面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

643:１３２人目の素数さん
18/12/12 02:57:52.09 neKV7OZz.net
>>600
a[0] = 1, a[1] = 1, a[2] = k+1,
a[n]a[n-2] - a[n-1]^2 = k,
の場合は
b[n] = (a[n+1] + a[n-1]) /a[n]　とおくと
b[1] = (a[2] + a[0])/a[1] = k+2,
b[n] - b[n-1] = {(a[n+1] +a[n-1])a[n-1] - (a[n]+a[n-2])a[n]} / (a[n]a[n-1])
　= {(a[n+1]a[n-1] - a[n]^2) - (a[n]a[n-2] - a[n-1]^2)} / (a[n]a[n-1])
　= (k-k) / (a[n]a[n-1])
　= 0,
∴　b[n] = k+2,
線形漸化式
a[n+1] - (k+2)a[n] + a[n-1] = 0,
より
a[n] = Ｔ_{2n-3}(coshθ) /(coshθ)
　　= cosh((2n-3)θ) /(coshθ),
ここにθは　cosh(2θ) = (k+2)/2,
Ｔ_n はn次の第一種チェビシェフ多項式。

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