面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

776:１３２人目の素数さん
18/12/18 04:49:17.26 TqVGX/9j.net
>>731
交角条件（120ﾟ, 90ﾟ）も満たすから、それが最小値ぢゃね？（プラトーの法則）
分岐点 (±b,0) (0,±b)
境界円の半径r
境界円弧の中心角をαとすると
sin(α/2) = b/(r√2),
1 - cosα = (b/r)^2,
中央のパーツの面積は
σ= 2rr(α-sinα) + 2bb
　= 2bb(α-sinα+1-cosα)/(1-cosα)
　= 2rr(α-sinα+1-cosα),
5等分条件 (σ=π/5) から
　b/sin(α/2) = √{π/(5(α-sinα+1-cosα))}
　r = √{π/(10(α-sinα+1-cosα))}
この条件の下で境界線の長さ
　L = 4(1-b+rα)
が最小になるのは（αで微分して）
　α = π/6 = 30°
　sinα = 1/2,
　cosα = (√3)/2,
　sin(α/2) = (√3 -1)/√8,
したがって
　r = √{π/(5(π/3 +1-√3))} = 1.4119961813351850581103676
　b = sin(α/2)√{2π/(5(π/3 +1-√3))} = 0.516826472415296562696543
となって >>731 と一致

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