面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

735:１３２人目の素数さん
18/12/16 15:19:26.92 WRFoa1F9.net
こういう問題は初等幾何的に解きたいものだね。
三角形ABCにおいて、内心をIとする。また、∠B内の傍接円と辺ACの接点、∠C内の傍接円と辺ABの接点をそれぞれD,Eとする。そして、直線BDとCEの交点をPとする。
線分AQの中点が点Iとなるように点Qを取るとき、直線PQは線分BCを二等分することを示せ。

736:イナ
18/12/16 15:33:32.47 Ax8rD0fg.net
前 >>694
>>696下まわれると思う。
野球のボール→　の縫い目にΗのような境界線を描くとし、単位円の中心からx軸上にある分岐点までの距離をaとする。
点(a,0)を通り第１象限においてy=xを下から上に突っ切るように、中心を点(a,0)の右下30°の方向にとり、円弧を描き、単位円と直交させる。
円弧の中心はy=-(1/√3)(x-a)上の第４象限にあり、円弧の半径をr(＞2)、円弧の中心のx座標をbとすると、円弧の中心のy座標は、
y=-(a-b)/√3
円弧の方程式は、
(x-b)^2+{y+(a-b)/√3}^2=r^2
境界線の最小値=2a+4×(第１象限内の円弧)
=2a+4×2πrθ/360°
接弦定理よりθ=
単位円x^2+y^2=1と円弧
(x-b)^2+{y+(a-b)/√3}^2=r^2から交点の座標は( , )

737:１３２人目の素数さん
18/12/16 15:35:43.46 xrPm7fh8.net
８００

738:１３２人目の素数さん
18/12/16 15:41:12.55 wIyiz2YN.net
>>696
十文字に分ければ４だよなぁ。

739:イナ
18/12/16 17:22:20.55 Ax8rD0fg.net
(x-b)^2+{y+(a-b)/√3}^2=r^2と単位円の交点の座標を考えてみます。
前 >>699
1+2bx+b^2+2(a-b)y/√3+{(a-b)^2}/3=r^2
(1+2bx+b^2)√3/2(a-b)+y+(a-b)/2√3=(r^2)√3/2(a-b)
y=(r^2)√3/2(a-b)-(1+2bx+b^2)√3/2(a-b)-(a-b)/2√3
0＜a＜b＜r
x^2+{(r^2)√3/2(a-b)-(1+2bx+b^2)√3/2(a-b)-(a-b)/2√}^2=1
解けると思うけど。

740:１３２人目の素数さん
18/12/16 18:05:56.73 Nny3soWk.net
>>698
もう初等幾何は忘れた。
Pはナゲール点で重心座標は(s-a, s-b, s-c)。
QはA(2s, 0, 0)と内心I(a,b,c)を2:1に外分する点だからQ(a-s, b,c)。
BCの中点M(0,1,1)で行列
0 1 1
s-a s-b s-c
a-s b c
の第3行を第2行に足せば第1行と第2行は平行となるため特にその行列式は0。
よってP, Q, Mは同一直線上にある。

741:イナ
18/12/16 20:09:56.08 Ax8rD0fg.net
前 >>702図を描くと少しわかった。
円弧の中心は、
(b,(a-b)/√3)
円弧の半径rは、
r=2(b-a)/√3
b-a=r(√3)/2
円弧の方程式は、
(x-b)^2+{y-(a-b)/√3}^2=(4/3)(b-a)^2
単位円との交点は、
x^2-2bx+b^2+y^2-2(a-b)y/√3+(a-b)^2/3=(4/3)(b-a)^2
x^2-2bx+b^2+(1-x^2)-2(a-b)√(1-x^2)/√3+(a-b)^2/3=(4/3)(b-a)^2
-2bx+b^2+1-2(a-b)√(1-x^2)/√3+(a-b)^2/3=(4/3)(b-a)^2
-2bx+b^2+1+(a-b)^2/3=2(a-b)√(1-x^2)/√3+(4/3)(b-a)^2
2bx-b^2-1-{r(√3)/2}^2/3=2{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3-(4/3){r(√3)/2}^2
2[a+{r(√3)/2}]x-[a+{r(√3)/2}]^2-1-{r(√3)/2}^2/3=2{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3-(4/3){r(√3)/2}^2
辺々を二乗すると、
4[a+{r(√3)/2}]^2･x^2-4[a+{r(√3)/2}][1+{r(√3)/2}^2/3]x+[1+{r(√3)/2}^2/3]^2=(4/3)(3/4)r^2(1-x^2)-2･2[{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3]･(4/3){r(√3)/2}^2+(4/3)^2{r(√3)/2}^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-4[a+r(√3)/2}][1+{r(√3)/2}^2/3]x+[1+{(3/4)r^2}^2/3]^2=(4/3)(3/4)r^2(1-x^2)-2･2[{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3]･(4/3){r(√3)/2}^2+(4/3)^2{r(√3)/2}^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-4[a+r(√3)/2}][1+(3/4)r^2/3]x+[1+{(3/4)r^2}^2/3]^2=(4/3)(3/4)r^2(1-x^2)-2･2[{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3]･(4/3){r(√3)/2}^2+(4/3)^2{r(√3)/2}^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-(4a+2r√3)(1+r^2/4)x+[1+{(3/16)r^4]^2=r^2(1-x^2)-2r√(1-x^2)･r^2+r^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-(4a+2r√3)(1+r^2/4)x+[1+{(3/16)r^4]^2=r^2-r^2･x^2-2r√(1-x^2)･r^2+r^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-(4a+2r√3)(1+r^2/4)x+[1+{(3/16)r^4]^2-r^2+r^2･x^2+2r√(1-x^2)･r^2-r^4
(4a^2+ar√3+4r^2)x^2-(4a+2r√3)(1+r^2/4)x+[1+{(3/16)r^4]^2-r^2+2r√(1-x^2)･r^2-r^4=0
境界線の最小値=2a+4×2πrθ/360°≒3.9……?

742:１３２人目の素数さん
18/12/16 20:56:53.90 u8TvSuxJ.net
一個も解いてませんがな。
明示的な表示をおながいします。

743:イナ
18/12/16 23:07:35.77 Ax8rD0fg.net
前 >>704難解。
a=1/7
b=1/7+2√3
r=4
のとき、円弧の中心は、
(1/7+2√3,-2)
円弧の中心角≒42°-30°
=12°(←ｶﾝ)
境界線の最小値=2/7+4･2π･4(12/360)
=2/7+16π/15
=3.63674645

744:１３２人目の素数さん
18/12/16 23:22:15.68 2RcfLbe/.net
>>706
おお、既出の最小値下回りましたね！

745:イナ
18/12/16 23:59:19.47 Ax8rD0fg.net
前 >>706ぐははは……
>>707そうともよ、だれもこれよりちっさぁはできんだろ。早く正解ですって言っておくれ。
ヾ､､,,ﾞ
（(~e~)え？
（っц)~ちょっと
「￣￣￣]ちっさ
■/_UU＼■すぎたこ？でもこの長さ、この角度しかない思うんよ。

746:１３２人目の素数さん
18/12/17 00:48:55.77 dz0/WrnG.net
不正解で～す

747:イナ
18/12/17 02:41:44.10 1XQ825eN.net
前 >>708再戦。
確認だけど、>>642は正解じゃないのね？
a=1/8
b=1/8+2√3
r=4
のとき、円弧の中心は、
(1/8+2√3,-2)
円弧の中心角=43°-30°
=13°
境界線の最小値=2×(1/8)+4･2π･4(13/360)
=1/4+52π/45
≒3.88028484

748:１３２人目の素数さん
18/12/17 05:21:06.55 X9YWLOp7.net
>>710
　>>642 は正解です。
分岐点が (a,0)
円弧の中心 (b, -(b-a)/√3)
円弧の半径 r = 2(b-a)/√3,
とします。
a = 1/8, b-a = 2√3, r=4 のとき、
円弧の中心は (1/8 + 2√3, -2)
円弧と外円の交点を (cosφ, sinφ)
とすると
φ = 0.831377808560176 = 47.6344396113334°
cosφ = 0.673858391655747
sinφ = 0.738860519986776
また、θ+30°= 43.2132078553074°
円弧の中心角は
θ = 0.23061398182545 = 13.2132078553074°
(∴ 円弧と外円の交角 φ + (θ+30ﾟ) = 90.8476474666384°)
長さ2aの境界線を共有するパーツの面積は
σ(a) = {中心角 π-2φ の扇形} + 2･(底辺bの⊿) - 2･(三日月形D)
　= (π/2 -φ) + a･sinφ - rr(θ-sinθ)
　= 0.73941851823 + 0.09235756500 - 0.03261900525
　= 0.7991570780
　> 0.7853981634
　= π/4
となり、４等分条件を満足しません。

749:１３２人目の素数さん
18/12/17 06:10:49.51 dxnXVqVB.net
>>681
それで計算すると、3.945702967267175

750:１３２人目の素数さん
18/12/17 06:13:31.90 BTBPoTbM.net
そもそもプラトーの法則ってどうやって証明するんだ？

751:１３２人目の素数さん
18/12/17 06:37:22.81 X9YWLOp7.net
境界線の長さは
L = 2a + 4rθ
　= 1/4 + 4･4･0.23061398182545
　= 3.9398237092
これは >>710 の値より長いです。
>>713
面積を保つような微小な変形を考えて、境界線長さを短かくできるかどうか見るんぢゃ？
「変分法」とかいう…
>>713

752:１３２人目の素数さん
18/12/17 06:55:38.10 X9YWLOp7.net
>>692
sinθ ≒ 3/4
たぶん偶然でしょうが…

753:１３２人目の素数さん
18/12/17 07:31:23.11 RRU4PE62.net
面白い問題かどうかは怪しいけど数学コンテストの問題で想定解がわからないから投稿
出典は Rioplatense Olympiad 2018 level 3 p3
問題のURLは下記
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
このリンク先で既に誰かが回答も提示しているけど、
明らかに試験会場でできる方法じゃないから想定解じゃないハズ
(確かにグレブナー基底を計算すれば数学的には解けるんだけど計算量的にありえない)
リンク先をみ

754:ればいいけど問題を一応ここにも書いておくよ [問題] a+b+c が a^12+b^12+c^12, a^23+b^23+c^23, a^11004+b^11004+c^11004 の3数を同時に割り切るようなgcd(a,b,c)=1なる正の整数a,b,cの組をすべて求めよどなたか叡知にあふれた方・・・助けてください

755:１３２人目の素数さん
18/12/17 08:00:53.69 7Q25yQ56.net
直線解よりも円弧解が短いことはわかったけど
円弧のときが最小ってどうやって証明するんだろ？

756:１３２人目の素数さん
18/12/17 09:07:21.77 4q4lQ+sg.net
P(x)を整数係数多項式とする。任意の整数nに対して
P(n)P(n-1)=P(n^2)
が成り立つものを全て求めよ。

757:１３２人目の素数さん
18/12/17 10:14:27.76 RRU4PE62.net
>>718
P(x)P(x-1)=P(x^2) ...(♯) を満たす整数係数多項式P(x)を求めればよい
P(x)が (♯)を満たしていると仮定する.
αをPの根とすれば,α^2もPの根である.
よって,ある異なる自然数i,jが存在して,α^(2^i)=α^(2^j),
とくに α=0 または |α|=1 がいえる.
また, (α+1)^2も根であることから, α = -1 または |α+1| = 1 がいえる
つまり, αがPの根ならば, α=0, -1 さもなくば |α|=|α+1|=1 がいえる.
α = 0 のときは (0+1)^2 = 1 も根であるが, それはさっきの関係式を満たさない
α = -1 のときは α^2 = 1も根であるが, 同様の理由で不適である
また, |α+1| = |α| = 1 のときは
α =ω, ω^2 であることはすぐわかる(ω: 1の原始3乗根)
以上より, α∈{ω, ω^2} であることがわかった.
よって, P(x)=c*(x^2+x+1)^m
を満たす非負整数mおよび整数定数cが取れる.
これを(♯)に代入すれば c = c^2 ⇔ c(c-1)=0 を得る
よって求める整数係数多項式は以下の形に限る:
P(x)=0 (零多項式), P(x)=(x^2+x+1)^m (m:非負整数)
これらが条件を満たすことはすぐ確認できる

758:イナ
18/12/17 10:19:53.90 1XQ825eN.net
前 >>710
等分条件からaなりbなりを求めるところが難解なんだと思う。正解も空白だし、いきなりb=0.122……だし。積分じゃなくて扇形から三角形を引くのかも。
そこは不確定な少数より、
1/7なり1/8なりの分数で然るべきと思った。
角度はせいぜい0.5°までだと思う。分度器持って測ってるわけじゃないもんで。
43°-30°=13°が限界と感じた。

759:１３２人目の素数さん
18/12/17 12:21:58.05 XTGID1Us.net
>>642が正解で良いんじゃないかな
自分がやってみたのは、角度条件から
b=(sin(π/3)-sin(π/3-θ))/sin(2π/3-θ)
R=(1-b*cos(π/3-θ))/sinθ
の関係式を立ててから等分条件からθの方程式を作る方法で、解いてみたらだいたい同じ結果になった
θ=0.198522403464295
b=0.122010156676718
R=4.66154271422005
L=2b+4Rθ=3.94570296726719
ちなみに、このθはおおよそ11.3745°

760:イナ
18/12/17 14:00:11.86 1XQ825eN.net
前 >>720
少数aを探る。
2a+4･2π･4(13/360)=3.9457とすると、
a=0.157707578……
a=0.1577のとき、
2a+4･2π･4(13/360)
=2(0.1577)+4･2π･4(13/360)
=0.3154+52π/45
=0.3154+3.63028484
=3.94568484
a=0.157のとき、
2a+4･2π･4(13/360)
=0.314+52π/45
=0.314+3.63028484
=3.94428484
a=0.15のとき、
2a+4･2π･4(13/360)
=0.3+52π/45
=0.3+3.63028484
=3.93028484

761:１３２人目の素数さん
18/12/17 14:03:42.45 0iM+q3pB.net
まだ小さすぎるねぇ？

762:１３２人目の素数さん
18/12/17 14:15:42.92 /nKYkp7v.net
R=4、θ=13°　が出てくる理由が不明よね
ちゃんと計算してないからそうなる

763:１３２人目の素数さん
18/12/17 14:33:29.34 0iM+q3pB.net
彼の哲学は勘でも答えが出れば良い、論拠は問わないなので。
まぁ実際それでピタッと答えが合

764:うときがあるかもしれないし。奇跡のドンピシャを期待！

765:１３２人目の素数さん
18/12/17 15:07:11.57 jwfzbwkP.net
Wolframの入力これ間違っているかな？
最小値が出てこない
minimize(y) where (y=2*b+4*r*α and r=sin(θ)/(cos(θ)-1/2) and (pi/2-θ)/2+b*sin(θ)/2 - r^2*α/2=pi/8 and 0<b<1 and 0<θ<pi/2 and 0<α<2*pi)

766:イナ
18/12/17 15:17:39.55 1XQ825eN.net
前 >>722最後の戦い。
a=0.15770758のとき、
2a+4･2π･4(13/360)
=2(0.15770758)+4･2π･4(13/360)
=0.31541516+52π/45
=0.31541516+3.63028484
=3.9457
端数が出ない。
近似じゃない。
これが正解だろ。

767:１３２人目の素数さん
18/12/17 15:41:25.31 WM5ME2SP.net
♬～不正解～🎶
戦いは続く(｀・ω・´)

768:１３２人目の素数さん
18/12/17 21:57:12.17 0vY43FxT.net
ウルフラムってどうやってつかうの？

769:１３２人目の素数さん
18/12/18 01:38:51.52 +Y1K+VUS.net
>>721
４円弧モデルが最小ってどうすれば言えるの？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
の順に小さくなるのは計算できたけど。

770:１３２人目の素数さん
18/12/18 01:49:33.01 6+IKkUSu.net
単位円の面積を5等分する曲線(分岐あり)の長さの最小値を求めよ
という発展問題を考えていて、
中心に4つの1/12周円弧で囲まれた面積π/5の図形を配置した場合の解として
4+2√((π/3+1-√3)π/5)=4.88997199712511968884147723267088412125423513580167589638622110207064013869324939879113289311720233605526039125851…
というものを得ている。
これより良い解は存在するか？　というのが問題。

771:１３２人目の素数さん
18/12/18 02:02:37.93 TqVGX/9j.net
>>726
交角の条件 (120ﾟ, 90ﾟ) から
　α = 60°- θ　　… (1)
また
　r = sinθ/(cosθ -1/2)　　… (2)
　r = (1-bb)/(b√3),　　　　　(← これも使おう)
からｒを消すと
　b = {1 - (√3)tan(θ/2)}/{1 + (√3)tan(θ/2)}　　… (3)
・なお、
　tan(θ/2) = (1-b)/{(1+b)√3},
　sinθ = (√3)(1-bb)/{2(1+b+bb)},
　cosθ = (1+4b+bb)/{2(1+b+bb)},　　>>641
4等分条件
　(π/2 -θ) + b･sinθ - rr(α-sinα) = π/4,
から
b = {θ - π/4 + rr(α-sinα)}/sinθ　　… (4)
(1)～(4)から
(1-sqrt(3)*tan(th/2))/(1+sqrt(3)*tan(th/2)) = (th-pi/4 + (sin(th)/(cos(th)-1/2))^2 *(pi/3-th-sin(pi/3-th))/sin(th)
これでやってみては？
結果
　θ= 0.8486751477323028478 = 48.6255041427025895976°
したがって
　α = π/3 - θ = 0.198522403464294898354 = 11.3744958572974104024°
　b = 0.1220101566767175917
　r = 4.6615427142200527

772:１３２人目の素数さん
18/12/18 02:25:55.31 TqVGX/9j.net
>>726
交角の条件（プラトーの法則）を使わずに解くことも可能とは思います。
ただし上の (1)～(3) は使えません。
4等分条件(4)は必ず満たさなくてはいけないので、計算がかなり煩雑になりそうな予感…

773:１３２人目の素数さん
18/12/18 04:14:52.39 QUQCnHzh.net
>>730
この手の問題をちゃんと厳密に証明するのは相当むずい。
一般には変分法というのを用いる。
問題を
―
(f1,f2,f3,f4,g)で
・fi:[0,1] -> D、g:[0,1] -> D
・fi(0)∈∂D
・f1(1) = f2(1) = g(0)、f3(1) = f4(1) = g(1)
・fi、giはいたるところ可微分でその囲む４つの部分の面積はπ/4
をみたす５つ組の集合Xにおいて
・S=fi,gの長さの和
を最小とする(fi,g)を決定せよ。
―
とする。(もっとたくさんの分岐を考えたければそれに応じて条件緩める。今は上の分岐に限定する。)
まずXにノルムをいれてノルム空間に入れて完備化する。
今はいたるところ一階微分可能の条件下で完備化だからソボレフ空間というのを使う。これをYとする。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
p=2としておけば自己双対空間になるのでYにおいてはSは最小値をもつ。
その最小値は極小値でもあるのでオイラーラグランジュ方程式を立てることができる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
これによって最小値を与える(f1,f2,f3,f4,g)がプラトーの法則を満たすことがわかる。
するとそこからこれは元のXの元であることがわかる。
これは膨らませた空間Yにおいて最小値を与えたのだからもとの空間Xにおいても最小である。
―

774:１３２人目の素数さん
18/12/18 04:15:12.30 QUQCnHzh.net
という流れ。
もう少し細かくいうと
―
・fi,gの端点を固定しての変分を考えるとfi,gは円弧または線分となる。
URLﾘﾝｸ(mathematical.jp)
・f1のみの変分を考えればf1と外周のなす角が90°がでる。
(これはこのスレで類題をだれかが出題してた。めっちゃムズイけど上よりは簡単。すでに円弧であることは示されてるので。)
・f1、f2、gのみの変分を考えればf1、f2、gのなす角が120°がでる。
(上に準ずる。)
―
数学科でしかも院生レベルか、少なくとも関数解析系の研究室でないと厳密に全部理解するのはムズイと思う。
なにせ変分原理は2,300年くらい？の昔からあるみたいだけど厳密に定式化されたのは20世紀に入ってからでHilbert空間論とか出てくる。
しかし逆に言うとsobolev空間云々をおいとけば、それ以外のオイラーラグランジュ方程式の理論とかは単に部分積分法さえ知ってれば理解できると思う。
上のHPにやり方のってます。
からのプラトーの原理出すとこもムズイけど上の話からみるとぐっと簡単になります。
前にだれかが出題したとき解答作ったんだけど恐ろしく長くなって解答書くのやめた。
さがせばネットでも解答あると思う。見つけてないけど。

775:１３２人目の素数さん
18/12/18 04:44:14.44 ThGE+mq7.net
>>735
元の問題の曲線を可微分函数なものに限定して考えるのは妥当なの？
あるいはそのようなものに限定されることを示せるの？

776:１３２人目の素数さん
18/12/18 04:49:17.26 TqVGX/9j.net
>>731
交角条件（120ﾟ, 90ﾟ）も満たすから、それが最小値ぢゃね？（プラトーの法則）
分岐点 (±b,0) (0,±b)
境界円の半径r
境界円弧の中心角をαとすると
sin(α/2) = b/(r√2),
1 - cosα = (b/r)^2,
中央のパーツの面積は
σ= 2rr(α-sinα) + 2bb
　= 2bb(α-sinα+1-cosα)/(1-cosα)
　= 2rr(α-sinα+1-cosα),
5等分条件 (σ=π/5) から
　b/sin(α/2) = √{π/(5(α-sinα+1-cosα))}
　r = √{π/(10(α-sinα+1-cosα))}
この条件の下で境界線の長さ
　L = 4(1-b+rα)
が最小になるのは（αで微分して）
　α = π/6 = 30°
　sinα = 1/2,
　cosα = (√3)/2,
　sin(α/2) = (√3 -1)/√8,
したがって
　r = √{π/(5(π/3 +1-√3))} = 1.4119961813351850581103676
　b = sin(α/2)√{2π/(5(π/3 +1-√3))} = 0.516826472415296562696543
となって >>731 と一致

777:１３２人目の素数さん
18/12/18 05:05:13.77 62nHVSjU.net
>>736
微分可能なものに限定するのが妥当かどうかは微妙。
それは “長さ” の定義をどうするかに依るから。
曲線の長さを
(1) ∫√(x’^2 + y’^2)dt
(2) inf {Σ|pi - p(i+1)|}
のどっちで定めるかは議論の残るところだから。
(2)の方が広いのだけど、これは一次元でしか利用できない方法で3次元空間のなかにうめこまれた２次元の面の極小問題ですらシュバルツの反例というのがあって “部分空間の大きさ” を考える一般的な定式化としては上手くいかない。
ので普通は “部分空間の大きさ” は(1)の方の意味で測るし、当然その場合にはいたるところ可微分を要求することになる。
多分曲線の話なら(2)の意味で問題定式化できるとは思う。(と数学辞典に書いてあった記憶もある。)
でも可微分なものの全体はL^2の距離で稠密なのでそのこと利用すれば(1)の場合に結局還元できるとは思う。
でも思ってるだけでその証明は知りません。
挑戦してみては？

778:１３２人目の素数さん
18/12/18 08:59:29.23 gXvIBA1O.net
>>735
安っぽい厳密だなあ。

779:１３２人目の素数さん
18/12/18 10:13:20.52 QJ+226c7.net
このスレレベルたけえな

780:１３２人目の素数さん
18/12/18 11:20:57.68 +Y1K+VUS.net
>>713
ググったらソープの話が起源みたいだね。

781:１３２人目の素数さん
18/12/18 11:34:11.21 s3JskfYr.net
>>733
４等分条件だけで変数を減らせないかなと思ってもいるんですが、やっぱり無理ですかね？

782:イナ
18/12/18 11:41:29.42 wSEDrUMl.net
前 >>727
ドンピシャ3.9457がなんで正解じゃないんだ。

783:１３２人目の素数さん
18/12/18 11:45:23.26 2lmvarOu.net
>>743
よく見てないけどaを近似で与えている時点で答えがぴったりと主張する権利がないのでは

784:１３２人目の素数さん
18/12/18 13:17:28.40 wjFrEy5r.net
Prelude> let a = 0.15770758
Prelude> 2*a + 8*pi*4*13/360
3.9457000041482058
小数第５位までしかあいませぬ。

785:１３２人目の素数さん
18/12/18 14:56:43.30 kN1NaedG.net
>>22
俺も東大卒だぜ
文系で数学完答ゼロだったけどww

786:１３２人目の素数さん
18/12/18 16:56:55.86 QhJHi9+Y.net
>>743
諦めたらそこで試合終了ですよ。

787:イナ
18/12/18 17:15:06.24 wSEDrUMl.net
前 >>743
やっぱりちゃんと4分割した面積=π/4として単位円の中心と分岐点の距離aを自然に出さんといかんね。
bのy座標と円弧の半径rは自然に出た。
扇形と三角形を足して三日月形を引くのかな。もうちょい待ってよ。あきらめちゃいないから。もうちょいやればたぶん面積から妥当なaが出ると思う。

788:１３２人目の素数さん
18/12/18 19:21:10.93 NsuOluDp.net
①√XのXが平方数以外の自然数なら、√Xが無理数であることを証明せよ。
②√XのXが分数の場合、いかなる場合なら√Xが無理数になるか。またそれを証明せよ。

789:１３２人目の素数さん
18/12/18 19:22:29.40 NsuOluDp.net
あ、一応ですが②の問題は正の分数と限定します

790:１３２人目の素数さん
18/12/19 01:56:25.45 5zoTD2o3.net
>>749
(1)
　Xは平方数でないから、或る素数pのべき指数は奇数。
いま √X が有理数だったと仮定する：
　√X = q/r　(q,r∈N かつ(q,r)=1)
∴　Xrr = qq ∈ N
素数pのべき指数を見ると、左辺は奇数、右辺は偶数(0も含め) となる。
∴ Nにおける素因数分解は一意的(UDF)でないことが分かる。

791:１３２人目の素数さん
18/12/19 01:59:26.07 5zoTD2o3.net
>>743
r = 4,
α = 13°=

792:(13/180)π = 0.226892802759262845 L = 3.9457 が正解じゃない理由上記から　sinα = 0.224951054343864998 　α - sinα = 0.001941748415397847 　a = 0.15770757792589724 分岐点～交点間の直線距離は　2r sin(α/2) = 0.90562571014325 境界円と外円との交点を (cosφ, sinφ) とおく。　φ = 0.8644882263708342 = 49.5315268097989° 　cosφ = 0.64902953921139422 　sinφ = 0.76076320706974604 境界円の中心は　(3.7419350454197931, -1.7757571515447414) 線分aと円弧の交角@分岐点　116.355494663976463°< 120° 円弧と外円の交角　91.1129785262246°> 90° 長さ2aの境界線を共有するパーツの面積は σ(a) = {中心角π-2φの扇形} + 2･(底辺ａの⊿) - 2･(三日月形D) 　= 0.70630810042406242 + 0.11997812276210747 - 0.03106797464636555 　= 0.79521824853980434 　> 0.78539816339744831 　= π/4, となり、4等分条件を満足しません。

793:１３２人目の素数さん
18/12/19 02:16:11.61 5zoTD2o3.net
>>752
1行抜けてた…
σ(a) = {中心角π-2φの扇形} + 2･(底辺ａの⊿) - 2･(三日月形)
　= (π/2 -φ) + a･sinφ -rr(α-sinα)
　= …

794:１３２人目の素数さん
18/12/19 04:02:06.84 yZ9IGW8e.net
>>716
猛者の方々, この問題の謎を解いてくれませんか？私では無理そうです
これはコンテストの問題で計算機使用不可なハズなので
11004 の謎を解いて使える恒等式をみつけないといけないとおもいます

795:イナ
18/12/20 00:40:57.19 PIAZ12pp.net
前 >>748
そうか、r、4.66もあんのか。
~ ､､,,
(~-_-)円弧とx軸の交点
(っφ)を(a,0)として、
接線とx軸の交点(b,0)が知りたい。
扇形から2つから三角形2つを引けばπ/8になる、ってことですよね？
円弧の中心角をθとして、
60°-θ、半径1の扇形と、θ、半径rの扇形と、
(60°-θ)と(30°+θ)の直角三角形(斜辺b)と、
底辺(b-a)×高さ(r/2)の三角形。
弧度法はこんがらがるんでなしでお願いします。

796:１３２人目の素数さん
18/12/20 01:17:15.54 urn695Ce.net
>>754
できた。
―
a+b+c = MN、(N,abc) = 1、radM | abc とする。
M ≠1 とし p|M を素因子とする。 p|a としてよい。
b ≡ -c (mod p) (∵ a+b+c ≡ 0 (mod p)) により 2b^12 ≡ 0 (mod p) (∵ a^12 + b^12 + c^12 ≡ 0 (mod p))。
∴ p = 2、b≡c≡1 (mod p)。
∴ v_2(M) ≦ v_2(a^12 + b^12 + c^12) = 1。
∴ M = 2。
以上により M|2。
一方
det ([[a,b,c],[a^12,b^12,c^12],[a^23,b^23,c^23]]) ≡ 0 (mod N)。
det ([[1,1,1],[a^11,b^11,c^11],[a^22,b^22,c^22]]) = 0 (mod N)、
∴ a^11≡b^11 (mod N) としてよい。(∵ Vandermonde。)
∴ 0 ≡ a^12 + b^12 + c^12 ≡ a^11(a+b) + c^12 ≡ c(-a^11+c^11) (mod N)、
∴ a^11≡c^11 (mod N)。
∴ 0 ≡ a^11004 + b^11004 + c^11004 ≡ a^4 + b^4 + c^4 (mod N)。
∴ 0 ≡ a^12 + b^12 + c^12 ≡ (a^4 + b^4 + c^4)^3 - 6(abc)^4 ≡ -6 (abc)^4 (mod N)。
∴ 6 ≡ 0 (mod N)。∴ N|6。
以下ry

797:１３２人目の素数さん
18/12/20 01:25:41.17 urn695Ce.net
あ、
＞∴ a^11≡b^11 (mod N) としてよい。(∵ Vandermonde。)
の行嘘だ。
でなおします orz。

798:１３２人目の素数さん
18/12/20 01:56:24.09 urn695Ce.net
>>756
訂正
後半のパラグラフ
p|N、v_p(N) = eとおく。
det ([[a,b,c],[a^12,b^12,c^12],[a^23,b^23,c^23]]) ≡ 0 (mod p)。
det ([[1,1,1],[a^11,b^11,c^11],[a^22,b^22,c^22]]) = 0 (mod p)。
∴(a^11-b^11)(b^11-c^11)(c^11-a^11) (nod p) (∵ Vandermonde。)
∴ a^11≡b^11 (mod p) としてよい。
∴ 0 ≡ a^12 + b^12 + c^12 ≡ a^11(a+b) + c^12 ≡ c(-a^11+c^11) (mod p)、
∴ a^11≡c^11 (mod p)。
∴ 0 ≡ a^11004 + b^11004 + c^11004 ≡ a^4 + b^4 + c^4 (mod p)。
∴ 0 ≡ a^12 + b^12 + c^12 ≡ (a^4 + b^4 + c^4)^3 - 6(abc)^4 ≡ -6 (abc)^4 (mod p)。
∴ 6 ≡ 0 (mod p)。
p = 2のときa,b,cは全て奇数よりv_2(N) ≦v_2(a^12+b^12+c^12)≦0。(∵ a,b,c ≡ 1(mod 8))∴e = 1。
p = 3のときa,b,cは全て3と互いに素よりv_3(N) ≦v_3(a^12+b^12+c^12)≦1。(∵ Z/9Zの乗法群の位数は６だからa,b,c≡1 (mod 9))∴e = 1,2。
∴ N|3。

799:１３２人目の素数さん
18/12/20 0

800:3:22:35.00 ID:b5FpuB9M.net

801:１３２人目の素数さん
18/12/20 05:24:03.82 vAHMMPVp.net
5等分問題について、>>731が提示したのはこれ
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
分け方を変えるともう少し小さくなる
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
この図の境界は全て直線であり、節点における角度は120°にしているけど円との交点は垂直になっていない
なので、境界線を円弧で考えれば更にもう少し良くなるはず
ただ、それを計算するのは骨が折れそう

802:１３２人目の素数さん
18/12/20 10:32:32.92 5thDTonU.net
>>760
分岐点
　(a-1,0) (a-1+b/2, ±(√3)b/2)
外円との交点
　(cosφ, sinφ)　(x1,y1)
とすると
　c = cosφ - (a-1+b/2)
　y1 = (c-x1)√3,
　L = a + 2(b+c+d)

a = 0.832249108
b = 0.339584229
c = 0.953736949
d = 0.735197942
x1 = -0.3655577475
y1 = 0.9307886620
φ = 0.298501778 = 17.10289204°
cosφ = 0.9557781717
a-1 +b/2 = 0.002041223
L = 4.889287345
となってチョト長い。
計算間違えたかな…

803:１３２人目の素数さん
18/12/20 10:40:02.97 6fQj7XXR.net
サイコロを n 回投げ、出た目全ての積が平方数となる確率を求めよ

804:１３２人目の素数さん
18/12/20 10:46:44.95 5thDTonU.net
>>761
間違えた。
　y1 = (a-1+b - x1)√3

805:１３２人目の素数さん
18/12/20 10:55:50.94 zDwt6WPy.net
>>761
分岐点間にある境界線は直線？

806:１３２人目の素数さん
18/12/20 11:17:55.04 5thDTonU.net
>>761 >>763
sinφ = (√3)b/2,
右向きのパーツの面積は
σ = φ - sinφcosφ + (2c + b/2)sinφ

807:１３２人目の素数さん
18/12/20 11:18:24.01 NkmRjcp+.net
>>762
f(a,b,c,n):=(1+a+b+1+c+a*b)^n/8
とおくとき
(f(1,1,1,n) + f(1,1,-1,n) + f(1,-1,1,n) + f(1,-1,-1,n)+f(-1,1,1,n) + f(-1,1,-1,n) + f(-1,-1,1,n) + f(-1,-1,-1,n))/6^n
= ((1+1+1+1+1+1*1)^n + (1+1+1+1+(-1)+1*1)^n + (1+1+(-1)+1+1+1*(-1))^n + (1+1+(-1)+1+(-1)+1*(-1))^n
+ (1+(-1)+1+1+(-1)*1)^n + (1+(-1)+1+1+(-1)+(-1)*1)^n + (1+(-1)+(-1)+1+1+(-1)*(-1))^n + (1+(-1)+(-1)+1+(-1)+(-1)*(-1))^n)/8 /6^n
=(6^n + 4^n + 3・2^n)/(8・6^n)

808:１３２人目の素数さん
18/12/20 11:25:50.88 aTZ4Qgc1.net
>>762
nが1から8までで積が平方数になる場合の数をかぞえてみた。
> sub<-function(x){
+ y=sqrt(prod(x))
+ floor(y)==y
+ }
>
> sim<-function(n){
+ arg=list()
+ for(i in 1:n) arg[[i]]=1:6
+ gr=do.call(expand.grid,arg)
+ sum(apply(gr,1,sub))
+ }
>
> sim=Vectorize(sim)
>
> sim(1:8)
[1] 2 8 38 200 1112 6368 37088 218240
>
>

809:１３２人目の素数さん
18/12/20 11:30:09.44 5thDTonU.net
>>764
そうです。まづは直線で計算しますた。
分岐点の交角は 120°
外円との交角は 90ﾟ-φ(右)、98.5580885°(左上)、90ﾟ(左)

810:イナ
18/12/20 11:32:35.42 PIAZ12pp.net
前 >>755円弧とx軸の交点を(a,0)、接線とx軸の交点を(b,0)とし、扇形から2つから三角形2つを引けばπ/8になる。
円弧の中心角をθとすると、
中心角60°-θ、半径1の扇形は、
π(60°-θ)/360°―①
中心角θ、半径rの扇形は、
πr^2･θ/360°―②
(60°-θ)と(30°+θ)の直角三角形(斜辺b)は、
(1/2)b･sin(60°-θ)―③
底辺(b-a)×高さ(r/2)の三角形は、
(b-a)r/4―④
単位円を分岐ありの最小の境界線で4分割した面積のうち、原点を含まない領域をx軸で二分した半分は、
①+②-③-④=π/8
π(60°-θ)/360°
+πr^2･θ/360°
-(1/2)b･sin(60°-θ)
-(

811:b-a)r/4 =π/8

812:１３２人目の素数さん
18/12/20 13:10:05.45 dv0n+7uF.net
>>766
>>767
ぴったり、一致するのを確認。
> c(2, 8, 38, 200, 1112, 6368, 37088, 218240)/(6^(1:8))
[1] 0.3333333 0.2222222 0.1759259 0.1543210 0.1430041 0.1364883 0.1324874
[8] 0.1299345
> n=1:8
> (6^n + 4^n + 3*2^n)/(8*6^n)
[1] 0.3333333 0.2222222 0.1759259 0.1543210 0.1430041 0.1364883 0.1324874
[8] 0.1299345

813:１３２人目の素数さん
18/12/20 14:00:51.73 N8RFhZeZ.net
ユークリッドの公理・公準のみの状態から三平方の定理を導き出すまでに最短の経路は何か

814:１３２人目の素数さん
18/12/20 16:34:23.77 6fQj7XXR.net
>>655
＞よって
N(B)=∫[1-0,B+0] x df(x)
がよく分からないが, 間違いである.
N(B)のオーダーはB^nです.

815:１３２人目の素数さん
18/12/20 16:43:59.25 6fQj7XXR.net
>>762
まさに私の想定解です.
別解を:
先ず2, 3, 6のみ出る特殊なサイコロをk回振った時, 出た目の積が平方数である確率をq[k]とせよ.
q[k]=(1/3)(1-q[k-1]) → q[k]=(-1/3)^k･(3/4)+1/4.
普通のサイコロをn回振り, 出た目の積が平方数である確率を P[n], 平方数掛ける2か3か6である確率をQ[n], 平方数掛ける5である確率をR[n]とせよ.
P[n]+Q[n]は5が偶数回出る確率なので,
P[n]+Q[n]=(1/2){(1/6+5/6)^n+(5/6-1/6)^n}
=1/2+(1/2)(2/3)^n ...①
P[n]+R[n]は出た目の積の2, 3の指数が偶数の確率なので,
P[n]+R[n]=Σ[k=0, n] (nCk)･(1/2)^n･q[k]
=(1/2)^n･{(1-1/3)^n･(3/4)+(1+1)^n･(1/4)}
=(1/3)^n･(3/4)+1/4 ...②
P[n]=(1/3)P[n-1]+(1/6)(Q[n-1]+R[n-1])なので,
①, ②より,
P[n] = (1/6)(P[n-1]+Q[n-1])+(1/6)(P[n-1]+R[n-1])
=(1/8){1+(2/3)^n+(1/3)^(n-1)}.

816:１３２人目の素数さん
18/12/20 17:34:40.77 cBgoWNlh.net
>>772
問題なんか混じってないか？
>B>0を定数とせよ.
>N(B)=#{(a_1,...,a_n):a_1,...,a_nは最大公約数が1の整数, |a_i| ≦B}
>則ちN(B)とは, 絶対値がB以下の2つの整数の組(a,b)で, a,bが互いに素なもの達全体の個数である.
>此の時極限値
>lim_{B→∞} N(B)/B^2
>の値を求めよ.
この問題でN(B)のオーダーがB^nならn>2のとき極限発散するやん。
>N(B)=∫[1-0,B+0] x df(x)
>
>がよく分からないが, 間違いである.
スチェルチェス積分。

817:１３２人目の素数さん
18/12/21 00:53:33.65 fiFOgETC.net
>>761 >>763 >>765
a = 1-b+t,
b = (2/√3)sinφ,
c = cosφ - (a-1+b/2),
d = 2(a-1+b/2-x1)
右向きのパーツの面積は
σ = φ - sinφcosφ + (2c + b/2)sinφ
　 = φ - sinφcosφ + (2sinφ){cosφ -t +((√3)/2)sinφ},
これより
t = cosφ + ((√3)/2)sinφ - (π/5 -φ +sinφcosφ)/(2sinφ),
x1 = {3t - √(4-3tt)}/4,
y1 = (√3)(t-x1) = (√3){t + √(4-3tt)}/4,
左斜めのパーツの面積は
σ' = π/4 - arccos(y1) /2 + t･y1 /2 - (sinφ)^2 /√3 = π/5,
これより
t = {arccos(y1) +(2/√3)(sinφ)^2 -π/10} /y1,
これらを解くと
a = 0.827153176586368
b = 0.344680163597532
c = 0.956284913285257
d = 0.730102006651509
x1 = -0.36555774494062
y1 = 0.930788662970241
φ = 0.298501777856039 = 17.1028920483027°
cosφ = 0.955778171670391
sinφ = 0.294088569241317
a-1 +b/2 = -0.0005067416148658
a-1 +b = t = 0.1718333401839
境界線の長さは
L = a + 2(b+c+d) = 4.88928734365496
あまり変わりばえせぬ…

818:１３２人目の素数さん
18/12/21 01:21:48.65 wQpB1nJJ.net
>>775
＞σ = φ - sinφcosφ + (2c + b/2)sinφ
＞　 = φ - sinφcosφ + (2sinφ){cosφ -t +((√3)/2)sinφ},
最後のsinφの係数が((√3)/2)になるのは何故？

819:１３２人目の素数さん
18/12/21 06:18:43.69 fiFOgETC.net
>>776
a-1+b = t,
b = (2/√3)sinφ,
c = cosφ - (a-1+b/2) = cosφ -t +b/2,
から
c + b/4 = cosφ -t +(3/4)b = cosφ -t + ((√3)/2)b,

820:１３２人目の素数さん
18/12/21 06:23:37.86 5Ao2DZHd.net
正20面体の各辺を、赤色・青色・黄色のいずれかの色で色付けする。
正20面体の全ての面について、面を構成する3辺がちょうど2色を用いて色付けされているような色付けの方法は何通りあるか。
但し、各辺は区別されているものとする。
(つまり、回転によって一致する塗り方を同一視する必要はない)
(3色全てを使っている必要はない)

821:１３２人目の素数さん
18/12/21 06:28:40.53 wQpB1nJJ.net
>>777
それだったら係数は1なのでは？

822:１３２人目の素数さん
18/12/21 13:06:30.41 VjGj/ZN5.net
>>778
6^13・2^5・3
かな？

823:１３２人目の素数さん
18/12/21 14:18:35.14 5Ao2DZHd.net
>>780
違いますねー

824:１３２人目の素数さん
18/12/21 14:59:36.14 VjGj/ZN5.net
ありゃ？どこ間違ったかな？

825:１３２人目の素数さん
18/12/21 16:08:23.04 fiFOgETC.net
ありゃ？どこ間違ったかな？
>>779
c + b/4 = cosφ - t + (3/4)b = cosφ - t + ((√3)/2)sinφ,
だった....orz

826:１３２人目の素数さん
18/12/21 16:20:36.01 pFCrsbdv.net
>>775
b = 0.344680163597532
φ = 0.298501777856039
って、b = (2/√3)sinφの関係になってる？

827:１３２人目の素数さん
18/12/21 16:57:07.67 bH4auQhW.net
>>781
計算機で検算できんからなぁ。
6^10・2^8・3？

828:１３２人目の素数さん
18/12/21 17:06:58.75 t76SIJlt.net
＞計算機で検算
総当たりで3^30通りを計算すると考えると非現実的だけど
2色でない面を見つけたら探索を打ち切れるから、
工夫すればもしかしたら現実的な計算量でいけるかもしれないね

829:１３２人目の素数さん
18/12/21 17:17:49.61 5Ao2DZHd.net
>>785
違います
 >>786
ちなみに元ネタは某数学コンテスト(数オリ関連ではない)なので、計算機無しで解くことを想定されてます

830:１３２人目の素数さん
18/12/21 17:19:52.79 bH4auQhW.net
>>787
あれ？まだ違うか。惜しい？

831:１３２人目の素数さん
18/12/21 17:22:10.92 5Ao2DZHd.net
>>788
考え方をみてないので何とも
答えの形としてはかなり近いです

832:１３２人目の素数さん
18/12/21 17:47:31.86 LKcWhYQV.net
>>769
だめだ。仕事しないとだめだから明日また考えよ。
もう解かれてるかな？

833:１３２人目の素数さん
18/12/21 19:02:45.36 Czj7k4bs.net
>>774
lim_{B→∞} N(B)/B^2
は一般に存在せず,
lim_{B→∞} N(B)/B^n
が存在する.
>スチェルチェス積分だ
其の式の意味ではなくて, 何故N(B)がそう表せるのかの導出が不明だ, という意味である.

834:１３２人目の素数さん
18/12/21 19:05:23.33 Czj7k4bs.net
n=2の時ならN(B)のオーダーはB^2だ.
多分分かっていない気がするので, n=2の時の証明についても詳細を記述可能なら又返信して下さい.

835:１３２人目の素数さん
18/12/21 20:48:36.84 bH4auQhW.net
>>792
もういいです。

836:１３２人目の素数さん
18/12/21 20:49:03.88 mDFT4dj8.net
>>778
答えは 3^10*2^20　だとおもう
20面体を反角柱と五角錐に分解することを考えて数えた
２つの五角錐を固定するとうまいことカウントできる

837:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:08:04.22 5Ao2DZHd.net
>>794
正解！
そのように分けて考えるとうまくできますね
別のやり方の想定解を簡単に書いておきます
三色をF=Z/3Zの元に対応させておく
(赤=0,青=1,黄=2など)
辺,面をそれぞれ1~30及び1~20の整数でラベル付けする
辺の塗り方を決めることはF^30の元を1つとることと同じである
線形写像T:F^30→F^20を
T((x_i)_i)=(面iを構成する3辺に対応する値の和)_i
と定める
このとき,求めるものは
#T^(-1)(A)
(A={ (y_i)_i�

838:ｸF^20 | ∀i y_i≠0 }) とかけるいま,Tは全射なので (F^20の基底が像に含まれることを確認すればよい) #T^(-1)(A) =#ker(T)*#A =3^10*2^20

839:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:10:13.51 mDFT4dj8.net
>>795
AはF^20の部分空間をなしていないから
対応定理が使えない
それゆえ
#T^(-1)(A) =#ker(T)*#A
とカウントできることは保証されないハズ

840:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:12:40.45 5Ao2DZHd.net
>>796
Tは全射な線形写像なので、一点の逆像は全てker(T)を平行移動したものになるから問題ないと思います

841:１３２人目の素数さん
18/12/21 21:17:58.50 bH4auQhW.net
>>795
な～るほど。足すのか！

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