分からない問題はここに書いてね453

分からない問題はここに書いてね453 at MATH

527:１３２人目の素数さん
19/06/13 00:39:15.73 hoBrCpWc.net
解決可能かはわかりませんが
1 1と始まるフィボナッチ数列について、arctan(1/F_n)の無限和はどうなるでしょうか
nが奇数のときだけ足し合わせるとπ/2なのは示せます

528:１３２人目の素数さん
19/06/13 06:36:48.32 1nn9BWNe.net
>>523
(1)　(-∞, ∞)
　{a,b,c} = {n, n, -1} のとき n(n-2) → ∞
　{a,b,c} = {n, -n, 1} のとき -nn → -∞
(2)　(-∞, 4/3]
ab+bc+ca ≦ (1/3)(a+b+c)^2 ≦ 4/3,
　{a,b,c} = {n, -n, 1} のとき -nn → -∞
(3)　[-1, 3]
ab+bc+ca ≦ (1/3)(a+b+c)^2 ≦ 3,
　等号は a=b=c=±1 のとき。
ab+bc+ca = -1 + (1/2)(1-a)(1-b)(1-c) + (1/2)(1+a)(1+b)(1+c) ≧ -1,
　等号は {a,b,c} = {a,-1,1} {-1,b,1} {-1,1,c} など。

529:１３２人目の素数さん
19/06/13 07:18:23.03 1nn9BWNe.net
>>522
　↑P = (λ↑A + μ↑B + ν↑C)/(λ+μ+ν),
のとき点Pの重心座標を (λ：μ：ν) とする。
重心Gは　　１：１：１
外心Oは　　sin(2A)：sin(2B)：sin(2C)
垂心Hは　　tan(A)：tan(B)：tan(C)
（↑OH =↑OA +↑OB +↑OC = 3↑OG,　　OG：GH = 1：2　オイラー線)
第一ブロカール点は　(ac/b)：(ba/c)：(cb/a)
第二ブロカール点は　(ab/c)：(bc/a)：(ca/b)

530:１３２人目の素数さん
19/06/13 07:25:02.91 n/oZi8y0.net
>>525を撤回します
 >>524 312211

531:１３２人目の素数さん
19/06/13 10:12:44.52 Ve8QmG1a.net
>>527
実験したらピンとこない数になるみたい
Prelude> let fibs = map head $ iterate(¥[x,y]->[x+y,x]) [0,1]
Prelude> (/pi) $ sum $ zipWith (*) (cycle [1,0]) $ map (atan.recip.fromInteger) $ take 10000 $ drop 1 $ fibs
0.49999999999999983
Prelude> (/pi) $ sum $ zipWith (*) (cycle [1,0]) $ map (atan.recip.fromInteger) $ take 10000 $ drop 2 $ fibs
0.41650938439782204

532:１３２人目の素数さん
19/06/13 12:10:16.18 dkX7i3Qn.net
>>527
a[n]=arctan(1/F[n])
とすると
a[2n+1]=a[2n]-a[2n+2]
が成立するから、これを使うと奇数に限定した和は簡単に分かるんだな
arctanとFibonacci数を組み合わせた級数について調べてみたが、少なくとも奇数の場合と同じ方針ですぐに出せることはないっぽい

533:１３２人目の素数さん
19/06/13 15:14:50.19 ysqIkAMM.net
>>523
全ての条件が「かつ」の場合は-1≤ab+bc+ca≤4/3ですか？

534:１３２人目の素数さん
19/06/13 20:59:35.64 ZPY2VYJl.net
a > b ≧ 0 を実数とする。数列 (a_n) を次のように帰納的に定義する。
a_9 = a, a_1 = b とおく。 n ≧ 1 とし、 a_n まで定まっているとする。
a_n > 0 のときは、 q_n = [a_{n-1} / a_n] とおいて a_{n+1} = a_{n-1} - q_n * a_n ≧ 0 と定める。 a_n = 0 のときは、 q_n = a_{n + 1} = 0
とする。
1. a = √2, b = 1 のとき、数列 (a_n) を求めよ。

535:１３２人目の素数さん
19/06/14 04:41:51.06 bsEt7smP.net
>>533
いいえ [-1,1] です。
-1≦a≦0, -1≦b≦1, 0≦c≦1　としてよい。-2≦a+b+c≦2 は自動的に成立する。
ab+bc+ca ≦ (a+c)b ≦ |a+c||b| ≦ 1,
　等号は (a,b,c) = (-1,-1,0)　(0,1,1) のとき
ab+bc+ca = -1 + (1/2)(1-a)(1-b)(1-c) + (1/2)(1+a)(1+b)(1+c) ≧ -1,
　等号は (a,b,c) = (-1,b,1) のとき

536:１３２人目の素数さん
19/06/14 05:28:56.85 bsEt7smP.net
>>534
a_n = (√2 - 1)^(n-1),　　(n≧2)
q_n = [ 1+√2 ] = 2,　　(n≧2)

537:１３２人目の素数さん
19/06/14 06:09:41.39 8HJq+Kg3.net
zは複素平面上で|z|≦1のとき
|(1+z) e^(-z) -1|≦(2e+1) |z|^2を示せ

538:１３２人目の素数さん
19/06/14 08:37:40.53 bsEt7smP.net
g(z) = e^(-z) -1 +z = [k=2,∞] (-z)^k /k!,
|g(z)| = |Σ[k=2,∞] (-z)^k /k! | ≦ Σ[k=2,∞] |z|^2 /k! ≦ |z|^2 Σ[k=2,∞] 1/k! = (e-2)|z|^2,
(左辺) = |(1+z)(1-z+g(z))-1| = | -zz + (1+z)g(z)| ≦ |z|^2 + |1+z||g(z)| ≦ |z|^2 + 2(e-2)|z|^2 = (2e-3)|z|^2,

539:１３２人目の素数さん
19/06/14 08:55:12.00 31jrrvrr.net
>>534
a > b ≧ 0 を実数とする。数列 (a_n) を次のように帰納的に定義する。
a_0 = a, a_1 = b とおく。 n ≧ 1 とし、 a_n まで定まっているとする。
a_n > 0 のときは、 q_n = [a_{n-1} / a_n] とおいて
a_{n+1} = a_{n-1} - q_n * a_n ≧ 0 と定める。 a_n = 0 のときは、 q_n = a_{n + 1} = 0
とする。
1. a = √2, b = 1 のとき、数列 (a_n) を求めよ。
a_0 = √2
a_1 = 1
まず、 n ≧ 2 のとき、 a_n ≠ 0 かつ a_{n-1} / a_n = √2 + 1 であることを数学的帰納法で証明する。
(1)
a_2 = a_0 - [a_0 / a_1] * a_1 = √2 - [√2 / 1] * 1 = √2 - [1.41421356…] = √2 - 1 ≠ 0
であり、
a_1 / a_2 = 1 / (√2 - 1) = √2 + 1
である。
k ≧ 2 とし、
a_k ≠ 0
であり、
a_{k-1} / a_k = √2 + 1
であると仮定する。
a_{k+1} = a_{k-1} - [a_{k-1} / a_k] * a_k = a_k * (a_{k-1} / a_k - [a_{k-1} / a_k]) = a_k * (√2 + 1 - [√2 + 1])
= a_k * (√2 + 1 - [1.41421356… + 1]) = a_k * (√2 + 1 - [2.41421356…]) = a_k * (√2 + 1 - 2) = a_k * (√2 - 1) ≠ 0
であり、
a_k / a_{k+1} = a_k / (a_{k-1} - [a_{k-1} / a_k] * a_k) = a_k / [a_k * (√2 - 1)] = 1 / (√2 - 1) = √2 + 1
である。【証明終わり】

540:１３２人目の素数さん
19/06/14 09:14:28.50 31jrrvrr.net
>>534
ゆえに、

n ≧ 2 のとき、 q_n = [a_{n-1} / a_n] = [√2 + 1] = [1.41421356… + 1] = [2.41421356…] ＝ 2
である。

よって、 (a_n) は n ≧ 2 のとき、
a_{n+1} = a_{n-1} - 2 * a_n
を満たす。
b_n = (√2 - 1)^(n-1) とすると、
b_1 = 1 = a_1
b_2 = √2 - 1 = a_2
であり、
n ≧ 2 のとき、
b_{n+1} = (√2 - 1)^n = (√2 - 1)^2 * (√2 - 1)^(n-2) = (3 - 2 * √2) * (√2 - 1)^(n-2)
= [1 - 2 * (√2 - 1)] * (√2 - 1)^(n-2) = (√2 - 1)^(n-2) - 2 * (√2 - 1)^(n-1) = b_{n-1} - 2 * b_n
であるから、数学的帰納法により、
n ≧ 2 のとき、
a_n = b_n = (√2 - 1)^(n-1)
である。

541:１３２人目の素数さん
19/06/14 16:58:52.87 GDaBnwk+.net
楕円SはABを長径（直径）、CDを短径（直径）とし、その周長はKである。
ABを直径とする円の周長をL、CDを直径とする円の周長をMとするとき、以下の2実数の大小を比較せよ。
K,(L+M)/2

542:１３２人目の素数さん
19/06/14 18:06:55.63 2yYON5Ol.net
任意の立方体を全て異なる大きさの立方体で分けることは
可能かね？(´･ω･`)

543:１３２人目の素数さん
19/06/14 20:31:06.61 yic7Zvt8.net
実数係数多項式=0の方程式でzがn重解ならその共役複素数もn重解になりそうなんですがうまく示せません

544:１３２人目の素数さん
19/06/14 21:38:29.57 Aet/TnV1.net
n階微分まで全部消える

545:１３２人目の素数さん
19/06/15 00:02:48.23 EheM46Wc.net
潜在変数とはどういうものをいうのでしょうか。
観測変数に関係する何らかの変数という解釈で大丈夫でしょうか。

546:１３２人目の素数さん
19/06/15 01:37:04.85 d+NNwnLK.net
実数係数多項式 f(x) について
　f(x) = (x-α)^n･g(x)
ならば
　f(x) = (x-α~)^n･g(x)~
Im(α)≠0 なら
　f(x) = {(x-α)(x-α~)}^n ・h(x),　　　　　hは実係数
X,Yが実数のとき
　X+iY=0　⇔　X=Y=0　⇔　X-iY=0

547:１３２人目の素数さん
19/06/15 02:18:59.04 d+NNwnLK.net
>>542
　不可能です。
(Luzinの問題の3次元版)
・参考資料
数セミ増刊「数学の問題」第２集、日本評論社、p.185 (1978)
　付録－10　立方体のある分割について