面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

708:１３２人目の素数さん
18/12/14 19:10:43.4

709:4 ID:BiTuD+9L.net

710:イナ
18/12/14 19:58:14.45 DQANJwVv.net
前 >>672
>>673分岐点の角度は、
すべて120°になる。
つまり単位円内の円弧は第１象限では点(a,0)においてx軸と60°の角をなすように始まり、緩やかに右にカーブしy=xをかすめるように突っ切って単位円と90°の角をなすように終わる。
このy=xとの交点を境に前後の面積が等しい。
①0≦x≦a
②a≦x≦
③　≦x≦1/a+2
④1/a+2≦x≦1/√2
①+②=③+④より、aが決まりそう。
②、③の空欄は、
円弧と直線y=xの交点のx座標で、
円弧の中心はx軸上にはない。たぶん第２象限。
今ここを考え中。
円弧の内角は30°～45°の範囲にあるが、カーブの向きから考えて37.5°より大きい。仮に40°なら、
境界線の最小値=2a+2π√2×4×40°/360°
=2a+(8/9)π√2

711:イナ
18/12/14 20:01:07.18 DQANJwVv.net
前 >>674訂正。
第２象限→第４象限

712:イナ
18/12/14 20:02:13.73 DQANJwVv.net
前 >>674訂正。
第２象限→第４象限

713:１３２人目の素数さん
18/12/14 20:31:44.04 nExcyVjV.net
>>672
②の円の中心がx軸上にある根拠はある？

714:イナ
18/12/14 20:51:23.17 DQANJwVv.net
前 >>676
>>677訂正したとおり、円弧の中心はx軸上にはなく、第３象限にあり、
直線y=-(1/√3)(x-a)上にあると考えています。

715:イナ
18/12/14 20:56:35.29 DQANJwVv.net
前 >>678訂正。
第３象限→第４象限

716:イナ
18/12/14 21:42:45.71 DQANJwVv.net
前 >>678-679
円弧の中心を(b,(a-b)/√3)とすると、
円弧の半径は2角が30°と60°の直角三角形の辺の比より、
2(b-a)/√3
円弧の式は、
(x-b)^2+{y+(b-a)/√3}^2=4/3)(b-a)^2
単位円と円弧の交点は保留。
おそらく中心(b,(a-b)/√3)までの距離が2(b-a)/√3だから、bはaで表される。
点(a,0)を通り傾き√3の直線y=√3(x-a)とy=xの交点は、
(a√3/(√3-1),a√3/(√3-1))
有理化して、
((3+√3)a/2,(3+√3)a/2)

717:１３２人目の素数さん
18/12/14 22:17:47.24 X7/HRig3.net
>>670
最小値とされる図を作成してみた。

URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

718:イナ
18/12/14 22:18:15.23 DQANJwVv.net
前 >>680ちがうちがう。
y=√3(x-a)とy=xの交点じゃなく、円弧とy=xの交点じゃないと意味ない。
円弧の中心を(b,(a-b)/√3)とすると、
円弧の半径は2角が30°と60°の直角三角形の辺の比より、
2(b-a)/√3
円弧の式は、
(x-b)^2+{y+(b-a)/√3}^2=(4/3)(b-a)^2
y=xを代入すると、
x^2-2bx+b^2+x^2+2(b-a)x/√3+{(b-a)^2}/3=(4/3)(b-a)^2
2x^2+2(b-a-b√3)x/√3-(b-a)^2=0
x=(1/2)(a-b+b√3)-√{(b-a-b√3)^2+(b-a)}
=
計算中

719:
18/12/15 00:44:52.53 xEJOkZH0.net
前 >>682
x=(1/2){a+(√3-1)b}-(1/2)√[{(√3-1)b+a}^2+(b-a)]
=(1/2){a+(√3-1)b}-(1/2)√[{(4-2√3)b^2+2(√3-1)ab+a^2}+(b-a)]
0≦x≦aの範囲のy=xとx軸で囲まれた面積は、
a^2/2―①
a≦x≦(1/2){a+(√3-1)b}-(1/2)√[{(4-2√3)b^2+2(√3-1)ab+a^2}+(b-a)]の範囲のy=xと円弧で囲まれた面積は、
∫x=a～(1/2){a+(√3-1)b}-(1/2)√[{(4-2√3)b^2+2(√3-1)ab+a^2}+(b-a)])
{x-(円弧の式をyについて解いたもの)}dx―②
円弧の式にx^2=1-y^2を代入し、yについて解くと、
やがて③+④がわかり、
①+②=③+④

720:イナ
18/12/15 22:31:12.14 xEJOkZH0.net
前 >>683
野球のボール→　の縫い目にΗのような境界線を描くとし、
単位円の中心から分岐点までの距離をaとする。
xy平面における点(a,0)である。
点(a,0)を通り第１象限においてy=xを下から上に突っ切るように、中心を点(a,0)の右下30°の方向にとり、円弧を描き、単位円と直交させる。
円弧の中心はy=√3(x-a)上の第４象限にあり、
直角三角形の辺の比より、円弧の半径を2、
円弧の中心のy座標を-1とすると、円弧は第１象限においてじゅうぶんな位置で単位円と直交できる。
∴a=2-√3
境界線の最小値=2a+4×(第１象限内の円弧)
=2a+4×2π×2×30/360
=2(2-√3)+4π/3
=4-2√3+4π/3
≒4.72468859

721:１３２人目の素数さん
18/12/15 22:46:35.63 DcUfOLtC.net
4以上ですか。そうですか。

722:

723:１３２人目の素数さん
18/12/15 23:05:59.20 Lt1TFZIo.net
nを2以上の整数とする。n個のコップが横一列に並んでいて、左端のコップにのみ水が入っている。
あなたは次の操作を好きなだけ繰り返して、全てのコップの水の量が同じにしたい。このことが可能なnを全て求めよ。
<操作>
ある右端以外で水の入っているコップを選び、それに入っている水の1/3を右隣のコップに移し、1/3を飲み、1/3をそのままにする。

724:イナ
18/12/15 23:43:52.38 xEJOkZH0.net
>>686n=2がすべて。それ以上は無理。
もう飲めない。前 >>684
ビーカーの底に水が少なくなって無理。

725:１３２人目の素数さん
18/12/15 23:48:44.54 4xODvjt1.net
だれかこの人なんとかしてくれ...

726:イナ
18/12/15 23:54:05.44 xEJOkZH0.net
前 >>687n=5ができるかも。
でも腹いっぱい。

727:１３２人目の素数さん
18/12/16 03:20:32.38 HsDP4GrJ.net
>>686
右に一つ進む度にコップの水の価値は２倍あると考える。
たとえばコップが４つでそれぞれ 3,6,2,5 入ってるとき総価値は 3+6×2+2×4+5×8 = 53 である。
この状態で左から２番めのコップを動かすと 3,2,4,5 になるが総価値は 3+2×2+4×4+5×8 = 53 で変わらない。
(1/3はそのまま、1/3 飲まれてしまうが、1/3は価値が倍になるので総価値は変化しない。)
コップの数が4ので最終的に 1,1,1,1 になったとすると総価値は 15 であるから初期状態は 15,0,0,0 でなければならない。
しかし一番左のコップは各操作で 1/3 になるか変化しないかのいずれかなので操作を繰り返して 1 になることはない。
一般にコップの数が n で全部 1 にできたとすると総価値は 2^n -1 であるがこれが 3 のべきであることが必要である。
ここで n≧3 のとき 2^n - 1 ≡ 7 (mod 8)、3^m ≡ 1,3 (mod 8)により n≧3 である解はない。
よって可能な n は n=2 のみである。

728:イナ
18/12/16 07:59:21.50 Ax8rD0fg.net
前 >>684訂正。
野球のボール→　の縫い目にΗのような境界線を描くとし、
単位円の中心から分岐点までの距離をaとする。
xy平面における点(a,0)である。
点(a,0)を通り第１象限においてy=xを下から上に突っ切るように、中心を点(a,0)の右下30°の方向にとり、円弧を描き、単位円と直交させる。
円弧の中心はy=√3(x-a)上の第４象限にあり、
直角三角形の辺の比より、円弧の半径を2、
円弧の中心のy座標を-1とすると、円弧は第１象限においてじゅうぶんな位置で単位円と直交できる。
∴a=2-√3
境界線の最小値=2a+4×(第１象限内の円弧)
=2a+4×2π×2×α/360
(α＜30°)
=2(2-√3)+2πα/45
=4-2√3+2πα/45

729:１３２人目の素数さん
18/12/16 08:15:16.56 Q9cgcISo.net
>>592
交角の条件（90ﾟ, 120ﾟ）を満たす折れ線を考えてみた。
分岐点 (±x,0)
境界線と外円の交点 (±cosθ, ±sinθ)
屈曲点 (±(x+y/2), ±(√3)y/2)
(x+y/2)tanθ = (√3)y/2　より
　y = 2x/((√3)cotθ -1),
　z = 1 - (x+y/2)/cosθ,
　y+z = 1 - {(√3 -2sinθ)/((√3)cosθ - sinθ)}x
長さ2xの境界を共有するパーツの面積
　σ = π/2 - θ + (√3)xy/2,
4等分条件（σ = π/4) から
　(√3)xy/2 = θ - π/4,
　x = √[(θ-π/4)(cotθ -1/√3)],
L = 2x + 4(y+z)
が最小となるのは
　θ = 0.84809550
　π/3 - θ = 0.1991020512
　x = 0.13817309535
　y = 0.52395618804
　z = 0.39500533920
　y+z = 0.91896152724
　L = 2x + 4y + 4z = 3.952192299669527

730:イナ
18/12/16 08:23:19.34 Ax8rD0fg.net
前 >>691
野球のボール→　の縫い目にΗのような境界線を描くとし、
単位円の中心から分岐点までの距離をaとする。
xy平面における点(a,0)である。
点(a,0)を通り第１象限においてy=xを下から上に突っ切るように、中心を点(a,0)の右下30°の方向にとり、円弧を描き、単位円と直交させる。
円弧の中心はy=√3(x-a)上の第４象限にあり、
直角三角形の辺の比より、円弧の半径を2、
円弧の中心のy座標を-1とすると、円弧は第１象限においてじゅうぶんな位置で単位円と直交できる。
∴a=2-√3
境界線の最小値=2a+4×(第１象限内の円弧)
=2a+4×2π×2×α/360
(α＜30°)
=2(2-√3)+2πα/45
=4-2√3+2πα/45
(tanα=1/2、cosα=1/√5)

731:イナ
18/12/16 08:57:59.18 Ax8rD0fg.net
前 >>693
野球のボール→　の縫い目にΗのような境界線を描くとし、
単位円の中心から分岐点までの距離をaとする。
xy平面における点(a,0)である。
点(a,0)を通り第１象限においてy=xを下から上に突っ切るように、中心を点(a,0)の右下30°の方向にとり、円弧を描き、単位円と直交させる。
円弧の中心はy=√3(x-a)上の第４象限にあり、
直角三角形の辺の比より、円弧の半径を2、
円弧の中心のy座標を-1とすると、円弧は第１象限においてじゅうぶんな位置で単位円と直交できる。
∴a=2-√3
境界線の最小値=2a+4×(第１象限内の円弧)
=2a+4×2π×2×α/360
(α＜30°)
=2(2-√3)+2πα/45
=4-2√3+2πα/45
(tanα=1/2、cosα=1/√5)
α≒26.56505119
境界線の最小値=4-2√3+2π(26.56505119)/45
=4-2√3+π(26.56505119/22.5
=4.24507926

732:１３２人目の素数さん
18/12/16 09:25:31.95 WRFoa1F9.net
∠A=90°の直角三角形ABCにおいて、AからBCに下ろした垂線の足をDとする。線分AB, AC上にそれぞれ点E, Fを、AD=AE=AFを満たすように取る。
∠ABCの二等分線と線分DEの交点をU、∠ACBの二等分線と線分DFの交点をVとする。
また、点Eから直線DFに下ろした垂線の足をX、点Fから直線DEに下ろした垂線の足をYとする。
このとき、3直線EF, UV, XYは互いに平行であるか1点で交わることを示せ。

733:１３２人目の素数さん
18/12/16 10:15:54.44 u8TvSuxJ.net
4を下回れる日は来るのかねぇ

734:１３２人目の素数さん
18/12/16 11:41:52.76 WjpuEhRa.net
>>695
AD = 1とし∠BAD = θとおく。
BE = 1/cosθ -1、BD = tanθにより
EU/UD = EB/BD = tanθ/2。
同様にしてFV/VD = tan(π/2 - θ)/2。
∴EU/UD DV/VF = tanθ/2 cot(π/2 - θ)/2 。
∠DEF = ∠DAF/2 = π/2-θ/2、∠XEF=π/2 - ∠XFE = π/2 - θ/2より∠XED = π/4。
よってFX/XD = tan(π/2 - θ/2)/1 = cotθ/2。
同様にしてEY/YD = cot(π/2-θ)/2。
以上により
EX/XD DY/YF = EU/UD DV/VF。
よってチェバの定理の逆により主張は成立。

735:１３２人目の素数さん
18/12/16 15:19:26.92 WRFoa1F9.net
こういう問題は初等幾何的に解きたいものだね。
三角形ABCにおいて、内心をIとする。また、∠B内の傍接円と辺ACの接点、∠C内の傍接円と辺ABの接点をそれぞれD,Eとする。そして、直線BDとCEの交点をPとする。
線分AQの中点が点Iとなるように点Qを取るとき、直線PQは線分BCを二等分することを示せ。

736:イナ
18/12/16 15:33:32.47 Ax8rD0fg.net
前 >>694
>>696下まわれると思う。
野球のボール→　の縫い目にΗのような境界線を描くとし、単位円の中心からx軸上にある分岐点までの距離をaとする。
点(a,0)を通り第１象限においてy=xを下から上に突っ切るように、中心を点(a,0)の右下30°の方向にとり、円弧を描き、単位円と直交させる。
円弧の中心はy=-(1/√3)(x-a)上の第４象限にあり、円弧の半径をr(＞2)、円弧の中心のx座標をbとすると、円弧の中心のy座標は、
y=-(a-b)/√3
円弧の方程式は、
(x-b)^2+{y+(a-b)/√3}^2=r^2
境界線の最小値=2a+4×(第１象限内の円弧)
=2a+4×2πrθ/360°
接弦定理よりθ=
単位円x^2+y^2=1と円弧
(x-b)^2+{y+(a-b)/√3}^2=r^2から交点の座標は( , )

737:１３２人目の素数さん
18/12/16 15:35:43.46 xrPm7fh8.net
８００

738:１３２人目の素数さん
18/12/16 15:41:12.55 wIyiz2YN.net
>>696
十文字に分ければ４だよなぁ。

739:イナ
18/12/16 17:22:20.55 Ax8rD0fg.net
(x-b)^2+{y+(a-b)/√3}^2=r^2と単位円の交点の座標を考えてみます。
前 >>699
1+2bx+b^2+2(a-b)y/√3+{(a-b)^2}/3=r^2
(1+2bx+b^2)√3/2(a-b)+y+(a-b)/2√3=(r^2)√3/2(a-b)
y=(r^2)√3/2(a-b)-(1+2bx+b^2)√3/2(a-b)-(a-b)/2√3
0＜a＜b＜r
x^2+{(r^2)√3/2(a-b)-(1+2bx+b^2)√3/2(a-b)-(a-b)/2√}^2=1
解けると思うけど。

740:１３２人目の素数さん
18/12/16 18:05:56.73 Nny3soWk.net
>>698
もう初等幾何は忘れた。
Pはナゲール点で重心座標は(s-a, s-b, s-c)。
QはA(2s, 0, 0)と内心I(a,b,c)を2:1に外分する点だからQ(a-s, b,c)。
BCの中点M(0,1,1)で行列
0 1 1
s-a s-b s-c
a-s b c
の第3行を第2行に足せば第1行と第2行は平行となるため特にその行列式は0。
よってP, Q, Mは同一直線上にある。

741:イナ
18/12/16 20:09:56.08 Ax8rD0fg.net
前 >>702図を描くと少しわかった。
円弧の中心は、
(b,(a-b)/√3)
円弧の半径rは、
r=2(b-a)/√3
b-a=r(√3)/2
円弧の方程式は、
(x-b)^2+{y-(a-b)/√3}^2=(4/3)(b-a)^2
単位円との交点は、
x^2-2bx+b^2+y^2-2(a-b)y/√3+(a-b)^2/3=(4/3)(b-a)^2
x^2-2bx+b^2+(1-x^2)-2(a-b)√(1-x^2)/√3+(a-b)^2/3=(4/3)(b-a)^2
-2bx+b^2+1-2(a-b)√(1-x^2)/√3+(a-b)^2/3=(4/3)(b-a)^2
-2bx+b^2+1+(a-b)^2/3=2(a-b)√(1-x^2)/√3+(4/3)(b-a)^2
2bx-b^2-1-{r(√3)/2}^2/3=2{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3-(4/3){r(√3)/2}^2
2[a+{r(√3)/2}]x-[a+{r(√3)/2}]^2-1-{r(√3)/2}^2/3=2{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3-(4/3){r(√3)/2}^2
辺々を二乗すると、
4[a+{r(√3)/2}]^2･x^2-4[a+{r(√3)/2}][1+{r(√3)/2}^2/3]x+[1+{r(√3)/2}^2/3]^2=(4/3)(3/4)r^2(1-x^2)-2･2[{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3]･(4/3){r(√3)/2}^2+(4/3)^2{r(√3)/2}^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-4[a+r(√3)/2}][1+{r(√3)/2}^2/3]x+[1+{(3/4)r^2}^2/3]^2=(4/3)(3/4)r^2(1-x^2)-2･2[{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3]･(4/3){r(√3)/2}^2+(4/3)^2{r(√3)/2}^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-4[a+r(√3)/2}][1+(3/4)r^2/3]x+[1+{(3/4)r^2}^2/3]^2=(4/3)(3/4)r^2(1-x^2)-2･2[{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3]･(4/3){r(√3)/2}^2+(4/3)^2{r(√3)/2}^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-(4a+2r√3)(1+r^2/4)x+[1+{(3/16)r^4]^2=r^2(1-x^2)-2r√(1-x^2)･r^2+r^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-(4a+2r√3)(1+r^2/4)x+[1+{(3/16)r^4]^2=r^2-r^2･x^2-2r√(1-x^2)･r^2+r^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-(4a+2r√3)(1+r^2/4)x+[1+{(3/16)r^4]^2-r^2+r^2･x^2+2r√(1-x^2)･r^2-r^4
(4a^2+ar√3+4r^2)x^2-(4a+2r√3)(1+r^2/4)x+[1+{(3/16)r^4]^2-r^2+2r√(1-x^2)･r^2-r^4=0
境界線の最小値=2a+4×2πrθ/360°≒3.9……?

742:１３２人目の素数さん
18/12/16 20:56:53.90 u8TvSuxJ.net
一個も解いてませんがな。
明示的な表示をおながいします。

743:イナ
18/12/16 23:07:35.77 Ax8rD0fg.net
前 >>704難解。
a=1/7
b=1/7+2√3
r=4
のとき、円弧の中心は、
(1/7+2√3,-2)
円弧の中心角≒42°-30°
=12°(←ｶﾝ)
境界線の最小値=2/7+4･2π･4(12/360)
=2/7+16π/15
=3.63674645

744:１３２人目の素数さん
18/12/16 23:22:15.68 2RcfLbe/.net
>>706
おお、既出の最小値下回りましたね！

745:イナ
18/12/16 23:59:19.47 Ax8rD0fg.net
前 >>706ぐははは……
>>707そうともよ、だれもこれよりちっさぁはできんだろ。早く正解ですって言っておくれ。
ヾ､､,,ﾞ
（(~e~)え？
（っц)~ちょっと
「￣￣￣]ちっさ
■/_UU＼■すぎたこ？でもこの長さ、この角度しかない思うんよ。

746:１３２人目の素数さん
18/12/17 00:48:55.77 dz0/WrnG.net
不正解で～す

747:イナ
18/12/17 02:41:44.10 1XQ825eN.net
前 >>708再戦。
確認だけど、>>642は正解じゃないのね？
a=1/8
b=1/8+2√3
r=4
のとき、円弧の中心は、
(1/8+2√3,-2)
円弧の中心角=43°-30°
=13°
境界線の最小値=2×(1/8)+4･2π･4(13/360)
=1/4+52π/45
≒3.88028484

748:１３２人目の素数さん
18/12/17 05:21:06.55 X9YWLOp7.net
>>710
　>>642 は正解です。
分岐点が (a,0)
円弧の中心 (b, -(b-a)/√3)
円弧の半径 r = 2(b-a)/√3,
とします。
a = 1/8, b-a = 2√3, r=4 のとき、
円弧の中心は (1/8 + 2√3, -2)
円弧と外円の交点を (cosφ, sinφ)
とすると
φ = 0.831377808560176 = 47.6344396113334°
cosφ = 0.673858391655747
sinφ = 0.738860519986776
また、θ+30°= 43.2132078553074°
円弧の中心角は
θ = 0.23061398182545 = 13.2132078553074°
(∴ 円弧と外円の交角 φ + (θ+30ﾟ) = 90.8476474666384°)
長さ2aの境界線を共有するパーツの面積は
σ(a) = {中心角 π-2φ の扇形} + 2･(底辺bの⊿) - 2･(三日月形D)
　= (π/2 -φ) + a･sinφ - rr(θ-sinθ)
　= 0.73941851823 + 0.09235756500 - 0.03261900525
　= 0.7991570780
　> 0.7853981634
　= π/4
となり、４等分条件を満足しません。

749:１３２人目の素数さん
18/12/17 06:10:49.51 dxnXVqVB.net
>>681
それで計算すると、3.945702967267175

750:１３２人目の素数さん
18/12/17 06:13:31.90 BTBPoTbM.net
そもそもプラトーの法則ってどうやって証明するんだ？

751:１３２人目の素数さん
18/12/17 06:37:22.81 X9YWLOp7.net
境界線の長さは
L = 2a + 4rθ
　= 1/4 + 4･4･0.23061398182545
　= 3.9398237092
これは >>710 の値より長いです。
>>713
面積を保つような微小な変形を考えて、境界線長さを短かくできるかどうか見るんぢゃ？
「変分法」とかいう…
>>713

752:１３２人目の素数さん
18/12/17 06:55:38.10 X9YWLOp7.net
>>692
sinθ ≒ 3/4
たぶん偶然でしょうが…

753:１３２人目の素数さん
18/12/17 07:31:23.11 RRU4PE62.net
面白い問題かどうかは怪しいけど数学コンテストの問題で想定解がわからないから投稿
出典は Rioplatense Olympiad 2018 level 3 p3
問題のURLは下記
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
このリンク先で既に誰かが回答も提示しているけど、
明らかに試験会場でできる方法じゃないから想定解じゃないハズ
(確かにグレブナー基底を計算すれば数学的には解けるんだけど計算量的にありえない)
リンク先をみ

754:ればいいけど問題を一応ここにも書いておくよ [問題] a+b+c が a^12+b^12+c^12, a^23+b^23+c^23, a^11004+b^11004+c^11004 の3数を同時に割り切るようなgcd(a,b,c)=1なる正の整数a,b,cの組をすべて求めよどなたか叡知にあふれた方・・・助けてください

755:１３２人目の素数さん
18/12/17 08:00:53.69 7Q25yQ56.net
直線解よりも円弧解が短いことはわかったけど
円弧のときが最小ってどうやって証明するんだろ？

756:１３２人目の素数さん
18/12/17 09:07:21.77 4q4lQ+sg.net
P(x)を整数係数多項式とする。任意の整数nに対して
P(n)P(n-1)=P(n^2)
が成り立つものを全て求めよ。

757:１３２人目の素数さん
18/12/17 10:14:27.76 RRU4PE62.net
>>718
P(x)P(x-1)=P(x^2) ...(♯) を満たす整数係数多項式P(x)を求めればよい
P(x)が (♯)を満たしていると仮定する.
αをPの根とすれば,α^2もPの根である.
よって,ある異なる自然数i,jが存在して,α^(2^i)=α^(2^j),
とくに α=0 または |α|=1 がいえる.
また, (α+1)^2も根であることから, α = -1 または |α+1| = 1 がいえる
つまり, αがPの根ならば, α=0, -1 さもなくば |α|=|α+1|=1 がいえる.
α = 0 のときは (0+1)^2 = 1 も根であるが, それはさっきの関係式を満たさない
α = -1 のときは α^2 = 1も根であるが, 同様の理由で不適である
また, |α+1| = |α| = 1 のときは
α =ω, ω^2 であることはすぐわかる(ω: 1の原始3乗根)
以上より, α∈{ω, ω^2} であることがわかった.
よって, P(x)=c*(x^2+x+1)^m
を満たす非負整数mおよび整数定数cが取れる.
これを(♯)に代入すれば c = c^2 ⇔ c(c-1)=0 を得る
よって求める整数係数多項式は以下の形に限る:
P(x)=0 (零多項式), P(x)=(x^2+x+1)^m (m:非負整数)
これらが条件を満たすことはすぐ確認できる

758:イナ
18/12/17 10:19:53.90 1XQ825eN.net
前 >>710
等分条件からaなりbなりを求めるところが難解なんだと思う。正解も空白だし、いきなりb=0.122……だし。積分じゃなくて扇形から三角形を引くのかも。
そこは不確定な少数より、
1/7なり1/8なりの分数で然るべきと思った。
角度はせいぜい0.5°までだと思う。分度器持って測ってるわけじゃないもんで。
43°-30°=13°が限界と感じた。

759:１３２人目の素数さん
18/12/17 12:21:58.05 XTGID1Us.net
>>642が正解で良いんじゃないかな
自分がやってみたのは、角度条件から
b=(sin(π/3)-sin(π/3-θ))/sin(2π/3-θ)
R=(1-b*cos(π/3-θ))/sinθ
の関係式を立ててから等分条件からθの方程式を作る方法で、解いてみたらだいたい同じ結果になった
θ=0.198522403464295
b=0.122010156676718
R=4.66154271422005
L=2b+4Rθ=3.94570296726719
ちなみに、このθはおおよそ11.3745°

760:イナ
18/12/17 14:00:11.86 1XQ825eN.net
前 >>720
少数aを探る。
2a+4･2π･4(13/360)=3.9457とすると、
a=0.157707578……
a=0.1577のとき、
2a+4･2π･4(13/360)
=2(0.1577)+4･2π･4(13/360)
=0.3154+52π/45
=0.3154+3.63028484
=3.94568484
a=0.157のとき、
2a+4･2π･4(13/360)
=0.314+52π/45
=0.314+3.63028484
=3.94428484
a=0.15のとき、
2a+4･2π･4(13/360)
=0.3+52π/45
=0.3+3.63028484
=3.93028484

761:１３２人目の素数さん
18/12/17 14:03:42.45 0iM+q3pB.net
まだ小さすぎるねぇ？

762:１３２人目の素数さん
18/12/17 14:15:42.92 /nKYkp7v.net
R=4、θ=13°　が出てくる理由が不明よね
ちゃんと計算してないからそうなる

763:１３２人目の素数さん
18/12/17 14:33:29.34 0iM+q3pB.net
彼の哲学は勘でも答えが出れば良い、論拠は問わないなので。
まぁ実際それでピタッと答えが合

764:うときがあるかもしれないし。奇跡のドンピシャを期待！

765:１３２人目の素数さん
18/12/17 15:07:11.57 jwfzbwkP.net
Wolframの入力これ間違っているかな？
最小値が出てこない
minimize(y) where (y=2*b+4*r*α and r=sin(θ)/(cos(θ)-1/2) and (pi/2-θ)/2+b*sin(θ)/2 - r^2*α/2=pi/8 and 0<b<1 and 0<θ<pi/2 and 0<α<2*pi)

766:イナ
18/12/17 15:17:39.55 1XQ825eN.net
前 >>722最後の戦い。
a=0.15770758のとき、
2a+4･2π･4(13/360)
=2(0.15770758)+4･2π･4(13/360)
=0.31541516+52π/45
=0.31541516+3.63028484
=3.9457
端数が出ない。
近似じゃない。
これが正解だろ。

767:１３２人目の素数さん
18/12/17 15:41:25.31 WM5ME2SP.net
♬～不正解～🎶
戦いは続く(｀・ω・´)

768:１３２人目の素数さん
18/12/17 21:57:12.17 0vY43FxT.net
ウルフラムってどうやってつかうの？

769:１３２人目の素数さん
18/12/18 01:38:51.52 +Y1K+VUS.net
>>721
４円弧モデルが最小ってどうすれば言えるの？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
の順に小さくなるのは計算できたけど。

770:１３２人目の素数さん
18/12/18 01:49:33.01 6+IKkUSu.net
単位円の面積を5等分する曲線(分岐あり)の長さの最小値を求めよ
という発展問題を考えていて、
中心に4つの1/12周円弧で囲まれた面積π/5の図形を配置した場合の解として
4+2√((π/3+1-√3)π/5)=4.88997199712511968884147723267088412125423513580167589638622110207064013869324939879113289311720233605526039125851…
というものを得ている。
これより良い解は存在するか？　というのが問題。

771:１３２人目の素数さん
18/12/18 02:02:37.93 TqVGX/9j.net
>>726
交角の条件 (120ﾟ, 90ﾟ) から
　α = 60°- θ　　… (1)
また
　r = sinθ/(cosθ -1/2)　　… (2)
　r = (1-bb)/(b√3),　　　　　(← これも使おう)
からｒを消すと
　b = {1 - (√3)tan(θ/2)}/{1 + (√3)tan(θ/2)}　　… (3)
・なお、
　tan(θ/2) = (1-b)/{(1+b)√3},
　sinθ = (√3)(1-bb)/{2(1+b+bb)},
　cosθ = (1+4b+bb)/{2(1+b+bb)},　　>>641
4等分条件
　(π/2 -θ) + b･sinθ - rr(α-sinα) = π/4,
から
b = {θ - π/4 + rr(α-sinα)}/sinθ　　… (4)
(1)～(4)から
(1-sqrt(3)*tan(th/2))/(1+sqrt(3)*tan(th/2)) = (th-pi/4 + (sin(th)/(cos(th)-1/2))^2 *(pi/3-th-sin(pi/3-th))/sin(th)
これでやってみては？
結果
　θ= 0.8486751477323028478 = 48.6255041427025895976°
したがって
　α = π/3 - θ = 0.198522403464294898354 = 11.3744958572974104024°
　b = 0.1220101566767175917
　r = 4.6615427142200527

772:１３２人目の素数さん
18/12/18 02:25:55.31 TqVGX/9j.net
>>726
交角の条件（プラトーの法則）を使わずに解くことも可能とは思います。
ただし上の (1)～(3) は使えません。
4等分条件(4)は必ず満たさなくてはいけないので、計算がかなり煩雑になりそうな予感…

773:１３２人目の素数さん
18/12/18 04:14:52.39 QUQCnHzh.net
>>730
この手の問題をちゃんと厳密に証明するのは相当むずい。
一般には変分法というのを用いる。
問題を
―
(f1,f2,f3,f4,g)で
・fi:[0,1] -> D、g:[0,1] -> D
・fi(0)∈∂D
・f1(1) = f2(1) = g(0)、f3(1) = f4(1) = g(1)
・fi、giはいたるところ可微分でその囲む４つの部分の面積はπ/4
をみたす５つ組の集合Xにおいて
・S=fi,gの長さの和
を最小とする(fi,g)を決定せよ。
―
とする。(もっとたくさんの分岐を考えたければそれに応じて条件緩める。今は上の分岐に限定する。)
まずXにノルムをいれてノルム空間に入れて完備化する。
今はいたるところ一階微分可能の条件下で完備化だからソボレフ空間というのを使う。これをYとする。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
p=2としておけば自己双対空間になるのでYにおいてはSは最小値をもつ。
その最小値は極小値でもあるのでオイラーラグランジュ方程式を立てることができる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
これによって最小値を与える(f1,f2,f3,f4,g)がプラトーの法則を満たすことがわかる。
するとそこからこれは元のXの元であることがわかる。
これは膨らませた空間Yにおいて最小値を与えたのだからもとの空間Xにおいても最小である。
―

774:１３２人目の素数さん
18/12/18 04:15:12.30 QUQCnHzh.net
という流れ。
もう少し細かくいうと
―
・fi,gの端点を固定しての変分を考えるとfi,gは円弧または線分となる。
URLﾘﾝｸ(mathematical.jp)
・f1のみの変分を考えればf1と外周のなす角が90°がでる。
(これはこのスレで類題をだれかが出題してた。めっちゃムズイけど上よりは簡単。すでに円弧であることは示されてるので。)
・f1、f2、gのみの変分を考えればf1、f2、gのなす角が120°がでる。
(上に準ずる。)
―
数学科でしかも院生レベルか、少なくとも関数解析系の研究室でないと厳密に全部理解するのはムズイと思う。
なにせ変分原理は2,300年くらい？の昔からあるみたいだけど厳密に定式化されたのは20世紀に入ってからでHilbert空間論とか出てくる。
しかし逆に言うとsobolev空間云々をおいとけば、それ以外のオイラーラグランジュ方程式の理論とかは単に部分積分法さえ知ってれば理解できると思う。
上のHPにやり方のってます。
からのプラトーの原理出すとこもムズイけど上の話からみるとぐっと簡単になります。
前にだれかが出題したとき解答作ったんだけど恐ろしく長くなって解答書くのやめた。
さがせばネットでも解答あると思う。見つけてないけど。

775:１３２人目の素数さん
18/12/18 04:44:14.44 ThGE+mq7.net
>>735
元の問題の曲線を可微分函数なものに限定して考えるのは妥当なの？
あるいはそのようなものに限定されることを示せるの？

776:１３２人目の素数さん
18/12/18 04:49:17.26 TqVGX/9j.net
>>731
交角条件（120ﾟ, 90ﾟ）も満たすから、それが最小値ぢゃね？（プラトーの法則）
分岐点 (±b,0) (0,±b)
境界円の半径r
境界円弧の中心角をαとすると
sin(α/2) = b/(r√2),
1 - cosα = (b/r)^2,
中央のパーツの面積は
σ= 2rr(α-sinα) + 2bb
　= 2bb(α-sinα+1-cosα)/(1-cosα)
　= 2rr(α-sinα+1-cosα),
5等分条件 (σ=π/5) から
　b/sin(α/2) = √{π/(5(α-sinα+1-cosα))}
　r = √{π/(10(α-sinα+1-cosα))}
この条件の下で境界線の長さ
　L = 4(1-b+rα)
が最小になるのは（αで微分して）
　α = π/6 = 30°
　sinα = 1/2,
　cosα = (√3)/2,
　sin(α/2) = (√3 -1)/√8,
したがって
　r = √{π/(5(π/3 +1-√3))} = 1.4119961813351850581103676
　b = sin(α/2)√{2π/(5(π/3 +1-√3))} = 0.516826472415296562696543
となって >>731 と一致

777:１３２人目の素数さん
18/12/18 05:05:13.77 62nHVSjU.net
>>736
微分可能なものに限定するのが妥当かどうかは微妙。
それは “長さ” の定義をどうするかに依るから。
曲線の長さを
(1) ∫√(x’^2 + y’^2)dt
(2) inf {Σ|pi - p(i+1)|}
のどっちで定めるかは議論の残るところだから。
(2)の方が広いのだけど、これは一次元でしか利用できない方法で3次元空間のなかにうめこまれた２次元の面の極小問題ですらシュバルツの反例というのがあって “部分空間の大きさ” を考える一般的な定式化としては上手くいかない。
ので普通は “部分空間の大きさ” は(1)の方の意味で測るし、当然その場合にはいたるところ可微分を要求することになる。
多分曲線の話なら(2)の意味で問題定式化できるとは思う。(と数学辞典に書いてあった記憶もある。)
でも可微分なものの全体はL^2の距離で稠密なのでそのこと利用すれば(1)の場合に結局還元できるとは思う。
でも思ってるだけでその証明は知りません。
挑戦してみては？

778:１３２人目の素数さん
18/12/18 08:59:29.23 gXvIBA1O.net
>>735
安っぽい厳密だなあ。

779:１３２人目の素数さん
18/12/18 10:13:20.52 QJ+226c7.net
このスレレベルたけえな

780:１３２人目の素数さん
18/12/18 11:20:57.68 +Y1K+VUS.net
>>713
ググったらソープの話が起源みたいだね。

781:１３２人目の素数さん
18/12/18 11:34:11.21 s3JskfYr.net
>>733
４等分条件だけで変数を減らせないかなと思ってもいるんですが、やっぱり無理ですかね？

782:イナ
18/12/18 11:41:29.42 wSEDrUMl.net
前 >>727
ドンピシャ3.9457がなんで正解じゃないんだ。

783:１３２人目の素数さん
18/12/18 11:45:23.26 2lmvarOu.net
>>743
よく見てないけどaを近似で与えている時点で答えがぴったりと主張する権利がないのでは

784:１３２人目の素数さん
18/12/18 13:17:28.40 wjFrEy5r.net
Prelude> let a = 0.15770758
Prelude> 2*a + 8*pi*4*13/360
3.9457000041482058
小数第５位までしかあいませぬ。

785:１３２人目の素数さん
18/12/18 14:56:43.30 kN1NaedG.net
>>22
俺も東大卒だぜ
文系で数学完答ゼロだったけどww

786:１３２人目の素数さん
18/12/18 16:56:55.86 QhJHi9+Y.net
>>743
諦めたらそこで試合終了ですよ。

787:イナ
18/12/18 17:15:06.24 wSEDrUMl.net
前 >>743
やっぱりちゃんと4分割した面積=π/4として単位円の中心と分岐点の距離aを自然に出さんといかんね。
bのy座標と円弧の半径rは自然に出た。
扇形と三角形を足して三日月形を引くのかな。もうちょい待ってよ。あきらめちゃいないから。もうちょいやればたぶん面積から妥当なaが出ると思う。

788:１３２人目の素数さん
18/12/18 19:21:10.93 NsuOluDp.net
①√XのXが平方数以外の自然数なら、√Xが無理数であることを証明せよ。
②√XのXが分数の場合、いかなる場合なら√Xが無理数になるか。またそれを証明せよ。

789:１３２人目の素数さん
18/12/18 19:22:29.40 NsuOluDp.net
あ、一応ですが②の問題は正の分数と限定します

790:１３２人目の素数さん
18/12/19 01:56:25.45 5zoTD2o3.net
>>749
(1)
　Xは平方数でないから、或る素数pのべき指数は奇数。
いま √X が有理数だったと仮定する：
　√X = q/r　(q,r∈N かつ(q,r)=1)
∴　Xrr = qq ∈ N
素数pのべき指数を見ると、左辺は奇数、右辺は偶数(0も含め) となる。
∴ Nにおける素因数分解は一意的(UDF)でないことが分かる。

791:１３２人目の素数さん
18/12/19 01:59:26.07 5zoTD2o3.net
>>743
r = 4,
α = 13°=

792:(13/180)π = 0.226892802759262845 L = 3.9457 が正解じゃない理由上記から　sinα = 0.224951054343864998 　α - sinα = 0.001941748415397847 　a = 0.15770757792589724 分岐点～交点間の直線距離は　2r sin(α/2) = 0.90562571014325 境界円と外円との交点を (cosφ, sinφ) とおく。　φ = 0.8644882263708342 = 49.5315268097989° 　cosφ = 0.64902953921139422 　sinφ = 0.76076320706974604 境界円の中心は　(3.7419350454197931, -1.7757571515447414) 線分aと円弧の交角@分岐点　116.355494663976463°< 120° 円弧と外円の交角　91.1129785262246°> 90° 長さ2aの境界線を共有するパーツの面積は σ(a) = {中心角π-2φの扇形} + 2･(底辺ａの⊿) - 2･(三日月形D) 　= 0.70630810042406242 + 0.11997812276210747 - 0.03106797464636555 　= 0.79521824853980434 　> 0.78539816339744831 　= π/4, となり、4等分条件を満足しません。

793:１３２人目の素数さん
18/12/19 02:16:11.61 5zoTD2o3.net
>>752
1行抜けてた…
σ(a) = {中心角π-2φの扇形} + 2･(底辺ａの⊿) - 2･(三日月形)
　= (π/2 -φ) + a･sinφ -rr(α-sinα)
　= …

794:１３２人目の素数さん
18/12/19 04:02:06.84 yZ9IGW8e.net
>>716
猛者の方々, この問題の謎を解いてくれませんか？私では無理そうです
これはコンテストの問題で計算機使用不可なハズなので
11004 の謎を解いて使える恒等式をみつけないといけないとおもいます

795:イナ
18/12/20 00:40:57.19 PIAZ12pp.net
前 >>748
そうか、r、4.66もあんのか。
~ ､､,,
(~-_-)円弧とx軸の交点
(っφ)を(a,0)として、
接線とx軸の交点(b,0)が知りたい。
扇形から2つから三角形2つを引けばπ/8になる、ってことですよね？
円弧の中心角をθとして、
60°-θ、半径1の扇形と、θ、半径rの扇形と、
(60°-θ)と(30°+θ)の直角三角形(斜辺b)と、
底辺(b-a)×高さ(r/2)の三角形。
弧度法はこんがらがるんでなしでお願いします。

796:１３２人目の素数さん
18/12/20 01:17:15.54 urn695Ce.net
>>754
できた。
―
a+b+c = MN、(N,abc) = 1、radM | abc とする。
M ≠1 とし p|M を素因子とする。 p|a としてよい。
b ≡ -c (mod p) (∵ a+b+c ≡ 0 (mod p)) により 2b^12 ≡ 0 (mod p) (∵ a^12 + b^12 + c^12 ≡ 0 (mod p))。
∴ p = 2、b≡c≡1 (mod p)。
∴ v_2(M) ≦ v_2(a^12 + b^12 + c^12) = 1。
∴ M = 2。
以上により M|2。
一方
det ([[a,b,c],[a^12,b^12,c^12],[a^23,b^23,c^23]]) ≡ 0 (mod N)。
det ([[1,1,1],[a^11,b^11,c^11],[a^22,b^22,c^22]]) = 0 (mod N)、
∴ a^11≡b^11 (mod N) としてよい。(∵ Vandermonde。)
∴ 0 ≡ a^12 + b^12 + c^12 ≡ a^11(a+b) + c^12 ≡ c(-a^11+c^11) (mod N)、
∴ a^11≡c^11 (mod N)。
∴ 0 ≡ a^11004 + b^11004 + c^11004 ≡ a^4 + b^4 + c^4 (mod N)。
∴ 0 ≡ a^12 + b^12 + c^12 ≡ (a^4 + b^4 + c^4)^3 - 6(abc)^4 ≡ -6 (abc)^4 (mod N)。
∴ 6 ≡ 0 (mod N)。∴ N|6。
以下ry

797:１３２人目の素数さん
18/12/20 01:25:41.17 urn695Ce.net
あ、
＞∴ a^11≡b^11 (mod N) としてよい。(∵ Vandermonde。)
の行嘘だ。
でなおします orz。

798:１３２人目の素数さん
18/12/20 01:56:24.09 urn695Ce.net
>>756
訂正
後半のパラグラフ
p|N、v_p(N) = eとおく。
det ([[a,b,c],[a^12,b^12,c^12],[a^23,b^23,c^23]]) ≡ 0 (mod p)。
det ([[1,1,1],[a^11,b^11,c^11],[a^22,b^22,c^22]]) = 0 (mod p)。
∴(a^11-b^11)(b^11-c^11)(c^11-a^11) (nod p) (∵ Vandermonde。)
∴ a^11≡b^11 (mod p) としてよい。
∴ 0 ≡ a^12 + b^12 + c^12 ≡ a^11(a+b) + c^12 ≡ c(-a^11+c^11) (mod p)、
∴ a^11≡c^11 (mod p)。
∴ 0 ≡ a^11004 + b^11004 + c^11004 ≡ a^4 + b^4 + c^4 (mod p)。
∴ 0 ≡ a^12 + b^12 + c^12 ≡ (a^4 + b^4 + c^4)^3 - 6(abc)^4 ≡ -6 (abc)^4 (mod p)。
∴ 6 ≡ 0 (mod p)。
p = 2のときa,b,cは全て奇数よりv_2(N) ≦v_2(a^12+b^12+c^12)≦0。(∵ a,b,c ≡ 1(mod 8))∴e = 1。
p = 3のときa,b,cは全て3と互いに素よりv_3(N) ≦v_3(a^12+b^12+c^12)≦1。(∵ Z/9Zの乗法群の位数は６だからa,b,c≡1 (mod 9))∴e = 1,2。
∴ N|3。

799:１３２人目の素数さん
18/12/20 0

800:3:22:35.00 ID:b5FpuB9M.net

801:１３２人目の素数さん
18/12/20 05:24:03.82 vAHMMPVp.net
5等分問題について、>>731が提示したのはこれ
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
分け方を変えるともう少し小さくなる
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
この図の境界は全て直線であり、節点における角度は120°にしているけど円との交点は垂直になっていない
なので、境界線を円弧で考えれば更にもう少し良くなるはず
ただ、それを計算するのは骨が折れそう

802:１３２人目の素数さん
18/12/20 10:32:32.92 5thDTonU.net
>>760
分岐点
　(a-1,0) (a-1+b/2, ±(√3)b/2)
外円との交点
　(cosφ, sinφ)　(x1,y1)
とすると
　c = cosφ - (a-1+b/2)
　y1 = (c-x1)√3,
　L = a + 2(b+c+d)

a = 0.832249108
b = 0.339584229
c = 0.953736949
d = 0.735197942
x1 = -0.3655577475
y1 = 0.9307886620
φ = 0.298501778 = 17.10289204°
cosφ = 0.9557781717
a-1 +b/2 = 0.002041223
L = 4.889287345
となってチョト長い。
計算間違えたかな…

803:１３２人目の素数さん
18/12/20 10:40:02.97 6fQj7XXR.net
サイコロを n 回投げ、出た目全ての積が平方数となる確率を求めよ

804:１３２人目の素数さん
18/12/20 10:46:44.95 5thDTonU.net
>>761
間違えた。
　y1 = (a-1+b - x1)√3

805:１３２人目の素数さん
18/12/20 10:55:50.94 zDwt6WPy.net
>>761
分岐点間にある境界線は直線？

806:１３２人目の素数さん
18/12/20 11:17:55.04 5thDTonU.net
>>761 >>763
sinφ = (√3)b/2,
右向きのパーツの面積は
σ = φ - sinφcosφ + (2c + b/2)sinφ

807:１３２人目の素数さん
18/12/20 11:18:24.01 NkmRjcp+.net
>>762
f(a,b,c,n):=(1+a+b+1+c+a*b)^n/8
とおくとき
(f(1,1,1,n) + f(1,1,-1,n) + f(1,-1,1,n) + f(1,-1,-1,n)+f(-1,1,1,n) + f(-1,1,-1,n) + f(-1,-1,1,n) + f(-1,-1,-1,n))/6^n
= ((1+1+1+1+1+1*1)^n + (1+1+1+1+(-1)+1*1)^n + (1+1+(-1)+1+1+1*(-1))^n + (1+1+(-1)+1+(-1)+1*(-1))^n
+ (1+(-1)+1+1+(-1)*1)^n + (1+(-1)+1+1+(-1)+(-1)*1)^n + (1+(-1)+(-1)+1+1+(-1)*(-1))^n + (1+(-1)+(-1)+1+(-1)+(-1)*(-1))^n)/8 /6^n
=(6^n + 4^n + 3・2^n)/(8・6^n)

808:１３２人目の素数さん
18/12/20 11:25:50.88 aTZ4Qgc1.net
>>762
nが1から8までで積が平方数になる場合の数をかぞえてみた。
> sub<-function(x){
+ y=sqrt(prod(x))
+ floor(y)==y
+ }
>
> sim<-function(n){
+ arg=list()
+ for(i in 1:n) arg[[i]]=1:6
+ gr=do.call(expand.grid,arg)
+ sum(apply(gr,1,sub))
+ }
>
> sim=Vectorize(sim)
>
> sim(1:8)
[1] 2 8 38 200 1112 6368 37088 218240
>
>

809:１３２人目の素数さん
18/12/20 11:30:09.44 5thDTonU.net
>>764
そうです。まづは直線で計算しますた。
分岐点の交角は 120°
外円との交角は 90ﾟ-φ(右)、98.5580885°(左上)、90ﾟ(左)

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