面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～な 28問目 at MATH

[前50を表示]
600:１３２人目の素数さん
18/12/04 15:13:07.58 7f8uMrnq.net
答が7,7,7,7,8,8,8,9,9,10,11　だとこんな結果（１が嘘つき、０が正直者）
> liars(c(7,7,7,7,8,8,8,9,9,10,11),Strict=F)
A B C D E F G H I J K
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1
2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1
3 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1
4 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Answer 7 7 7 7 8 8 8 9 9 10 11

601:１３２人目の素数さん
18/12/04 21:10:26.55 ekJSUZdS.net
A,Bの二人が同じ出発地点から同じ目的地点に向けて同じ道を同時に出発する。
最初はAが歩き、Bが自転車で出発する。
Bがある距離進んだところで自転車を残して歩き出す。
Aが自転車にたどり着いたら自転車に乗ってBを追い越し、ある距離進んだところで自転車を残して歩き出す。
全行程をこのようにして進む。
どの時点でも二人のどちらかは歩いているが、片方が自転車にのっているときもあるので、自転車が無いときより早く着くという意見がある。
どの時点でもどちらかが必ず歩いていたのだから、自転車があっても早くならないという意見もある。
どちらの意見が正しいのか？

602:１３２人目の素数さん
18/12/04 23:09:14.80 9sqWfWC3.net
>>568
イメージしにくかったら具体例で考えてみるというのはどうか。
徒歩は時速3キロ、自転車は時速20キロ、目的地は60キロ先。徒歩のみで行けば20時間かかる。
Bが自転車を30キロ地点で降りたとすると、そこまで1.5時間かかっているので、残りの行程は10時間、到着まで11.5時間となる。
Aは10時間かけて自転車のある30キロ地点に着き、それから残りの行程を10時間かけて進む。到着までは同じく11.5時間となる。
徒歩のみよりはどちらも早い。

603:１３２人目の素数さん
18/12/04 23:10:24.61 9sqWfWC3.net
>>569訂正
＞Aは10時間かけて自転車のある30キロ地点に着き、それから残りの行程を1.5時間かけて進む。到着までは同じく11.5時間となる。

604:１３２人目の素数さん
18/12/05 06:47:04.15 kDWs7GYM.net
>>568
平均速度は歩行と自転車の調和平均になるのでいいかな。

605:１３２人目の素数さん
18/12/05 06:58:44.87 kDWs7GYM.net
歩行速度a, 自転車速度bで平均速度は1/((1/a+1/b)/2) =2ab/(a+b)
上の例だとの2*3*30/(3+20)=120/23=60/11.5=5.217
自転車での走行距離には無関係なんだな。

606:１３２人目の素数さん
18/12/05 07:04:26.84 kDWs7GYM.net
0 < a < b のときa < 2ab/(a+b)と言えるか、という問題に帰結。
あとは任せた。

607:１３２人目の素数さん
18/12/05 07:08:48.39 kDWs7GYM.net
>>573
すぐできた。
左辺-右辺={a(a+b)-2ab}/{a+b}=a(a-b)/(a+b)<0

608:１３２人目の素数さん
18/12/05 07:38:10.01 kDWs7GYM.net
>572
訂正
2*3*30/(3+20)=120/23=60/11.5=5.217
↓
2*3*20/(3+20)=120/23=60/11.5=5.217

609:１３２人目の素数さん
18/12/05 08:01:47.25 tR7lbHvn.net
>>572
スマソ、誤答の気がしてきた。

610:１３２人目の素数さん
18/12/05 08:27:13.33 tR7lbHvn.net
自転車での走行距離が長いほど平均時速は速くなるな。

611:１３２人目の素数さん
18/12/05 09

612::44:41.52 ID:O2YJX1G3.net

613:１３２人目の素数さん
18/12/05 13:04:57.15 NGe6N71c.net
>568
どちらかが常に歩いてはいるが、Bが自転車を置いた場所にAが辿り着く頃には、Bはもっと先の場所を歩いているわけだから、そのぶん時間が短縮されるのは自明。

614:１３２人目の素数さん
18/12/05 13:40:37.72 tR7lbHvn.net
>>579
自明というより、どれだけ短縮されるのが計算したくなるよ。

615:イナ
18/12/05 20:09:17.35 duwFGlVv.net
>>563
△FEDは考えなくていい。求められてない。求められてるのは△BEFの面積。
FもEもDもそこにあるだけ。どこへも行かない。
前 >>545
GH=3、FH=HD=DE=9を作図する。
HDとFEの交点Mを中心に、
△DMEと△HMFは点対称だから、
△DMEは□ABCDから引かなくていい。
△DMEを引いてもどっちみち△BEFを求めるとき、
△HMFを足すことになるから。

616:１３２人目の素数さん
18/12/07 12:31:49.36 a4KQBFJb.net
S を集合とする。T は S の部分集合からなるある集合であり、包含関係に関して全順序をなす。すなわち、
A,B∈T ならば (A⊂B または B⊂A)
が成り立つ。
(1) S が可算集合の時、T の濃度はどのくらい大きくなれるか。
(2:未解決) S が非可算の場合はどうか。

617:１３２人目の素数さん
18/12/07 13:04:38.50 +DIQ+jRM.net
>>582
(1)はQの部分集合Aで
x∈A、y≦x⇒y∈A を満たすもの全体が連続体濃度になるので連続体濃度が答えかな？

618:１３２人目の素数さん
18/12/07 15:03:46.83 ppqSvBiP.net
>>583
正解
(2)は一般連続体仮説を採用すれば似たような方法で T=|2^S| となる T の存在が言えるけど、
果たして ZFC だけから出せるだろうか？というのが疑問になってできた問題

619:１３２人目の素数さん
18/12/10 01:33:32.73 MNYdlnCZ.net
kを自然数とする。
漸化式
x[1] = x[2] = 1
x[n+2] = x[n+1](x[n+1]+k)/x[n]
で定められる数列の全ての項は整数であることを示せ。

620:１３２人目の素数さん
18/12/10 08:38:45.57 nBAqzpCd.net
n人でじゃんけんを1回だけする。
1回のじゃんけんでの勝者の数をxとする。
xの期待値が最大となるnはいくつか？

621:１３２人目の素数さん
18/12/10 10:41:18.69 fcMs8kve.net
>>586
期待値は
Σ[k=1,n-1] C[n,k] (1/3)^(n-1)
= n ((2/3)^(n-1) - (1/3)^(n-1))
1≦n≦4においてはn=4のとき最大値 28/27。
n ≧ 2 のとき
(n+1) (2/3)^n
≦ n (2/3)^(n^1) (2n+2)/(3n)
より n≧5のとき
n(2/3)^(n-1) ≦ 5 (2/3)^4 = 80/81
∴n≧5のとき期待値<28/27。

622:１３２人目の素数さん
18/12/10 12:45:29.76 nBAqzpCd.net
>>587
予想通り即効で正解されてしまった。
面白くない問題でスマソm(__)m

623:１３２人目の素数さん
18/12/10 20:50:39.39 DTNFHqe/.net
超素数
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)

624:１３２人目の素数さん
18/12/11 00:11:13.28 QM6MoWQK.net
>>585
g_0(t)＝1, g_1(t)＝1, g_2(t)＝1, g_3(t)＝t＋1,
g_n(t)＝(2t＋2)g_{n－2}(t)－g_{n－4}(t) (n≧4)
としてg_n(t)を定義すると、n≧0に対して、g_n(t)は0でない整数係数多項式である。
また、数学的帰納法で
g_n(t)g_{n－3}(t)－g_{n－1}(t)g_{n－2}(t)＝t (n≧3)
が示せる。次に、f_n(t)＝g_n(t)g_{n－1}(t) (n≧1) と置くと、
n≧1に対して、f_n(t)は0でない整数係数多項式である。また、
f_1(t)＝1, f_2(t)＝1, f_n(t)＝f_{n－1}(t)(f_{n－1}(t)＋t)/f_{n－2}(t) (n≧3)
が成り立つことが示せる。特に、>>585のx[n]に対して x[n]＝f_n(k) (n≧1) である。
f_n(t)は整数係数多項式だから、f_n(k)は整数であり、よってx[n]は整数である。

625:１３２人目の素数さん
18/12/11 01:08:41.28 h7NydyA2.net
>>590
おお、すばらしい。正解です。
解答も想定解答の一つと同じ。
ちなみにこれk=1の場合が同志社大学の過去問らしいんですが、どなたか元ネタご存知ありません？

626:１３２人目の素数さん
18/12/11 04:18:22.38 Fzml7DDz.net
単位円の面積を4等分する曲線(分岐あり)の長さの最小値を求めよ

627:１３２人目の素数さん
18/12/11 05:01:03.99 AqNnxt5M.net
そういやなんかこの手の問題で面積極小になるときの曲線とか面とかのなす角は××°になるって話をなんか”××の原理”って呼ぶって話してた人いたけどなんの原理でしたっけ？
なんかギリシャ時代だかなんだかの学者さんの名前だった記憶があるんですけど。

628:１３２人目の素数さん
18/12/11 05:04:37.43 Fzml7DDz.net
プラトーの法則だね
プラトー自体は19世紀ベルギーの物理学者
2次元の場合はジャンクションが120°になって境界とのなす角は直角になる

629:１３２人目の素数さん
18/12/11 05:32:01.32 JHSR4JT6.net
>>594
ｿﾚﾀﾞ！！あざっす❗

630:１３２人目の素数さん
18/12/11 07:58:39.78 gGtYeNxO.net
>>585
　k>0 だから特性多項式　tt -2(k+1)t +1　は2実根α、βをもつ。
　α = k+1 - √(k(k+2)),
　β = k+1 + √(k(k+2)),
　β-α = 2√(k(k+2)),
題意より
x[n+2] - x[n+1] = k(β^n - α^n)/(β-α),
であるが、上記により
α+β = 2(k+1)、αβ = 1。
またα、βの整係数対称式はこれらの整多項式だから整数。

なお、
x[n+1] = 1 + k[(β^n -1)/(β-1) - (α^n -1)/(α-1)] /(β-α),

631:１３２人目の素数さん
18/12/11 12:13:23.54 812OVAmO.net
>>585
ちょっと理屈わかんないけど数値実験では合わないですね。
Prelude> let alpha k = k + 1 - (sqrt $ k*(k+2))
Prelude> let beta k = k + 1 + (sqrt $ k*(k+2))
Prelude> let x k n = 1 + k*(((beta k)^(n-1) -1)/((beta k)-1) - ((alpha k)^(n-1) -1)/((beta k)-1)) /((beta k)-(alpha k))
Prelude> let k = 1 in mapM_ print [x k n | n<-[1..10]]
1.0
1.3660254037844388
2.464101615137755
6.49038105676658
21.497422611928567
77.49930939094767
286.4998149518621
1066.4999504165007
3977.4999867141414
14841.499996440063
Prelude> let y k = map head $ iterate (¥[u,v]->[v,(v)*(v+1)/(u)]) [1,1]
Prelude> let k = 1 in mapM_ print $ take 10 $ y k
1.0
1.0
2.0
6.0
21.0
77.0
286.0
1066.0
3977.0
14841.0

632:１３２人目の素数さん
18/12/11 12:52:45.22 +jUDREv9.net
>>596-597
失礼。あってますね。orz
Prelude> let theAlpha k = k+1 - (sqrt $ k*(k+2))
Prelude> let theBeta k = k+1 + (sqrt $ k*(k+2))
Prelude> let x k n = let {alpha = theAlpha k; beta = theBeta k} in 1 + k*((beta^n -1)/(beta-1) - (alpha^n -1)/(alpha-1)) /(beta-alpha)
Prelude> let k = 1 in mapM_ print [x k n | n<-[0..9]]
1.0
1.0
2.0
6.0
21.0
77.0
286.0
1066.0
3977.0
14840.999999999996
Prelude> let y k = map head $ iterate (¥[u,v]->[v,(v)*(v+1)/(u)]) [1,1]
Prelude> let k = 1 in mapM_ print $ take 10 $ y k
1.0
1.0
2.0
6.0
21.0
77.0
286.0
1066.0
3977.0
14841.0

633:１３２人目の素数さん
18/12/11 16:56:36.87 gGtYeNxO.net
>>585
題意から
x[1] = 1, x[2] = 1, x[3] = k+1,
y[n] = {x[n+1] + k + x[n-1]} / x[n]　とおくと、
y[2] = {x[3] + k + x[1]} / x[2] = 2(k+1),
y[n+1] - y[n] = {x[n+2]/x[n+1] - (x[n+1]+k)/x[n]} ＋ {(x[n]+k)/x[n+1] - x[n-1]/x[n]} = 0,
∴ y[n] = 2(k+1),
これより、線形漸化式
x[n+1] - 2(k+1)x[n] + x[n-1] + k = 0,
を得る。
∴ x[n] のすべての項は整数である。
k>0 だから特性多項式 tt -2(k+1)t +1 は2実根をもつ。
>>596 に続く。

634:１３２人目の素数さん
18/12/11 17:03:48.34 NJc7rTqU.net
>>591,585
x[n]=a[n]a[n-1] とおくと、a[n]=(a[n-1]a[n-2] + k)/a[n-3] となって、Somos Sequence に似てる。
(k=0がSomos Sequence) URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
a[0]=a[1]=1, a[n]=(a[n-1]^2 + k)/a[n-2] でも整数性があるみたいだけど、
a[0]=a[1]=a[2]=a[3]=1, a[n]=(a[n-1]a[n-3] + a[n-2]^2 + k)/a[n-4] では整数性がない。
Somos Sequenceはクラスター代数と深い関係があるようなので、元ネタはその関係じゃないのかな？

635:１３２人目の素数さん
18/12/11 17:11:21.29 G3kmmu1J.net
>>600
そうなんですか？
用意した解法のもう一方がsomosの整数性を証明したローラン現象という事がこの数列でも起こってることを確認する方法なんですが、一般にこの現象を起こす何か十分条件的なものがあるんですかねぇ？
そのクラスター代数との関わりってのはどんなんですか？

636:１３２人目の素数さん
18/12/11 17:17:19.20 NJc7rTqU.net
>>601
Somos Sequenceはクラスター代数と関係があるってことを聞いたことがあるだけなので、
すまないけど詳しいことは全く知らないです。

637:１３２人目の素数さん
18/12/11 18:56:26.41 Er+Nf/KD.net
>>602
ですか。
残念。
この同志社の問題どうやって作ったのか謎で謎で。
多分なんかこの手の問題出てきた背景的なものあると思うんだけどなぁ。

638:１３２人目の素数さん
18/12/12 01:33:43.21 neKV7OZz.net
>>599
線形漸化式
x[n+1] - 2(k+1)x[n] + x[n-1] + k = 0,
より
x[n] = (1/2) + Ｔ_{2n-3}(coshθ)/(2coshθ)
　= {coshθ + cosh((2n-3)θ)} /(2coshθ)
　= cosh((n-1)θ)cosh((n-2)θ) /(coshθ),
ここにθは　cosh(2θ) = k+1,
Ｔ_n はn次の第一種チェビシェフ多項式。

639:１３２人目の素数さん
18/12/12 01:35:23.62 neKV7OZz.net
>>600
線形漸化式
a[n+2] - 2(k+1)a[n] + a[n-2] = 0,
より
a[n] = cosh((n-1)θ)　　　(n：奇数)
　　 = cosh((n-1)θ)/coshθ　　(n：偶数)
ここにθは　cosh(2θ) = a[3] = k+1,
a[2m+1] = Ｔ_m(1+k),
a[2m] = Ｔ_{2m-1}(coshθ) / coshθ
　　　= {a[2m+1] + a[2m-1]} / (2+k),
Ｔ_n はn次の第一種チェビシェフ多項式。
nが小さい方は
a[1] = 1,
a[2] = 1,
a[3] = 1+k,
a[4] = 1+2k,
a[5] = 1+4k+2kk,
a[6] = 1+6k+4kk,
a[7] = 1+9k+12kk+4k^3,

640:１３２人目の素数さん
18/12/12 02:09:23.14 Lw0Q+tOh.net
>>605
その解答がクラスター代数と関係してるんですか？

641:
18/12/12 02:14:17.55 Gi2B8yq5.net
>>592境界線の長いほうをx、短いほうが円の中心を通り2yとなるようにとると、
xは頂角120°、底辺√2の二等辺三角形の等しい二辺だから、
x･(√3/2)=√2/2
x=√2/√3=(√6)/3
y=√2/2-x/2=√2/2-√6/6=(3√2-√6)/3
最小値は、
4x+2y=(4√6)/3+(3√2-√6)/3
=√6+√2
≒3.86370331
前 >>545

642:
18/12/12 02:21:16.65 Gi2B8yq5.net
前 >>607訂正。
>>592境界線の長いほうをx、短いほうが円の中心を通り2yとなるようにとると、
xは頂角120°、底辺√2の二等辺三角形の等しい二辺だから、
x･(√3/2)=√2/2
x=√2/√3
=(√6)/3
y=√2/2-x/2
=√2/2-√6/6
=(3√2-√6)/6
最小値は、
4x+2y=(4√6)/3+(3√2-√6)/3
=√6+√2
≒3.86370331
前 >>545

643:１３２人目の素数さん
18/12/12 02:57:52.09 neKV7OZz.net
>>600
a[0] = 1, a[1] = 1, a[2] = k+1,
a[n]a[n-2] - a[n-1]^2 = k,
の場合は
b[n] = (a[n+1] + a[n-1]) /a[n]　とおくと
b[1] = (a[2] + a[0])/a[1] = k+2,
b[n] - b[n-1] = {(a[n+1] +a[n-1])a[n-1] - (a[n]+a[n-2])a[n]} / (a[n]a[n-1])
　= {(a[n+1]a[n-1] - a[n]^2) - (a[n]a[n-2] - a[n-1]^2)} / (a[n]a[n-1])
　= (k-k) / (a[n]a[n-1])
　= 0,
∴　b[n] = k+2,
線形漸化式
a[n+1] - (k+2)a[n] + a[n-1] = 0,
より
a[n] = Ｔ_{2n-3}(coshθ) /(coshθ)
　　= cosh((2n-3)θ) /(coshθ),
ここにθは　cosh(2θ) = (k+2)/2,
Ｔ_n はn次の第一種チェビシェフ多項式。

644:１３２人目の素数さん
18/12/12 04:21:42.53 vVlAH203.net
>>608
不正解です
それだと面積4等分にならない

645:１３２人目の素数さん
18/12/12 10:43:19.69 JUzCcDpp.net
>>610
(θ-xsinθ)/2=π/8のときの
4√((cosθ-x)^2+(sinθ)^2) + 2xの最小値
かな？

646:
18/12/12 11:20:38.81 Gi2B8yq5.net
前 >>608訂正。
前々 >>607前々の前 >>545→>>581
>>592境界線の長いほうをx、短いほうが円の中心を通り2yとなるようにとると、
頂点が4つあるほうの領域を円の中心を通る半径で二分した領域の面積は、弧をLとして、
π/8=L/2+(xy√3)/2
斜辺1の直角三角形について、三平方の定理より、
(x/2+y)^2+{(x√3)/2}^2=1
x^2/4+xy+y^2+3x/4=1―①
最小値4x+2y=mとおくと、
y=m/2-2x
①に代入すると、
x^2/4+x(m/2-2x)+(m/2-2x)^2+3x/4=1
x^2+(x/2)m-2x^2+m^2/4-2xm+4x^2+3x/4-1=0
x^2+2xm-8x^2+m^2-8xm+16x^2+3x-4=0
9x^2-6xm+m^2+3x-4=0
9x^2+(3-6m)x+m^2-4=0
(判別式)=(3-6m)^2-4･9(m^2-4)=0
9-36m+36m^2-36m^2+144=0
36m=153
m=17/4(=4.25)

647:
18/12/12 11:49:20.18 Gi2B8yq5.net
前 >>612訂正。面積要らなかった。
>>592境界線の長いほうをx、短いほうが円の中心を通り2yとなるようにとると、
内角120°で分岐する長さxの直線2つと弧で囲まれた領域にある、
半径1を斜辺とし、その弧に対する弦の半分とその弦の中点から円の中心までを二辺とする直角三角形について、三平方の定理より、
(x/2+y)^2+{(x√3)/2}^2=1
x^2/4+xy+y^2+3x/4=1―①
最小値4x+2y=mとおくと、
y=m/2-2x
①に代入すると、
x^2/4+x(m/2-2x)+(m/2-2x)^2+3x/4=1
x^2+(x/2)m-2x^2+m^2/4-2xm+4x^2+3x/4-1=0
x^2+2xm-8x^2+m^2-8xm+16x^2+3x-4=0
9x^2-6xm+m^2+3x-4=0
9x^2+(3-6m)x+m^2-4=0
(判別式)=(3-6m)^2-4･9(m^2-4)=0
9-36m+36m^2-36m^2+144=0
36m=153
m=17/4(=4.25)

648:１３２人目の素数さん
18/12/12 12:40:53.92 LhhrZ/FI.net
>>611
これを解いて最小値は
> len = function(θ) 4*sqrt((cos(θ)-((4*θ)-pi)/sin(θ)/4)^2 + sin(θ)^2) + 2*((4*θ)-pi)/sin(θ)/4
> optimize(len,c(0,pi/2))$o
[1] 3.95125826

649:１３２人目の素数さん
18/12/12 12:44:55.28 LhhrZ/FI.net
>>613
十文字なら全長４なので４以上が最小値はありえん。

650:１３２人目の素数さん
18/12/12 12:53:04.61 LhhrZ/FI.net
>>614
Wolframにグラフを書いてもらいました。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)((cos(%CE%B8)-((4*%CE%B8)-pi)%2Fsin(%CE%B8)%2F4)%5E2+%2B+sin(%CE%B8)%5E2)+%2B+2*((4*%CE%B8)-pi)%2Fsin(%CE%B8)%2F4+,+%CE%B8+in+%5B0,pi%2F2%5D

651:１３２人目の素数さん
18/12/12 13:42:21.80 LhhrZ/FI.net
>>616
出来上がり図
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

652:１３２人目の素数さん
18/12/12 13:46:29.04 CF6JIWOg.net
>>611
>>614
残念ながら不正解
直線のみならそれで大丈夫だけど解は曲線です

653:１３２人目の素数さん
18/12/12 15:34:39.76 MRxQUXjD.net
>>618
そろそろ答え教えろよ

654:１３２人目の素数さん
18/12/12 15:34:55.02 hGPRw/Of.net
この場合もプラトーの法則成立するんでない？
・曲線は円、または直線。
・分岐は３枝でなす角は１２０°。
・外円との接続部は９０°。

655:１３２人目の素数さん
18/12/12 16:53:47.97 VPYuy2Z7.net
>>620
minimize 2x+4(1-x*cosθ)(π/3-θ)/sin(π/3-θ) where θ-x*sinθ+((1-x*cosθ)((π/3-θ)/sin(π/3-θ)-1))^2=π/4
という式をたててみたがwolframalphaさんは答えを出してくれなかった
手で計算したところ
x=0.18059
θ=0.93017(単位円との交点間の弧の長い方の角度=106.59度)
のとき、分割線長の総和=3.9376

656:１３２人目の素数さん
18/12/12 17:04:46.38 VPYuy2Z7.net
>>621で仮定した条件
分割線が(-x,0)-(x,0)の線分、および >>620の条件を満たす(±x,0)-(±cosθ,sinθ),(±x,0)-(±cosθ,-sinθ)の円弧(複号同順)

657:１３２人目の素数さん
18/12/12 17:18:34.78 LhhrZ/FI.net
>>622
>617の４本の放射直線を円弧で置き換えたモデルって理解でいいですか？

658:１３２人目の素数さん
18/12/12 17:25:08.78 VPYuy2Z7.net
>>623
そうなります
ぜんぶ直線だとプラトーの法則が成立しないので
中央の線分を円弧に変えたらもっと良くなるのかどうかは検証していません

659:１３２人目の素数さん
18/12/12 17:51:53.99 neKV7OZz.net
2つの分岐点を (0, ±b) とする。(0<b<1)
境界円の中心　{±(1-bb)/(2b√3)，±(1+bb)/(2b)}
境界円の半径　R = (1-bb)/(b√3),
境界円と外円の交点　{±((√3)/2)(1-bb)/(1+b+bb)，±(1/2)(1+4b+bb)/(1+b+bb)}
境界円の円周角　θ = (π/3) - arctan((√3)(1-bb)/(1+b+bb)),
境界線の合計長さ　L = 2b + 4Rθ,

660:１３２人目の素数さん
18/12/12 17:55:14.46 neKV7OZz.net
>>625 (訂正)
境界円の中心角　θ = (π/3) - arctan((√3)(1-bb)/(1+b+bb)),
　　　　￣￣￣

661:１３２人目の素数さん
18/12/12 18:02:58.80 L0ts2vzH.net
空の境界

662:１３２人目の素数さん
18/12/12 18:58:35.62 LhhrZ/FI.net
>>624
こういう野球のボールのようなイメージになりますね。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

663:１３２人目の素数さん
18/12/12 19:03:07.39 VPYuy2Z7.net
>>628
分岐のところの角度をそれぞれ120°にすると条件が揃います

664:１３２人目の素数さん
18/12/12 20:24:12.24 LhhrZ/FI.net
>>625
bbってb*b＝b^2ですよね？
Lの最小値を求めようとグラフにしたらこんなになったんだけど。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
"
2つの分岐点を (0, ±b) とする。(0<b<1)
境界円の中心　{±(1-bb)/(2b√3)，±(1+bb)/(2b)}
境界円の半径　R = (1-bb)/(b√3),
境界円と外円の交点　{±((√3)/2)(1-bb)/(1+b+bb)，±(1/2)(1+4b+bb)/(1+b+bb)}
境界円の中心角　θ = (π/3) - arctan((√3)(1-bb)/(1+b+bb))
境界線の合計長さ　L = 2b + 4Rθ
"
L = function(b){
R=(1-b*b)/b/sqrt(3)
theta=pi/3-atan(sqrt(3)*(1-b*b)/(1+b+b*b))
2*b + 4*R*theta
}
curve(L(x))

665:１３２人目の素数さん
18/12/12 20:35:24.99 DiP58j3Z.net
結局
円内にある４つの円弧のうち右上のやつの半径をrとして(全部同じだけど)
(1)　x^2 + y^2 ≦ 1 (y ≧ 0)、(x-rsinθ-cosθ)^2+(y - sinθ+rcosθ)^2 ≦ r^2
.　　の表す領域の面積がπ/8
(2)　rcosθ - sinθ = r/2
をとくのか。
(1)がめんどい。

666:１３２人目の素数さん
18/12/12 20:39:23.53 LhhrZ/FI.net
>>621
その値で作図してみました。
野球のボールというよりメガネ小僧って感じになりました。

667:１３２人目の素数さん
18/12/12 20:41:01.99 LhhrZ/FI.net
>>632
これが抜けてた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

668:１３２人目の素数さん
18/12/12 20:42:30.62 DiP58j3Z.net
分岐のとこが１２０°で外円との交わりが９０°でっせ

669:１３２人目の素数さん
18/12/12 20:54:01.26 LhhrZ/FI.net
ちょっと、遊んでみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

670:１３２人目の素数さん
18/12/12 21:00:48.01 LhhrZ/FI.net
>>634
やっぱり、野球ボールの方がだった？

671:１３２人目の素数さん
18/12/12 22:01:26.70 lGPi/8Bz.net
>>634
違う。仕切り線は４つの円弧でないとダメ

672:１３２人目の素数さん
18/12/12 23:31:03.32 LJWyFz3p.net
∫[a-r,a-rcosθ]√(1-x^2)dx + ∫[a-rcosθ,1]√(r^2-(x-a)^2)dx = π/8　のときの 2(a-r) + 4rθの最小値を求める問題に帰着したけど
数式が複雑過ぎて断念。

673:１３２人目の素数さん
18/12/13 01:11:40.41 earCgaZv.net
こんなのキレイな解はでないんじゃね？
方程式たてて近似解求めるしかないよ。
多分だけど。

674:１３２人目の素数さん
18/12/13 01:21:07.87 PfacXwcf.net
計算機の出番だな

675:１３２人目の素数さん
18/12/13 01:41:27.16 WL83an/s.net
>>626　訂正
境界円の中心角　θ = (π/3) - arctan((√3)(1-bb)/(1+４b+bb)),

676:１３２人目の素数さん
18/12/13 03:37:05.83 WL83an/s.net
>>592
長さ 2b の境界線を共有する2個について、それぞれの面積は
σ(b) = {中心角 2(θ+π/6) の扇形} + 2･(底辺bの⊿) - 2･(三日月形D)
　= (θ+π/6) + b･sin(π/3-θ) - RR(θ-sinθ),
ここに　　 >>625 >>626 から
　R(b) = (1-bb)/(b√3),
　θ(b) = (π/3) - arctan((√3)(1-bb)/(1+4b+bb)),
等分条件（σ=π/4）から b を求めると、
b　= 0.122010156676718
θ = 0.198522403464296
R　= 4.66154271422004
L = 2b + 4Rθ = 3.94570296726719
* 三日月形：弧と弦に囲まれた部分。

677:１３２人目の素数さん
18/12/13 04:29:03.52 WL83an/s.net
>>630
　>>625 >>626 のθの式が違ってました。スミマセン。（正しくは >>641)
　L(ｘ) は L(0)=4 から L(1)=2 に単調に減少すると思います。L '(0)=0
　L(x) ～ 4 - 2x^(3/2) のような感じです

678:１３２人目の素数さん
18/12/13 05:01:42.49 051qyB7z.net
maxima先生の解答
r(s):=sin(s)/(cos(s)-1/2);
a(s,t):=r(s)*cos(t)+r(s)*sin(s)+cos(s);
b(s,t):=r(s)*sin(t)+sin(s)-r(s)*cos(s);
define(c(s,t),diff(a(s,t),t));
define(f(s),ratsimp(integrate(b(s,t)*c(s,t),t,5/6*%pi,%pi/2+s)+integrate(-(sin(t))^2,t,s,0)));
g(x):=f(x) - %pi/8;
h(x):=if g((x[1]+x[2])/2)>0 then [x[1],(x[1]+x[2])/2] else [(x[1]+x[2])/2,x[2]];
k(n,x):=if n = 1 then x else k(n-1,h(x));
s0:k(50,[0,1])[1],numer;
r(s0);
2 *a(s0,5/6*%pi)+4*r(s0)*(5/6*%pi - (%pi/2+s0)),numer;
(%o9) .8486751477323029
(%o10) 4.661542714220053
(%o11) 3.945702967267186

679:１３２人目の素数さん
18/12/13 06:07:14.54 aBlYWIwN.net
>>643-644 の図を描いてみた
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

680:１３２人目の素数さん
18/12/13 07:01:31.89 xqqYuQS5.net
>>645
直線は不正解と判明してるよ。

681:１３２人目の素数さん
18/12/13 07:12:18.51 aBlYWIwN.net
>>646
いや
直線ではなくまぎれもなく円弧で描いているんだけど
曲率が小さいのでほとんど直線にしか見えないのはご容赦

682:１３２人目の素数さん
18/12/13 07:12:55.22 xqqYuQS5.net
>>639
二つの円の半径と中心間の長さが与えられたときの変数の関係って
簡単な式にならないよね？

683:１３２人目の素数さん
18/12/13 07:13:58.49 xqqYuQS5.net
>>647
それは失礼いたしました。

684:１３２人目の素数さん
18/12/13 12:42:43.67 vWEXT14C.net
>>644
s,t,rが何かわからんから、さっぱりわからん。
最後はニュートンラフソンぽいな。

685:１３２人目の素数さん
18/12/13 13:22:54.83 7IASv7Ug.net
B>0を定数とせよ.
N(B)=#{(a_1,...,a_n):a_1,...,a_nは最大公約数が1の整数, |a_i| ≦B}
則ちN(B)とは, 絶対値がB以下の2つの整数の組(a,b)で, a,bが互いに素なもの達全体の個数である.
此の時極限値
lim_{B→∞} N(B)/B^2
の値を求めよ.

686:１３２人目の素数さん
18/12/13 13:24:58.10 7IASv7Ug.net
>>36
出題しておきながら解き方を忘れたのだが, 局所大域原理が使えない為, K3曲面のBrauer群等を使わなければならない筈.

687:１３２人目の素数さん
18/12/13 13:57:23.72 GL4/bHh2.net
>>650
敷居の円弧のうち右上のものの右上端を(cos s, sin s), 半径をr(s)としてる。
するとその中心Aは
(cos s,sin s) + r(cos(s - π/2), sin(s-π/2))
= (cos s + r(s) sin s, sin s + r(s) cos s)
この円上の点Pの偏角を t としてPの座標(a(s,t),b(s,t))は
a(s,t):=r(s)*cos(t)+r(s)*sin(s)+cos(s);
b(s,t):=r(s)*sin(t)+sin(s)-r(s)*cos(s);
円弧の右上端が t = s +π/2、左下端が t = 5π/6。
面積f(s)がGreenの公式より
f(s) = ∫[5/6π,s+π/2](b(s,t)a’(s,t)dt +∫[s,0] sin(t) (cos t)’ dt + ∫ [略] 0 dx。
でこのf(s)がπ/8になる s が s0。
本来Maximaにはnewtonってニュートンラフソン使うパッケージがあるんだけどうまく動いてくれなかったので力技で求めてる。
(g(a[n])<0<g(b[n]) において g(a[n]+b[n]) >0 なら a[n+1] = a[n]、b[n+1] = (a[n]+b[n])/2…の第５０項)
s0が決まればあとは代入するだけ。
maximaはもうオワコンなので極力つかいたくないんだけど、本問一番メンドイのが面積をパラメータ s で表す部分。
言語としては古臭くてなんだかなぁってとこ多いんだけどその辺のパッケージは充実してるから中々切れない。
sagemathにそろそろ移行したいんだけど。

688:１３２人目の素数さん
18/12/13 14:01:45.35 GL4/bHh2.net
>>651
N(B) = #{(a,b) | 1≦a≦b≦N、(a,b) = 1}
と思っていいん？

689:１３２人目の素数さん
18/12/13 14:22:43.39 GL4/bHh2.net
>>654
f(x) =�

690:ｰ[n≦x] φ(n)/nとおけば f(x) = 6/π^2 x + O(log x)。 http://integers.hatenablog.com/entry/2016/04/04/231745 よって N(B) = ∫[1-0,B+0] x df(x) = Bf(B) - ∫[1,B] f(x) dx = 3/π^2 B^2 + O(B log B)。よって lim_{B→∞} N(B)/B^2 = 3/π^2。

691:１３２人目の素数さん
18/12/13 14:49:19.50 vWEXT14C.net
図がないとどうも理解がはかどらないので図を書いてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ロケット形PQRの面積がπ/8であるときの
４×弧PQ　＋　２×線分OQの最小値を求める　のが課題。
θ,αは中心角, rが境界円の半径, bはOQの長さ
minimize 2*b+4rα where (θ-sinθ)/2+r^2(α-sinα)/2+(1-b)sinθ/2=pi/8 ,0<b<1,0<θ<pi/2
はWolframではタイムアウトした :(

692:１３２人目の素数さん
18/12/13 15:29:53.81 PfacXwcf.net
>>656
∠RQA＝π/6という条件を入れてみるとどうか

693:イナ
18/12/13 18:45:15.28 j/usDCql.net
前 >>613
境界線を4つの円弧と4つの直線xで描き、単位円に90°入射、分岐点を120°にして、2つの分岐点の距離をyとする。
分岐点の距離を長くして直線を短くして円弧を長くしたほうが最小値になるのかな？
直線４分割と図を重ねて描くと面積の過不足が一致すればいいはず。

694:１３２人目の素数さん
18/12/13 21:54:11.27 xqqYuQS5.net
>>653
ありがとうございました。

695:１３２人目の素数さん
18/12/13 22:08:39.71 vWEXT14C.net
>>656
内包表示できる　Haskellでやってみたけど、計算が終わらない。
-- b+4rα where (θ-sinθ)/2+r^2(α-sinα)/2+(1-b)sinθ/2=pi/8 ,0<b<1,0<θ<pi/2
rangeB = map (/1000) [1..1000]
rangeTheta = map (\x -> x * pi/2/1000) [1..1000]
rangeAlpha = map (\x -> x * pi/1000) [1..1000]
rangeR = map (\x -> x * 1/1000) [1000..10000]
re = [2*b+4*r*α| b<-rangeB,θ<-rangeTheta, α<-rangeAlpha,r<-rangeR,(θ-sin(θ))/2+r^2*(α-sin(α))/2+(1-b)*sin(θ)/2==pi/8]
minimum re

696:イナ
18/12/13 23:38:35.76 j/usDCql.net
>>645これ最小値じゃないの？前 >>658
円弧4つと分岐点を短く結ぶ。

697:１３２人目の素数さん
18/12/14 00:36:25.75 X7/HRig3.net
>>653
今ひとつ理解が進まないので
この図でいうと
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
r s t　P Aはどれにあたるのでしょう？

698:１３２人目の素数さん
18/12/14 00:52:30.86 7J/61zOG.net
>>662
その図でPA=r(s)、∠POR = s、
円弧PQ上の点Xで半直線AXの偏角がtであるものの座標が(a(s,t),b(s,t))。
Pは t = s + π/2、Qは t = 5π/6。
Qのy座標 b(s,5π/6) が 0 であることとb(s,t):=r(s)*sin(t)+sin(s)-r(s)*cos(s)であることからr(s):=sin(s)/(cos(s)-1/2)が出ます。
ちなみにPAはx^2+y^2=1に接してます。

699:１３２人目の素数さん
18/12/14 03:48:13.90 DbCBFUHo.net
>>611 >>614
境界線はすべて線分。
分岐点 (±x, 0)
境界線と外円の交点 (±cosθ，±sinθ)
θ = 0.869336877
のとき
π/3 - θ = 0.1778606742
x = 0.1098816404
y = 0.9328737443
L = 2x + 4y = 3.95125825794117475
(交角の条件 90ﾟ，120ﾟを満たさない。)

700:１３２人目の素数さん
18/12/14 06:00:27.62 DbCBFUHo.net
>>650
(>>644 ぢゃないが)
境界線と単位円の交点を（cos(s), sin(s)) とする。(s=s0 は定数)
交点で接線をひく。半径に垂直なので、x軸から(反時計回りに)π/2 +s の方を向く。
境界円の半径をrとする。(rは定数)
境界円の中心：（r sin(s)+cos(s), sin(s)-r cos(s))
境界点は、中心からrだけ離れている。
(a(r,s), b(r,s)) = (r cos(t)+r sin(s)+cos(s), r sin(t)+sin(s)-r cos(s))
tは、中心から境界点を見た方位。（x軸から反時計回りに)
分岐点の交角は120ﾟだから、π/2 +s ≦ t ≦ 5π/6,
分岐点がx軸上にある条件は
r sin(5π/6) + sin(s) - r cos(s) = 0,
∴ r(s) := sin(s)/[cos(s)-1/2];
c(s,t) := ∂a(s,t)/∂t;
f(s) := ∫[5π/6, π/2+s] b(s,t)c(s,t) dt + ∫[s,0] -(sin(t))^2 dt
　= ∫[a(s,5π/6), a(s,π/2+s)] b(s,t) da(s,t) + ∫[0,s] (sin(t))^2 dt;
はパーツの面積の半分。
g(s) := f(s) - π/8;
とおくと等面積条件は　g(s) = 0,
h(x[1],x[2]) := [x[1], (x[1]+x[2])/2]　　g((x[1]+x[2])/2) > 0 のとき
　　　　　　 := [(x[1]+x[2])/2, x[2]]　　その他
k(n,x) := {g(s)=0 の根を含む、幅(1/2)^{n-1} の区間}
　　（2分法？　ニュートン法ぢゃなかったみたい…)
9行目　s0 := k(50,[0,1]);
10行目　r(s0);
11行目　2a(s0, 5π/6) + 4r(s0)(5π/6 - (π/2 + s0));
かなぁ

701:１３２人目の素数さん
18/12/14 06:11:58.25 DbCBFUHo.net
>>665
>>653 に有りましたか。全く見落としてました。

702:１３２人目の素数さん
18/12/14 08:51:39.45 X7/HRig3.net
>>663
それに合わせて作図修正しました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

703:１３２人目の素数さん
18/12/14 09:06:58.35 X7/HRig3.net
分岐点の角度条件をいれないと問題は解けないのかな？

704:１３２人目の素数さん
18/12/14 09:56:47.96 0v7F0q5K.net
>>667
接してませんがな

705:１３２人目の素数さん
18/12/14 10:30:15.76 X7/HRig3.net
>>667
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
で
∠OPAが90°∠OQXが120°という条件をいれないとこの問題は解けないんだろうか？
五角形の分岐線のときは結ぶ箇所が有限だったから、コンピュータがカブトガニ解をすぐに出してくれたんだが、
こっちは難しいなぁ。

706:１３２人目の素数さん
18/12/14 13:38:47.89 X7/HRig3.net
>>669
正解を求める過程での作図ね。

707:イナ
18/12/14 15:34:52.41 DQANJwVv.net
前 >>661
第Ⅰ象限から第Ⅳ象限まで形は同じだから、第Ⅰ象限で考えると、
①直線y=x
②円弧(x-a-√2)^2+y^2=(a+√2)^2-1
③単位円x^2+y^2=1
の3つが互いに交差しあってxの区間が4つあって、
前2つと後2つが(直線y=xの上下の領域が)等しくなるから、
あとは積分だと思う。これが正攻法だと思う。aが決まると思う。

708:１３２人目の素数さん
18/12/14 19:10:43.4

709:4 ID:BiTuD+9L.net

710:イナ
18/12/14 19:58:14.45 DQANJwVv.net
前 >>672
>>673分岐点の角度は、
すべて120°になる。
つまり単位円内の円弧は第１象限では点(a,0)においてx軸と60°の角をなすように始まり、緩やかに右にカーブしy=xをかすめるように突っ切って単位円と90°の角をなすように終わる。
このy=xとの交点を境に前後の面積が等しい。
①0≦x≦a
②a≦x≦
③　≦x≦1/a+2
④1/a+2≦x≦1/√2
①+②=③+④より、aが決まりそう。
②、③の空欄は、
円弧と直線y=xの交点のx座標で、
円弧の中心はx軸上にはない。たぶん第２象限。
今ここを考え中。
円弧の内角は30°～45°の範囲にあるが、カーブの向きから考えて37.5°より大きい。仮に40°なら、
境界線の最小値=2a+2π√2×4×40°/360°
=2a+(8/9)π√2

711:イナ
18/12/14 20:01:07.18 DQANJwVv.net
前 >>674訂正。
第２象限→第４象限

712:イナ
18/12/14 20:02:13.73 DQANJwVv.net
前 >>674訂正。
第２象限→第４象限

713:１３２人目の素数さん
18/12/14 20:31:44.04 nExcyVjV.net
>>672
②の円の中心がx軸上にある根拠はある？

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