/08 19:08:41.74 z2JLnDZ4.net
(1 - x)(1 - x^2)(1 - x^3) ...

181:１３２人目の素数さん
20/04/10 10:57:23.96 d17WbpJ8.net
>>180
e(n) := nを偶数個の異なる自然数に分割する組み合わせの総数
o(n) := nを奇数個の異なる自然数に分割する組み合わせの総数
とすると、x^nの係数は
e(n) - o(n)

182:１３２人目の素数さん
20/04/10 12:25:30.15 +JuE8csR.net
e(n) - o(n)は、-1～1しか取らない

183:１３２人目の素数さん
20/04/11 21:27:44 MRjm12uG.net
n=pq(異なる素数の積)のときn次の円分多項式の係数が-1～1しか取らないことの証明教えて
(このことからn=p^iq^jのときもそうなる)

184:１３２人目の素数さん
20/04/11 21:45:35 MRjm12uG.net
自己解決した

185:１３２人目の素数さん
20/04/12 22:21:11.40 s2F2f2WJ.net
>>183
あれ？
それ成立しないって聞いた記憶かるけど？

186:１３２人目の素数さん
20/04/12 22:32:34.23 fxiBcFsv.net
>>185
それはnが3つ以上の奇素数の積のときではなく？

187:１３２人目の素数さん
20/04/13 20:37:25 eB1v2sjZ.net
ベルトラン仮説や算術級数定理のような素数に関する素朴でシンプルな定理あれば教えてください
(上のレーニの定理は少し複雑だなという感想です)

188:◆QZaw55cn4c
20/04/13 22:13:45 2HELtJr7.net
>>187
ゴールドバッハの予想
＞全ての 3 よりも大きな偶数は2つの素数の和として表すことができる

189:１３２人目の素数さん
20/04/13 22:38:58.17 eB1v2sjZ.net
て、定理をお願いします…

190:１３２人目の素数さん
20/04/13 22:39:44.21 doFm6REC.net
素数の逆数和は発散する

191:１３２人目の素数さん
20/04/14 11:01:55.50 JKkrDks5.net
フェルマーの小定理

192:１３２人目の素数さん
20/04/14 13:35:21.37 zAX8Cvpg.net
はよせい(｀_´)

193:１３２人目の素数さん
20/04/19 03:16:44 tU5PHIJd.net
ウェアリングの問題、ゴールドバッハの予想 >>119
ヴィノグラードフの定理 >>129
レー二の定理 >>177

194:１３２人目の素数さん
20/04/19 03:17:23 tU5PHIJd.net
Zero-sum problem、エルデシュ＝ギンツブルグの定理 >>108
バーゼル問題 >>127
虚数乗法 >>11 、類数公式 >>80-91

195:１３２人目の素数さん
20/04/19 03:23:47 tU5PHIJd.net
与えられた数より小さい素数の個数について >>16
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)リーマン予想

196:１３２人目の素数さん
20/04/19 20:20:35 74+JYiE8.net
おお！ありがとう
ヴィノグラードフとエルデシュ=ギンツブルグ初めて知りました

197:１３２人目の素数さん
20/04/20 22:46:36 35vuW0Bh.net
ベルトランの仮説はゴールドバッハの予想から持ってこれる。中国剰余定理とフェルマーの小定理は素数の定義と3000時間にらめっこしてれば大体の人が自力発見できると思う

198:１３２人目の素数さん
20/04/23 14:37:22 M2d54xbk.net
赤玉i個、黄玉j個、青玉k個を2人で分ける。
　i_1 + i_2 = i,
　j_1 + j_2 = j
　k_1 + k_2 = k,

(i,j,k）が
　i+j+k = 偶数,
　|i-j| ≦ k ≦ i+j,
の条件を満たすとき、
　{i_1, j_1, k_1} = {i_2, j_2, k_2}　　←集合として同じ
とすることができるか？
（色違いは許して同数）

199:１３２人目の素数さん
20/04/24 17:10:41 FdH14EWV.net
>>190
H_n = Σ[k=1,n] 1/k
< Π[p≦n] (1+1/p+1/pp+････)
= Π[p≦n] 1/(1-1/p)
= Π[p≦n] {1 + 1/(p-1)}
= 2Π[2<p≦n] {1 + 1/(p-1)}
< 2Π[p<n] (1 + 1/p)
< 2 exp(Σ[p<n] 1/p),

H_n → ∞　(n→∞)
より
Σ[p<n］1/p → ∞　(n→∞)

200:１３２人目の素数さん
20/04/24 22:23:26.29 FdH14EWV.net
>>190
・高校数学の美しい物語
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
・思考力を鍛える数学
URLﾘﾝｸ(www.mathlion.jp)
・数学探偵Channel
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 02:53
・杉山＆ヨビノリたくみ（鈴木貫太郎）
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 41:25

201:１３２人目の素数さん
20/04/30 16:58:26 njuvIHl8.net
保型形式は、楕円関数論の延長としてやるのが好ましいね

Δ=G_2^3 - 27G_3^2

とか言われても、係数の意味わかんねーし

202:１３２人目の素数さん
20/04/30 17:53:00 Je+bO2n6.net
それって極の係数合わせてるだけではないの？

203:１３２人目の素数さん
20/04/30 18:20:46 grParZpf.net
モジュラー形式をリー群に一般化したのが保型形式だけど、後々保型形式を勉強することを見越してモジュラー形式を保型形式と呼ぶことがあるから、恐らくモジュラー形式の話だろう
保型形式"論"では判別式は登場しないので知らなくても問題ない

204:１３２人目の素数さん
20/05/01 14:34:31 2+h9EAX6.net
>>198
できる。これは何かの有名な問題？

205:１３２人目の素数さん
20/05/04 14:16:03 jDRWX2Ph.net
3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)

206:１３２人目の素数さん
20/05/09 08:44:51 pHr5kdzK.net
フェルマーの最初の定理って何だろう？

〔問題〕
n≧0 に対して　F_n = 2^(2^n）+ 1　とおく。
(1)　F_{n+1｝- 2 = F_n (F_n - 2）を示せ。
(2)　m<n のとき F_m と F_n は互いに素であることを示せ。
(3)　奇素数が無限個あることを示せ。

もちろん、F_n が素数とは限らない。

207:１３２人目の素数さん
20/05/09 08:56:44 pHr5kdzK.net
>>198
i_1 = j_2 =（i+j-k)/2,
j_1 = k_2 =（-i+j+k)/2,
k_1 = i_2 =（i-j+k)/2,
など。(Ravi変換?)

208:１３２人目の素数さん
20/05/12 18:24:34 bNx4VBt3.net
SerreのA Course in Arothmeticを読んでいます。
2章のはじめの定理の証明に、「ℤpはコンパクトであるため～」(ℤpはp進整数環)とサラッと書いてあるのですが、どう証明するのでしょうか

209:１３２人目の素数さん
20/05/12 18:40:45 gdd+7JW+.net
Aerosmithに見えた

210:１３２人目の素数さん
20/05/12 18:50:42 eeOJx/cN.net
局所体Kは局所コンパクトであり、その付値環οはコンパクトである
Qpは局所体なので、その付置環Zpはコンパクトである

211:１３２人目の素数さん
20/05/12 18:56:11 bNx4VBt3.net
一般論知ってるとそうなるんですね。
局所体について書いてある本読んで見ます。
永田の可換体論かSerreのLocsl Fieldsに載ってるかな

212:１３２人目の素数さん
20/05/12 18:57:43.51 7GDKXo0T.net
>>208
Z/pZの可算直積と見てチコノフの定理とかでいいんじゃなかったっけ？

213:１３２人目の素数さん
20/05/12 18:59:46.73 bNx4VBt3.net
p進整数はp進展開と1対1に対応するので、
X:=Π[n∈ℕ]ℤ/pℤ
からの全射が存在。
各ℤ/pℤに離散位相を入れ、積位相を考えると、Tychonoffの定理よりXはコンパクト。
なので、上の全射が連続写像であることを示せば良い。
ℤpは位相群なので、0の閉近傍系p^nℤpがの逆像がXの閉集合になることを示せば十分。
nは任意に取り、p^nℤpの逆像をFとすると、Fは(... , n(p+2) , n(p+1), 0, ..., 0, 0)の形のもの全体。この補集合は、有限個の開集合×残り全部ℤ/pℤなので、Xの開集合。したがって連続。□

こんな感じか

214:１３２人目の素数さん
20/05/12 19:07:42 XhRD3Cmi.net
>>208
Serreの流れだと有限環ℤ/p^nの射影極限だから有限集合（コンパクト）の（無限）直積で（チコノフの定理より？）コンパクトというつもりでしょ
その商体Q_pはそれゆえ局所コンパクトという論法だろう

215:１３２人目の素数さん
20/05/12 19:10:55 XhRD3Cmi.net
あっ，もう済んでた！

216:１３２人目の素数さん
20/05/12 19:32:25 gdd+7JW+.net
すべての副有限群はコンパクトってことか
wiki読んでて知ったんだがすべての副有限群はある拡大のガロア群になるらしいね
Z_pをガロア群として持つような拡大って例えば何？

217:１３２人目の素数さん
20/05/12 19:33:19 bNx4VBt3.net
みなさんありがとうございます。

非自明なのは、チコノフの定理と、積位相とp進距離による位相がちゃんと対応するところですね

218:１３２人目の素数さん
20/05/12 19:47:30.98 rM3/opNb.net
>>216
pを奇素数
Gal(ℚ(ζ_p^(n+1))/ℚ)
～(ℤ/p^(n+1)ℤ)^×
～(ℤ/(p-1)ℤ)×(ℤ/p^nℤ)
なので、ℚ(ζ_p^(n+1))の部分体K_nで、Gal(K_n/ℚ)～ℤ/p^nℤとなるものが存在する
K=∪[n≧1]K_n
とすれば、Gal(K/ℚ)～ℤ_p
というふうに構成できたはず。

219:１３２人目の素数さん
20/05/12 19:56:01 rM3/opNb.net
こんなことしなくても、

K_n=ℚ(ζ_p^(n+1))
K_∞=∪[n≧1]K_n

とすれば、

Gal(K_n/K_0)～ℤ/p^nℤ

だから、Gal(K_∞/K_0)～ℤ_pか

220:１３２人目の素数さん
20/05/12 19:56:11 gdd+7JW+.net
>>218
なるほど、バチの方からうまく取り出すのか
とはいえ最終形が謎すぎるな

221:１３２人目の素数さん
20/05/12 20:00:02 gdd+7JW+.net
あー、p-1の方はQ(ζ_p)から始めれば消せるのか

222:１３２人目の素数さん
20/05/13 02:03:48.03 A69DjUkt.net
お話ぶった切って申し訳ないのですが以下の疑問について教えて頂ける方はいらっしゃいますでしょうか？
①自然数1からnまでの約数の個数の総和の公式または近似式について一般的に知られているものはあるのでしょうか？
②自然数1からnまでの約数の個数の逆数の総和の公式または近似式について一般的に知られているものはあるのでしょうか？
よろしくお願いします

223:１３２人目の素数さん
20/05/14 18:07:54 KTOBc2Kb.net
ID:bNx4VBt3
ageるな

224:１３２人目の素数さん
20/05/15 19:11:44.38 coEapvpP.net
ググると、徳島大学の学部4年生が1年で
Neukirchと、Hartshorneと、SerreのLocal Fieldsと、SGA 4 1/2の1章
を読了しているセミナーの報告が出てくるが、ホンマかいな
京大のAコースでもM1でHartshorne読み終わる奴も珍しくないのに

225:１３２人目の素数さん
20/05/15 20:00:18 ugOrNQS2.net
ぱらぱら眺めて、言葉だけ覚えて、勉強した気になるアホはどこにでも一定数いる。

226:１３２人目の素数さん
20/05/15 20:15:14.67 hmvVN81A.net
東大のある先生は学部二年までにハーツホーン読んでて当たり前と言ってるみたいなのを数学板で見た

227:１３２人目の素数さん
20/05/15 20:31:50.23 TZqau7rC.net
B4ならこんなもんじゃないの

228:１３２人目の素数さん
20/05/15 23:43:50.12 KW08AtIKp
URLﾘﾝｸ(note.com)
これマジでやったほうがいいよ
英語の勉強全くいらなくなる
誰でも確実に英語脳できる

229:１３２人目の素数さん
20/05/22 17:20:29 5RIWtRFh.net
恥ずかしいことだが京理4回の講究は>>208で必ず引っかかる

230:１３２人目の素数さん
20/05/22 20:10:13 ptQoMTfq.net
>>210
局所コンパクトな体の付値環がコンパクトってどう証明するんですか？

231:１３２人目の素数さん
20/05/25 18:15:15 as7r/XH1.net
｛x｝= x -［x］
　　= 1/2 - Σ[k=1,∞］sin(2kπx)/(kπ),

[大学学部レヴェル質問スレ１３．398]

232:１３２人目の素数さん
20/05/26 12:10:54 epuMy11v.net
>>230
局所体Kの付値環oがコンパクトだな
局所体は自明ではない乗法付値に対して非連結な局所コンパクト付値体なので、局所コンパクトな体だけでは条件が恐らく足りない

Kの付値環oは(局所体が持つ正規(特に離散)指数付値が定める付値環なので)離散付値環である
よって以降離散付値環に対して議論すればよい
一般に、離散付値環oとその極大イデアルpに対して、oとlim_← o/p^nは代数的同型かつ同相…?

一方、離散付値環oとその極大イデアルpに対して、商群p^m/p^{m+1}とo/pは同型なので、任意のn∈Nに対して商環o/p^nは有限で、特にコンパクトである
よってチコノフの定理よりΠ_{n=1}^{∞}o/p^nもコンパクトで、コンパクトの閉部分集合はコンパクトなのでlim_← o/p^nもコンパクト
?よりoもコンパクトである

233:１３２人目の素数さん
20/05/26 12:28:18.19 epuMy11v.net
すまん、離散付値環に対して議論すればよい
って書いてるけど、
離散付値に関して完備、剰余類体が有限という局所体の条件を使ってるから、
一般の離散付値環がコンパクトとは限らない

234:１３２人目の素数さん
20/05/26 12:55:02.26 aYF++qy3.net
誰かの定理で局所コンパクト体が結局標準的な局所コンパクト体しかないって定理あったと思うんだけとなんだっけ？
名前がアルファベットで四文字くらいだった記憶がある。
ググっても見つからない。

235:１３２人目の素数さん
20/05/26 23:31:49 moFWvn2F.net
整数問題の史上最高傑作？（Passlabo）

aa+bb+cc = 292 のとき、整数(a,b,c）を求めよ。

URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 13:24

236:１３２人目の素数さん
20/05/26 23:34:53 moFWvn2F.net
{a,b,c｝=｛±2, ±12, ±12｝と｛0, ±6, ±16}

237:１３２人目の素数さん
20/05/27 03:30:02 qjAXFTAb.net
>>234
なんかブルバキっぽい話題だな、ヴェイユあたりか？知らんけど

238:１３２人目の素数さん
20/05/30 21:59:15 JGHWf3RD.net
a, bを互いに素な整数

p ≡ b (mod a)

となるpが少なくとも1つ存在することは、初等的に示せる？

239:１３２人目の素数さん
20/05/30 22:44:12.93 fvfWwsTO.net
modular curveのuniversal elliptic curveって何
なんかの表現可能関手のuniversal element？

240:１３２人目の素数さん
20/05/31 00:02:06.93 eEopntvU.net
>>238
bが1のときは確か円分多項式を利用してできるハズ。
一般にはむずかしい。
セルバーグの論文があったはず。(確か1950)

241:１３２人目の素数さん
20/05/31 08:58:38 kTYcRm4u.net
>>240
>>238は「少なくとも1つ」ならば易しくなるか？と聞いてるのでは
俺もわからん

242:１３２人目の素数さん
20/05/31 12:38:45.35 CSQH3/k8.net
やっぱディリクレの算術級数定理ってすげーわ

243:１３２人目の素数さん
20/05/31 15:47:15.60 eEopntvU.net
>>241
なるほど、そうだ。
でも“少なくともひとつ”でも聞いたことないな。

244:１３２人目の素数さん
20/05/31 18:54:12.79 l3wGZeTJ.net
ID:JGHWf3RD
ID:fvfWwsTO
ageるな

245:１３２人目の素数さん
20/06/01 05:17:10.22 eforR3dR.net
はてなブログの「算術級数定理についての注意」という記事に書いてありますね。
（リンクが貼れない。）
「少なくとも一つ」としても簡単にならないという話です。

246:１３２人目の素数さん
20/06/01 11:28:05.49 sNl9LSwh.net
「少なくとも1つ」と「無数に」が同値になるのか
知らなかった

247:１３２人目の素数さん
20/06/01 11:49:54.17 dxVayezA.net
マジか

248:１３２人目の素数さん
20/06/01 13:51:11.16 sNl9LSwh.net
>>246
厳密には >>238よりも少し強い存在定理
a, b が互いに素な正整数ならば、 p = an + b が素数となる整数 n > 0 が少なくとも1つ存在する
が成り立てば、無数にあるということか
a > 0 かつ b > 0 で n > 0 なら p > b だから、 ap と b が互いに素になるということが重要なのか

249:１３２人目の素数さん
20/06/01 17:35:55.64 2UPE3bfX.net
a,b固定ではなく互いに素な組すべてに対して存在を仮定してるのが味噌だね

250:１３２人目の素数さん
20/06/02 00:09:32 C/B76sA8.net
>>248
>>238の条件でも、すべての(a,b)=1 なる正整数につき少なくとも一つ
pが存在するなら、[a,b]ごとに無限に存在することは言えますね。
算術級数達は直感的に思うより交わりがあるということかな？
当然と言えば当然なのか？
それを使って何か知見が得られればいいけど。

251:１３２人目の素数さん
20/06/02 00:35:24.82 C/B76sA8.net
a≧2,a≧b≧1なるすべての互いに素な整数の順序対[a,b]に対して
(1) p≡b (mod a)
をみたす素数pが少なくとも1つ存在する
(2) p≡b (mod a) かつ p>b
をみたす素数pが少なくとも1つ存在する
(3) p≡b (mod a)　
をみたす素数pは無限に存在する。
が成立することは同値。
(1)⇒(2)の証明
(k,a+b)=1なる整数kを十分大きく（a+b<kaをみたすように）取ると（(ka,a+b)=1でもあるから）(1)より
p≡a+b (mod ka)
をみたす素数pが存在するが、pは条件をみたしている。
(2)⇒(3)の証明
p≡b (mod a)かつp>b をみたす素数全体の集合をSとおくと(2)よりSは少なくとも1つの素数を含む。
Sを有限集合として矛盾を導く。Π_{p∈S}p=Πとおくと(2)より
q≡b　(mod aΠ), q>b
をみたす素数qが少なくとも1つ存在するが、qはq≡b (mod a)，q>b，Sに属するどの素数でも割れない
をすべてみたすことになり矛盾する。

252:１３２人目の素数さん
20/06/02 07:27:45.66 iA0eGlWC.net
>>251
>(1)⇒(2)の証明
なるほど、それは気が付きませんでした
もし b が素数なら p = b と取れてしまうので困る気がしたのですが、
gcd(a, b) = 1 かつ gcd(k, a+b) = 1 ならば gcd(ka, a+b) = 1
が成り立つので問題ないわけですね
そして a+b < ka となる k を選べば p - (a+b) > 0 も言えると

253:１３２人目の素数さん
20/06/02 07:31:38.49 iA0eGlWC.net
>>252
>p - (a+b) > 0
ミス
正しくは p - (a+b) ≧ 0 です

254:１３２人目の素数さん
20/06/02 13:46:17 rz7PxQTp.net
Gをabel群とし、C(G)で各開集合にGを割り当てる前層の層化を表すことにします

lを素数として、

lim[n]C(ℤ/l^nℤ)　　（ℤ/l^nℤの定数層の逆極限）

と

C(ℤ_l)　　（l進整数環の定数層）

は異なりますか？

255:１３２人目の素数さん
20/06/02 17:55:58.35 bCshvdgj.net
>>254
ageるなって言われてるのに無視するなよ、荒らし

256:１３２人目の素数さん
20/06/02 19:28:27 5mCeYLD4.net
最近age,sageを覚えたのかな？
こんな過疎板で拘る意味ないよね

257:１３２人目の素数さん
20/06/02 20:30:57.91 B1PZCxtK.net
U⊂Xを開集合として、mをUの連結成分の個数として
C(Z_l)(U) = (Z_l)^m
(limC(Z/l^nZ))(U)
= lim(C(Z/l^nZ)(U))
= lim((Z/l^nZ)^m)
= (lim(Z/l^nZ))^m
= (Z_l)^m

258:１３２人目の素数さん
20/06/03 18:58:41.49 Q6xVzWVN.net
>>255
ageたらなんで悪いんだよ。こんな過疎板で拘るようなやつの気が知れないね。

259:１３２人目の素数さん
20/06/05 08:07:31 QWbDfVZz.net
任意の有限体に対して、それを剰余体に持つ局所体が存在するの？

260:１３２人目の素数さん
20/06/05 08:14:57.78 Vqb+nvOZ.net
有限体kそれ自体が局所環でその剰余体はkですよね

261:１３２人目の素数さん
20/06/05 08:16:43.76 QWbDfVZz.net
局所環ではなく局所体
Qpや、Fp((X))

あ、自分で書いて答え見つけたわ

262:１３２人目の素数さん
20/06/05 08:17:51.61 Vqb+nvOZ.net
あ、ほんとだごめん
よく見てなかった

263:１３２人目の素数さん
20/06/30 14:48:11.03 ISnsWMi+.net
SerreのCourse in Arithmetcのテータ関数のとこ読む

264:１３２人目の素数さん
20/06/30 14:51:19.17 ISnsWMi+.net
いろいろ順番前後するけど
朝は、Chebotarevの密度定理から既約なGalois表現がFrobenius元のトレースで決まることの証明を読んだ

265:１３２人目の素数さん
20/07/06 19:43:31.81 HPDcrjtp.net
整数の組(a,b) が
・gcd(a,b) = 1,
・|x-a|≦1, |y-b|≦1, (x,y)≠(a,b) の8点 (x,y) について
　gcd(x,y) >1,
を満たすとき (a,b)を縄張り(シマ)とよぶ。
(1)
　(a,b) = (55,21)　はシマか？
(2)
　(a,b) = (55(2･21m+1), 21)　　　　　m≧0
　(a,b) = (55, 21(2･55n+1))　　　　　n≧0
について
　gcd(a,b) = 1,
　gcd(a±1,b±1) ≧ 2,
　gcd(a-1,b) ≧ 3,
　gcd(a,b-1) ≧ 5,
　gcd(a+1,b) ≧ 7,
　gcd(a,b+1) ≧ 11,
を示せ。

266:１３２人目の素数さん
20/07/07 12:50:37 lCR7ncGj.net
志村が「数学をいかに使うか」シリーズで、「この公式は私の本には書いてあるが他には書いてない」「これについて私の本より上手く説明した本はない」などとやたら自画自賛してるので、Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functionsを手に入れようかなと思い始めた

267:１３２人目の素数さん
20/07/07 14:33:23 DxW3rUsG.net
しかしたとえば、高木貞治が「超幾何級数やゼータ関数などについては解析概論には詳しく書いてあるが、他の微分積分の本には無い」とか「Cauchyの積分定理はGreenの定理を使わずに導出するのがよく、そうしている本は日本では解析概論以外に無い」とか言ったとして、別に解析概論欲しくならんよな

268:１３２人目の素数さん
20/07/07 20:19:02.57 7vxztQCR.net
>>265
(3)
　(a,b) = (55(N+1), 21(N-1))
　(a,b) = (55(N-1), 21(N+1))　　　Nは2･55･21の倍数
もシマか？

269:１３２人目の素数さん
20/07/08 19:51:11.30 VNvrUmFY.net
志村本届いた
1、2、3章は言われてるほど難しい感じはしない
むしろ、位相群とかRiemann面とかの復習から入っていて、かなり丁寧な本という印象を受ける
まあ、この本の本題は、5章のAbel多様体の虚数乗法論と、7章のAbel多様体のゼータ関数論にあって、ここが難しいのだろうが

270:１３２人目の素数さん
20/07/08 19:55:39.96 yxtPx6kC.net
アマゾンレビューを見る限りアーベル多様体の定義自体が現代と異なるらしいから難しそうだな

271:１３２人目の素数さん
20/07/08 20:01:59 XlPTlzjS.net
前書きに、「付録に代数幾何の用語集を付けた。4章以降を読む奴は"専門家でも"必ずここを読め（意訳）」と書いてありますね

272:１３２人目の素数さん
20/07/09 17:43:17.14 0Nu9leD4.net
Z上で既約な多項式はQ上でも既約といういわゆるGaussの補題の系は、一般のDedekind環とその商体においても成り立つのか？整数環がUFDなら成り立つが
……
base changeして既約でなくなると困るんだけど

273:１３２人目の素数さん
20/07/09 17:47:56.64 tCgG0Zzy.net
とりあえず整閉だから1変数の場合はオーケー

274:１３２人目の素数さん
20/07/15 11:01:19.49 JG4qV0Js.net
ベルヌーイ数B_rの分子は、p|rかつnot p-1|rなる素数pすべて素因数として含むってすぐ分かりますか？
というのも岩波数論Ⅱで
ζ(1-r)=-B_r/rの分母D_rに対して
p|D_r ⇔ p-1|r
という記述があったのですが
一方、B_r自体の分母D'_rに対しては有名な
p|D'_r ⇔ p-1|r
があるので、これらを比較するとB_rをrで割ったときに
最初に書いたpで約分が起きないといけない気がしました
例えば
B_10=5/(2×3×11)
B_14=7/(2×3)
B_22=(11×131×593)/(2×3×23)
となっていて
たしかに5、7、11が分子にいます

275:１３２人目の素数さん
20/07/15 11:02:04.93 JG4qV0Js.net
ついでなんですが数論Ⅱで
p|D_r ⇔ p-1|r は
D_rを具体的にTateひねりを用いて表現した式
D_r=Π_p ♯(Q_p/Z_p(r))^(Gal(Q(μ_p^∞)/Q))
を使って証明してるんですが
この表示の良い文献があれば教えてください