面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～な 28問目 at MATH

[前50を表示]
850:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:44:45.98 +UB1Vctb.net
技巧を使うのはつまらん

851:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:52:51.29 5Ao2DZHd.net
>>806
なるほど、かなり惜しいですね
 >>807
真面目に数えてもいちおう解ける問題ですよ
背景に代数が絡んでいるだけです

852:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:59:05.23 mDFT4dj8.net
>>804
なるほどねー
|f^(-1)(a)| = ker(f) が一般論としていえるという話で
たしかにfが全射だと成立しますね知識として抜けてたからわざわざ確認作業しました
ためになりました

853:１３２人目の素数さん
18/12/21 23:01:37.47 fiFOgETC.net
>>775
またまた訂正....orz
a = 0.832249110949768
b = 0.339584229234133
c = 0.953736946103557
d = 0.735197941014908
a-1 +b/2 = 0.002041225566834
他は変わらず
 >>784　ご指摘トンクス

854:

855:１３２人目の素数さん
18/12/21 23:26:38.46 XyADTeab.net
>>お734
fの長さってL(f)=∫√(1+f'(x)^2)dxで与えられるよね
L(f_n)が一様有界だとしてもW^(1,1)の一様有界性は言えてもW^(1,2)の一様有界性は言えないんじゃない？
Y=W^(1,1)としてもp=1でヒルベルト空間にならないから弱コンパクト性使えないんじゃないの？

856:１３２人目の素数さん
18/12/21 23:28:21.96 XyADTeab.net
>>お734→>>734

857:１３２人目の素数さん
18/12/21 23:53:40.40 B8/MYwFX.net
>>811
>>734で書いたXに入ってる関数(の組)についての最小値を求めるのが元の問題。
YはXを含んでてHilbert空間になってるものが取れれば良い。
Xに入ってる関数を野放図にゆるすとYとしてHilbert空間が採れなくなってしまうけど今の場合
・求めたいのはその”関数”の表す曲線の”長さ”なので有界な関数に限定してよい。
・パラメータは[0,1]で動かすとして定速度のゲージでとれば速度ベクトルの大きさは1/L(Lは長さ)なので速度ベクトルも有界としてよい。
よってXに入ってる関数としては |||～||_2 も ||～’||_2 も可積分として良いのでYとしてHilbert空間が採れます。

858:１３２人目の素数さん
18/12/21 23:58:03.93 jIBEfQIT.net
>>813
いやいや
結局最小元の存在って変分の直接法使ってるんでしょ？
関数f_nのW^(1,2)ノルムがnを止めるごとに有限だとしても
sup_{n∈N} ||f_n||_W^(1,2)が有限とは限らない

859:１３２人目の素数さん
18/12/21 23:59:10.40 jIBEfQIT.net
それとも別の証明法で
ヒルベルト空間からRへの写像の最小元の存在が言えるんか？

860:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:00:55.31 qY2OweNU.net
>>814
ごめん
関数f_n→関数列f_n
です

861:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:03:14.90 NG24qIEO.net
>>814
もちろん最小限はYのなかでとってそこからオイラーラグランジュ方程式解くところまでYの中でやらないとだめですよ。
でYのなかで解いてみてじつは元のXに入ってることを確認します。

862:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:03:22.49 qY2OweNU.net
>>813
あーごめん
そっかだから弧長パラメータ採用すれば一様有界言えるってことなんかな

863:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:06:23.43 62Pqq/ZD.net
>>817
いやそもそもなんでYの中に最小元があるのかという疑問です

864:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:10:54.26 mbmYbufh.net
>>818
いやだめだ
弧長パラメータ採用したら結局積分区間がfに依存するわ
だからやっぱりp=2での一様有界性言えない気がする

865:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:17:21.25 NG24qIEO.net
いま証明したいのは作用積分SはXのなかで最小値を持つこと。
最小値がないとして
S(f_1)>S(f_2)>…
がinfに収束するとする。
f_iのなかには先に述べた理由で余り素性のよくないものはないとしてよくYに入ってるとして良い。
YはHilbert空間だから lim f_i は Yの位相で収束するとしてよくその極限をfとする。
もちろん f はまだYの元(としかわからない)。
でもYは微積ができて部分積分もできるのでオイラーラグランジュの理論が使えて通常と同じ手順で円または線分となり、元のXに入ってるたとわかる。
なのでSobolev空間のなかでちゃんと解析学が展開できることを確認することは必要ですが、今回の場合はオイラーラグランジュ方程式だから部分積分できればいいので問題ない(ハズ)です。
参考文献など紹介できるほど詳しくないのであしからず。

866:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:22:58.05 rCQxrUyA.net
>>821
>YはHilbert空間だから lim f_i は Yの位相で収束するとしてよくその極限をfとする。
ここ
これを言うには普通最小化列のYノルムでの一様有界性→弱コンパクト性使うと思うんだけど

867:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:29:00.68 NG24qIEO.net
>>822 もちろん f_i は長さ(の合計)がどんどん小さくなって行ってるので>>813に書いてる理由でノルムは一様に抑えられてますよ。

869:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:29:33.94 /qYpf/WQ.net
言いたいことをまとめます
lim(n→∞)F(x_n)=inf_{y∈Y}F(y)なる点列{x_n}_{n∈N}⊂Yを取ってくれば
収束列は有界列だからsup_{n∈N}|F(x_n)|<∞が言える
で、もしもF(x)≧||x||_Yみたいな評価があれば...(1)
sup_{n∈N}||x_n||_Y<∞も言える
つまりx_nはあるヒルベルト空間の閉球に完全に含まれてることになって、
ヒルベルト空間における閉球の弱コンパクト性から
部分列取ってx_(n_j)→x in Y なるx∈Yが存在する
であとはFの弱連続性を認めれば(これも証明するの難しいと思うけど)
lim(n→∞)F(x_n)=F(x)=inf_{y∈Y}F(y)
でx∈Yは最小元ってことで証明できるけど
今問題なのは(1)の評価がW^(1,2)にしてるせいで言えないこと

870:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:31:05.69 /qYpf/WQ.net
>>823
いやf_iの長さは >>811でいうところのL(f_i)でしょ？
||f_i||_W^(1,2)での一様有界性はどう言うの？

871:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:32:24.66 /qYpf/WQ.net
で >>811の話に戻るんだけど
L(f_i)が一様有界でも
せいぜい言えて||f_i||_W^(1,1)の一様有界性くらいじゃないかな

872:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:34:15.67 /qYpf/WQ.net
つまり二乗とルートで相殺されて二乗の積分で下から抑えられないってことです

873:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:42:10.24 K+wsO328.net
>>824
ごめん途中の
>部分列取ってx_(n_j)→x in Y なるx∈Yが存在する
の→は弱収束の意味です

874:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:56:42.61 lvzJupuF.net
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875:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:58:26.63 NG24qIEO.net
>>824
>で、もしもF(x)≧||x||_Yみたいな評価があれば...(1)
あります。
いま考えてるFは長さなので ∃C1 ∀n t |x_n(t)| としてよい。
tは[0,1]しか取らないのでこれで ∃C2 ∀n ||x_n||_2 < C2 。
∫|x_n’(t)|dt は n によらず有界、かつ|x_n’(t)|は等速度ゲージ(で採っているとしてよい)なので∃C3 ∀n |x’_n| < C3 (= 1/L)。
つまり|x’_n(t)|は一様有界なので ||x’_n(t)||_2 も一様有界。
つまりでたらめにx_n(t)をとってしまうとx’_n(t)は病的なものが出てくるかもしれないけど、その場合にはLnを長さとして
σ(t) = (1/Ln)∫[0,t] |x’_n(t)| dt、σの逆関数をτとしてy_n(s) = x_n(τ(s))とすればこれはただのゲージ変換で長さも変化せず、しかも|y’_n(s)|はnによらない定数で抑えられてしまう。
よってこれ本体も２乗も一様に可積分。
でこのy_n(s)で鼻から議論すればよい。

876:１３２人目の素数さん
18/12/22 01:03:36.94 AgnllN11.net
>>830
等速度ゲージにしたら結局積分区間がxに依存するんじゃないの？
だから|x_n'(t)|が一様有界でもL(x_n)は一様有界じゃない

877:１３２人目の素数さん
18/12/22 01:05:09.47 uC7KiAdH.net
そもそも等速度で積分区間がxに依存しないなら
長さがどんな曲線でも定数になってしまって意味のない変分問題になってしまう

878:１３２人目の素数さん
18/12/22 01:07:32.54 aletPSph.net
>>830
ああL_nで割ってるのか
だとしても割った分一様有界性言えないよね

879:１３２人目の素数さん
18/12/22 01:08:53.34 aletPSph.net
>>833
ごめんこれはただの勘違いです
まあどのみち >>831のせいで厳しいと思います

880:１３２人目の素数さん
18/12/22 01:15:21.98 NG24qIEO.net
x_nの積分区間は[0,1]ということにしてます。
y_n作る時はいわゆる距離ゲージでなく等速度ゲージにしてるのは区間をnごとに取り替えなくて済むようにしてます。
(まあ、距離ゲージにしてもできますけど。その場合は0≦t≦L_nから先は停止させることになります。)
区間は[0,1]なので等速度ゲージでは|x’_n(t)|は(tについての)定数L_nであり、nに依らず有界としてよい。
つまり|x_n(t)|も|x’_n(t)|もn,tに依らず一様に有界としてよい。

881:１３２人目の素数さん
18/12/22 01:17:22.95 ZXNTE5ED.net
高校数学
a,b,c∈ℝについて、関数f(x)を
f(x)=
{ (x²+ax+b)/((x-1)(x²+1)) (x≠1)
{ c (x=1)
で与える。
定積分 I=∫[b,p] f(x) dxを考える。α,β∈ℝは,
tan(α)=p, tan(β)=b を満たしている。このとき、
極限 lim[b→∞] I を求めよ。
lim[x→0] sin(x)/x =1 は証明せずに利用できるものとする。

882:１３２人目の素数さん
18/12/22 01:18:39.98 NG24qIEO.net
>>834
いまノルムは||x||_Y = ∫[0,1](|x|^2+|x’|^2)dtでとってるので|x_n(t)|と|x’_n(t)|がt,nに依らずに有界なら|| x_n ||_Y はnに依らず一様に有界です。

883:１３２人目の素数さん
18/12/22 01:52:06.18 /qYpf/WQ.net
>>835
>>837
あーなるほど...ごめんなさい
パラメータを0から1で固定しても1次元曲線なら等速度パラメータに取り直せるのか
失礼しました
多次元とかの曲面とかなら
曲面積∫_D √(1+|∇u(x)|)dxとして
積分領域固定で|∇u_n(x)|=S_n(xに依存しない)
とは出来ないのでそれで勘違いをしていました

884:１３２人目の素数さん
18/12/22 01:54:00.59 NG24qIEO.net
いえいえ、やっぱり数学論議楽しいですよね。

885:１３２人目の素数さん
18/12/22 02:01:37.64 UpCRuaJY.net
>>839
いやー勉強になりました
あとはx_n→x (Y-弱収束)として
長さ汎関数の弱連続性と
等�

886:ﾏ条件が保存されるか(面積汎関数の弱連続性) さえ言えればいい感じですかね

887:１３２人目の素数さん
18/12/22 02:17:52.75 NG24qIEO.net
>>840
ですね。
まぁHilbert空間なのでなんとかなるかと。

888:イナ
18/12/22 11:07:04.64 h7yqlWMB.net
前 >>769
やっぱり円弧と単位円の交点の座標を求めるべきか。
(cosθ,sinθ)ともおけるが、方程式を解くとx^2の項とy^2の項が消え直線の式になる。この直線は弦か？
(cosθ,sinθ)と原点(0,0)の距離は1、
(cosθ,sinθ)と(b,0)の距離は、
√{(b-cosθ)^2+sin^2θ}
両者直交しているから、
三角形の面積は、
(1/2)√{(b-cosθ)^2+sin^2θ}
=(1/2)√(b^-2bcosθ+1)

889:イナ
18/12/22 11:44:56.00 h7yqlWMB.net
前 >>842
三角形の面積が出てる。③だ。
(1/2)b･sin(60°-θ)=(1/2)√(b^-2bcosθ+1)
b･sin(60°-θ)=√(b^2-2bcosθ+1)
b^2･sin^2(60°-θ)=b^2-2bcosθ+1
b^2{1-sin^2(60°-θ)}=2bcosθ-1
b^2cos^2(60°-θ)=2bcosθ-1
中心角60°-θ、半径1の扇形内の重複している三角形の面積=(1/2)√{b^2sin^2(60°-θ)-b^2cos^2(60°-θ)}
=(b/2)√{1-2cos^2(60°-θ)

890:イナ
18/12/22 17:15:59.14 h7yqlWMB.net
前 >>843
第１象限で扇形が重なっている領域=π/8
2つの扇形は、
単位円,中心角r
π(60°-θ)/360°―①
半径r,中心角θ
πr^2(θ/360°)―②
円弧の中心は、
(a+r√3/2,-r/2)
2つ扇形から引く2つの三角形は、
bsin(60°-θ)/2,(b-a)r/4
第１象限の直角三角形の相似比より、
cos(60°-θ)=1/b
よって2つ扇形から引く2つの三角形はそれぞれ、
sin(60°-θ)/2cos(60°-θ)―③
{(1/cos(60°-θ)-a}r/4―④
①+②-③-④=π(60°-θ)/360°+πr^2(θ/360°)-sin(60°-θ)/2cos(60°-θ)-{(1/cos(60°-θ)-a}r/4=π/8
未知数がa,r,θの3つ。
rの二次式と見て、r＞0の解を持つ。

891:イナ
18/12/22 19:16:21.07 h7yqlWMB.net
前 >>844どうやってaやrやθの値を出したんだ？　計算過程を書いてほしい。
r^2-{(1/cos(60°-θ)-a}･360°r/4πθ+(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･360°/2πθcos(60°-θ)-360°/8θ=0
r^2-{(1/cos(60°-θ)-a}･90°r/πθ+(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ=0
Ｄ={(1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}≧0

892:イナ
18/12/22 22:55:23.61 h7yqlWMB.net
前 >>845
r^2-{(1/cos(60°-θ)-a}･90°r/πθ+(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ=0
r=(1/2)(1/cos(60°-θ)-a}･(90°/πθ)±√{(1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}
境界線の最小値=2a+4･2πrθ/360°
=2a+πrθ/45°
πrθ/45°=(πθ/90°)(1/cos(60°-θ)-a}･(90°/πθ)±√{1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}
=(1/cos(60°-θ)-a}±(πθ/45°)√{(1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}
境界線の最小値=2a+(1/cos(60°-θ)-a±(πθ/45°)√[{1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}]
=a+(1/cos(60°-θ)±(πθ/45°)√[{1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}]
=a+(1/cos(60°-θ)±√4π^2･θ^2･[{1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･90°/2πθcos(60°-θ)-90°/2θ}]
=a+(1/cos(60°-θ)±√[{1/cos(60°-θ)-a}^2･360°-4^2･π^2･θ^2･{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･90°/2πθcos(60°-θ)-90°/2θ}]
a→0.122
θ→13°のとき、
最小値→3.9457になりそうにない。

893:イナ
18/12/23 17:10:40.15 xaVNNkbo.net
前 >>846
このスレ、選りすぐりの数学の猛者があつまってると思ったが、だれも計算過程を書いてくれないのか。

894:１３２人目の素数さん
18/12/23 17:36:15.05 UkyHbwjy.net
書いてあるやん

895:イナ
18/12/23 19:06:28.02 xaVNNkbo.net
前 >>847
>>848いきなりすぎて、
a=0.122……
b=……(a＜b＜r　接線のx切片は必要ないのかも)
r=4.……
θ=13.……
等積条件から妥当な数字が出ていることはわかるが、計算過程を書いてほしい。
Rとかθも度数法にしてほしい。計算過程なくただ数字が書いてあるだけでは長さなのか角度なのか単位がわからない。

896:１３２人目の素数さん
18/12/23 19:31:03.12 bPdU4Xdf.net
いきなりすぎるのは、すでにある解法を模写しているだけで
自分で考えていないからだよ

897:イナ
18/12/23 19:56:29.02 xaVNNkbo.net
前 >>849
「等積条件から」
と書くならその式を、
○x^2+△x+□=0
とちゃんと書くべき。
いきなりa=0.122……
b=
r=4.……
θ=13.……
未知数4つならそれを決定する式なり条件なりを4つ書くのがふつうです。
式が4つなくても、a＜b＜rの条件と図からある程度は値が特定できますが、式を書かずに「等積条件から」と書くから、計算過程を書いてほしいと言っているんです。
等積条件から出そうとしているのは同じです。式が足りないから、等積条件の式だけしかないから未知数が特定できないでいます。

898:１３２人目の素数さん
18/12/23 20:31:25.46 9TontRFu.net
とりあえず >>665はちゃんと書いてるやん。

899:イナ
18/12/23 21:03:40.05 xaVNNkbo.net
前 >>851扇形2つから三角形2つを引けばπ/8になる、ってことだと思うけど。

900:１３２人目の素数さん
18/12/24 00:58:52.90 8af0FAjd.net
高校数学までを範囲と想定した問題
nを自然数とする。数列{a_n}及びa_0を a_0 = 1 , a_n = a_n-1 +3-(-1)^n と、また数列{p_n}を、素数を小さい方から順に並べた数列と定める。
(1) a_n の一般項を1つの式で表せ。
(2) b_n = a_n / p_n と定める。lim[n→∞] b_1 * b_2 * b_3 * ... * b_n-1 * b_n の収束・発散を調べ、収束する場合はその値を求めよ。

901:１３２人目の素数さん
18/12/24 01:54:21.10 RHWhqRjf.net
>>642
では未知数はbです。
交角の条件（プラトーの法則) を使って絞り込めば　R、θ をbで表わすことが可能です。
その場合には σ(b,θ,R) もbの関数になります。それを π/5 とおけば bが決まります。
しかし、プラトーを使わないと自由度が減らないので計算が煩雑になります。 >>733

902:１３２人目の素数さん
18/12/24 03:41:15.05 SRj8kjI3.net
nを自然数とする。
n枚のカードがあり、各カードには数字が一つずつ、1からnまでの数字が書かれている。
このカードをシャッフルして山札をつくり、次のようにしてカードを場に並べることを考える。
「山札の一番上からカードを一枚取り、場に並べることを繰り返す。ただし、二枚目以降は、それまでに場に出ているどのカードよりも大きい数字である場合のみ場に並べる。
そうでないとき、そのカードは場には並べず、そこで作業を終了する。」
このようにして場に並べたカードの数字の合計値をS(n)とおく。
S(n)の期待値を求めよ。
(Σや"……"を使わずに、nの式として表現すること)

903:１３２人目の素数さん
18/12/24 10:21:01.51 RHWhqRjf.net
プラトーの法則を使わない場合
たとえばラグランジュの未定乗数法を使います。
目的関数
　I(b,θ,R ;λ) = 2b + 4Rθ + λ{σ(b,θ,R) - π/4},
　σ(b,θ,R) = (θ+π/6) + b･sin(π/3-θ) - RR(θ-sinθ),
について
　∂I/∂b = 2 + λ(∂σ/∂b) = 2 + λsin(π/3-θ) = 0,
　∂I/∂θ = 4R + λ(∂σ/∂θ) = 4R + λ{1 -b･cos(π/3-θ) -RR(1-cosθ)} = 0,
　∂I/∂R = 4θ + λ(∂σ/∂R) = 4θ + λ･2R(θ-sinθ) = 0,
　∂I/∂λ = σ(b,θ,R) - π/4 = 0,
の4つの式を連立させて解きます。
ガンガレ

904:１３２人目の素数さん
18/12/24 13:41:46.21 RHWhqRjf.net
>>854
(1)
a_n = a_{n-1} +3 - (-1)^n
　= a_0 + Σ[k=1,n] {3 - (-1)^k}
　= a_0 +3n + {1 - (-1)^n}/2,
∴　a_n < 3n+2,
(2)
0<ε<1 とする。
素数定理から、ある自然数mがあって
k>m　⇒　p_k / log(p_k) > (1-ε)(3k+2)/3,
b_k = a_k / p_k < (3k+2) / p_k < 3/{(1-ε)log(p_k)} < r <1,
ratio test より収束。
b_1･b_2････b_n = B･Π[k=m+1,∞] b_k < B･Π[k=m+1,∞] r = 0,
ここに B = Π[k=1,m] b_k >0

905:１３２人目の素数さん
18/12/24 15:50:58.99 FWwP

906:CDWa.net

907:１３２人目の素数さん
18/12/24 16:47:08.42 WVKhIUKA.net
ほほう、今どきの高校生はレベル高いな。

908:１３２人目の素数さん
18/12/24 18:03:25.99 nUBndNaF.net
この手の”～までの知識で”って基本しょうもない。

909:１３２人目の素数さん
18/12/24 18:45:00.10 8af0FAjd.net
>>858
解いていただきありがとうございます。
(1)は問題ないのですが、(2)で素数定理を使うと簡単に解けてしまうので「高校数学までを範囲と想定した問題」と表記した次第です。
>>861
すみません、この手の問題はしょうもないのかもしれません。
自分では面白いと思ったのですが……
一応(2)のヒントとしては{a_n}の性質ですかね

910:１３２人目の素数さん
18/12/24 19:05:16.25 rXagpuif.net
素数定理を1から証明してしまえば全く問題ない
以上

911:１３２人目の素数さん
18/12/24 20:41:01.09 SRj8kjI3.net
中学入試や算数の難問は好き
高校数学に限定する問題はなんか不自然な制約で好きくない

912:１３２人目の素数さん
18/12/24 21:58:13.46 CUMHScCx.net
>>864
わかりみが深い
前スレの最後らへんに投げられて結構議論された中学入試のやつが最たる例

913:イナ
18/12/25 03:15:37.44 8C4zSqur.net
前 >>853
プラトーの法則だと思うんだけど、
半径rの円弧が、
分岐点(a,0)で、
y=√3(x-a)と接するってことで使ってますよね。

914:１３２人目の素数さん
18/12/25 08:22:00.84 sEuF2VGi.net
使ってますね

915:イナ
18/12/25 08:44:18.02 8C4zSqur.net
前 >>866
短い境界線を2a、長い境界線を4×2πrθとして、
aやrやθをどういう計算過程をもって出したらいい？
今あるのは、rの二次式。
どうやってθを13°いくらと特定するか。解の公式で解けばいいか。

916:１３２人目の素数さん
18/12/25 08:54:23.36 759ch7em.net
とりあえず >>644の設定でいいならsの満たすべき方程式は
-((12*sin(s)^2+12*cos(s)^2－12*cos(s)+3)*sin(2*s)－24*sin(s)^3+(24*s－8*%pi+2*3^(3/2))*sin(s)^2－24*s*cos(s)^2+24*s*cos(s)－6*s)/(48*cos(s)^2－48*cos(s)+12)
= π/8。
近似解は
s=.8486751477323029=48.6255041427026°

917:イナ
18/12/25 11:24:23.58 8C4zSqur.net
前 >>868
>>869「%pi」は文字化けですね。まだこれから式の意味を考える段階ですが、わかったとして、計算過程を書いてほしいです。
a(短い境界線の半分)とr(円弧の半径)を特定することなく、θを弧度法で出さはったということでしょうか？

918:１３２人目の素数さん
18/12/25 11:35:04.99 zHAIkLZ9.net
正の実数列a_nについて、
Σ(k=1,∞)a_k=1のとき、
Π(k=1,∞)(a_k)^(a_k/k)の最小値を求めよ
ただし、0^0:=1とする

919:１３２人目の素数さん
18/12/25 13:55:20.02 sb/tcBWj.net
>>870
面積の計算が一番面倒なのでそこはグリーンの公式でmaximaに計算してもらった結果が >>869ですが、別に２つの円弧と線分で囲まれた領域の面積なので、
三角形＋三日月？＋三日月でも計算できます。
興味があるならやってみたらいいと思います。
単位円に張り付いてる三日月は半径1, 中心角sなので、1/2×1^2×s-1/2×1^2×sin s。
仕切りに張り付いている方が半径r=sin s/(cos s - 1/2)、中心角5π/6-(s-π/2)。
三角形は1/2 sin s。
足せば >>869になるはずです。
で=π/8をとけば良い。

920:１３２人目の素数さん
18/12/25 16:54:18.40 W/KfkU2b.net
双対ベクトル、双対テンソルについて
ベクトルとその双対ベクトルに関し、以下は正しいですか？
１．反変

921:ベクトルとは接空間上に与えられたベクトル。２．共変ベクトルとは余接空間上に与えられたベクトル。３．あるベクトルが与えられたとき、そのベクトルの双対ベクトルが必ず一つ存在する。４．反変ベクトルと共変ベクトルは双対の関係にある。次に上記を行列ないしテンソルに拡張するとして、以下は正しいですか？１１．反変テンソルとは接空間上に与えられたテンソル。１２．共変テンソルとは余接空間上に与えられたテンソル。１３．あるテンソルが与えられたとき、そのテンソルの双対テンソルが必ず一つ存在する。１４．反変テンソルと共変テンソルは双対の関係にある。

922:１３２人目の素数さん
18/12/25 17:22:45.77 h9yT/cNM.net
1辺の長さが1の正三角形P₀ABがある。P₀から三角形の内部にむけて光線を照射し、光線が最初に辺ABにぶつかる点をP₁、∠AP₀P₁=θとする。
また、光線は△P₀ABの辺で入射角と反射角が等しくなるように反射し、P₁で反射した光線が次に△P₀ABの辺にぶつかる点をP₂、
P₂で反射した光線が次に△P₀ABにぶつかる点をP₃、
以後光線がn回目に△P₀ABの辺にぶつかる点をPₙとする。
ただし、0°＜θ＜60°とし、光線が△P₀ABの頂点に入射したとき光線は反射しないものとする。
また、光線は△P₀ABの内部で直進するものとする。
△P₀P₁P₂の面積の最大値を求めよ。また、そのときのtanθの値を求めよ。

923:イナ
18/12/25 18:06:03.36 8C4zSqur.net
牧嶋とかいう有能なケライがいたわけですか。
前 >>870なぞが解けました。

924:１３２人目の素数さん
18/12/25 20:22:42.67 F9g040cM.net
>>871
a1,a2,...を未知数, λをラグランジュの未定乗数とし条件付き最小化問題として解くと
F(a1,a2,...) = Σ[k=1,∞](ak/k)log(ak) + λ(Σ[k=1,∞]ak - 1),
∂F/∂ak = (1+log(ak))/k + λ = 0
より
ak = e^(-1-λk)
Σ[k=1,∞]ak = 1
より
λ = log((e+1)/e)
このとき
Σ[k=1,∞](ak/k)log(ak)
= Σ[k=1,∞](-1/k-λ)e^(-1-λk)
= -λ-e^(-1)Σ[k=1,∞]e^(-λk)/k
= -λ+e^(-1)log(1-e^(-λ))
= 1-((e+1)/e)log(e+1)
より最小値は
e(e+1)^(-(e+1)/e)

925:１３２人目の素数さん
18/12/25 21:07:36.44 Waj/1OvQ.net
>>876
すごすぎ大正解です
数列空間上の変分問題なるものを無理やり作問したんだけど完全に想定通りの解法です

926:１３２人目の素数さん
18/12/26 00:40:33.04 h3fhKKPg.net
>>874
誘導もなしか？難しいな

927:１３２人目の素数さん
18/12/26 01:12:21.79 CD/sRfld.net
>>856
できた。
カード k が総和に寄与する場合の数を考える。
このカードが i+1 番目に出てかつ1～i+1 まで単調増大となる場合の数は C[k-1,i] (n-i-1)! だから求める場合の数は Σ[i=0,k-1] C[k-1,i] (n-i-1)!。
よって求める期待値を E とすれば
E n! = Σ[k=1,n] k Σ[i=0,k-1] C[k-1,i] (n-i-1)!
.　　= Σ[i=0,n-1] Σ[k=i+1,n] k! (n-i-1)! /i! /(k-i-1)!
.　　= Σ[i=0,n-1] Σ[l=0,n-i-1] (l+i+1)! (n-i-1)! /i! /l!
.　　= Σ[i=0,n-1] (n-i-1)! (i+1) Σ[l=0,n-i-1] C[l+i+1,i+1]
.　　= Σ[i=0,n-1] (n-i-1)! (i+1) C[n+1,i+2]
.　　= Σ[i=0,n-1] (n+1)n(n-1)…(i+1) /(i+2)
.　　= Σ[i=0,n-1] (n+1)n(n-1)…(i+1) /(i+2)
.　　= (n+1)! - 1
により
E = ((n+1)! -1) /n!。

928:１３２人目の素数さん
18/12/26 01:28:51.70 jqxFYK0v.net
>>874
tanθ=3√3-2√6,(√3+2√6)/7のとき最大値(3√3-2√6)/4
計算ミスしてそうで心配

929:１３２人目の素数さん
18/12/26 01:30:34.65 YAwDN11w.net
>>874
これｎ回目とかいってるけど求めるのは
＞△P₀P₁P₂の面積の最大値
ってP₃以降は関係ないの？

930:１３２人目の素数さん
18/12/26 01:36:25.87 jqxFYK0v.net
>>879
正解！
自分でつくった問題なんですが、ほぼ同じやり方で計算しました
E*n!の計算の最後3行の部分がよく分かりませんが、答えは合ってるし書き損じですかね？
答えが思いのほか綺麗になるので、もしかすると別の解釈があるのかなと思い少し考えましたが分かりませんでした

931:１３２人目の素数さん
18/12/26 01:39:50.87 j2jVKGI9.net
>>882
自作っすか！美すぃ！！

932:１３２人目の素数さん
18/12/26 01:

933:50:53.57 ID:jqxFYK0v.net

934:１３２人目の素数さん
18/12/26 02:18:21.65 7uE5PrOX.net
>>884
(n+1)n(n-1)…(i+3)(i+2)(i+1) / (i+2) = (n+1)n(n-1)…(i+2) - (n+1)n(n-1)…(i+3) (ただし i = n-1 のときは第２項は-1と解釈する。強引だけどそれで i=n-1 でも合う。)
によりこれをi : 0～n-1で足し合わせればi=0のときの第１項とi=n-1のときの第２項だけが残って(n+1)! - 1となります。

935:１３２人目の素数さん
18/12/26 02:19:21.58 7uE5PrOX.net
>>884
なるほど。そっちの方がかっこいいですね。

936:１３２人目の素数さん
18/12/26 02:25:06.28 jqxFYK0v.net
>>885
なるほど理解しました
(n+1)!を掛けているだけで、本質的には同じやり方っぽいですね

937:１３２人目の素数さん
18/12/26 02:47:47.45 b/863K9i.net
７７７

938:１３２人目の素数さん
18/12/26 03:46:23.61 eKrvMAjz.net
Aさんがある平面上に時計を2N個設置する。
そのうちN個は長針と短針が付いており、残りのN個は長針も短針も付いていない。
作動している時計の長針、短針は一般的な速度を刻むが、示している時刻が同じ保証はない。
あなたは長針と短針が付いていないN個の時計に対して、長針と短針をつけて作動させることができる。
ここで「特異な三角形」とは、「異なる3つの時計の中心を頂点に持つ三角形であり、また三角形の内部もしくは辺上に別の時計の中心が存在せず、
3辺すべてが3つの時計の長針と短針の劣角側（長針と短針がちょうど反対側に来るときは長針を上に持ってきたときの左側と定める）に存在しているもの」をいう。
Aさんはある時刻に部屋に入って、時計の中心同士を結ぶ。
ただし結んだ線分同士は全て交わらないように注意する。
あなたは任意の時刻で、「特異な三角形」をN個以下にすることが可能であることを示せ。
ただしAさんが線分を結ぶ時間、及びあなたが時計を作動させる時間は無視できる。

939:１３２人目の素数さん
18/12/26 03:46:59.70 euuUvasb.net
>>879
＞E = ((n+1)! -1) /n!。
これ、E = n+1 - 1/n! としてもいいですか？

940:１３２人目の素数さん
18/12/26 10:06:21.59 9sjQFR89.net
>>890
どうぞ

941:１３２人目の素数さん
18/12/27 01:13:07.85 lwT4iYS4.net
>>889
＞ただし結んだ線分同士は全て交わらないように注意する。
これは辺さえ交差してなければ、内部に他の点を含むのはありですか？
例えば正三角形の頂点ABCとその重心Gに時計が配置されてて頂点上の針の狭角に他の全ての頂点が入っていているときに△ABCは「特異な三角形」にカウントされますか？
また内点を共有するのはありですか？
例えば正三角形の頂点ABCとその重心Gに時計が配置されてて頂点上の針の狭角に他の全ての頂点が入っていて、重心の時計の針の狭角にABが入っている場合、
△ABGと△ABCを両方「特異な三角形」とカウントするのはありですか？

942:１３２人目の素数さん
18/12/27 06:34:09.73 aPyNM+A+.net
>>889
証明作ってみたけど
三角形の個数は N-2 まで少なくできるね
問題の出典は？

943:１３２人目の素数さん
18/12/27 10:27:57.67 fyLTl4ik.net
>>892
「三角形の内部もしくは辺上に別の時計の中心が存在せず、」の条件から前者は認めません。点を共有する事は認めます。

944:１３２人目の素数さん
18/12/27 11:35:42.20 5E6XzOOT.net
特異な三角形って、作動していない時計が含まれていても意味がある概念？
(針がついていない場合は、針と辺に関する条件は満たされているものと考える、とか)
そうでなければ作動していない時計の存在意義がないと思うし
あと、特異な三角形と考えるのはAさんがその３つの時計を直線で結んでいる場合のみ？(でないと直線で結ばれている意味がないはず)
「あなたは～することが可能であることを示せ」とあるけど、"あなた"ができるのは時計に針をつけて作動させることだけだよね？
つまり、まだ針のついていない時計の時刻をうまく決定することで条件を満たすようにできることを示す、ということでよい？

945:１３２人目の素数さん
18/12/27 11:57:48.55 fyLTl4ik.net
>893
自作です
>895
N個の時計は必ず作動させなくてはいけません。
そのあと二つは仰る通りです。
文章が分かりにくくてすいません。

946:１３２人目の素数さん
18/12/27 14:35:54.79 VTfJXhBm.net
>>874
　tanθ = t とおいて、面積Sをtで表わす。
・0<θ<30°のとき
AP1 = sinθ / sin(120ﾟ-θ） = 2t/(√3 +t),
AP2 = AP1 sin(60ﾟ+θ)/sin(60ﾟ-θ)
　= AP1 sin(120ﾟ-θ)/sin(60ﾟ-θ)
　= sinθ / sin(60ﾟ-θ)
　= 2t/(√3 -t),
S(t) = ⊿P0P1A - ⊿AP1P2
　= (1/2)sin(∠A) AP1 (1-AP2)
　= (1/2)((√3)/2)(2t/(√3 +t))((√3 -3t)/(√3 -t))
　= (3/2)t(1-t√3)/(3-tt),
t = 2√6 - √3　のとき極大　(3√3 -2√6)/4 = 0.074293
θ = 16.5505°

・30ﾟ<θ<60°のとき
AP1 = sinθ / sin(120ﾟ-θ) = 2t/(√3 +t),
BP1 = 1 - AP1 = (√3 -t)/(√3 +t),
BP2 = BP1 / AP1 = (√3 -t)/2t,
S(t) = ⊿P0P1B - ⊿BP1P2
　= (1/2)sin(∠B) BP1 (1-BP2)
　= (1/2)((√3)/2)(√3 -t)(3t-√3)/(t(√3 +t))
　= (3/8)(√3 -t)(t√3 -1)/(t(√3 +t)),
t = (2√6 +√3)/7　のとき極大　(3√3 -2√6)/4 = 0.074293
θ = 43.4495°

947:イナ
18/12/27 14:45:25.75 8aSvA2V1.net
前 >>875午後２時x分に長針と短針が一直線になるとすると、
長針は60分で360°進むからx分で6x°進む。
短針は60分で30°進むからx分で0.5°進む。
今午後２時とすると、長針は短針より60°手前。x分後長針は6x°短針は0.5x°進んでいるから、
6x-60=0.5x+180
5.5x=240
11x=480
x=480/11
=43+2/11
２時43分10(+10/11)秒
（２時43分10秒9090……）

948:１３２人目の素数さん
18/12/27 14:59:04.17 VTfJXhBm.net
>>897
　ｔanθ の値を間違えた。
>>880 が正解。

949:１３２人目の素数さん
18/12/27 15:34:33.94 jbDCYTgL.net
５００

950:１３２人目の素数さん
18/12/27 17:51:33.86 fyLTl4ik.net
>>893
ちなみにどのような方針で解かれましたか？

951:１３２人目の素数さん
18/12/28 00:26:01.00 YFtAo9wI.net
S_nをn次対称群とする。
σ∈S_nに対し
s(σ)=(σの符号)∈{-1,1}
f(σ)=(σの固定する要素の数)
と定めるとき、
Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+1)=(-1)^(1+n)*n/(n+1)
を示せ。

952:１３２人目の素数さん
18/12/28 00:46:14.58 80Qhb7Y6.net
>>731
5等分の場合はこんな形が解になるそうです
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
正三角形5等分問題だと解が完全に非対称的な形になって面白い
URLﾘﾝｸ(imgur.com)

953:１３２人目の素数さん
18/12/28 07:11:20.40 1iwNDVav.net
>>903
これはコンピュータでの解ですか？

954:１３２人目の素数さん
18/12/28 09:57:30.49 J3JKEwNA.net
計算機だとどう解くのかねえ
0.初期状態を決める
1.交点の角度の小さなものを少し拡げる
2.面積の小さな領域を少し広げる
3.誤差が許容範囲以内になるまで1～2を繰り返す
こんなところかなあ

955:１３２人目の素数さん
18/12/28 13:35:26.96 1iwNDVav.net
直線でいいならプログラムもさほど困難じゃないような気がするんが。

956:１３２人目の素数さん
18/12/29 02:18:40.08 Pk3SjXcs.net
>>760
５角形のときカブトガニと呼ばれてたのを思い出したな。

957:イナ
18/12/29 16:46:28.57 y2Z7Fa5C.net
前 >>898
五角形のカブトガニ、分岐は120°だけど、周との交わりがなんか偏ってるよね。

958:１３２人目の素数さん
18/12/29 17:24:01.08 btK/M0Gd.net
■速報■
無限に続くと思われていた円周率がついに終りを迎えた

959: 千葉電波大学の研究グループがこれまでの円周率演算プログラムに誤りがあったことを発見同大のスーパーコンピュータ「ディープ・ホワイト」を使って改めて計算しなおしたところ、１０桁目で割り切れたという１０桁目の最後の数字は「０」だった千葉電波大学の研究グループの発表によると、円周率計算に際し、改めて既存の円周率計算プログラムを点検してみたところ、円周の誤差を修正する数値に誤りがあることに気が付いたこの数値を正常値に直して計算しなおしてみたところ、円周率は１０桁で割り切れたという

960:１３２人目の素数さん
18/12/29 19:48:21.17 xdg2MoVf.net
原点O中心、半径√13の円に内接する正三角形ABCがある。
点Pは最初得点mを持って点Aからスタートし、次のルール(あ)、(い)で点数操作が行われる:
(あ) 点を出発する際に得点は3倍される
(い) 点に到着した際に得点は到着点のy座標の値がそのまま加算される。例えばy座標が-1であれば, -1される
いま、A→B→C→Aの移動を行うとき
(i)1周した後の得点m'の取りうる範囲を、初期の得点mを用いて表し、
(ii)得点m=1でスタートして、得点に変化がない場合、点Bの座標として考えられるものをすべて挙げよ。

961:１３２人目の素数さん
18/12/29 21:15:58.90 TLF1TGk4.net
>>902
できた。
まず基本的な公式として n≧3 のとき
Σ s(σ) = 0、Σ s(σ)f(σ) = 0、Σ[f(σ) = 0] s(σ) = (-1)^(n-1)(n-1)
が成立する。容易ゆえ証明は略。
自然数 n,i に対し
X[n,i] = Σ[n∈Sn] s(σ)/(f(σ) + i)、
Y[n,i] = (-1)^(n-1) n! (i-1)!/(n+i)/(n+i-2)!
とおく。
X[n,i] = Y[n,i] を示せば十分である。
n≦3 においては容易。
Yが漸化式
Y[n+1,i] = -(n+i)Y[n,i] + (i-1)Y[n, i-1]+ Y[n,i+1] 　(i≧2)、
Y[n+1,i] = -(n+i)Y[n,i] + (-1)^(n-1)(n-1)+ Y[n,i+1] (i=1)
を満たすことは容易。
σ∈S[n+1] に対し g(σ) をその固定点数とする。
まずn≧3、i≧2 において
X[n+1,i]
= Σ[σ∈S[n],k:1～n+1] s((k n+1)σ)/(g((k n+1)σ)+i)
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+i) - f(σ)s(σ)/(f(σ)+i-1) + s(σ)/(f(σ)+i+1) )
= Σ[σ∈S[n]]( -(n+i)s(σ)/(f(σ)+i) + (i-1)s(σ)/(f(σ)+i-1) + s(σ)/(f(σ)+i+1) )
= Σ[σ∈S[n]]( -(n+i)s(σ)/(f(σ)+i) + (i-1)s(σ)/(f(σ)+i-1) + s(σ)/(f(σ)+i+1) )
= -(n+i)X[n,i] + (i-1)X[n, i-1]+ X[n,i+1]
であり、n≧3、i=1において
X[n+1,1]
= Σ[σ∈S[n],k:1～n+1] s((k n+1)σ)/(g((k n+1)σ)+1)
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+1) + s(σ)/(f(σ)+2) ) - Σ[σ∈S[n], f(σ)≠0] f(σ)s(σ)/(f(σ))
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+1) + s(σ)/(f(σ)+2) ) + Σ[σ∈S[n], f(σ)=0] s(σ)
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+1) + s(σ)/(f(σ)+2) ) + (-1)^(n-1)(n-1)
= -(n+i)X[n,i] + (-1)^(n-1)(n-1)+ X[n,i+1]
である。

962:１３２人目の素数さん
18/12/30 08:58:19.51 kTwoovIR.net
>>911
想定していた解とは違いますが、正しそうです
問題より強い主張を漸化式を用いて示したわけですね
i≧2の場合の議論は避けられなさそうです
詳しく書いてくださりありがとうございます
ちなみに出典は某数学コンテスト(数オリではない)です

963:１３２人目の素数さん
18/12/30 09:23:56.79 k0jfpvut.net
>>902
俺もできたけど >>911の方が美しいかな…
一応概略を書いとく
 >>911と同じく Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+i) を求める方針で、使う漸化式が異なる。
なので記号を借りて
　X[n,i]=Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+i)　(*)
とおく。
S_n の元を、n-1, n の行き先によって分類する。
(i)n-1, n を固定するもの。
これだけで (*) の和を考えると、X[n-2, i+2] に一致することが分かる。
以下同様に、
(ii)n-1 と n を入れ替えるもの→-X[n-2, i]
(iii)n を固定し n-1 を固定しない→X[n-1,i+1]-X[n-2,i+2]
(iv)n を n-1 に移し、n-1 を n に移さない→-X[n-1,i]+X[n-2,i+1]
(v)n-1 を固定し n を固定しない→(iii)と同じ
(vi)n-1 を n に移�

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