分からない問題はここ ..
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534:132人目の素数さん
19/06/13 20:59:35.64 ZPY2VYJl.net
a > b ≧ 0 を実数とする。数列 (a_n) を次のように帰納的に定義する。
a_9 = a, a_1 = b とおく。 n ≧ 1 とし、 a_n まで定まっているとする。
a_n > 0 のときは、 q_n = [a_{n-1} / a_n] とおいて a_{n+1} = a_{n-1} - q_n * a_n ≧ 0 と定める。 a_n = 0 のときは、 q_n = a_{n + 1} = 0
とする。
1. a = √2, b = 1 のとき、数列 (a_n) を求めよ。

535:132人目の素数さん
19/06/14 04:41:51.06 bsEt7smP.net
>>533
いいえ [-1,1] です。
-1≦a≦0, -1≦b≦1, 0≦c≦1 としてよい。-2≦a+b+c≦2 は自動的に成立する。
ab+bc+ca ≦ (a+c)b ≦ |a+c||b| ≦ 1,
 等号は (a,b,c) = (-1,-1,0) (0,1,1) のとき
ab+bc+ca = -1 + (1/2)(1-a)(1-b)(1-c) + (1/2)(1+a)(1+b)(1+c) ≧ -1,
 等号は (a,b,c) = (-1,b,1) のとき

536:132人目の素数さん
19/06/14 05:28:56.85 bsEt7smP.net
>>534
a_n = (√2 - 1)^(n-1),  (n≧2)
q_n = [ 1+√2 ] = 2,  (n≧2)

537:132人目の素数さん
19/06/14 06:09:41.39 8HJq+Kg3.net
zは複素平面上で|z|≦1のとき
|(1+z) e^(-z) -1|≦(2e+1) |z|^2を示せ

538:132人目の素数さん
19/06/14 08:37:40.53 bsEt7smP.net
g(z) = e^(-z) -1 +z = [k=2,∞] (-z)^k /k!,
|g(z)| = |Σ[k=2,∞] (-z)^k /k! | ≦ Σ[k=2,∞] |z|^2 /k! ≦ |z|^2 Σ[k=2,∞] 1/k! = (e-2)|z|^2,
(左辺) = |(1+z)(1-z+g(z))-1| = | -zz + (1+z)g(z)| ≦ |z|^2 + |1+z||g(z)| ≦ |z|^2 + 2(e-2)|z|^2 = (2e-3)|z|^2,

539:132人目の素数さん
19/06/14 08:55:12.00 31jrrvrr.net
>>534
a > b ≧ 0 を実数とする。数列 (a_n) を次のように帰納的に定義する。
a_0 = a, a_1 = b とおく。 n ≧ 1 とし、 a_n まで定まっているとする。
a_n > 0 のときは、 q_n = [a_{n-1} / a_n] とおいて
a_{n+1} = a_{n-1} - q_n * a_n ≧ 0 と定める。 a_n = 0 のときは、 q_n = a_{n + 1} = 0
とする。
1. a = √2, b = 1 のとき、数列 (a_n) を求めよ。
a_0 = √2
a_1 = 1
まず、 n ≧ 2 のとき、 a_n ≠ 0 かつ a_{n-1} / a_n = √2 + 1 であることを数学的帰納法で証明する。
(1)
a_2 = a_0 - [a_0 / a_1] * a_1 = √2 - [√2 / 1] * 1 = √2 - [1.41421356…] = √2 - 1 ≠ 0
であり、
a_1 / a_2 = 1 / (√2 - 1) = √2 + 1
である。
k ≧ 2 とし、
a_k ≠ 0
であり、
a_{k-1} / a_k = √2 + 1
であると仮定する。
a_{k+1} = a_{k-1} - [a_{k-1} / a_k] * a_k = a_k * (a_{k-1} / a_k - [a_{k-1} / a_k]) = a_k * (√2 + 1 - [√2 + 1])
= a_k * (√2 + 1 - [1.41421356… + 1]) = a_k * (√2 + 1 - [2.41421356…]) = a_k * (√2 + 1 - 2) = a_k * (√2 - 1) ≠ 0
であり、
a_k / a_{k+1} = a_k / (a_{k-1} - [a_{k-1} / a_k] * a_k) = a_k / [a_k * (√2 - 1)] = 1 / (√2 - 1) = √2 + 1
である。【証明終わり】

540:132人目の素数さん
19/06/14 09:14:28.50 31jrrvrr.net
>>534
ゆえに、

n ≧ 2 のとき、 q_n = [a_{n-1} / a_n] = [√2 + 1] = [1.41421356… + 1] = [2.41421356…] = 2
である。

よって、 (a_n) は n ≧ 2 のとき、
a_{n+1} = a_{n-1} - 2 * a_n
を満たす。
b_n = (√2 - 1)^(n-1) とすると、
b_1 = 1 = a_1
b_2 = √2 - 1 = a_2
であり、
n ≧ 2 のとき、
b_{n+1} = (√2 - 1)^n = (√2 - 1)^2 * (√2 - 1)^(n-2) = (3 - 2 * √2) * (√2 - 1)^(n-2)
= [1 - 2 * (√2 - 1)] * (√2 - 1)^(n-2) = (√2 - 1)^(n-2) - 2 * (√2 - 1)^(n-1) = b_{n-1} - 2 * b_n
であるから、数学的帰納法により、
n ≧ 2 のとき、
a_n = b_n = (√2 - 1)^(n-1)
である。

541:132人目の素数さん
19/06/14 16:58:52.87 GDaBnwk+.net
楕円SはABを長径(直径)、CDを短径(直径)とし、その周長はKである。
ABを直径とする円の周長をL、CDを直径とする円の周長をMとするとき、以下の2実数の大小を比較せよ。
K,(L+M)/2

542:132人目の素数さん
19/06/14 18:06:55.63 2yYON5Ol.net
任意の立方体を全て異なる大きさの立方体で分けることは
可能かね?(´・ω・`)

543:132人目の素数さん
19/06/14 20:31:06.61 yic7Zvt8.net
実数係数多項式=0の方程式でzがn重解ならその共役複素数もn重解になりそうなんですがうまく示せません

544:132人目の素数さん
19/06/14 21:38:29.57 Aet/TnV1.net
n階微分まで全部消える

545:132人目の素数さん
19/06/15 00:02:48.23 EheM46Wc.net
潜在変数とはどういうものをいうのでしょうか。
観測変数に関係する何らかの変数という解釈で大丈夫でしょうか。

546:132人目の素数さん
19/06/15 01:37:04.85 d+NNwnLK.net
実数係数多項式 f(x) について
 f(x) = (x-α)^n・g(x)
ならば
 f(x) = (x-α~)^n・g(x)~
Im(α)≠0 なら
 f(x) = {(x-α)(x-α~)}^n ・h(x),     hは実係数
X,Yが実数のとき
 X+iY=0 ⇔ X=Y=0 ⇔ X-iY=0

547:132人目の素数さん
19/06/15 02:18:59.04 d+NNwnLK.net
>>542
 不可能です。
(Luzinの問題の3次元版)
・参考資料
数セミ増刊「数学の問題」第2集、日本評論社、p.185 (1978)
 付録−10 立方体のある分割について


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