面白い問題おしえて～な 29問目

面白い問題おしえて～ ..

36:１３２人目の素数さん
19/02/01 00:05:16.95 WvZatiro.net
>>34
他に問題を考えている人がいるかもしれないと思い待っていました、すみません
紹介しようとしていた証明の出典はこちらの論文です
URLﾘﾝｸ(m.tau.ac.il)
(§2-3)
以下、n=2の場合について簡単に解説を書いておきます
 >>15で与えた補題はBorsuk–Ulamの定理と呼ばれている有名な定理(の特殊な場合)です
S^2,R^2をS^n,R^nに置き換えたものが本来の主張です
証明は代数トポロジーの教科書をあたると良いでしょう
英語版wikipediaにも載っているようです
元々の問題は離散的な設定であるため、補題を適用する為には、まず問題を連続的な設定に置き換える必要があります
具体的には
紐→閉区間[0,1]=I
宝石列→閉区間Iの互いに素な2つの部分集合への分割I=V_1∪V_2
(宝石の総数をNとするとき、宝石１つの占める区間の長さを1/Nと考えて、宝石の種類によって分割。
pdfではcoloringと表現)
紐の切断……Iの互いに素な区間への分割I=U_1∪U_2∪U_3
また、S^2の元に対し「Iの分割及び2人への分配」を対応させます
具体的には、(x,y,z)∈S^2に対し
分割……U_1=[0,x^2],U_2=(x^2,x^2+y^2],U_3=(x^2+y^2,1]
分配……A=∪_{i|(x,y,z)の第i成分が正} U_iとB=∪_{i|(x,y,z)の第i成分が負} U_i
と定めます
最後に、f=(f_1,f_2):S^2→R^2を
f_i(x,y,z)=λ(A∩V_i)
(Aに含まれる種類iの宝石の"数")
(λはルベーグ測度)
と定めます
fが連続であることは明らかでしょう
最後に、このfに対し補題を適用すれば、元の主張が示されます
(なぜこれで示されるかはよく考えると分かると思います)
pdfでは、§2で元の問題を拡張した連続的な問題を定義し、§3でそれを示しています

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