面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～な 28問目 at MATH

[前50を表示]
800:3:22:35.00 ID:b5FpuB9M.net

801:１３２人目の素数さん
18/12/20 05:24:03.82 vAHMMPVp.net
5等分問題について、>>731が提示したのはこれ
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
分け方を変えるともう少し小さくなる
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
この図の境界は全て直線であり、節点における角度は120°にしているけど円との交点は垂直になっていない
なので、境界線を円弧で考えれば更にもう少し良くなるはず
ただ、それを計算するのは骨が折れそう

802:１３２人目の素数さん
18/12/20 10:32:32.92 5thDTonU.net
>>760
分岐点
　(a-1,0) (a-1+b/2, ±(√3)b/2)
外円との交点
　(cosφ, sinφ)　(x1,y1)
とすると
　c = cosφ - (a-1+b/2)
　y1 = (c-x1)√3,
　L = a + 2(b+c+d)

a = 0.832249108
b = 0.339584229
c = 0.953736949
d = 0.735197942
x1 = -0.3655577475
y1 = 0.9307886620
φ = 0.298501778 = 17.10289204°
cosφ = 0.9557781717
a-1 +b/2 = 0.002041223
L = 4.889287345
となってチョト長い。
計算間違えたかな…

803:１３２人目の素数さん
18/12/20 10:40:02.97 6fQj7XXR.net
サイコロを n 回投げ、出た目全ての積が平方数となる確率を求めよ

804:１３２人目の素数さん
18/12/20 10:46:44.95 5thDTonU.net
>>761
間違えた。
　y1 = (a-1+b - x1)√3

805:１３２人目の素数さん
18/12/20 10:55:50.94 zDwt6WPy.net
>>761
分岐点間にある境界線は直線？

806:１３２人目の素数さん
18/12/20 11:17:55.04 5thDTonU.net
>>761 >>763
sinφ = (√3)b/2,
右向きのパーツの面積は
σ = φ - sinφcosφ + (2c + b/2)sinφ

807:１３２人目の素数さん
18/12/20 11:18:24.01 NkmRjcp+.net
>>762
f(a,b,c,n):=(1+a+b+1+c+a*b)^n/8
とおくとき
(f(1,1,1,n) + f(1,1,-1,n) + f(1,-1,1,n) + f(1,-1,-1,n)+f(-1,1,1,n) + f(-1,1,-1,n) + f(-1,-1,1,n) + f(-1,-1,-1,n))/6^n
= ((1+1+1+1+1+1*1)^n + (1+1+1+1+(-1)+1*1)^n + (1+1+(-1)+1+1+1*(-1))^n + (1+1+(-1)+1+(-1)+1*(-1))^n
+ (1+(-1)+1+1+(-1)*1)^n + (1+(-1)+1+1+(-1)+(-1)*1)^n + (1+(-1)+(-1)+1+1+(-1)*(-1))^n + (1+(-1)+(-1)+1+(-1)+(-1)*(-1))^n)/8 /6^n
=(6^n + 4^n + 3・2^n)/(8・6^n)

808:１３２人目の素数さん
18/12/20 11:25:50.88 aTZ4Qgc1.net
>>762
nが1から8までで積が平方数になる場合の数をかぞえてみた。
> sub<-function(x){
+ y=sqrt(prod(x))
+ floor(y)==y
+ }
>
> sim<-function(n){
+ arg=list()
+ for(i in 1:n) arg[[i]]=1:6
+ gr=do.call(expand.grid,arg)
+ sum(apply(gr,1,sub))
+ }
>
> sim=Vectorize(sim)
>
> sim(1:8)
[1] 2 8 38 200 1112 6368 37088 218240
>
>

809:１３２人目の素数さん
18/12/20 11:30:09.44 5thDTonU.net
>>764
そうです。まづは直線で計算しますた。
分岐点の交角は 120°
外円との交角は 90ﾟ-φ(右)、98.5580885°(左上)、90ﾟ(左)

810:イナ
18/12/20 11:32:35.42 PIAZ12pp.net
前 >>755円弧とx軸の交点を(a,0)、接線とx軸の交点を(b,0)とし、扇形から2つから三角形2つを引けばπ/8になる。
円弧の中心角をθとすると、
中心角60°-θ、半径1の扇形は、
π(60°-θ)/360°―①
中心角θ、半径rの扇形は、
πr^2･θ/360°―②
(60°-θ)と(30°+θ)の直角三角形(斜辺b)は、
(1/2)b･sin(60°-θ)―③
底辺(b-a)×高さ(r/2)の三角形は、
(b-a)r/4―④
単位円を分岐ありの最小の境界線で4分割した面積のうち、原点を含まない領域をx軸で二分した半分は、
①+②-③-④=π/8
π(60°-θ)/360°
+πr^2･θ/360°
-(1/2)b･sin(60°-θ)
-(

811:b-a)r/4 =π/8

812:１３２人目の素数さん
18/12/20 13:10:05.45 dv0n+7uF.net
>>766
>>767
ぴったり、一致するのを確認。
> c(2, 8, 38, 200, 1112, 6368, 37088, 218240)/(6^(1:8))
[1] 0.3333333 0.2222222 0.1759259 0.1543210 0.1430041 0.1364883 0.1324874
[8] 0.1299345
> n=1:8
> (6^n + 4^n + 3*2^n)/(8*6^n)
[1] 0.3333333 0.2222222 0.1759259 0.1543210 0.1430041 0.1364883 0.1324874
[8] 0.1299345

813:１３２人目の素数さん
18/12/20 14:00:51.73 N8RFhZeZ.net
ユークリッドの公理・公準のみの状態から三平方の定理を導き出すまでに最短の経路は何か

814:１３２人目の素数さん
18/12/20 16:34:23.77 6fQj7XXR.net
>>655
＞よって
N(B)=∫[1-0,B+0] x df(x)
がよく分からないが, 間違いである.
N(B)のオーダーはB^nです.

815:１３２人目の素数さん
18/12/20 16:43:59.25 6fQj7XXR.net
>>762
まさに私の想定解です.
別解を:
先ず2, 3, 6のみ出る特殊なサイコロをk回振った時, 出た目の積が平方数である確率をq[k]とせよ.
q[k]=(1/3)(1-q[k-1]) → q[k]=(-1/3)^k･(3/4)+1/4.
普通のサイコロをn回振り, 出た目の積が平方数である確率を P[n], 平方数掛ける2か3か6である確率をQ[n], 平方数掛ける5である確率をR[n]とせよ.
P[n]+Q[n]は5が偶数回出る確率なので,
P[n]+Q[n]=(1/2){(1/6+5/6)^n+(5/6-1/6)^n}
=1/2+(1/2)(2/3)^n ...①
P[n]+R[n]は出た目の積の2, 3の指数が偶数の確率なので,
P[n]+R[n]=Σ[k=0, n] (nCk)･(1/2)^n･q[k]
=(1/2)^n･{(1-1/3)^n･(3/4)+(1+1)^n･(1/4)}
=(1/3)^n･(3/4)+1/4 ...②
P[n]=(1/3)P[n-1]+(1/6)(Q[n-1]+R[n-1])なので,
①, ②より,
P[n] = (1/6)(P[n-1]+Q[n-1])+(1/6)(P[n-1]+R[n-1])
=(1/8){1+(2/3)^n+(1/3)^(n-1)}.

816:１３２人目の素数さん
18/12/20 17:34:40.77 cBgoWNlh.net
>>772
問題なんか混じってないか？
>B>0を定数とせよ.
>N(B)=#{(a_1,...,a_n):a_1,...,a_nは最大公約数が1の整数, |a_i| ≦B}
>則ちN(B)とは, 絶対値がB以下の2つの整数の組(a,b)で, a,bが互いに素なもの達全体の個数である.
>此の時極限値
>lim_{B→∞} N(B)/B^2
>の値を求めよ.
この問題でN(B)のオーダーがB^nならn>2のとき極限発散するやん。
>N(B)=∫[1-0,B+0] x df(x)
>
>がよく分からないが, 間違いである.
スチェルチェス積分。

817:１３２人目の素数さん
18/12/21 00:53:33.65 fiFOgETC.net
>>761 >>763 >>765
a = 1-b+t,
b = (2/√3)sinφ,
c = cosφ - (a-1+b/2),
d = 2(a-1+b/2-x1)
右向きのパーツの面積は
σ = φ - sinφcosφ + (2c + b/2)sinφ
　 = φ - sinφcosφ + (2sinφ){cosφ -t +((√3)/2)sinφ},
これより
t = cosφ + ((√3)/2)sinφ - (π/5 -φ +sinφcosφ)/(2sinφ),
x1 = {3t - √(4-3tt)}/4,
y1 = (√3)(t-x1) = (√3){t + √(4-3tt)}/4,
左斜めのパーツの面積は
σ' = π/4 - arccos(y1) /2 + t･y1 /2 - (sinφ)^2 /√3 = π/5,
これより
t = {arccos(y1) +(2/√3)(sinφ)^2 -π/10} /y1,
これらを解くと
a = 0.827153176586368
b = 0.344680163597532
c = 0.956284913285257
d = 0.730102006651509
x1 = -0.36555774494062
y1 = 0.930788662970241
φ = 0.298501777856039 = 17.1028920483027°
cosφ = 0.955778171670391
sinφ = 0.294088569241317
a-1 +b/2 = -0.0005067416148658
a-1 +b = t = 0.1718333401839
境界線の長さは
L = a + 2(b+c+d) = 4.88928734365496
あまり変わりばえせぬ…

818:１３２人目の素数さん
18/12/21 01:21:48.65 wQpB1nJJ.net
>>775
＞σ = φ - sinφcosφ + (2c + b/2)sinφ
＞　 = φ - sinφcosφ + (2sinφ){cosφ -t +((√3)/2)sinφ},
最後のsinφの係数が((√3)/2)になるのは何故？

819:１３２人目の素数さん
18/12/21 06:18:43.69 fiFOgETC.net
>>776
a-1+b = t,
b = (2/√3)sinφ,
c = cosφ - (a-1+b/2) = cosφ -t +b/2,
から
c + b/4 = cosφ -t +(3/4)b = cosφ -t + ((√3)/2)b,

820:１３２人目の素数さん
18/12/21 06:23:37.86 5Ao2DZHd.net
正20面体の各辺を、赤色・青色・黄色のいずれかの色で色付けする。
正20面体の全ての面について、面を構成する3辺がちょうど2色を用いて色付けされているような色付けの方法は何通りあるか。
但し、各辺は区別されているものとする。
(つまり、回転によって一致する塗り方を同一視する必要はない)
(3色全てを使っている必要はない)

821:１３２人目の素数さん
18/12/21 06:28:40.53 wQpB1nJJ.net
>>777
それだったら係数は1なのでは？

822:１３２人目の素数さん
18/12/21 13:06:30.41 VjGj/ZN5.net
>>778
6^13・2^5・3
かな？

823:１３２人目の素数さん
18/12/21 14:18:35.14 5Ao2DZHd.net
>>780
違いますねー

824:１３２人目の素数さん
18/12/21 14:59:36.14 VjGj/ZN5.net
ありゃ？どこ間違ったかな？

825:１３２人目の素数さん
18/12/21 16:08:23.04 fiFOgETC.net
ありゃ？どこ間違ったかな？
>>779
c + b/4 = cosφ - t + (3/4)b = cosφ - t + ((√3)/2)sinφ,
だった....orz

826:１３２人目の素数さん
18/12/21 16:20:36.01 pFCrsbdv.net
>>775
b = 0.344680163597532
φ = 0.298501777856039
って、b = (2/√3)sinφの関係になってる？

827:１３２人目の素数さん
18/12/21 16:57:07.67 bH4auQhW.net
>>781
計算機で検算できんからなぁ。
6^10・2^8・3？

828:１３２人目の素数さん
18/12/21 17:06:58.75 t76SIJlt.net
＞計算機で検算
総当たりで3^30通りを計算すると考えると非現実的だけど
2色でない面を見つけたら探索を打ち切れるから、
工夫すればもしかしたら現実的な計算量でいけるかもしれないね

829:１３２人目の素数さん
18/12/21 17:17:49.61 5Ao2DZHd.net
>>785
違います
 >>786
ちなみに元ネタは某数学コンテスト(数オリ関連ではない)なので、計算機無しで解くことを想定されてます

830:１３２人目の素数さん
18/12/21 17:19:52.79 bH4auQhW.net
>>787
あれ？まだ違うか。惜しい？

831:１３２人目の素数さん
18/12/21 17:22:10.92 5Ao2DZHd.net
>>788
考え方をみてないので何とも
答えの形としてはかなり近いです

832:１３２人目の素数さん
18/12/21 17:47:31.86 LKcWhYQV.net
>>769
だめだ。仕事しないとだめだから明日また考えよ。
もう解かれてるかな？

833:１３２人目の素数さん
18/12/21 19:02:45.36 Czj7k4bs.net
>>774
lim_{B→∞} N(B)/B^2
は一般に存在せず,
lim_{B→∞} N(B)/B^n
が存在する.
>スチェルチェス積分だ
其の式の意味ではなくて, 何故N(B)がそう表せるのかの導出が不明だ, という意味である.

834:１３２人目の素数さん
18/12/21 19:05:23.33 Czj7k4bs.net
n=2の時ならN(B)のオーダーはB^2だ.
多分分かっていない気がするので, n=2の時の証明についても詳細を記述可能なら又返信して下さい.

835:１３２人目の素数さん
18/12/21 20:48:36.84 bH4auQhW.net
>>792
もういいです。

836:１３２人目の素数さん
18/12/21 20:49:03.88 mDFT4dj8.net
>>778
答えは 3^10*2^20　だとおもう
20面体を反角柱と五角錐に分解することを考えて数えた
２つの五角錐を固定するとうまいことカウントできる

837:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:08:04.22 5Ao2DZHd.net
>>794
正解！
そのように分けて考えるとうまくできますね
別のやり方の想定解を簡単に書いておきます
三色をF=Z/3Zの元に対応させておく
(赤=0,青=1,黄=2など)
辺,面をそれぞれ1~30及び1~20の整数でラベル付けする
辺の塗り方を決めることはF^30の元を1つとることと同じである
線形写像T:F^30→F^20を
T((x_i)_i)=(面iを構成する3辺に対応する値の和)_i
と定める
このとき,求めるものは
#T^(-1)(A)
(A={ (y_i)_i�

838:ｸF^20 | ∀i y_i≠0 }) とかけるいま,Tは全射なので (F^20の基底が像に含まれることを確認すればよい) #T^(-1)(A) =#ker(T)*#A =3^10*2^20

839:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:10:13.51 mDFT4dj8.net
>>795
AはF^20の部分空間をなしていないから
対応定理が使えない
それゆえ
#T^(-1)(A) =#ker(T)*#A
とカウントできることは保証されないハズ

840:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:12:40.45 5Ao2DZHd.net
>>796
Tは全射な線形写像なので、一点の逆像は全てker(T)を平行移動したものになるから問題ないと思います

841:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:17:58.50 bH4auQhW.net
>>795
な～るほど。足すのか！

842:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:19:06.27 mDFT4dj8.net
>>797
代数系にそなわっている対応定理は使えない
全射準同型(ここではベクトル空間だから全射線形写像と呼ぶが)も対応定理の条件の1つ
しかしながら今回のケースではAがF^20の部分空間をなしていない
何を使ったら,そうやってカウントできるのか説明してくれませんかね

843:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:20:29.20 +UB1Vctb.net
７００

844:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:27:56.10 5Ao2DZHd.net
>>799
あなたのいう対応定理とは準同型定理のことですか？
厳密に書けば
#ker(T)=3^10
を求めるために使ってますね
#T^(-1)(A) =#ker(T)*#A
自体は単純に個数をカウントしてるだけであり、準同型定理は使用していません
Aの要素の数は2^20
また、F^20の任意の点に対し、その点の Tによる逆像に含まれる元の数はker(T)の位数と一致しています
だから掛け算で求められます

845:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:28:00.09 bH4auQhW.net
でも、”3辺が2色” というのが ”足して0でない” は言われたらその通りなんだけど見逃したなぁ。
こういうパズル的なやつ楽しいよね。

846:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:29:02.27 mDFT4dj8.net
>>797
それ以前に T^(-1)(A) 自体がF^30の部分空間をなしていない
商の濃度が便利に計算できるのは割る方にも代数構造が入っているからだし
(つまり T^(-1)(A) が単なる集合であってはならない)
だからやっぱりそのカウントは無理筋だとおもうんだよね

847:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:32:33.78 5Ao2DZHd.net
たぶん勘違いされてますよ
もっと単純な話です
#T^(-1)(A)
=Σ_{a∈A} #T^-1(a)
=#ker(T)*#A
というだけです

848:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:37:50.63 5Ao2DZHd.net
>>802
ぶっちゃけこの解き方ありきでつくられた問題な気がしますが、なかなか思いつかないと思います
パーツに分けて考えるやり方であれば高校生でも頑張れば解けるかもしれませんね

849:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:44:09.69 bH4auQhW.net
>>805
でもF3使うまでは思いついたんだけどねぇ。
そこから差分とったら周期3の0,1,2からなる数列が出てきて、そこからF^30→F^60の方に気持ち持ってかれたorz。
でも像の元数が綺麗に中々出なかった。
Ker は1次元なんだけどねぇ。
た～す～の～か～www

850:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:44:45.98 +UB1Vctb.net
技巧を使うのはつまらん

851:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:52:51.29 5Ao2DZHd.net
>>806
なるほど、かなり惜しいですね
 >>807
真面目に数えてもいちおう解ける問題ですよ
背景に代数が絡んでいるだけです

852:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:59:05.23 mDFT4dj8.net
>>804
なるほどねー
|f^(-1)(a)| = ker(f) が一般論としていえるという話で
たしかにfが全射だと成立しますね知識として抜けてたからわざわざ確認作業しました
ためになりました

853:１３２人目の素数さん
18/12/21 23:01:37.47 fiFOgETC.net
>>775
またまた訂正....orz
a = 0.832249110949768
b = 0.339584229234133
c = 0.953736946103557
d = 0.735197941014908
a-1 +b/2 = 0.002041225566834
他は変わらず
 >>784　ご指摘トンクス

854:

855:１３２人目の素数さん
18/12/21 23:26:38.46 XyADTeab.net
>>お734
fの長さってL(f)=∫√(1+f'(x)^2)dxで与えられるよね
L(f_n)が一様有界だとしてもW^(1,1)の一様有界性は言えてもW^(1,2)の一様有界性は言えないんじゃない？
Y=W^(1,1)としてもp=1でヒルベルト空間にならないから弱コンパクト性使えないんじゃないの？

856:１３２人目の素数さん
18/12/21 23:28:21.96 XyADTeab.net
>>お734→>>734

857:１３２人目の素数さん
18/12/21 23:53:40.40 B8/MYwFX.net
>>811
>>734で書いたXに入ってる関数(の組)についての最小値を求めるのが元の問題。
YはXを含んでてHilbert空間になってるものが取れれば良い。
Xに入ってる関数を野放図にゆるすとYとしてHilbert空間が採れなくなってしまうけど今の場合
・求めたいのはその”関数”の表す曲線の”長さ”なので有界な関数に限定してよい。
・パラメータは[0,1]で動かすとして定速度のゲージでとれば速度ベクトルの大きさは1/L(Lは長さ)なので速度ベクトルも有界としてよい。
よってXに入ってる関数としては |||～||_2 も ||～’||_2 も可積分として良いのでYとしてHilbert空間が採れます。

858:１３２人目の素数さん
18/12/21 23:58:03.93 jIBEfQIT.net
>>813
いやいや
結局最小元の存在って変分の直接法使ってるんでしょ？
関数f_nのW^(1,2)ノルムがnを止めるごとに有限だとしても
sup_{n∈N} ||f_n||_W^(1,2)が有限とは限らない

859:１３２人目の素数さん
18/12/21 23:59:10.40 jIBEfQIT.net
それとも別の証明法で
ヒルベルト空間からRへの写像の最小元の存在が言えるんか？

860:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:00:55.31 qY2OweNU.net
>>814
ごめん
関数f_n→関数列f_n
です

861:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:03:14.90 NG24qIEO.net
>>814
もちろん最小限はYのなかでとってそこからオイラーラグランジュ方程式解くところまでYの中でやらないとだめですよ。
でYのなかで解いてみてじつは元のXに入ってることを確認します。

862:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:03:22.49 qY2OweNU.net
>>813
あーごめん
そっかだから弧長パラメータ採用すれば一様有界言えるってことなんかな

863:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:06:23.43 62Pqq/ZD.net
>>817
いやそもそもなんでYの中に最小元があるのかという疑問です

864:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:10:54.26 mbmYbufh.net
>>818
いやだめだ
弧長パラメータ採用したら結局積分区間がfに依存するわ
だからやっぱりp=2での一様有界性言えない気がする

865:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:17:21.25 NG24qIEO.net
いま証明したいのは作用積分SはXのなかで最小値を持つこと。
最小値がないとして
S(f_1)>S(f_2)>…
がinfに収束するとする。
f_iのなかには先に述べた理由で余り素性のよくないものはないとしてよくYに入ってるとして良い。
YはHilbert空間だから lim f_i は Yの位相で収束するとしてよくその極限をfとする。
もちろん f はまだYの元(としかわからない)。
でもYは微積ができて部分積分もできるのでオイラーラグランジュの理論が使えて通常と同じ手順で円または線分となり、元のXに入ってるたとわかる。
なのでSobolev空間のなかでちゃんと解析学が展開できることを確認することは必要ですが、今回の場合はオイラーラグランジュ方程式だから部分積分できればいいので問題ない(ハズ)です。
参考文献など紹介できるほど詳しくないのであしからず。

866:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:22:58.05 rCQxrUyA.net
>>821
>YはHilbert空間だから lim f_i は Yの位相で収束するとしてよくその極限をfとする。
ここ
これを言うには普通最小化列のYノルムでの一様有界性→弱コンパクト性使うと思うんだけど

867:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:29:00.68 NG24qIEO.net
>>822 もちろん f_i は長さ(の合計)がどんどん小さくなって行ってるので>>813に書いてる理由でノルムは一様に抑えられてますよ。

869:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:29:33.94 /qYpf/WQ.net
言いたいことをまとめます
lim(n→∞)F(x_n)=inf_{y∈Y}F(y)なる点列{x_n}_{n∈N}⊂Yを取ってくれば
収束列は有界列だからsup_{n∈N}|F(x_n)|<∞が言える
で、もしもF(x)≧||x||_Yみたいな評価があれば...(1)
sup_{n∈N}||x_n||_Y<∞も言える
つまりx_nはあるヒルベルト空間の閉球に完全に含まれてることになって、
ヒルベルト空間における閉球の弱コンパクト性から
部分列取ってx_(n_j)→x in Y なるx∈Yが存在する
であとはFの弱連続性を認めれば(これも証明するの難しいと思うけど)
lim(n→∞)F(x_n)=F(x)=inf_{y∈Y}F(y)
でx∈Yは最小元ってことで証明できるけど
今問題なのは(1)の評価がW^(1,2)にしてるせいで言えないこと

870:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:31:05.69 /qYpf/WQ.net
>>823
いやf_iの長さは >>811でいうところのL(f_i)でしょ？
||f_i||_W^(1,2)での一様有界性はどう言うの？

871:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:32:24.66 /qYpf/WQ.net
で >>811の話に戻るんだけど
L(f_i)が一様有界でも
せいぜい言えて||f_i||_W^(1,1)の一様有界性くらいじゃないかな

872:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:34:15.67 /qYpf/WQ.net
つまり二乗とルートで相殺されて二乗の積分で下から抑えられないってことです

873:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:42:10.24 K+wsO328.net
>>824
ごめん途中の
>部分列取ってx_(n_j)→x in Y なるx∈Yが存在する
の→は弱収束の意味です

874:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:56:42.61 lvzJupuF.net
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875:１３２人目の素数さん
18/12/22 00:58:26.63 NG24qIEO.net
>>824
>で、もしもF(x)≧||x||_Yみたいな評価があれば...(1)
あります。
いま考えてるFは長さなので ∃C1 ∀n t |x_n(t)| としてよい。
tは[0,1]しか取らないのでこれで ∃C2 ∀n ||x_n||_2 < C2 。
∫|x_n’(t)|dt は n によらず有界、かつ|x_n’(t)|は等速度ゲージ(で採っているとしてよい)なので∃C3 ∀n |x’_n| < C3 (= 1/L)。
つまり|x’_n(t)|は一様有界なので ||x’_n(t)||_2 も一様有界。
つまりでたらめにx_n(t)をとってしまうとx’_n(t)は病的なものが出てくるかもしれないけど、その場合にはLnを長さとして
σ(t) = (1/Ln)∫[0,t] |x’_n(t)| dt、σの逆関数をτとしてy_n(s) = x_n(τ(s))とすればこれはただのゲージ変換で長さも変化せず、しかも|y’_n(s)|はnによらない定数で抑えられてしまう。
よってこれ本体も２乗も一様に可積分。
でこのy_n(s)で鼻から議論すればよい。

876:１３２人目の素数さん
18/12/22 01:03:36.94 AgnllN11.net
>>830
等速度ゲージにしたら結局積分区間がxに依存するんじゃないの？
だから|x_n'(t)|が一様有界でもL(x_n)は一様有界じゃない

877:１３２人目の素数さん
18/12/22 01:05:09.47 uC7KiAdH.net
そもそも等速度で積分区間がxに依存しないなら
長さがどんな曲線でも定数になってしまって意味のない変分問題になってしまう

878:１３２人目の素数さん
18/12/22 01:07:32.54 aletPSph.net
>>830
ああL_nで割ってるのか
だとしても割った分一様有界性言えないよね

879:１３２人目の素数さん
18/12/22 01:08:53.34 aletPSph.net
>>833
ごめんこれはただの勘違いです
まあどのみち >>831のせいで厳しいと思います

880:１３２人目の素数さん
18/12/22 01:15:21.98 NG24qIEO.net
x_nの積分区間は[0,1]ということにしてます。
y_n作る時はいわゆる距離ゲージでなく等速度ゲージにしてるのは区間をnごとに取り替えなくて済むようにしてます。
(まあ、距離ゲージにしてもできますけど。その場合は0≦t≦L_nから先は停止させることになります。)
区間は[0,1]なので等速度ゲージでは|x’_n(t)|は(tについての)定数L_nであり、nに依らず有界としてよい。
つまり|x_n(t)|も|x’_n(t)|もn,tに依らず一様に有界としてよい。

881:１３２人目の素数さん
18/12/22 01:17:22.95 ZXNTE5ED.net
高校数学
a,b,c∈ℝについて、関数f(x)を
f(x)=
{ (x²+ax+b)/((x-1)(x²+1)) (x≠1)
{ c (x=1)
で与える。
定積分 I=∫[b,p] f(x) dxを考える。α,β∈ℝは,
tan(α)=p, tan(β)=b を満たしている。このとき、
極限 lim[b→∞] I を求めよ。
lim[x→0] sin(x)/x =1 は証明せずに利用できるものとする。

882:１３２人目の素数さん
18/12/22 01:18:39.98 NG24qIEO.net
>>834
いまノルムは||x||_Y = ∫[0,1](|x|^2+|x’|^2)dtでとってるので|x_n(t)|と|x’_n(t)|がt,nに依らずに有界なら|| x_n ||_Y はnに依らず一様に有界です。

883:１３２人目の素数さん
18/12/22 01:52:06.18 /qYpf/WQ.net
>>835
>>837
あーなるほど...ごめんなさい
パラメータを0から1で固定しても1次元曲線なら等速度パラメータに取り直せるのか
失礼しました
多次元とかの曲面とかなら
曲面積∫_D √(1+|∇u(x)|)dxとして
積分領域固定で|∇u_n(x)|=S_n(xに依存しない)
とは出来ないのでそれで勘違いをしていました

884:１３２人目の素数さん
18/12/22 01:54:00.59 NG24qIEO.net
いえいえ、やっぱり数学論議楽しいですよね。

885:１３２人目の素数さん
18/12/22 02:01:37.64 UpCRuaJY.net
>>839
いやー勉強になりました
あとはx_n→x (Y-弱収束)として
長さ汎関数の弱連続性と
等�

886:ﾏ条件が保存されるか(面積汎関数の弱連続性) さえ言えればいい感じですかね

887:１３２人目の素数さん
18/12/22 02:17:52.75 NG24qIEO.net
>>840
ですね。
まぁHilbert空間なのでなんとかなるかと。

888:イナ
18/12/22 11:07:04.64 h7yqlWMB.net
前 >>769
やっぱり円弧と単位円の交点の座標を求めるべきか。
(cosθ,sinθ)ともおけるが、方程式を解くとx^2の項とy^2の項が消え直線の式になる。この直線は弦か？
(cosθ,sinθ)と原点(0,0)の距離は1、
(cosθ,sinθ)と(b,0)の距離は、
√{(b-cosθ)^2+sin^2θ}
両者直交しているから、
三角形の面積は、
(1/2)√{(b-cosθ)^2+sin^2θ}
=(1/2)√(b^-2bcosθ+1)

889:イナ
18/12/22 11:44:56.00 h7yqlWMB.net
前 >>842
三角形の面積が出てる。③だ。
(1/2)b･sin(60°-θ)=(1/2)√(b^-2bcosθ+1)
b･sin(60°-θ)=√(b^2-2bcosθ+1)
b^2･sin^2(60°-θ)=b^2-2bcosθ+1
b^2{1-sin^2(60°-θ)}=2bcosθ-1
b^2cos^2(60°-θ)=2bcosθ-1
中心角60°-θ、半径1の扇形内の重複している三角形の面積=(1/2)√{b^2sin^2(60°-θ)-b^2cos^2(60°-θ)}
=(b/2)√{1-2cos^2(60°-θ)

890:イナ
18/12/22 17:15:59.14 h7yqlWMB.net
前 >>843
第１象限で扇形が重なっている領域=π/8
2つの扇形は、
単位円,中心角r
π(60°-θ)/360°―①
半径r,中心角θ
πr^2(θ/360°)―②
円弧の中心は、
(a+r√3/2,-r/2)
2つ扇形から引く2つの三角形は、
bsin(60°-θ)/2,(b-a)r/4
第１象限の直角三角形の相似比より、
cos(60°-θ)=1/b
よって2つ扇形から引く2つの三角形はそれぞれ、
sin(60°-θ)/2cos(60°-θ)―③
{(1/cos(60°-θ)-a}r/4―④
①+②-③-④=π(60°-θ)/360°+πr^2(θ/360°)-sin(60°-θ)/2cos(60°-θ)-{(1/cos(60°-θ)-a}r/4=π/8
未知数がa,r,θの3つ。
rの二次式と見て、r＞0の解を持つ。

891:イナ
18/12/22 19:16:21.07 h7yqlWMB.net
前 >>844どうやってaやrやθの値を出したんだ？　計算過程を書いてほしい。
r^2-{(1/cos(60°-θ)-a}･360°r/4πθ+(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･360°/2πθcos(60°-θ)-360°/8θ=0
r^2-{(1/cos(60°-θ)-a}･90°r/πθ+(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ=0
Ｄ={(1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}≧0

892:イナ
18/12/22 22:55:23.61 h7yqlWMB.net
前 >>845
r^2-{(1/cos(60°-θ)-a}･90°r/πθ+(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ=0
r=(1/2)(1/cos(60°-θ)-a}･(90°/πθ)±√{(1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}
境界線の最小値=2a+4･2πrθ/360°
=2a+πrθ/45°
πrθ/45°=(πθ/90°)(1/cos(60°-θ)-a}･(90°/πθ)±√{1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}
=(1/cos(60°-θ)-a}±(πθ/45°)√{(1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}
境界線の最小値=2a+(1/cos(60°-θ)-a±(πθ/45°)√[{1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}]
=a+(1/cos(60°-θ)±(πθ/45°)√[{1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}]
=a+(1/cos(60°-θ)±√4π^2･θ^2･[{1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･90°/2πθcos(60°-θ)-90°/2θ}]
=a+(1/cos(60°-θ)±√[{1/cos(60°-θ)-a}^2･360°-4^2･π^2･θ^2･{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･90°/2πθcos(60°-θ)-90°/2θ}]
a→0.122
θ→13°のとき、
最小値→3.9457になりそうにない。

893:イナ
18/12/23 17:10:40.15 xaVNNkbo.net
前 >>846
このスレ、選りすぐりの数学の猛者があつまってると思ったが、だれも計算過程を書いてくれないのか。

894:１３２人目の素数さん
18/12/23 17:36:15.05 UkyHbwjy.net
書いてあるやん

895:イナ
18/12/23 19:06:28.02 xaVNNkbo.net
前 >>847
>>848いきなりすぎて、
a=0.122……
b=……(a＜b＜r　接線のx切片は必要ないのかも)
r=4.……
θ=13.……
等積条件から妥当な数字が出ていることはわかるが、計算過程を書いてほしい。
Rとかθも度数法にしてほしい。計算過程なくただ数字が書いてあるだけでは長さなのか角度なのか単位がわからない。

896:１３２人目の素数さん
18/12/23 19:31:03.12 bPdU4Xdf.net
いきなりすぎるのは、すでにある解法を模写しているだけで
自分で考えていないからだよ

897:イナ
18/12/23 19:56:29.02 xaVNNkbo.net
前 >>849
「等積条件から」
と書くならその式を、
○x^2+△x+□=0
とちゃんと書くべき。
いきなりa=0.122……
b=
r=4.……
θ=13.……
未知数4つならそれを決定する式なり条件なりを4つ書くのがふつうです。
式が4つなくても、a＜b＜rの条件と図からある程度は値が特定できますが、式を書かずに「等積条件から」と書くから、計算過程を書いてほしいと言っているんです。
等積条件から出そうとしているのは同じです。式が足りないから、等積条件の式だけしかないから未知数が特定できないでいます。

898:１３２人目の素数さん
18/12/23 20:31:25.46 9TontRFu.net
とりあえず >>665はちゃんと書いてるやん。

899:イナ
18/12/23 21:03:40.05 xaVNNkbo.net
前 >>851扇形2つから三角形2つを引けばπ/8になる、ってことだと思うけど。

900:１３２人目の素数さん
18/12/24 00:58:52.90 8af0FAjd.net
高校数学までを範囲と想定した問題
nを自然数とする。数列{a_n}及びa_0を a_0 = 1 , a_n = a_n-1 +3-(-1)^n と、また数列{p_n}を、素数を小さい方から順に並べた数列と定める。
(1) a_n の一般項を1つの式で表せ。
(2) b_n = a_n / p_n と定める。lim[n→∞] b_1 * b_2 * b_3 * ... * b_n-1 * b_n の収束・発散を調べ、収束する場合はその値を求めよ。

901:１３２人目の素数さん
18/12/24 01:54:21.10 RHWhqRjf.net
>>642
では未知数はbです。
交角の条件（プラトーの法則) を使って絞り込めば　R、θ をbで表わすことが可能です。
その場合には σ(b,θ,R) もbの関数になります。それを π/5 とおけば bが決まります。
しかし、プラトーを使わないと自由度が減らないので計算が煩雑になります。 >>733

902:１３２人目の素数さん
18/12/24 03:41:15.05 SRj8kjI3.net
nを自然数とする。
n枚のカードがあり、各カードには数字が一つずつ、1からnまでの数字が書かれている。
このカードをシャッフルして山札をつくり、次のようにしてカードを場に並べることを考える。
「山札の一番上からカードを一枚取り、場に並べることを繰り返す。ただし、二枚目以降は、それまでに場に出ているどのカードよりも大きい数字である場合のみ場に並べる。
そうでないとき、そのカードは場には並べず、そこで作業を終了する。」
このようにして場に並べたカードの数字の合計値をS(n)とおく。
S(n)の期待値を求めよ。
(Σや"……"を使わずに、nの式として表現すること)

903:１３２人目の素数さん
18/12/24 10:21:01.51 RHWhqRjf.net
プラトーの法則を使わない場合
たとえばラグランジュの未定乗数法を使います。
目的関数
　I(b,θ,R ;λ) = 2b + 4Rθ + λ{σ(b,θ,R) - π/4},
　σ(b,θ,R) = (θ+π/6) + b･sin(π/3-θ) - RR(θ-sinθ),
について
　∂I/∂b = 2 + λ(∂σ/∂b) = 2 + λsin(π/3-θ) = 0,
　∂I/∂θ = 4R + λ(∂σ/∂θ) = 4R + λ{1 -b･cos(π/3-θ) -RR(1-cosθ)} = 0,
　∂I/∂R = 4θ + λ(∂σ/∂R) = 4θ + λ･2R(θ-sinθ) = 0,
　∂I/∂λ = σ(b,θ,R) - π/4 = 0,
の4つの式を連立させて解きます。
ガンガレ

904:１３２人目の素数さん
18/12/24 13:41:46.21 RHWhqRjf.net
>>854
(1)
a_n = a_{n-1} +3 - (-1)^n
　= a_0 + Σ[k=1,n] {3 - (-1)^k}
　= a_0 +3n + {1 - (-1)^n}/2,
∴　a_n < 3n+2,
(2)
0<ε<1 とする。
素数定理から、ある自然数mがあって
k>m　⇒　p_k / log(p_k) > (1-ε)(3k+2)/3,
b_k = a_k / p_k < (3k+2) / p_k < 3/{(1-ε)log(p_k)} < r <1,
ratio test より収束。
b_1･b_2････b_n = B･Π[k=m+1,∞] b_k < B･Π[k=m+1,∞] r = 0,
ここに B = Π[k=1,m] b_k >0

905:１３２人目の素数さん
18/12/24 15:50:58.99 FWwP

906:CDWa.net

907:１３２人目の素数さん
18/12/24 16:47:08.42 WVKhIUKA.net
ほほう、今どきの高校生はレベル高いな。

908:１３２人目の素数さん
18/12/24 18:03:25.99 nUBndNaF.net
この手の”～までの知識で”って基本しょうもない。

909:１３２人目の素数さん
18/12/24 18:45:00.10 8af0FAjd.net
>>858
解いていただきありがとうございます。
(1)は問題ないのですが、(2)で素数定理を使うと簡単に解けてしまうので「高校数学までを範囲と想定した問題」と表記した次第です。
>>861
すみません、この手の問題はしょうもないのかもしれません。
自分では面白いと思ったのですが……
一応(2)のヒントとしては{a_n}の性質ですかね

910:１３２人目の素数さん
18/12/24 19:05:16.25 rXagpuif.net
素数定理を1から証明してしまえば全く問題ない
以上

911:１３２人目の素数さん
18/12/24 20:41:01.09 SRj8kjI3.net
中学入試や算数の難問は好き
高校数学に限定する問題はなんか不自然な制約で好きくない

912:１３２人目の素数さん
18/12/24 21:58:13.46 CUMHScCx.net
>>864
わかりみが深い
前スレの最後らへんに投げられて結構議論された中学入試のやつが最たる例

913:イナ
18/12/25 03:15:37.44 8C4zSqur.net
前 >>853
プラトーの法則だと思うんだけど、
半径rの円弧が、
分岐点(a,0)で、
y=√3(x-a)と接するってことで使ってますよね。

914:１３２人目の素数さん
18/12/25 08:22:00.84 sEuF2VGi.net
使ってますね

915:イナ
18/12/25 08:44:18.02 8C4zSqur.net
前 >>866
短い境界線を2a、長い境界線を4×2πrθとして、
aやrやθをどういう計算過程をもって出したらいい？
今あるのは、rの二次式。
どうやってθを13°いくらと特定するか。解の公式で解けばいいか。

916:１３２人目の素数さん
18/12/25 08:54:23.36 759ch7em.net
とりあえず >>644の設定でいいならsの満たすべき方程式は
-((12*sin(s)^2+12*cos(s)^2－12*cos(s)+3)*sin(2*s)－24*sin(s)^3+(24*s－8*%pi+2*3^(3/2))*sin(s)^2－24*s*cos(s)^2+24*s*cos(s)－6*s)/(48*cos(s)^2－48*cos(s)+12)
= π/8。
近似解は
s=.8486751477323029=48.6255041427026°

917:イナ
18/12/25 11:24:23.58 8C4zSqur.net
前 >>868
>>869「%pi」は文字化けですね。まだこれから式の意味を考える段階ですが、わかったとして、計算過程を書いてほしいです。
a(短い境界線の半分)とr(円弧の半径)を特定することなく、θを弧度法で出さはったということでしょうか？

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