分からない問題はここに書いてね453

分からない問題はここに書いてね453 at MATH

[前50を表示]
400:１３２人目の素数さん
19/06/03 17:41:08.71 w4x564hw.net
７００

401:１３２人目の素数さん
19/06/03 19:35:44.37 bwWwjM+h.net
d＾2x/dt＾2+3dx/dt+2x=t＾2+tの一般解
教えてクレメンス

402:１３２人目の素数さん
19/06/03 19:56:06.74 z0FPkieL.net
ます多項式からなる特殊解求めてクレメンス。

403:１３２人目の素数さん
19/06/03 22:18:50.20 PcA6Sm5j.net
微分方程式かぁ…

404:１３２人目の素数さん
19/06/03 22:39:33.56 +qpY2SVi.net
>>401
特殊解は2次式で　　x(t) = tt/2 -t +1,
斉次方程式
　(DD+3D+2)x(t) = (D+1)(D+2)x(t) = 0,
より、斉次解は
　x(t) = C1 e^(-t) + C2 e^(-2t),

405:１３２人目の素数さん
19/06/03 23:51:58.17 Qgc+OI+4.net
cos(x)-sin(x)+x=cos(t)-1をxについて解きたいのですがどうすれば

406:１３２人目の素数さん
19/06/04 02:14:17.61 F8VfsXnb.net
R^nではある点の近傍に対し、それに含まれるような真に小さい近傍がとれますが、そのような空間に名前はついているのでしょうか？

407:１３２人目の素数さん
19/06/04 04:37:37.39 o+gkvWNO.net
>>405
厳密に解くのは難しそうだ･･･　近似解なら出るだろうけど。
x軸をずらして
　x = X - (3π/4)
とおく。与式は
　X + (√2)sin(X) = cos(t) +(3π/4) -1 = (1+√2)Y,
　(3π/4) -2 ≦ (右辺) ≦ 3π/4,
　0.14785581945 ≦ X ≦ 1.0974663127
左辺はXの奇関数で、マクローリン展開すると
　Y = a{X/√2 + sin(X)} = X + a{-(1/3!)X^3 +(1/5!)X^5 -(1/7!)X^7 +(1/9!)X^9 - ････},
ただし　a = 2-√2 = 0.585786437627
逆に解くと
　X = Y + (a/6)Y^3 +(aa/12 - a/5!)Y^5 + (a^3/18 -aa/90 +a/7!)Y^7 + (55a^4/1296 -11a^3/864 +41aa/60480^a/9!)Y^9 + ････

408:１３２人目の素数さん
19/06/04 10:40:46.53 Gy5QFUhV.net
sinxのn-1乗を微分して
(n-1)(sinx)^(n-2)(cosx)になるのが答えなんですけども途中式と考え方がわかりません
教えてください

409:１３２人目の素数さん
19/06/04 10:43:53.20 40b7h8dr.net
m>n
X:m次元の境界つき多様体
N:n次元の多様体
f:X→N 滑らか
y∈Nがfとfの境界への制限f|∂Xの双方に対して正則値⇒f^-1(y)⊂Xは境界のある滑らかなm-n次元多様体である。さらに、境界∂(f^-1(y))はf^-1(y)と∂Xの共通部分に一致する
お願いします…

410:１３２人目の素数さん
19/06/04 10:55:08.68 Y7QVdebM.net
>>408
(f(g(x)))'＝f'(g(x))・g'(x)
f(y)＝y^(n-1)
g(x)＝sin x

411:１３２人目の素数さん
19/06/04 12:15:56.42 1SXFi41+.net
行列の質問した人です
皆さんありがとうございました

412:１３２人目の素数さん
19/06/04 13:00:36.94 o+gkvWNO.net
>>407 (続き)
a = 2-√2 だから
　X = Y + {(2-√2)/3!}Y^3 + {(58-39√2)/5!}Y^5 + {(5266-3697√2)/7!}Y^7 + {(956274-675503√2)/9!}Y^9 + ････
ここに
　X = x + (3π/4),
　Y = (√2 -1){cos(t) -1 +(3π/4)},

413:１３２人目の素数さん
19/06/04 14:06:59.29 LQiGSjek.net
>>406
T3 じゃねーの？

414:１３２人目の素数さん
19/06/04 14:58:41.23 OCefWiyr.net
>>410
ありがとうございます

415:１３２人目の素数さん
19/06/04 21:14:47.80 mVuY9Ydx.net
URLﾘﾝｸ(imgur.com)

416:イナ
19/06/04 23:23:21.47 /BtMW1MY.net
前 >>398憲法は変えたらだめだろ。

417:１３２人目の素数さん
19/06/05 07:57:07.85 hz2DJhV9.net
キンタマの振動を記述せよ

418:１３２人目の素数さん
19/06/05 09:44:32.22 +pVPgegT.net
>>412
y = 2{1 - cos(√x)} = Σ[k=1,∞] (-1)^(k-1) {2/(2k)!} x^k,
のとき
x = {Arccos(1 - y/2)}^2 = Σ[n=1,∞] {2･(n-1)!(n-1)!/(2n)!} y^n,
y = 2{cosh(√x) － 1} = Σ[k=1,∞] {2/(2k)!} x^k,
のとき
x = {2･log[(√(4+y) + √y)/2] }^2 = Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1) {2･(n-1)!(n-1)!/(2n)!} y^n,

419:１３２人目の素数さん
19/06/05 09:56:01.82 +pVPgegT.net
>>412
y = (4!/2)[cos(x^{1/4}) + cosh(x^{1/4}) -2] = x + Σ[k=2,∞] {4!/(4k)!} x^k,
のとき
x = y - (4!/8!)y^2 + (4･23/7)(4!/12!)y^3 - (12･461/7)(4!/16!)y^4 + (32･340591/77)(4!/20!)y^5 - ････

420:１３２人目の素数さん
19/06/05 12:09:46.30 kMlI84h0.net
AB=ACの二等辺三角形△ABCの辺BCの中点をDとする。
線分AD上を動く点Pを考える。APからABに下ろした垂線の足をH、DPからACに下ろした垂線の足をIとするとき、PH+PIの最大値を求めよ。

421:イナ
19/06/05 12:58:24.20 RSGVETjQ.net
前 >>416
>>420
PH+PI≦PA+PD=AD

422:１３２人目の素数さん
19/06/05 15:47:57.12 U0Q27L6G.net
高校数学です
(a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc
と
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
が同じであることは展開すれば分かるのですが
上式を下式へ変換する方法が分からないです
教えてください

423:１３２人目の素数さん
19/06/05 15:58:09.53 VrFTgCO0.net
まず (a+b)^3 + c^3 を因数分解
わかりにくければ a+b = t とでもおけ

424:１３２人目の素数さん
19/06/05 16:05:16.48 4hF9L3Th.net
>>422
(a+b)^3 + c^3と- 3ab(a+b) - 3abcを別々にまとめてみる
(a+b)^3 + c^3は（a+b+c)^3から余計なものを引くという形にするとその余計なものも（a+b+c)を因数に持つことがわかる
- 3ab(a+b) - 3abcはまとめれば（a+b+c)を因数に持つことがわかる
従って全体も(a+b+c)でくくれるとわかる
あとは整理するだけ

425:１３２人目の素数さん
19/06/05 16:18:38.05 4hF9L3Th.net
>>422
- 3ab(a+b) - 3abcがa+b+cを因数に持つことはすぐにわかるだろう
(a+b)^3 + c^3がa+b+cを因数に持つことはx^3+y^3の因数分解を覚えていればすぐにわかる
自分はすっかり忘れていたので因数定理で考えたけど現役生ならすぐに気づくように慣れておくべき

426:１３２人目の素数さん
19/06/05 16:23:39.40 U0Q27L6G.net
>>423
>>425
ありがとうございます

427:１３２人目の素数さん
19/06/05 17:01:39.54 GzRaXXGt.net
>>422
(a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2
=a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a+ωb+ω^2c) (a+ω^2b+ωc)
ω^3=1,ω^2+ω+1=0

428:１３２人目の素数さん
19/06/05 17:12:33.15 GzRaXXGt.net
>>427
最後の因数分解は三次方程式の解の公式そのもの！

429:１３２人目の素数さん
19/06/05 18:53:22.61 kMlI84h0.net
すいません間違えたので再掲します
【問題】
AB=ACの二等辺三角形△ABCの辺BCの中点をDとする。
線分AD上を動く点Pを考える。APからABに下ろした垂線の足をHとするとき、PH+PCの最大値を求めよ。

430:１３２人目の素数さん
19/06/05 22:39:13.16 o5L23ThC.net
足ってなんぞ？

431:１３２人目の素数さん
19/06/05 22:54:25.05 Fi2K6wKE.net
>>430
垂線がABにぶつかるところ
最近は使われない言葉らしいな
足のない人に対する差別だとかなんとか
言葉狩りもこんなところまで来たのかと

432:１３２人目の素数さん
19/06/05 23:06:16.00 X3o+VeKD.net
20162以上の自然数は、2つの過剰数の和で表されることが既に証明されている。
では、28123を2つの過剰数の和で表せ。

433:イナ
19/06/05 23:23:12.71 RSGVETjQ.net
前 >>429
>>421
PH+PC≦PA+PC≦AD+DC
=AD+(1/2)BC

434:１３２人目の素数さん
19/06/06 00:24:29.29 xH9NP3d1.net
>>418
　X = √x,　Y = √y　とおくと････
Y = 2 sin(X/2) = Σ[k=0,∞] (-1)^k /[(2k+1)!･(4^k)] X^(2k+1),
のとき
X = 2 Arcsin(Y/2) = Σ[n=0,∞] C(2n,n)/[(2n+1)･16^n] Y^(2n+1),
Y = 2 sinh(X/2) = Σ[k=0,∞] 1/[(2k+1)!･(4^k)] X^(2k+1),
のとき
X = 2 log[{Y+√(4+YY)}/2] = Σ[n=0,∞] (-1)^n･C(2n,n)/[(2n+1)･16^n] Y^(2n+1),

435:１３２人目の素数さん
19/06/06 02:42:05.34 xH9NP3d1.net
>>419
X = x^{1/4},　Y = y^{1/4} とおくと････
Y^4 = (4!/2)[cos(X) + cosh(X) -2] = X + Σ[k=2,∞] {4!/(4k)!} X^{4k},
のとき
X = Y - (1/4)(4!/8!)Y^5 + (1175/448)(4!/12!)Y^9 - (18375/128)(4!/16!)Y^13 + (7698965625/315392)(1/20!)^17 - ････

436:１３２人目の素数さん
19/06/06 02:57:10.81 xH9NP3d1.net
>>432
28123は奇数だから、奇数と偶数の組合せ。
そこで原始的過剰数をさがす。　URLﾘﾝｸ(oeis.org)
奇数の原始的過剰数 < 28123　　　　(36個)
945, 1575, 2205, 3465, 4095, 5355, 5775, 5985, 6435, 6825,
7245, 7425, 8085, 8415, 8925, 9135, ９５５５, 9765, 11655, 12705,
12915, 13545, 14805, 15015, 16695, 18585, 19215, 19635, 21105, 21945,
22365, 22995, 24885, 25935, 26565, ２８０３５.
(奇数の完全数は未発見)
偶数の原始的過剰数
12, 18, 20, 30, 42, 56, 66, 70, 78, ８８,
102, 104, 114, 138, 174, 186, 196, 222, 246, 258,
272, 282, 304, 308, 318, 354, 364, 366, 368, 402,
426, 438, 464, 474, 476, 498, 532, 534, 550, 572,
582, 606, 618, 642, 644, 650, 654,
678, 748, 762, 786, 812, 822, ････
(偶数の完全数は 6, 28, 496, 8128, ････)
以上により
28123 = 28035 + 88,
28123 = 9555 + (88*211),

437:１３２人目の素数さん
19/06/06 06:00:00.79 xH9NP3d1.net
>>429
BC = a, AB = AC = b, AP = p とおくと
AD = √(bb-aa/4),
DH = (a/2b)√(bb-aa/4),
点Pは線分AD上を動く。
PHはpに比例するが、PC = √{(AD-p)^2 + (a/2)^2} はpについて下に凸。
ゆえに PH+PCもpについて下に凸で、端点(A，D)のいずれかで最大値をとる。
よって
b ≧ b0 のとき　ｂ
b < b0 のとき　(a/2b)√(bb-aa/4)} + (a/2)
ここに
b0 = (1/6){1 + (19-3√33)^(1/3) + (19+3√33)^(1/3)}a = 0.9196433776a,

438:１３２人目の素数さん
19/06/06 12:15:12.57 9UZKYxYu.net
>>431
ようするに交点か

439:１３２人目の素数さん
19/06/06 13:32:15.96 JJRtUdDT.net
商位相のwikipediaに「開でも閉でもない商写像の例を構成するのはそう難しくない」って書いてるんだけど実際どんなのがあるんでしょうか

440:１３２人目の素数さん
19/06/06 14:55:50.32 HbhALzuU.net
nを自然数、pを素数とするとき、
(n^2+1)(5n^2+9)-2p
が平方数となる(n,p)の組が無数に存在することを示せ。

441:１３２人目の素数さん
19/06/06 18:04:09.22 umtjRzab.net
1000以上の任意の長さを等分し、答えがなるべく500に近くなる公式があれば便利なんで誰か教えてください
等分する数は整数、答えは整数じゃなくても大丈夫です

442:１３２人目の素数さん
19/06/06 18:32:46.46 i3t4novz.net
>>441
n/500四捨五入で等分

443:１３２人目の素数さん
19/06/06 18:39:23.93 umtjRzab.net
>>442
その四捨五入部分を含めて上手く公式化したいんですけど、自分の頭じゃ無理でした

444:１３２人目の素数さん
19/06/06 19:01:23.77 1nJnYkN5.net
>>439
例えば閉区間[0,3]=Xの部分集合Aを
A={0}∪(1,2)
と定めると、商写像X→X/Aは開でも閉でもありません
ちなみにX/Aはハウスドルフでない位相空間です

445:１３２人目の素数さん
19/06/06 23:39:05.59 nNz71Yv9.net
1. 全体集合Uを9以下の自然数とし, U の部分集合を A = {xEU; x は偶数 }, B = {x in U; x<=6}, C = {5,6,7}とする。以下の (1)-(5) の集合を、例にならって外延的記法で書き下せ(例: C = {1, 2,3,4,8,9)
(1) Aバー, (2) A∩ B, (3) AUC, (4) A∩B∩C, (5) (A∩Bバー）バー∩C
6. 写像 f : R → R, x → x^2+1と写像g: R → R, x → COSx について,合成写像gof と fogを
答えよ
7. 以下の陳述 (1)-(6) は命題か否か答えよ、命題ならば,その真偽もTまたは F で答えよ(Tは
真、Fは偽を表す)
(1) 10000は大きな数である。
(2) 2.018は有理数である。
(3) (all x in R)(x^4-2x^2+1 > 0)
(4) (exist x ∈ R) (x^3 - x^2+ x - 1 = 0)
(5) (all c in R)exist x in R)(x^4-c=0)
(6) (all(x, y) in R)(xy not = 0 → x^2+y^2 > 0)
8. P.O.Rは命題とする。以下の論理式 (1)-(5) の真理値を,PとQがT(真)、RがF(偽)の場合について計算し、TまたFで答えよ。
(1) notP, (2) P∩Q (3) QVR,
(4) PV(Q∩-R), (5) (PAnotQ) → R
9. 全体集合をU = {x in Z ;0<=x<=9}とする.U上の命題関数 p(x), q(x) を,それぞれ, p(r):x^3 - 7x^2 +10x = 0, および,q(x):x<=4と定義する。以下の問 (1)-(4) に答えよ.
(1) 真理集合 P = {x in U;p(x)が真}を外延的記法で答えよ.
(2) 真理集合Q={x in U;q(x)が真}を外延的記法で答えよ.
(3) (p(x)∩g(x)の真理集合をS1とする.S1をPとQで表し、さらに外延的記法で答えよ。
(4)not(p(x)Vq(x))の真理集合を S2 とする。S2をPバーとQバーで表し、さらに外延的記法で答えよ。

446:１３２人目の素数さん
19/06/06 23:50:06.26 xH9NP3d1.net
>>411
　n = 500q + r,　　(0≦r<500)
　n/(q+1) < 500 ≦ n/q,
どちらが 500 に近いか？
　n/(q+1) + n/q - 1000
　= n(2q+1)/(q(q+1)) - 1000
　= ((2q+1)r -500q)/(q(q+1)),
よって
0 ≦ r < 500q/(2q+1)　のとき　n/q - 500 < 500 - n/(q+1),
500q/(2q+1) ≦ r < 500　のとき　n/q - 500 ≧ 500 - n/(q+1),
答え
1000(q-1)q/(2q-1) < n ≦ 1000q (q+1)/(2q+1) のときq等分する。

447:１３２人目の素数さん
19/06/07 00:08:59.54 q/NXLQDe.net
>>444
ありがとうございます
実数Rを正(0含む)と負に分けた同値類とかでも良さそうですね
ハウスドルフについては未習だったのですが勉強になりました

448:１３２人目の素数さん
19/06/07 00:19:47.85 5M2o738k.net
>>441 >>443
公式にすれば
　q = [ (1 + (n/500) + √(1+(n/500)^2) )/2 ],

449:１３２人目の素数さん
19/06/07 02:24:06.99 5M2o738k.net
>>446 >>448
n≦5238 では
q=2　　666<n≦1200
q=3　　1200<n≦1714
q=4　　1714<n≦2222
q=5　　2222<n≦2727
q=6　　2727<n≦3230
q=7　　3230<n≦3733
q=8　　3733<n≦4235
q=9　　4235<n≦4736
q=10 　4736<n≦5238
(500q-250) ～ (500q+250)　より若干小さめ

450:１３２人目の素数さん
19/06/07 02:28:36.56 7WF8AvLz.net
>>440
どなたかこれ答えられませんか

451:１３２人目の素数さん
19/06/07 02:39:57.25 PaeboD8U.net
真偽判定の問題
∀x∈R (x<1⇨∃y∈Q,x<r<1)
これって真であってるよね？

452:１３２人目の素数さん
19/06/07 02:43:05.03 9g5XWHlz.net
>>450
>>440
こんなの成立するん？
出典は？

453:１３２人目の素数さん
19/06/07 03:23:19.65 5M2o738k.net
>>451
「『 ∀x∈R (x<1 ⇒ ∃r∈Q, x<r<1)』は真。」であってる。
という命題ね。
真であってるよ。
[1/(1-x)] + 1 = N,　r = 1 - 1/N とおく。

454:１３２人目の素数さん
19/06/07 04:35:15.51 PaeboD8U.net
>>453
ありがとう！
あともう一つ
X={x∈R|0≦x<5｝ Y={y∈R|-10<y≦100}
この集合は対等であるかどうか。
対等でない場合は理由を答えよ。
全単射ではなく単射だから対等ではないで正解？

455:１３２人目の素数さん
19/06/07 04:37:30.11 rjVOCZbX.net
>>440
m^2 = (n^2+1)(5n^2+9)-2p
とする。
(n^2+1)(5n^2+9) ≡ 1,4 (mod 8)
だから
(n^2+1)(5n^2+9) - m^2 ≡ 0,4,1,3,5,7 (mod 8)
ゆえにp=2が必要で(n^2+1)(5n^2+9)-4が平方数になるものが無限にないとだめだけどn≦100000でひとつもないんだけど？

456:１３２人目の素数さん
19/06/07 04:44:47.21 Ii2Pxvkr.net
>>455
あれ？
(n^2+1)(5n^2+9)-4=5(n^2+1)^2だから平方数になるわけない。
解無しじゃないの？

457:１３２人目の素数さん
19/06/07 05:12:42.63 ugweWJ2F.net
>>455
(n^2+1)(5n^2+9)-4 ≡ 5,8,13 (mod 16)
ゆえに左辺は平方数でない

458:１３２人目の素数さん
19/06/07 16:26:33.57 PaeboD8U.net
どなたか >>454お願いします！

459:１３２人目の素数さん
19/06/07 17:20:03.18 4NWJ81sC.net
X={x∈R|0≦x<5}
A={a∈R|-5<a≦0}
B={b∈R|-110<b≦0}
Y={y∈R|-10<y≦100}
XとAはxをa=-xに写すことで対等
AとBはaをb=22aに写すことで対等
BとYはbをy=b+100に写すことで対等
対等は同値関係だからXとYも対等

460:１３２人目の素数さん
19/06/07 19:28:05.88 5M2o738k.net
>>455
n = 4q + r (0≦r<4)
とおくと
(nn+1)(5nn+9) = 32{40q^3 + 40rq^2 + (15rr+7)q + 5r(r+1)(r-1)/2 + 6r}q + (rr+1)(5rr+9)
　≡ (rr+1)(5rr+9)　　　(mod 32)
　≡ 9, -4, 17　　　(mod 32)
　≡ 1, 4　　　　　　(mod 8)
mm ≡ 0, 1, 4　　　(mod 8)

461:１３２人目の素数さん
19/06/07 19:54:45.17 5M2o738k.net
>>455
m = 4q + r (0≦r<4)
とおく。
qが偶数のとき
mm = 16qq + 8rq + rr ≡ rr　　(mod 16)
qが奇数のとき
mm = 16qq + 8r(q+1) -16 + (4-r)^2 ≡ (4-r)^2　　(mod 16)
よって
mm ≡ 0,1,4,9　　(mod 16)

462:１３２人目の素数さん
19/06/07 20:42:24.40 zWOKjVDu.net
この問題オナシャス特に(2)(3)おね
URLﾘﾝｸ(imgur.com)

463:１３２人目の素数さん
19/06/07 20:45:25.26 zWOKjVDu.net
>>462
(1)Aは実部が2の直線
Bは角度が5π/4 から3π/2の面
cは-1+iを中心とする半径1の円で　おけ？

464:１３２人目の素数さん
19/06/07 22:26:37.14 7WF8AvLz.net
>>462
全部成分表示でいけるけど
z=a+biで
あとは座標平面で(a,b)の軌跡と領域を考えるだけ

465:イナ
19/06/07 23:03:53.90 QJa5H3Fo.net
>>280 >>301これあってんのかな？　前 >>433
￣￣]/＼;;;;;;;;;;;;;;
;;;;/＼/;,,､;;;;;;;;;)
￣￣＼/彡-_-ﾐ;;;;;;;/;
￣￣|＼;U,~⌒ヽ;;;／|;
□　| ∥￣~U~U~￣∥ |;
＿＿| ∥ □　□　∥ |/
;;;;;`∥_________∥／;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

466:１３２人目の素数さん
19/06/08 02:39:32.86 G7AvkgM+.net
>>461
(8±r)^2 = 64 ±16r +rr ≡ rr　　(mod 16)
∴　|r| ≦ 4 で考えて
mm ≡ 0,1,4,9　　(mod 16)

467:１３２人目の素数さん
19/06/08 22:21:46.14 ja8y2VGY.net
X≠∅:弧状連結
X=A∪B
A∩B≠∅:弧状連結
⇒A,B:弧状連結
は正しいですか？

468:１３２人目の素数さん
19/06/09 09:18:02.35 fTZxLx7R.net
半径1の円Cに内接する正N角形の面積をS[N]、Cに外接する正N角形の面積をT[N]とする。このとき、以下の式でn→∞としたときの極限を求めよ。
（1）(T[7(n+1)] -T[7n])/(S[7(n+1)] -S[7n])
（2）(T[7(n+1)] -S[7n])/(S[7(n+1)] -T[7n])

469:１３２人目の素数さん
19/06/09 11:13:50.53 hqUslQqU.net
>>467
反例は簡単

470:１３２人目の素数さん
19/06/09 15:44:32.41 oL0b1JgV.net
>>468
マクローリン展開で
　S[N] = (N/2)sin(2π/N) = π{1 -(1/3!)(2π/N)^2 +(1/5!)(2π/N)^4 -(1/7!)(2π/N)^6 + ････ }
　T[N] = N tan(π/N) = π{1 +(1/3)(π/N)^2 +(2/15)(π/N)^4 +(17/315)(π/N)^6 + ････ }
(1)
　S[M] - S[N] = -(2/3)π(1/MM -1/NN){1 -(1/5)ππ･(1/MM+1/NN) +(2/105)π^4･(1/M^4 +1/(MMNN) +1/N^4) - ････ }
　T[M] - T[N] =　(1/3)π(1/MM -1/NN){1 +(2/5)ππ･(1/MM+1/NN) +(17/105)π^4･(1/M^4 +1/(MMNN) +1/N^4) + ････ }
辺々割ると
　(T[M]-T[N])/(S[M]-S[N]) = -(1/2){1 +(3/5)ππ(1/MM+1/NN) +(1/175)π^4(46/M^4 +67/(MMNN) +46/N^4) + ･･･ }
(M, N)→(∞, ∞) のとき -1/2 に収束。
(2)
　T[M] - S[N] = π{(ππ/3)(1/MM +2/NN) + (2/15)π^4･(1/M^4 -1/N^4) + ････ }
　S[M] - T[N] = π{-(ππ/3)(2/MM +1/NN) + (2/15)π^4･(1/M^4 -1/N^4) + ････ }
辺々割って
　(T[M]-S[N])/(S[M]-T[N]) →　-(1/MM +2/NN)/(2/MM +1/NN)　=　g(M/N)
　-2 ≦ g ≦ -1/2,

471:１３２人目の素数さん
19/06/09 16:53:05.33 IWO8XMT1.net
>>469
反例できました
ありがとうございました

472:１３２人目の素数さん
19/06/09 16:57:21.28 IWO8XMT1.net
>>471
嘘でした
反例を教えて下さい

473:１３２人目の素数さん
19/06/09 17:28:57.84 dpr9LC8N.net
>>467,472
例えば
X=(0,4)
A=(0,2)∪(3,4)
B=(1,3]
ならば
X=A∪B
A∩B=(1,2)

474:１３２人目の素数さん
19/06/09 18:31:31.47 fTZxLx7R.net
>>470
（2）は収束しないんですか？
数値計算だと収束するように見えましたが

475:１３２人目の素数さん
19/06/09 20:56:03.74 oL0b1JgV.net
　M/N が収束すれば　g(M/N) も収束する。
本問では　M = 7(n+1),　N = 7n だから
　M/N = (n+1)/n → 1　　(n→∞)
　g(M/N) = g((n+1)/n) → g(1) = -1　　(n→∞)

476:１３２人目の素数さん
19/06/09 21:11:30.37 IWO8XMT1.net
>>473
ごめんなさい
A,Bは開集合という仮定が抜けていました

477:１３２人目の素数さん
19/06/09 21:21:08.84 IWO8XMT1.net
>>476
開集合だと仮定すると、Iのコンパクト性から示すことができますね。ありがとうございました。

478:１３２人目の素数さん
19/06/09 21:41:04.51 How+WbCl.net
「f(x)とg(x)がx=aで接するならばf(x)-g(x)=k(x-a)^2　と書ける」ことの証明をお願いします
うまく説明できませんがこの公式を使うときにもやもやするのです

479:１３２人目の素数さん
19/06/09 21:53:02.97 Q+Er4qa4.net
fとgは何？

480:１３２人目の素数さん
19/06/09 22:02:37.48 How+WbCl.net
>>479
3次関数です

481:１３２人目の素数さん
19/06/09 22:04:47.53 How+WbCl.net
>>479
失礼しました >>480で3次関数と書きましたが
片方は二次関数、もう片方は一次関数（直線）
です

482:１３２人目の素数さん
19/06/09 22:20:48.26 dpr9LC8N.net
>>478,481
f(x)=k(x-a)^2+l(x-a)+m
g(x)=n(x-a)+o
とおける
f,gはx=aで接するので、
f(a)=g(a)
f'(a)=g'(a)
より、
m=o
l=n
よって、
f(x)-g(x)=k(x-a)^2

483:１３２人目の素数さん
19/06/10 01:50:34.63 0ZLkhJ7v.net
>>478
　f(x), g(x)　が多項式の場合も同様にして、
　f(a) - g(a) = 0,　　　　(∵ x=a で一致する)
因数定理により
　f(x) - g(x) = h(x)･(x-a),
x=a での傾きは
　h(a) = f '(a) - g '(a) = 0,　　　(∵ x=a で接する)
因数定理より
　h(x) = k(x)･(x-a),
よって
　f(x) - g(x) = k(x)･(x-a)^2,

484:１３２人目の素数さん
19/06/10 02:26:59.00 0ZLkhJ7v.net
>>475
r>1 とする。
nが奇数のとき
　M = r^n,　N = r^(n+1),　　M/N = 1/r,
nが奇数)のとき
　M = r^(n+1),　N = r^n,　　M/N = r,
というジグザグ経路で (M,N) → (∞,∞) とした場合
M/N は振動する。

485:１３２人目の素数さん
19/06/10 17:50:16.86 jCNMf2GQ.net
(2)が分かりません
解説お願いします
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

486:１３２人目の素数さん
19/06/10 18:07:22.20 wrgOclCL.net
>>485
| f(x) | = | ∫_{0}^{x} (x - t) * f''(t) dt | ≦ ∫_{0}^{x} | (x - t) * f''(t) | dt
= ∫_{0}^{x} (x - t) * | f''(t) | dt ≦ ∫_{0}^{x} (x - t) * x dt
= (1/2)*x^3 - (1/3)*x^3 = (1/6) * x^3 = x^3 / 3!

487:１３２人目の素数さん
19/06/10 18:09:41.79 wrgOclCL.net
以下の(A)と(B)を使います。
(A)
| ∫ f(t) dt | ≦ ∫ | f(t) | dt

(B)
f(t) ≦ g(t) のとき、
∫ f(t) dt ≦ ∫ g(t) dt

488:１３２人目の素数さん
19/06/10 18:11:07.62 wrgOclCL.net
訂正します：
>>485
| f(x) | = | ∫_{0}^{x} (x - t) * f''(t) dt | ≦ ∫_{0}^{x} | (x - t) * f''(t) | dt
= ∫_{0}^{x} (x - t) * | f''(t) | dt ≦ ∫_{0}^{x} (x - t) * t dt
= (1/2)*x^3 - (1/3)*x^3 = (1/6) * x^3 = x^3 / 3!

489:１３２人目の素数さん
19/06/10 18:23:12.13 jCNMf2GQ.net
>>488
丁寧にありがとうございます。
理解出来ました。

490:１３２人目の素数さん
19/06/10 20:37:06.58 kZrH7E8z.net
2n x 2n の正方形を
1 x 2 のドミノで埋める場合の数を考えます
たとえば、2x2の正方形を1x2のドミノで埋める場合の数は、2通りです
4x4の正方形を1x2のドミノで埋める場合の数は、36通りです
一般に、n=0,1,2,3,,,,のとき、
1, 2, 36, 6728, 12988816, 258584046368,,,
となり、一般項は、
Π[j=1 to n]Π[j=1 to n]{4cos^2 πj/(2n+1)+4cos^2 πk/(2n+1)}
となるようなのですが、
どのようにその公式が導かれるのでしょうか?

491:１３２人目の素数さん
19/06/11 01:30:57.91 O2waXP8V.net
>>490
一般項の式をa[n]とおいてa[n+1]との関係

492:１３２人目の素数さん
19/06/11 01:47:18.59 XUBREGhV.net
>>490
wikipedia
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
によると
Temperley & Fisher (1961) and Kasteleyn (1961)
によって独立に発見されたとある。
多分元論文は
Temperley, H. N. V.; Fisher, Michael E. (1961), "Dimer problem in statistical mechanics-an exact result", Philosophical Magazine, 6 (68): 1061–1063, doi:10.1080/14786436108243366
と
Kasteleyn, P. W. (1961), "The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice", Physica, 27 (12): 1209–1225, Bibcode:1961Phy....27.1209K, doi:10.1016/0031-8914(61)90063-5.
だと思う。
多分原論文読むのが早いのでは？

493:１３２人目の素数さん
19/06/11 04:25:10.86 a3rUuuK+.net
脇道に逸れるが･･･
m×n の長方形の場合は
Π(j=1…[m/2]) Π(k=1…[n/2])　{4cos(jπ/(m+1))^2 + 4cos(kπ/(n+1))^2}
らしい。
2×n 長方形の場合は
　φ = (1+√5)/2 = 1.61803399　とおく。　　… 黄金比
　φ - 1/φ = 1,
Π(k=1…[n/2]) {1 + 4cos(kπ/(n+1))^2}
　= Π(k=1…[n/2]) {3 + 2cos(2kπ/(n+1))}
　= Π(k=1…[n/2]) {φ^2 + (-1/φ)^2 + 2cos(2kπ/(n+1))}
　= Π(k=1…[n/2]) {φ - (-1/φ)exp(2ik/(n+1))} {φ - (-1/φ)exp(-2ikπ/(n+1))}
　= Π(k=1…n) {φ - (-1/φ)exp(2ikπ/(n+1))}
　= {φ^(n+1) - (-1/φ)^(n+1)}/(φ + 1/φ)
　= F_(n+1)　　　　　　　　　　　　… フィボナッチ数
参考文献
・数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社(1984) p.90-92
　URLﾘﾝｸ(oeis.org)
　URLﾘﾝｸ(oeis.org)

494:１３２人目の素数さん
19/06/11 05:56:39.98 eMBlW3ge.net
>>490
これに証明載ってるくさい。
URLﾘﾝｸ(inis.iaea.org)
Section2
A famous result of Kasteleyn [8] and Temperley and Fisher [18] counts the
number of domino tilings of a chessboard (or any other rectangular region).
In this section we explain Kasteleyn's proof.
だそうな。

495:１３２人目の素数さん
19/06/11 06:03:53.49 a3rUuuK+.net
・2×2n の長方形
　特性多項式　tt-t-1,
　-1/φ = (1-√5)/2,
　φ = (1+√5)/2,
　F_(n+1) = {φ^(n+1) - (-1/φ)^(n+1)}/(φ + 1/φ),
　生成関数　1/(1-z-zz),
・3×2n の長方形
　特性多項式　tt -4t +1,
　α = 2-√3,　β = 2+√3,
　P_n = {(1+√3)β^n - (1-√3)α^n}/(β-α)
　生成関数　(1-z^3)/(1-4z^3+z^6)

「ドミノによるタイル張り」(京大･理)　36p.
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
「長方形領域のドミノタイル張りについて」(青学大･理工)　17p.
URLﾘﾝｸ(www.gem.aoyama.ac.jp)

496:１３２人目の素数さん
19/06/11 18:42:04.04 wT3qEpKf.net
高専3 積分
(1)の解説お願いします
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

497:１３２人目の素数さん
19/06/11 18:52:11.15 g+aumiSq.net
>>496
微積分基礎の極意
という高校生向けの参考書にうまいやり方が載っている

498:１３２人目の素数さん
19/06/11 18:53:38.99 Pp8lizPq.net
∫ exp(-x) * sin(x) dx
=
-exp(-x) * sin(x) + ∫ exp(-x) * cos(x) dx
=
-exp(-x) * sin(x) - exp(-x) * cos(x) - ∫ exp(-x) * sin(x) dx
--------------------------------------------------------------------------------
2 * ∫ exp(-x) * sin(x) dx
=
-exp(-x) * sin(x) - exp(-x) * cos(x)
=
-exp(-x) * (sin(x) + cos(x))
--------------------------------------------------------------------------------
∴
∫ exp(-x) * sin(x) dx
=
(-1/2) * exp(-x) * (sin(x) + cos(x)) 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b)

499:１３２人目の素数さん
19/06/11 18:54:21.74 Pp8lizPq.net
>>496
2回部分積分します。

500:１３２人目の素数さん
19/06/11 19:15:58.70 wT3qEpKf.net
>>499
ありがとうございます。
積分はわかります。
しかし[k,k+1]で定積分するとcosxkπが残ってしまい(2)以降で解けなくなってしまう気がします。そこが分からないです。

501:１３２人目の素数さん
19/06/11 19:24:49.82 Pp8lizPq.net
(-1/2) * exp(-(k + 1) * π) * (sin((k + 1) * π) + cos((k + 1) * π))
-
(-1/2) * exp(-k * π) * (sin(k * π) + cos(k * π))
=
(-1/2) * exp(-(k + 1) * π) * cos((k + 1) * π)
-
(-1/2) * exp(-k * π) * cos(k * π)
=
(-1/2) * exp(-(k + 1) * π) * (-1)^(k + 1)
-
(-1/2) * exp(-k * π) * (-1)^k
=
(1/2) * exp(-(k + 1) * π) * (-1)^k
+
(1/2) * exp(-k * π) * (-1)^k
=
(-1)^k * (1/2) * (exp(-(k + 1) * π) + exp(-k * π))
∴
S_k
=
| (-1)^k * (1/2) * (exp(-(k + 1) * π) + exp(-k * π)) |
=
(1/2) * (exp(-(k + 1) * π) + exp(-k * π))

502:１３２人目の素数さん
19/06/11 19:25:36.03 Pp8lizPq.net
>>500
cos(n * π) = (-1)^n
です。

503:１３２人目の素数さん
19/06/11 20:24:04.66 wT3qEpKf.net
>>501
ありがとうございます。
初歩的な質問で申し訳ありませんがSkはなぜ絶対値で囲むのでしょうか？

504:１３２人目の素数さん
19/06/11 20:48:01.51 Pp8lizPq.net
>>503
∫ exp(-x) * sin(x) dx
の被積分関数 exp(-x) * sin(x) について考えます。
k が偶数のとき、
k * π ≦ x ≦ (k + 1) * π であるすべての x に対して
常に
exp(-x) * sin(x)　≧ 0
です。
k が奇数のとき、
k * π ≦ x ≦ (k + 1) * π であるすべての x に対して
常に
exp(-x) * sin(x)　≦ 0
です。

したがって、
k が偶数のとき、
S_k = ∫_{k * π}^{(k + 1) * π} exp(-x) * sin(x) dx
です。
k が奇数のとき、
S_k = (-1) * ∫_{k * π}^{(k + 1) * π} exp(-x) * sin(x) dx
です。

505:１３２人目の素数さん
19/06/11 20:50:42.10 Pp8lizPq.net
ですので、
S_k = | ∫_{k * π}^{(k + 1) * π} exp(-x) * sin(x) dx |
です。

506:１３２人目の素数さん
19/06/11 20:58:52.91 +bgTwHSV.net
空行読みづらいです

507:１３２人目の素数さん
19/06/11 21:01:44.76 Pp8lizPq.net
区間 [0 * π, 1 * π] 上の exp(-x) * sin(x) のグラフ：
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)(-x)+*+sin(x)+from+x+%3D+0+to+x+%3D+pi
区間 [1 * π, 2 * π] 上の exp(-x) * sin(x) のグラフ：
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)(-x)+*+sin(x)+from+x+%3D+pi+to+x+%3D+2*pi
区間 [2 * π, 3 * π] 上の exp(-x) * sin(x) のグラフ：
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)(-x)+*+sin(x)+from+x+%3D+2*pi+to+x+%3D+3*pi
区間 [3 * π, 4 * π] 上の exp(-x) * sin(x) のグラフ：
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)(-x)+*+sin(x)+from+x+%3D+3*pi+to+x+%3D+4*pi

508:１３２人目の素数さん
19/06/11 21:06:22.57 Pp8lizPq.net
被積分関数 exp(-x) * sin(x)
の　exp(-x)　は常に正です。
sin(x) は
k が偶数のとき、
[k * π, (k + 1) * π] 上で常に 0 以上です。
sin(x) は
k が奇数のとき、
[k * π, (k + 1) * π] 上で常に 0 以下です。

509:１３２人目の素数さん
19/06/11 21:17:30.14 wT3qEpKf.net
>>508
ありがとうございます。

510:１３２人目の素数さん
19/06/11 22:12:40.37 tOcUB19H.net
松坂君ウッキウキでわろた

511:１３２人目の素数さん
19/06/12 03:18:23.33 8RdjmFKb.net
画像で申し訳ないですがよろしくお願いします
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

512:１３２人目の素数さん
19/06/12 04:43:07.41 HaAncPiV.net
問 3.7
f(x,y) は {-a≦x≦a}×R で x,y につき連続で、かつ
ある正定数 C, K と p<1 について
　|f(x,y)| ≦ (C/|x|^p)(|y|+1),
　|f(x,y) - f(x,z)| ≦ (K/|x|^p)|y-z|,
を満たすような関数とする。
このとき積分方程式
　　φ(x) = c + ∫[0,x] f(s,φ(s)) ds
は [-a,a] 上に連続関数解φをただ一つ持つことを示せ。

513:１３２人目の素数さん
19/06/12 06:45:40.89 HaAncPiV.net
r = exp(-π) ≒ 0.04321　とおく。
sin(kπ+y) = (-1)^k･sin(y)　(0<y<π)　より
　S_k = r^k ∫[0,π] exp(-y) sin(y) dy = S_0･r^k,
∴　Σ[k=0,n] S_k = S_0 Σ[k=0,n] r^k
　= S_0 {1 - r^(n+1)}/(1-r)
　→ S_0 /(1-r)
　= 0.5451657　　　(n→∞)
ここで、S_0 = (1+r)/2 = 0.521607
∵　1/2 = [ -(1/2)exp(-x){sin(x)+cos(x)} ](x=0,∞)
　= ∫[0,∞] exp(-x)sin(x)dx
　= Σ[k=0,∞] (-1)^k･S_k
　= S_0 Σ[k=0,∞] (-r)^k
　= S_0 /(1+r),

514:１３２人目の素数さん
19/06/12 06:52:32.44 L29m2fiU.net
福引・くじの確率についての質問です
ある福引の当選賞金と当選確率が下記の通りだとします
１等：１００円１５％
２等：５０円３０％
３等：１０円５０％
４等：福引半券５％
※福引半券は３枚で福引券１回分として利用できます

□本題
この場合、福引券１枚あたりの期待値はどうなりますか？
１～３等だけなら単純な割り算で導き出せるのですが、どうしても半券を含めた確率の計算方法がわかりません
どなたかご教授をお願いします

515:１３２人目の素数さん
19/06/12 07:01:24.68 L29m2fiU.net
板の皆様には簡単すぎるかもしれませんが、本当に数学が苦手で申しわけありません
女子大に通っていますが、エスカレーター式で勉学で苦労もせずにここまできたので、数学を日常生活に応用する能力が不足しています
本当にお手数をおかけするだけなのですが、どうかお力を貸していただけないでしょうか・・・m(__)m

516:１３２人目の素数さん
19/06/12 08:38:05.55 XbHWd4c6.net
2100/59?

517:１３２人目の素数さん
19/06/12 09:12:05.45 L29m2fiU.net
え

518:１３２人目の素数さん
19/06/12 09:19:57.23 JZ5/TbV2.net
福引券を大量に持っている場合に1枚あたりの期待値を考えるってことなら4等は1/3回福引を引ける権利として計算すりゃいいんじゃないか？
1枚しか持っていないなら4等はないのと同じ

519:１３２人目の素数さん
19/06/12 10:31:55.64 uuhnb0OF.net
福引券1枚あたりの金銭的価値=福引券1枚あたりの期待値としてよいとする。
福引券1枚あたりの期待値をxとすると、福引券半券の金銭的価値はx/3円となる。よって
x=100×0.15+50×0.3+10×0.5+(x/3)×0.05
これを解いて
x=2100/59≒35.59
となる。

520:１３２人目の素数さん
19/06/12 11:41:04.81 YS3RSneB.net
期待値の存在というか収束は自明ってことにしてるの？

521:１３２人目の素数さん
19/06/12 13:16:45.95 vHmfU3ns.net
E(n)=Σ[a=0,n]C[n,a]Σ[b=0,n-a]C[n-a,b]Σ[c=0,n-a-b]C[n-a-b,c](15/100)^a×(30/100)^b×(50/100)^c×(1000000*a+500000*b+100000*c)

522:１３２人目の素数さん
19/06/12 13:53:26.12 KtwgG2ZT.net
△ABCは、そのブロカール点、外心、垂心が同一直線上にあるという。
このような△ABCの形状を述べよ。

523:１３２人目の素数さん
19/06/12 17:21:37.44 KtwgG2ZT.net
以下の条件のもとで、ab+bc+caの取りうる値の範囲を求めよ。
・a,b,cは実数で、少なくとも1つは0以下であり、少なくとも1つは0以上である。
・-2≤a+b+c≤2
・-1≤a≤1、-1≤b≤1、-1≤c≤1

524:１３２人目の素数さん
19/06/12 19:43:57.25 qEetDZAl.net
　　１
　　１１
　　２１
　１２１１
１１１２２１
次に来る行はなんでしょう？

525:１３２人目の素数さん
19/06/12 21:07:38.43 oOH/ifSq.net
312221

526:１３２人目の素数さん
19/06/12 23:36:47.45 xsIX58CS.net
福引券の半券3枚で抽選してもそれに対しては半券はもらえないだろ

527:１３２人目の素数さん
19/06/13 00:39:15.73 hoBrCpWc.net
解決可能かはわかりませんが
1 1と始まるフィボナッチ数列について、arctan(1/F_n)の無限和はどうなるでしょうか
nが奇数のときだけ足し合わせるとπ/2なのは示せます

528:１３２人目の素数さん
19/06/13 06:36:48.32 1nn9BWNe.net
>>523
(1)　(-∞, ∞)
　{a,b,c} = {n, n, -1} のとき n(n-2) → ∞
　{a,b,c} = {n, -n, 1} のとき -nn → -∞
(2)　(-∞, 4/3]
ab+bc+ca ≦ (1/3)(a+b+c)^2 ≦ 4/3,
　{a,b,c} = {n, -n, 1} のとき -nn → -∞
(3)　[-1, 3]
ab+bc+ca ≦ (1/3)(a+b+c)^2 ≦ 3,
　等号は a=b=c=±1 のとき。
ab+bc+ca = -1 + (1/2)(1-a)(1-b)(1-c) + (1/2)(1+a)(1+b)(1+c) ≧ -1,
　等号は {a,b,c} = {a,-1,1} {-1,b,1} {-1,1,c} など。

529:１３２人目の素数さん
19/06/13 07:18:23.03 1nn9BWNe.net
>>522
　↑P = (λ↑A + μ↑B + ν↑C)/(λ+μ+ν),
のとき点Pの重心座標を (λ：μ：ν) とする。
重心Gは　　１：１：１
外心Oは　　sin(2A)：sin(2B)：sin(2C)
垂心Hは　　tan(A)：tan(B)：tan(C)
（↑OH =↑OA +↑OB +↑OC = 3↑OG,　　OG：GH = 1：2　オイラー線)
第一ブロカール点は　(ac/b)：(ba/c)：(cb/a)
第二ブロカール点は　(ab/c)：(bc/a)：(ca/b)

530:１３２人目の素数さん
19/06/13 07:25:02.91 n/oZi8y0.net
>>525を撤回します
 >>524 312211

531:１３２人目の素数さん
19/06/13 10:12:44.52 Ve8QmG1a.net
>>527
実験したらピンとこない数になるみたい
Prelude> let fibs = map head $ iterate(¥[x,y]->[x+y,x]) [0,1]
Prelude> (/pi) $ sum $ zipWith (*) (cycle [1,0]) $ map (atan.recip.fromInteger) $ take 10000 $ drop 1 $ fibs
0.49999999999999983
Prelude> (/pi) $ sum $ zipWith (*) (cycle [1,0]) $ map (atan.recip.fromInteger) $ take 10000 $ drop 2 $ fibs
0.41650938439782204

532:１３２人目の素数さん
19/06/13 12:10:16.18 dkX7i3Qn.net
>>527
a[n]=arctan(1/F[n])
とすると
a[2n+1]=a[2n]-a[2n+2]
が成立するから、これを使うと奇数に限定した和は簡単に分かるんだな
arctanとFibonacci数を組み合わせた級数について調べてみたが、少なくとも奇数の場合と同じ方針ですぐに出せることはないっぽい

533:１３２人目の素数さん
19/06/13 15:14:50.19 ysqIkAMM.net
>>523
全ての条件が「かつ」の場合は-1≤ab+bc+ca≤4/3ですか？

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