面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～な 28問目 at MATH

[前50を表示]
650:１３２人目の素数さん
18/12/12 12:53:04.61 LhhrZ/FI.net
>>614
Wolframにグラフを書いてもらいました。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)((cos(%CE%B8)-((4*%CE%B8)-pi)%2Fsin(%CE%B8)%2F4)%5E2+%2B+sin(%CE%B8)%5E2)+%2B+2*((4*%CE%B8)-pi)%2Fsin(%CE%B8)%2F4+,+%CE%B8+in+%5B0,pi%2F2%5D

651:１３２人目の素数さん
18/12/12 13:42:21.80 LhhrZ/FI.net
>>616
出来上がり図
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

652:１３２人目の素数さん
18/12/12 13:46:29.04 CF6JIWOg.net
>>611
>>614
残念ながら不正解
直線のみならそれで大丈夫だけど解は曲線です

653:１３２人目の素数さん
18/12/12 15:34:39.76 MRxQUXjD.net
>>618
そろそろ答え教えろよ

654:１３２人目の素数さん
18/12/12 15:34:55.02 hGPRw/Of.net
この場合もプラトーの法則成立するんでない？
・曲線は円、または直線。
・分岐は３枝でなす角は１２０°。
・外円との接続部は９０°。

655:１３２人目の素数さん
18/12/12 16:53:47.97 VPYuy2Z7.net
>>620
minimize 2x+4(1-x*cosθ)(π/3-θ)/sin(π/3-θ) where θ-x*sinθ+((1-x*cosθ)((π/3-θ)/sin(π/3-θ)-1))^2=π/4
という式をたててみたがwolframalphaさんは答えを出してくれなかった
手で計算したところ
x=0.18059
θ=0.93017(単位円との交点間の弧の長い方の角度=106.59度)
のとき、分割線長の総和=3.9376

656:１３２人目の素数さん
18/12/12 17:04:46.38 VPYuy2Z7.net
>>621で仮定した条件
分割線が(-x,0)-(x,0)の線分、および >>620の条件を満たす(±x,0)-(±cosθ,sinθ),(±x,0)-(±cosθ,-sinθ)の円弧(複号同順)

657:１３２人目の素数さん
18/12/12 17:18:34.78 LhhrZ/FI.net
>>622
>617の４本の放射直線を円弧で置き換えたモデルって理解でいいですか？

658:１３２人目の素数さん
18/12/12 17:25:08.78 VPYuy2Z7.net
>>623
そうなります
ぜんぶ直線だとプラトーの法則が成立しないので
中央の線分を円弧に変えたらもっと良くなるのかどうかは検証していません

659:１３２人目の素数さん
18/12/12 17:51:53.99 neKV7OZz.net
2つの分岐点を (0, ±b) とする。(0<b<1)
境界円の中心　{±(1-bb)/(2b√3)，±(1+bb)/(2b)}
境界円の半径　R = (1-bb)/(b√3),
境界円と外円の交点　{±((√3)/2)(1-bb)/(1+b+bb)，±(1/2)(1+4b+bb)/(1+b+bb)}
境界円の円周角　θ = (π/3) - arctan((√3)(1-bb)/(1+b+bb)),
境界線の合計長さ　L = 2b + 4Rθ,

660:１３２人目の素数さん
18/12/12 17:55:14.46 neKV7OZz.net
>>625 (訂正)
境界円の中心角　θ = (π/3) - arctan((√3)(1-bb)/(1+b+bb)),
　　　　￣￣￣

661:１３２人目の素数さん
18/12/12 18:02:58.80 L0ts2vzH.net
空の境界

662:１３２人目の素数さん
18/12/12 18:58:35.62 LhhrZ/FI.net
>>624
こういう野球のボールのようなイメージになりますね。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

663:１３２人目の素数さん
18/12/12 19:03:07.39 VPYuy2Z7.net
>>628
分岐のところの角度をそれぞれ120°にすると条件が揃います

664:１３２人目の素数さん
18/12/12 20:24:12.24 LhhrZ/FI.net
>>625
bbってb*b＝b^2ですよね？
Lの最小値を求めようとグラフにしたらこんなになったんだけど。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
"
2つの分岐点を (0, ±b) とする。(0<b<1)
境界円の中心　{±(1-bb)/(2b√3)，±(1+bb)/(2b)}
境界円の半径　R = (1-bb)/(b√3),
境界円と外円の交点　{±((√3)/2)(1-bb)/(1+b+bb)，±(1/2)(1+4b+bb)/(1+b+bb)}
境界円の中心角　θ = (π/3) - arctan((√3)(1-bb)/(1+b+bb))
境界線の合計長さ　L = 2b + 4Rθ
"
L = function(b){
R=(1-b*b)/b/sqrt(3)
theta=pi/3-atan(sqrt(3)*(1-b*b)/(1+b+b*b))
2*b + 4*R*theta
}
curve(L(x))

665:１３２人目の素数さん
18/12/12 20:35:24.99 DiP58j3Z.net
結局
円内にある４つの円弧のうち右上のやつの半径をrとして(全部同じだけど)
(1)　x^2 + y^2 ≦ 1 (y ≧ 0)、(x-rsinθ-cosθ)^2+(y - sinθ+rcosθ)^2 ≦ r^2
.　　の表す領域の面積がπ/8
(2)　rcosθ - sinθ = r/2
をとくのか。
(1)がめんどい。

666:１３２人目の素数さん
18/12/12 20:39:23.53 LhhrZ/FI.net
>>621
その値で作図してみました。
野球のボールというよりメガネ小僧って感じになりました。

667:１３２人目の素数さん
18/12/12 20:41:01.99 LhhrZ/FI.net
>>632
これが抜けてた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

668:１３２人目の素数さん
18/12/12 20:42:30.62 DiP58j3Z.net
分岐のとこが１２０°で外円との交わりが９０°でっせ

669:１３２人目の素数さん
18/12/12 20:54:01.26 LhhrZ/FI.net
ちょっと、遊んでみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

670:１３２人目の素数さん
18/12/12 21:00:48.01 LhhrZ/FI.net
>>634
やっぱり、野球ボールの方がだった？

671:１３２人目の素数さん
18/12/12 22:01:26.70 lGPi/8Bz.net
>>634
違う。仕切り線は４つの円弧でないとダメ

672:１３２人目の素数さん
18/12/12 23:31:03.32 LJWyFz3p.net
∫[a-r,a-rcosθ]√(1-x^2)dx + ∫[a-rcosθ,1]√(r^2-(x-a)^2)dx = π/8　のときの 2(a-r) + 4rθの最小値を求める問題に帰着したけど
数式が複雑過ぎて断念。

673:１３２人目の素数さん
18/12/13 01:11:40.41 earCgaZv.net
こんなのキレイな解はでないんじゃね？
方程式たてて近似解求めるしかないよ。
多分だけど。

674:１３２人目の素数さん
18/12/13 01:21:07.87 PfacXwcf.net
計算機の出番だな

675:１３２人目の素数さん
18/12/13 01:41:27.16 WL83an/s.net
>>626　訂正
境界円の中心角　θ = (π/3) - arctan((√3)(1-bb)/(1+４b+bb)),

676:１３２人目の素数さん
18/12/13 03:37:05.83 WL83an/s.net
>>592
長さ 2b の境界線を共有する2個について、それぞれの面積は
σ(b) = {中心角 2(θ+π/6) の扇形} + 2･(底辺bの⊿) - 2･(三日月形D)
　= (θ+π/6) + b･sin(π/3-θ) - RR(θ-sinθ),
ここに　　 >>625 >>626 から
　R(b) = (1-bb)/(b√3),
　θ(b) = (π/3) - arctan((√3)(1-bb)/(1+4b+bb)),
等分条件（σ=π/4）から b を求めると、
b　= 0.122010156676718
θ = 0.198522403464296
R　= 4.66154271422004
L = 2b + 4Rθ = 3.94570296726719
* 三日月形：弧と弦に囲まれた部分。

677:１３２人目の素数さん
18/12/13 04:29:03.52 WL83an/s.net
>>630
　>>625 >>626 のθの式が違ってました。スミマセン。（正しくは >>641)
　L(ｘ) は L(0)=4 から L(1)=2 に単調に減少すると思います。L '(0)=0
　L(x) ～ 4 - 2x^(3/2) のような感じです

678:１３２人目の素数さん
18/12/13 05:01:42.49 051qyB7z.net
maxima先生の解答
r(s):=sin(s)/(cos(s)-1/2);
a(s,t):=r(s)*cos(t)+r(s)*sin(s)+cos(s);
b(s,t):=r(s)*sin(t)+sin(s)-r(s)*cos(s);
define(c(s,t),diff(a(s,t),t));
define(f(s),ratsimp(integrate(b(s,t)*c(s,t),t,5/6*%pi,%pi/2+s)+integrate(-(sin(t))^2,t,s,0)));
g(x):=f(x) - %pi/8;
h(x):=if g((x[1]+x[2])/2)>0 then [x[1],(x[1]+x[2])/2] else [(x[1]+x[2])/2,x[2]];
k(n,x):=if n = 1 then x else k(n-1,h(x));
s0:k(50,[0,1])[1],numer;
r(s0);
2 *a(s0,5/6*%pi)+4*r(s0)*(5/6*%pi - (%pi/2+s0)),numer;
(%o9) .8486751477323029
(%o10) 4.661542714220053
(%o11) 3.945702967267186

679:１３２人目の素数さん
18/12/13 06:07:14.54 aBlYWIwN.net
>>643-644 の図を描いてみた
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

680:１３２人目の素数さん
18/12/13 07:01:31.89 xqqYuQS5.net
>>645
直線は不正解と判明してるよ。

681:１３２人目の素数さん
18/12/13 07:12:18.51 aBlYWIwN.net
>>646
いや
直線ではなくまぎれもなく円弧で描いているんだけど
曲率が小さいのでほとんど直線にしか見えないのはご容赦

682:１３２人目の素数さん
18/12/13 07:12:55.22 xqqYuQS5.net
>>639
二つの円の半径と中心間の長さが与えられたときの変数の関係って
簡単な式にならないよね？

683:１３２人目の素数さん
18/12/13 07:13:58.49 xqqYuQS5.net
>>647
それは失礼いたしました。

684:１３２人目の素数さん
18/12/13 12:42:43.67 vWEXT14C.net
>>644
s,t,rが何かわからんから、さっぱりわからん。
最後はニュートンラフソンぽいな。

685:１３２人目の素数さん
18/12/13 13:22:54.83 7IASv7Ug.net
B>0を定数とせよ.
N(B)=#{(a_1,...,a_n):a_1,...,a_nは最大公約数が1の整数, |a_i| ≦B}
則ちN(B)とは, 絶対値がB以下の2つの整数の組(a,b)で, a,bが互いに素なもの達全体の個数である.
此の時極限値
lim_{B→∞} N(B)/B^2
の値を求めよ.

686:１３２人目の素数さん
18/12/13 13:24:58.10 7IASv7Ug.net
>>36
出題しておきながら解き方を忘れたのだが, 局所大域原理が使えない為, K3曲面のBrauer群等を使わなければならない筈.

687:１３２人目の素数さん
18/12/13 13:57:23.72 GL4/bHh2.net
>>650
敷居の円弧のうち右上のものの右上端を(cos s, sin s), 半径をr(s)としてる。
するとその中心Aは
(cos s,sin s) + r(cos(s - π/2), sin(s-π/2))
= (cos s + r(s) sin s, sin s + r(s) cos s)
この円上の点Pの偏角を t としてPの座標(a(s,t),b(s,t))は
a(s,t):=r(s)*cos(t)+r(s)*sin(s)+cos(s);
b(s,t):=r(s)*sin(t)+sin(s)-r(s)*cos(s);
円弧の右上端が t = s +π/2、左下端が t = 5π/6。
面積f(s)がGreenの公式より
f(s) = ∫[5/6π,s+π/2](b(s,t)a’(s,t)dt +∫[s,0] sin(t) (cos t)’ dt + ∫ [略] 0 dx。
でこのf(s)がπ/8になる s が s0。
本来Maximaにはnewtonってニュートンラフソン使うパッケージがあるんだけどうまく動いてくれなかったので力技で求めてる。
(g(a[n])<0<g(b[n]) において g(a[n]+b[n]) >0 なら a[n+1] = a[n]、b[n+1] = (a[n]+b[n])/2…の第５０項)
s0が決まればあとは代入するだけ。
maximaはもうオワコンなので極力つかいたくないんだけど、本問一番メンドイのが面積をパラメータ s で表す部分。
言語としては古臭くてなんだかなぁってとこ多いんだけどその辺のパッケージは充実してるから中々切れない。
sagemathにそろそろ移行したいんだけど。

688:１３２人目の素数さん
18/12/13 14:01:45.35 GL4/bHh2.net
>>651
N(B) = #{(a,b) | 1≦a≦b≦N、(a,b) = 1}
と思っていいん？

689:１３２人目の素数さん
18/12/13 14:22:43.39 GL4/bHh2.net
>>654
f(x) =�

690:ｰ[n≦x] φ(n)/nとおけば f(x) = 6/π^2 x + O(log x)。 http://integers.hatenablog.com/entry/2016/04/04/231745 よって N(B) = ∫[1-0,B+0] x df(x) = Bf(B) - ∫[1,B] f(x) dx = 3/π^2 B^2 + O(B log B)。よって lim_{B→∞} N(B)/B^2 = 3/π^2。

691:１３２人目の素数さん
18/12/13 14:49:19.50 vWEXT14C.net
図がないとどうも理解がはかどらないので図を書いてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ロケット形PQRの面積がπ/8であるときの
４×弧PQ　＋　２×線分OQの最小値を求める　のが課題。
θ,αは中心角, rが境界円の半径, bはOQの長さ
minimize 2*b+4rα where (θ-sinθ)/2+r^2(α-sinα)/2+(1-b)sinθ/2=pi/8 ,0<b<1,0<θ<pi/2
はWolframではタイムアウトした :(

692:１３２人目の素数さん
18/12/13 15:29:53.81 PfacXwcf.net
>>656
∠RQA＝π/6という条件を入れてみるとどうか

693:イナ
18/12/13 18:45:15.28 j/usDCql.net
前 >>613
境界線を4つの円弧と4つの直線xで描き、単位円に90°入射、分岐点を120°にして、2つの分岐点の距離をyとする。
分岐点の距離を長くして直線を短くして円弧を長くしたほうが最小値になるのかな？
直線４分割と図を重ねて描くと面積の過不足が一致すればいいはず。

694:１３２人目の素数さん
18/12/13 21:54:11.27 xqqYuQS5.net
>>653
ありがとうございました。

695:１３２人目の素数さん
18/12/13 22:08:39.71 vWEXT14C.net
>>656
内包表示できる　Haskellでやってみたけど、計算が終わらない。
-- b+4rα where (θ-sinθ)/2+r^2(α-sinα)/2+(1-b)sinθ/2=pi/8 ,0<b<1,0<θ<pi/2
rangeB = map (/1000) [1..1000]
rangeTheta = map (\x -> x * pi/2/1000) [1..1000]
rangeAlpha = map (\x -> x * pi/1000) [1..1000]
rangeR = map (\x -> x * 1/1000) [1000..10000]
re = [2*b+4*r*α| b<-rangeB,θ<-rangeTheta, α<-rangeAlpha,r<-rangeR,(θ-sin(θ))/2+r^2*(α-sin(α))/2+(1-b)*sin(θ)/2==pi/8]
minimum re

696:イナ
18/12/13 23:38:35.76 j/usDCql.net
>>645これ最小値じゃないの？前 >>658
円弧4つと分岐点を短く結ぶ。

697:１３２人目の素数さん
18/12/14 00:36:25.75 X7/HRig3.net
>>653
今ひとつ理解が進まないので
この図でいうと
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
r s t　P Aはどれにあたるのでしょう？

698:１３２人目の素数さん
18/12/14 00:52:30.86 7J/61zOG.net
>>662
その図でPA=r(s)、∠POR = s、
円弧PQ上の点Xで半直線AXの偏角がtであるものの座標が(a(s,t),b(s,t))。
Pは t = s + π/2、Qは t = 5π/6。
Qのy座標 b(s,5π/6) が 0 であることとb(s,t):=r(s)*sin(t)+sin(s)-r(s)*cos(s)であることからr(s):=sin(s)/(cos(s)-1/2)が出ます。
ちなみにPAはx^2+y^2=1に接してます。

699:１３２人目の素数さん
18/12/14 03:48:13.90 DbCBFUHo.net
>>611 >>614
境界線はすべて線分。
分岐点 (±x, 0)
境界線と外円の交点 (±cosθ，±sinθ)
θ = 0.869336877
のとき
π/3 - θ = 0.1778606742
x = 0.1098816404
y = 0.9328737443
L = 2x + 4y = 3.95125825794117475
(交角の条件 90ﾟ，120ﾟを満たさない。)

700:１３２人目の素数さん
18/12/14 06:00:27.62 DbCBFUHo.net
>>650
(>>644 ぢゃないが)
境界線と単位円の交点を（cos(s), sin(s)) とする。(s=s0 は定数)
交点で接線をひく。半径に垂直なので、x軸から(反時計回りに)π/2 +s の方を向く。
境界円の半径をrとする。(rは定数)
境界円の中心：（r sin(s)+cos(s), sin(s)-r cos(s))
境界点は、中心からrだけ離れている。
(a(r,s), b(r,s)) = (r cos(t)+r sin(s)+cos(s), r sin(t)+sin(s)-r cos(s))
tは、中心から境界点を見た方位。（x軸から反時計回りに)
分岐点の交角は120ﾟだから、π/2 +s ≦ t ≦ 5π/6,
分岐点がx軸上にある条件は
r sin(5π/6) + sin(s) - r cos(s) = 0,
∴ r(s) := sin(s)/[cos(s)-1/2];
c(s,t) := ∂a(s,t)/∂t;
f(s) := ∫[5π/6, π/2+s] b(s,t)c(s,t) dt + ∫[s,0] -(sin(t))^2 dt
　= ∫[a(s,5π/6), a(s,π/2+s)] b(s,t) da(s,t) + ∫[0,s] (sin(t))^2 dt;
はパーツの面積の半分。
g(s) := f(s) - π/8;
とおくと等面積条件は　g(s) = 0,
h(x[1],x[2]) := [x[1], (x[1]+x[2])/2]　　g((x[1]+x[2])/2) > 0 のとき
　　　　　　 := [(x[1]+x[2])/2, x[2]]　　その他
k(n,x) := {g(s)=0 の根を含む、幅(1/2)^{n-1} の区間}
　　（2分法？　ニュートン法ぢゃなかったみたい…)
9行目　s0 := k(50,[0,1]);
10行目　r(s0);
11行目　2a(s0, 5π/6) + 4r(s0)(5π/6 - (π/2 + s0));
かなぁ

701:１３２人目の素数さん
18/12/14 06:11:58.25 DbCBFUHo.net
>>665
>>653 に有りましたか。全く見落としてました。

702:１３２人目の素数さん
18/12/14 08:51:39.45 X7/HRig3.net
>>663
それに合わせて作図修正しました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

703:１３２人目の素数さん
18/12/14 09:06:58.35 X7/HRig3.net
分岐点の角度条件をいれないと問題は解けないのかな？

704:１３２人目の素数さん
18/12/14 09:56:47.96 0v7F0q5K.net
>>667
接してませんがな

705:１３２人目の素数さん
18/12/14 10:30:15.76 X7/HRig3.net
>>667
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
で
∠OPAが90°∠OQXが120°という条件をいれないとこの問題は解けないんだろうか？
五角形の分岐線のときは結ぶ箇所が有限だったから、コンピュータがカブトガニ解をすぐに出してくれたんだが、
こっちは難しいなぁ。

706:１３２人目の素数さん
18/12/14 13:38:47.89 X7/HRig3.net
>>669
正解を求める過程での作図ね。

707:イナ
18/12/14 15:34:52.41 DQANJwVv.net
前 >>661
第Ⅰ象限から第Ⅳ象限まで形は同じだから、第Ⅰ象限で考えると、
①直線y=x
②円弧(x-a-√2)^2+y^2=(a+√2)^2-1
③単位円x^2+y^2=1
の3つが互いに交差しあってxの区間が4つあって、
前2つと後2つが(直線y=xの上下の領域が)等しくなるから、
あとは積分だと思う。これが正攻法だと思う。aが決まると思う。

708:１３２人目の素数さん
18/12/14 19:10:43.4

709:4 ID:BiTuD+9L.net

710:イナ
18/12/14 19:58:14.45 DQANJwVv.net
前 >>672
>>673分岐点の角度は、
すべて120°になる。
つまり単位円内の円弧は第１象限では点(a,0)においてx軸と60°の角をなすように始まり、緩やかに右にカーブしy=xをかすめるように突っ切って単位円と90°の角をなすように終わる。
このy=xとの交点を境に前後の面積が等しい。
①0≦x≦a
②a≦x≦
③　≦x≦1/a+2
④1/a+2≦x≦1/√2
①+②=③+④より、aが決まりそう。
②、③の空欄は、
円弧と直線y=xの交点のx座標で、
円弧の中心はx軸上にはない。たぶん第２象限。
今ここを考え中。
円弧の内角は30°～45°の範囲にあるが、カーブの向きから考えて37.5°より大きい。仮に40°なら、
境界線の最小値=2a+2π√2×4×40°/360°
=2a+(8/9)π√2

711:イナ
18/12/14 20:01:07.18 DQANJwVv.net
前 >>674訂正。
第２象限→第４象限

712:イナ
18/12/14 20:02:13.73 DQANJwVv.net
前 >>674訂正。
第２象限→第４象限

713:１３２人目の素数さん
18/12/14 20:31:44.04 nExcyVjV.net
>>672
②の円の中心がx軸上にある根拠はある？

714:イナ
18/12/14 20:51:23.17 DQANJwVv.net
前 >>676
>>677訂正したとおり、円弧の中心はx軸上にはなく、第３象限にあり、
直線y=-(1/√3)(x-a)上にあると考えています。

715:イナ
18/12/14 20:56:35.29 DQANJwVv.net
前 >>678訂正。
第３象限→第４象限

716:イナ
18/12/14 21:42:45.71 DQANJwVv.net
前 >>678-679
円弧の中心を(b,(a-b)/√3)とすると、
円弧の半径は2角が30°と60°の直角三角形の辺の比より、
2(b-a)/√3
円弧の式は、
(x-b)^2+{y+(b-a)/√3}^2=4/3)(b-a)^2
単位円と円弧の交点は保留。
おそらく中心(b,(a-b)/√3)までの距離が2(b-a)/√3だから、bはaで表される。
点(a,0)を通り傾き√3の直線y=√3(x-a)とy=xの交点は、
(a√3/(√3-1),a√3/(√3-1))
有理化して、
((3+√3)a/2,(3+√3)a/2)

717:１３２人目の素数さん
18/12/14 22:17:47.24 X7/HRig3.net
>>670
最小値とされる図を作成してみた。

URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

718:イナ
18/12/14 22:18:15.23 DQANJwVv.net
前 >>680ちがうちがう。
y=√3(x-a)とy=xの交点じゃなく、円弧とy=xの交点じゃないと意味ない。
円弧の中心を(b,(a-b)/√3)とすると、
円弧の半径は2角が30°と60°の直角三角形の辺の比より、
2(b-a)/√3
円弧の式は、
(x-b)^2+{y+(b-a)/√3}^2=(4/3)(b-a)^2
y=xを代入すると、
x^2-2bx+b^2+x^2+2(b-a)x/√3+{(b-a)^2}/3=(4/3)(b-a)^2
2x^2+2(b-a-b√3)x/√3-(b-a)^2=0
x=(1/2)(a-b+b√3)-√{(b-a-b√3)^2+(b-a)}
=
計算中

719:
18/12/15 00:44:52.53 xEJOkZH0.net
前 >>682
x=(1/2){a+(√3-1)b}-(1/2)√[{(√3-1)b+a}^2+(b-a)]
=(1/2){a+(√3-1)b}-(1/2)√[{(4-2√3)b^2+2(√3-1)ab+a^2}+(b-a)]
0≦x≦aの範囲のy=xとx軸で囲まれた面積は、
a^2/2―①
a≦x≦(1/2){a+(√3-1)b}-(1/2)√[{(4-2√3)b^2+2(√3-1)ab+a^2}+(b-a)]の範囲のy=xと円弧で囲まれた面積は、
∫x=a～(1/2){a+(√3-1)b}-(1/2)√[{(4-2√3)b^2+2(√3-1)ab+a^2}+(b-a)])
{x-(円弧の式をyについて解いたもの)}dx―②
円弧の式にx^2=1-y^2を代入し、yについて解くと、
やがて③+④がわかり、
①+②=③+④

720:イナ
18/12/15 22:31:12.14 xEJOkZH0.net
前 >>683
野球のボール→　の縫い目にΗのような境界線を描くとし、
単位円の中心から分岐点までの距離をaとする。
xy平面における点(a,0)である。
点(a,0)を通り第１象限においてy=xを下から上に突っ切るように、中心を点(a,0)の右下30°の方向にとり、円弧を描き、単位円と直交させる。
円弧の中心はy=√3(x-a)上の第４象限にあり、
直角三角形の辺の比より、円弧の半径を2、
円弧の中心のy座標を-1とすると、円弧は第１象限においてじゅうぶんな位置で単位円と直交できる。
∴a=2-√3
境界線の最小値=2a+4×(第１象限内の円弧)
=2a+4×2π×2×30/360
=2(2-√3)+4π/3
=4-2√3+4π/3
≒4.72468859

721:１３２人目の素数さん
18/12/15 22:46:35.63 DcUfOLtC.net
4以上ですか。そうですか。

722:

723:１３２人目の素数さん
18/12/15 23:05:59.20 Lt1TFZIo.net
nを2以上の整数とする。n個のコップが横一列に並んでいて、左端のコップにのみ水が入っている。
あなたは次の操作を好きなだけ繰り返して、全てのコップの水の量が同じにしたい。このことが可能なnを全て求めよ。
<操作>
ある右端以外で水の入っているコップを選び、それに入っている水の1/3を右隣のコップに移し、1/3を飲み、1/3をそのままにする。

724:イナ
18/12/15 23:43:52.38 xEJOkZH0.net
>>686n=2がすべて。それ以上は無理。
もう飲めない。前 >>684
ビーカーの底に水が少なくなって無理。

725:１３２人目の素数さん
18/12/15 23:48:44.54 4xODvjt1.net
だれかこの人なんとかしてくれ...

726:イナ
18/12/15 23:54:05.44 xEJOkZH0.net
前 >>687n=5ができるかも。
でも腹いっぱい。

727:１３２人目の素数さん
18/12/16 03:20:32.38 HsDP4GrJ.net
>>686
右に一つ進む度にコップの水の価値は２倍あると考える。
たとえばコップが４つでそれぞれ 3,6,2,5 入ってるとき総価値は 3+6×2+2×4+5×8 = 53 である。
この状態で左から２番めのコップを動かすと 3,2,4,5 になるが総価値は 3+2×2+4×4+5×8 = 53 で変わらない。
(1/3はそのまま、1/3 飲まれてしまうが、1/3は価値が倍になるので総価値は変化しない。)
コップの数が4ので最終的に 1,1,1,1 になったとすると総価値は 15 であるから初期状態は 15,0,0,0 でなければならない。
しかし一番左のコップは各操作で 1/3 になるか変化しないかのいずれかなので操作を繰り返して 1 になることはない。
一般にコップの数が n で全部 1 にできたとすると総価値は 2^n -1 であるがこれが 3 のべきであることが必要である。
ここで n≧3 のとき 2^n - 1 ≡ 7 (mod 8)、3^m ≡ 1,3 (mod 8)により n≧3 である解はない。
よって可能な n は n=2 のみである。

728:イナ
18/12/16 07:59:21.50 Ax8rD0fg.net
前 >>684訂正。
野球のボール→　の縫い目にΗのような境界線を描くとし、
単位円の中心から分岐点までの距離をaとする。
xy平面における点(a,0)である。
点(a,0)を通り第１象限においてy=xを下から上に突っ切るように、中心を点(a,0)の右下30°の方向にとり、円弧を描き、単位円と直交させる。
円弧の中心はy=√3(x-a)上の第４象限にあり、
直角三角形の辺の比より、円弧の半径を2、
円弧の中心のy座標を-1とすると、円弧は第１象限においてじゅうぶんな位置で単位円と直交できる。
∴a=2-√3
境界線の最小値=2a+4×(第１象限内の円弧)
=2a+4×2π×2×α/360
(α＜30°)
=2(2-√3)+2πα/45
=4-2√3+2πα/45

729:１３２人目の素数さん
18/12/16 08:15:16.56 Q9cgcISo.net
>>592
交角の条件（90ﾟ, 120ﾟ）を満たす折れ線を考えてみた。
分岐点 (±x,0)
境界線と外円の交点 (±cosθ, ±sinθ)
屈曲点 (±(x+y/2), ±(√3)y/2)
(x+y/2)tanθ = (√3)y/2　より
　y = 2x/((√3)cotθ -1),
　z = 1 - (x+y/2)/cosθ,
　y+z = 1 - {(√3 -2sinθ)/((√3)cosθ - sinθ)}x
長さ2xの境界を共有するパーツの面積
　σ = π/2 - θ + (√3)xy/2,
4等分条件（σ = π/4) から
　(√3)xy/2 = θ - π/4,
　x = √[(θ-π/4)(cotθ -1/√3)],
L = 2x + 4(y+z)
が最小となるのは
　θ = 0.84809550
　π/3 - θ = 0.1991020512
　x = 0.13817309535
　y = 0.52395618804
　z = 0.39500533920
　y+z = 0.91896152724
　L = 2x + 4y + 4z = 3.952192299669527

730:イナ
18/12/16 08:23:19.34 Ax8rD0fg.net
前 >>691
野球のボール→　の縫い目にΗのような境界線を描くとし、
単位円の中心から分岐点までの距離をaとする。
xy平面における点(a,0)である。
点(a,0)を通り第１象限においてy=xを下から上に突っ切るように、中心を点(a,0)の右下30°の方向にとり、円弧を描き、単位円と直交させる。
円弧の中心はy=√3(x-a)上の第４象限にあり、
直角三角形の辺の比より、円弧の半径を2、
円弧の中心のy座標を-1とすると、円弧は第１象限においてじゅうぶんな位置で単位円と直交できる。
∴a=2-√3
境界線の最小値=2a+4×(第１象限内の円弧)
=2a+4×2π×2×α/360
(α＜30°)
=2(2-√3)+2πα/45
=4-2√3+2πα/45
(tanα=1/2、cosα=1/√5)

731:イナ
18/12/16 08:57:59.18 Ax8rD0fg.net
前 >>693
野球のボール→　の縫い目にΗのような境界線を描くとし、
単位円の中心から分岐点までの距離をaとする。
xy平面における点(a,0)である。
点(a,0)を通り第１象限においてy=xを下から上に突っ切るように、中心を点(a,0)の右下30°の方向にとり、円弧を描き、単位円と直交させる。
円弧の中心はy=√3(x-a)上の第４象限にあり、
直角三角形の辺の比より、円弧の半径を2、
円弧の中心のy座標を-1とすると、円弧は第１象限においてじゅうぶんな位置で単位円と直交できる。
∴a=2-√3
境界線の最小値=2a+4×(第１象限内の円弧)
=2a+4×2π×2×α/360
(α＜30°)
=2(2-√3)+2πα/45
=4-2√3+2πα/45
(tanα=1/2、cosα=1/√5)
α≒26.56505119
境界線の最小値=4-2√3+2π(26.56505119)/45
=4-2√3+π(26.56505119/22.5
=4.24507926

732:１３２人目の素数さん
18/12/16 09:25:31.95 WRFoa1F9.net
∠A=90°の直角三角形ABCにおいて、AからBCに下ろした垂線の足をDとする。線分AB, AC上にそれぞれ点E, Fを、AD=AE=AFを満たすように取る。
∠ABCの二等分線と線分DEの交点をU、∠ACBの二等分線と線分DFの交点をVとする。
また、点Eから直線DFに下ろした垂線の足をX、点Fから直線DEに下ろした垂線の足をYとする。
このとき、3直線EF, UV, XYは互いに平行であるか1点で交わることを示せ。

733:１３２人目の素数さん
18/12/16 10:15:54.44 u8TvSuxJ.net
4を下回れる日は来るのかねぇ

734:１３２人目の素数さん
18/12/16 11:41:52.76 WjpuEhRa.net
>>695
AD = 1とし∠BAD = θとおく。
BE = 1/cosθ -1、BD = tanθにより
EU/UD = EB/BD = tanθ/2。
同様にしてFV/VD = tan(π/2 - θ)/2。
∴EU/UD DV/VF = tanθ/2 cot(π/2 - θ)/2 。
∠DEF = ∠DAF/2 = π/2-θ/2、∠XEF=π/2 - ∠XFE = π/2 - θ/2より∠XED = π/4。
よってFX/XD = tan(π/2 - θ/2)/1 = cotθ/2。
同様にしてEY/YD = cot(π/2-θ)/2。
以上により
EX/XD DY/YF = EU/UD DV/VF。
よってチェバの定理の逆により主張は成立。

735:１３２人目の素数さん
18/12/16 15:19:26.92 WRFoa1F9.net
こういう問題は初等幾何的に解きたいものだね。
三角形ABCにおいて、内心をIとする。また、∠B内の傍接円と辺ACの接点、∠C内の傍接円と辺ABの接点をそれぞれD,Eとする。そして、直線BDとCEの交点をPとする。
線分AQの中点が点Iとなるように点Qを取るとき、直線PQは線分BCを二等分することを示せ。

736:イナ
18/12/16 15:33:32.47 Ax8rD0fg.net
前 >>694
>>696下まわれると思う。
野球のボール→　の縫い目にΗのような境界線を描くとし、単位円の中心からx軸上にある分岐点までの距離をaとする。
点(a,0)を通り第１象限においてy=xを下から上に突っ切るように、中心を点(a,0)の右下30°の方向にとり、円弧を描き、単位円と直交させる。
円弧の中心はy=-(1/√3)(x-a)上の第４象限にあり、円弧の半径をr(＞2)、円弧の中心のx座標をbとすると、円弧の中心のy座標は、
y=-(a-b)/√3
円弧の方程式は、
(x-b)^2+{y+(a-b)/√3}^2=r^2
境界線の最小値=2a+4×(第１象限内の円弧)
=2a+4×2πrθ/360°
接弦定理よりθ=
単位円x^2+y^2=1と円弧
(x-b)^2+{y+(a-b)/√3}^2=r^2から交点の座標は( , )

737:１３２人目の素数さん
18/12/16 15:35:43.46 xrPm7fh8.net
８００

738:１３２人目の素数さん
18/12/16 15:41:12.55 wIyiz2YN.net
>>696
十文字に分ければ４だよなぁ。

739:イナ
18/12/16 17:22:20.55 Ax8rD0fg.net
(x-b)^2+{y+(a-b)/√3}^2=r^2と単位円の交点の座標を考えてみます。
前 >>699
1+2bx+b^2+2(a-b)y/√3+{(a-b)^2}/3=r^2
(1+2bx+b^2)√3/2(a-b)+y+(a-b)/2√3=(r^2)√3/2(a-b)
y=(r^2)√3/2(a-b)-(1+2bx+b^2)√3/2(a-b)-(a-b)/2√3
0＜a＜b＜r
x^2+{(r^2)√3/2(a-b)-(1+2bx+b^2)√3/2(a-b)-(a-b)/2√}^2=1
解けると思うけど。

740:１３２人目の素数さん
18/12/16 18:05:56.73 Nny3soWk.net
>>698
もう初等幾何は忘れた。
Pはナゲール点で重心座標は(s-a, s-b, s-c)。
QはA(2s, 0, 0)と内心I(a,b,c)を2:1に外分する点だからQ(a-s, b,c)。
BCの中点M(0,1,1)で行列
0 1 1
s-a s-b s-c
a-s b c
の第3行を第2行に足せば第1行と第2行は平行となるため特にその行列式は0。
よってP, Q, Mは同一直線上にある。

741:イナ
18/12/16 20:09:56.08 Ax8rD0fg.net
前 >>702図を描くと少しわかった。
円弧の中心は、
(b,(a-b)/√3)
円弧の半径rは、
r=2(b-a)/√3
b-a=r(√3)/2
円弧の方程式は、
(x-b)^2+{y-(a-b)/√3}^2=(4/3)(b-a)^2
単位円との交点は、
x^2-2bx+b^2+y^2-2(a-b)y/√3+(a-b)^2/3=(4/3)(b-a)^2
x^2-2bx+b^2+(1-x^2)-2(a-b)√(1-x^2)/√3+(a-b)^2/3=(4/3)(b-a)^2
-2bx+b^2+1-2(a-b)√(1-x^2)/√3+(a-b)^2/3=(4/3)(b-a)^2
-2bx+b^2+1+(a-b)^2/3=2(a-b)√(1-x^2)/√3+(4/3)(b-a)^2
2bx-b^2-1-{r(√3)/2}^2/3=2{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3-(4/3){r(√3)/2}^2
2[a+{r(√3)/2}]x-[a+{r(√3)/2}]^2-1-{r(√3)/2}^2/3=2{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3-(4/3){r(√3)/2}^2
辺々を二乗すると、
4[a+{r(√3)/2}]^2･x^2-4[a+{r(√3)/2}][1+{r(√3)/2}^2/3]x+[1+{r(√3)/2}^2/3]^2=(4/3)(3/4)r^2(1-x^2)-2･2[{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3]･(4/3){r(√3)/2}^2+(4/3)^2{r(√3)/2}^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-4[a+r(√3)/2}][1+{r(√3)/2}^2/3]x+[1+{(3/4)r^2}^2/3]^2=(4/3)(3/4)r^2(1-x^2)-2･2[{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3]･(4/3){r(√3)/2}^2+(4/3)^2{r(√3)/2}^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-4[a+r(√3)/2}][1+(3/4)r^2/3]x+[1+{(3/4)r^2}^2/3]^2=(4/3)(3/4)r^2(1-x^2)-2･2[{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3]･(4/3){r(√3)/2}^2+(4/3)^2{r(√3)/2}^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-(4a+2r√3)(1+r^2/4)x+[1+{(3/16)r^4]^2=r^2(1-x^2)-2r√(1-x^2)･r^2+r^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-(4a+2r√3)(1+r^2/4)x+[1+{(3/16)r^4]^2=r^2-r^2･x^2-2r√(1-x^2)･r^2+r^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-(4a+2r√3)(1+r^2/4)x+[1+{(3/16)r^4]^2-r^2+r^2･x^2+2r√(1-x^2)･r^2-r^4
(4a^2+ar√3+4r^2)x^2-(4a+2r√3)(1+r^2/4)x+[1+{(3/16)r^4]^2-r^2+2r√(1-x^2)･r^2-r^4=0
境界線の最小値=2a+4×2πrθ/360°≒3.9……?

742:１３２人目の素数さん
18/12/16 20:56:53.90 u8TvSuxJ.net
一個も解いてませんがな。
明示的な表示をおながいします。

743:イナ
18/12/16 23:07:35.77 Ax8rD0fg.net
前 >>704難解。
a=1/7
b=1/7+2√3
r=4
のとき、円弧の中心は、
(1/7+2√3,-2)
円弧の中心角≒42°-30°
=12°(←ｶﾝ)
境界線の最小値=2/7+4･2π･4(12/360)
=2/7+16π/15
=3.63674645

744:１３２人目の素数さん
18/12/16 23:22:15.68 2RcfLbe/.net
>>706
おお、既出の最小値下回りましたね！

745:イナ
18/12/16 23:59:19.47 Ax8rD0fg.net
前 >>706ぐははは……
>>707そうともよ、だれもこれよりちっさぁはできんだろ。早く正解ですって言っておくれ。
ヾ､､,,ﾞ
（(~e~)え？
（っц)~ちょっと
「￣￣￣]ちっさ
■/_UU＼■すぎたこ？でもこの長さ、この角度しかない思うんよ。

746:１３２人目の素数さん
18/12/17 00:48:55.77 dz0/WrnG.net
不正解で～す

747:イナ
18/12/17 02:41:44.10 1XQ825eN.net
前 >>708再戦。
確認だけど、>>642は正解じゃないのね？
a=1/8
b=1/8+2√3
r=4
のとき、円弧の中心は、
(1/8+2√3,-2)
円弧の中心角=43°-30°
=13°
境界線の最小値=2×(1/8)+4･2π･4(13/360)
=1/4+52π/45
≒3.88028484

748:１３２人目の素数さん
18/12/17 05:21:06.55 X9YWLOp7.net
>>710
　>>642 は正解です。
分岐点が (a,0)
円弧の中心 (b, -(b-a)/√3)
円弧の半径 r = 2(b-a)/√3,
とします。
a = 1/8, b-a = 2√3, r=4 のとき、
円弧の中心は (1/8 + 2√3, -2)
円弧と外円の交点を (cosφ, sinφ)
とすると
φ = 0.831377808560176 = 47.6344396113334°
cosφ = 0.673858391655747
sinφ = 0.738860519986776
また、θ+30°= 43.2132078553074°
円弧の中心角は
θ = 0.23061398182545 = 13.2132078553074°
(∴ 円弧と外円の交角 φ + (θ+30ﾟ) = 90.8476474666384°)
長さ2aの境界線を共有するパーツの面積は
σ(a) = {中心角 π-2φ の扇形} + 2･(底辺bの⊿) - 2･(三日月形D)
　= (π/2 -φ) + a･sinφ - rr(θ-sinθ)
　= 0.73941851823 + 0.09235756500 - 0.03261900525
　= 0.7991570780
　> 0.7853981634
　= π/4
となり、４等分条件を満足しません。

749:１３２人目の素数さん
18/12/17 06:10:49.51 dxnXVqVB.net
>>681
それで計算すると、3.945702967267175

750:１３２人目の素数さん
18/12/17 06:13:31.90 BTBPoTbM.net
そもそもプラトーの法則ってどうやって証明するんだ？

751:１３２人目の素数さん
18/12/17 06:37:22.81 X9YWLOp7.net
境界線の長さは
L = 2a + 4rθ
　= 1/4 + 4･4･0.23061398182545
　= 3.9398237092
これは >>710 の値より長いです。
>>713
面積を保つような微小な変形を考えて、境界線長さを短かくできるかどうか見るんぢゃ？
「変分法」とかいう…
>>713

752:１３２人目の素数さん
18/12/17 06:55:38.10 X9YWLOp7.net
>>692
sinθ ≒ 3/4
たぶん偶然でしょうが…

753:１３２人目の素数さん
18/12/17 07:31:23.11 RRU4PE62.net
面白い問題かどうかは怪しいけど数学コンテストの問題で想定解がわからないから投稿
出典は Rioplatense Olympiad 2018 level 3 p3
問題のURLは下記
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
このリンク先で既に誰かが回答も提示しているけど、
明らかに試験会場でできる方法じゃないから想定解じゃないハズ
(確かにグレブナー基底を計算すれば数学的には解けるんだけど計算量的にありえない)
リンク先をみ

754:ればいいけど問題を一応ここにも書いておくよ [問題] a+b+c が a^12+b^12+c^12, a^23+b^23+c^23, a^11004+b^11004+c^11004 の3数を同時に割り切るようなgcd(a,b,c)=1なる正の整数a,b,cの組をすべて求めよどなたか叡知にあふれた方・・・助けてください

755:１３２人目の素数さん
18/12/17 08:00:53.69 7Q25yQ56.net
直線解よりも円弧解が短いことはわかったけど
円弧のときが最小ってどうやって証明するんだろ？

756:１３２人目の素数さん
18/12/17 09:07:21.77 4q4lQ+sg.net
P(x)を整数係数多項式とする。任意の整数nに対して
P(n)P(n-1)=P(n^2)
が成り立つものを全て求めよ。

757:１３２人目の素数さん
18/12/17 10:14:27.76 RRU4PE62.net
>>718
P(x)P(x-1)=P(x^2) ...(♯) を満たす整数係数多項式P(x)を求めればよい
P(x)が (♯)を満たしていると仮定する.
αをPの根とすれば,α^2もPの根である.
よって,ある異なる自然数i,jが存在して,α^(2^i)=α^(2^j),
とくに α=0 または |α|=1 がいえる.
また, (α+1)^2も根であることから, α = -1 または |α+1| = 1 がいえる
つまり, αがPの根ならば, α=0, -1 さもなくば |α|=|α+1|=1 がいえる.
α = 0 のときは (0+1)^2 = 1 も根であるが, それはさっきの関係式を満たさない
α = -1 のときは α^2 = 1も根であるが, 同様の理由で不適である
また, |α+1| = |α| = 1 のときは
α =ω, ω^2 であることはすぐわかる(ω: 1の原始3乗根)
以上より, α∈{ω, ω^2} であることがわかった.
よって, P(x)=c*(x^2+x+1)^m
を満たす非負整数mおよび整数定数cが取れる.
これを(♯)に代入すれば c = c^2 ⇔ c(c-1)=0 を得る
よって求める整数係数多項式は以下の形に限る:
P(x)=0 (零多項式), P(x)=(x^2+x+1)^m (m:非負整数)
これらが条件を満たすことはすぐ確認できる

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