面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

624:１３２人目の素数さん
18/12/11 00:11:13.28 QM6MoWQK.net
>>585
g_0(t)＝1, g_1(t)＝1, g_2(t)＝1, g_3(t)＝t＋1,
g_n(t)＝(2t＋2)g_{n－2}(t)－g_{n－4}(t) (n≧4)
としてg_n(t)を定義すると、n≧0に対して、g_n(t)は0でない整数係数多項式である。
また、数学的帰納法で
g_n(t)g_{n－3}(t)－g_{n－1}(t)g_{n－2}(t)＝t (n≧3)
が示せる。次に、f_n(t)＝g_n(t)g_{n－1}(t) (n≧1) と置くと、
n≧1に対して、f_n(t)は0でない整数係数多項式である。また、
f_1(t)＝1, f_2(t)＝1, f_n(t)＝f_{n－1}(t)(f_{n－1}(t)＋t)/f_{n－2}(t) (n≧3)
が成り立つことが示せる。特に、>>585のx[n]に対して x[n]＝f_n(k) (n≧1) である。
f_n(t)は整数係数多項式だから、f_n(k)は整数であり、よってx[n]は整数である。

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