面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～な 28問目 at MATH

[前50を表示]
550:１３２人目の素数さん
18/12/02 01:49:02.50 Dx2sd3hu.net
>>518
(1)の６角形の６点は全てことならないとだめなん？
たとえば長方形ABCDの交点をXとして
ABXCDXを６活計とみなすのはあり？

551:１３２人目の素数さん
18/12/02 01:49:51.92 fdTrITVn.net
>>519
それはなしだな

552:１３２人目の素数さん
18/12/02 01:56:45.89 36l5kxLk.net
>>520
これはなしなのか…
だと(1)の方がさっぱりわからん。
なんか可能性みお

553:としてるのかな。凸包はやっぱり４角形？

554:１３２人目の素数さん
18/12/02 02:09:34.62 B+C2Ix9O.net
>>520
以下の解釈であってる？
Pを平面上の凸とは限らない多角形とする。
ただし内角は180°だけは禁止し、その周は単純閉曲線(S^1と同相)とする。
帰納的にF[i]を定める。
F[1] = Pの頂点集合。
F[i+1] = { l と mの交点 | l、m は F[1]∪…∪F[i] から任意に選んだ２点を結ぶ直線}
(1) #P = 6、#∪F[i] < ∞ をみたすPが存在することを示せ。
(2) #P ≧ 7、#∪F[i] < ∞ となるPは存在しないことを示せ。

555:１３２人目の素数さん
18/12/02 02:44:44.87 D2g2qj2O.net
>>508
省略表記の否定比率リスト(合ってる自信はない)
①　112
②　123
③　134　235
④　145　347　257　358
⑤　156　459　37.10　47.11　279　57.12　38.11　58.13

556:１３２人目の素数さん
18/12/02 03:03:38.91 s5Fyrcu3.net
>>509
URLﾘﾝｸ(integers.hatenablog.com)
これをヒントにできるかもね。線分を延長して直線にするのを許すか許さないかの違いはあるけど

557:１３２人目の素数さん
18/12/02 03:32:20.82 KWCNNez9.net
>>524
問題から出題の経緯までそっくりwww
もしかしてサイトの本人？
でも設定微妙にちがうよね？
>>509は対角線の延長の交点も追加するのありといってるけどそれだとサイトの６点配置が２つ載ってるけど両方アウトになる。

558:１３２人目の素数さん
18/12/02 04:53:25.97 D2g2qj2O.net
>>504
やっと否定比率の途中過程が分かった
1　　1:1:2
2　　1:2:3
3　　1:3:4
4　　3:4:7
5　　4:7:11
6　　4:11:15
7　　4:15:19
8　　15:19:34
↓
73　　15:994:1009

559:１３２人目の素数さん
18/12/02 08:34:17.53 Gu3V0Rky.net
正三角形ABCがある。正三角形ABCの内部に、点Aから5cm、点Bから12cm、点Cから13cm離れた場所で点Pがある。
この時、正三角形ABCの面積を中学数学のみで求めよ。

560:１３２人目の素数さん
18/12/02 08:35:26.50 Gu3V0Rky.net
あ、一応補足
正確には中学数学までの知識で求めよってことね

561:１３２人目の素数さん
18/12/02 11:26:56.11 br7NSo8H.net
>>527
maxima 先生に聞いたら結構な値になるな。
vol(ab,ac,ad,bc,bd,cd):=sqrt(determinant(matrix([0,1,1,1,1],[1,0,ab^2,ac^2,ad^2],[1,ab^2,0,bc^2,bd^2],[1,ac^2,bc^2,0,cd^2],[1,ad^2,bd^2,cd^2,0]))/8)/6;
solve(vol(5,12,13,x,x,x)=0);
[x=－sqrt(20*3^(3/2)+169),x=sqrt(20*3^(3/2)+169),x=－sqrt(169－20*3^(3/2)),x=sqrt(169－20*3^(3/2)),x=0]

562:１３２人目の素数さん
18/12/02 11:51:44.05 s5Fyrcu3.net
>>525
人違いだけど、こうまで一致してるとこの類いの問題は少なくともある界隈では結構有名ってことなのかねえ
まあ、問題設定違って答えも違うということは、おそらく生徒か >>509の問題の聞き間違えってことなのかな

563:１３２人目の素数さん
18/12/02 20:33:32.98 UHgyXCtV.net
# A,B,C,...,G,J,K 11人のうち、何人かが嘘つきで残りは正直者で
# 嘘つきは必ず嘘をつく。全員だれが嘘つきか知っている。
# 11人に「うそつきは何人いますか」と聞くと、下のように答えました。
# A:1人,B：2人,C:3人,...,G:9人,J:10人,K:12人
# 誰が嘘つきでしょうか

564:イナ
18/12/02 20:33:35.78 1noMUvpL.net
>>503あってんのか？
あってるよな。前 >>497
ほかに答えないみたいだし。

565:これ教えて
18/12/02 21:08:41.95 Ee0VkDJ+.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

566:１３２人目の素数さん
18/12/02 21:18:04.72 Ee0VkDJ+.net
>>533
返信というよりは補足です。
中学入試レベルなので３平方使用禁止です。

567:１３２人目の素数さん
18/12/02 21:51:41.65 8De20Fh0.net
>>532
この手の問題って全員が同等に他人の思考を推論できるというのが前提になってるね。あってんじゃね。

568:１３２人目の素数さん
18/12/02 22:06:21.06 EzxIt8h1.net
>>534
あれ？maxima先生の答え間違ってる？

569:１３２人目の素数さん
18/12/02 23:08:54.72 EzxIt8h1.net
>>531
> # A,B,C,...,G,J,K 11人のうち、何人かが嘘つきで残りは正直者で
H,Iはいないの？
書き忘れ？
> # A:1人,B：2人,C:3人,...,G:9人,J:10人,K:12人
これは
I:9人,J:10人,K:12人？

570:１３２人目の素数さん
18/12/02 23:09:17.00 Kvo5KSYd.net
>>531
K:11人の間違い。
結論は変わらない。

571:１３２人目の素数さん
18/12/02 23:10:48.91 Kvo5KSYd.net
>>537
すまん、Aから順に1から11人

572:１３２人目の素数さん
18/12/02 23:14:43.65 EzxIt8h1.net
>>538
まぁ全員言ってる事違うので正直者が二人以上いることはない。
問題文では全員嘘つきが禁止されてないので
K:12人
だと全員嘘つきの解もありえる。
K:11人
ならその可能性が消えるのでJだけが正直者が唯一の解。

573:１３２人目の素数さん
18/12/02 23:33:13.79 Kvo5KSYd.net
>>540
あたり。
n人にするとn-1番目が正直者になるね。

574:１３２人目の素数さん
18/12/03 03:28:39.04 IEuLNtWu.net
1枚だけページが破れた本がある。
破れていないページ番号を合計すると15000になる。
破れたページは何ページ目だろうか？

575:１３２人目の素数さん
18/12/03 03:46:05.03 emcKrz6P.net
25ページ・26ページ目

576:１３２人目の素数さん
18/12/03 09:18:36.26 nkVZQTbD.net
11人いる

577:イナ
18/12/03 10:34:23.13 QNCy2EJ5.net
>>533
ADとBFの交点をGとし、FからADに垂線Hを引く。
△BEF=□ABCD-△ABG-△BCE+△FGH
=18×18-6×18-18×9÷2+3×9÷2
=324-54-81+13.5
=202.5(c㎡)
前 >>532

578:１３２人目の素数さん
18/12/03 11:19:57.61 f0Wte+g6.net
>>542
51Ｐ

579:１３２人目の素数さん
18/12/03 11:20:33.10 f0Wte+g6.net
SC 173 × 174 / 2 = 15,051

580:１３２人目の素数さん
18/12/03 12:01:48.76 se7yN58/.net
Prelude Data.List> head [x | x<-[1..], (div (x*(x+1)) 2) - x - x-1 > 15000]
175
Prelude Data.List> [(x,y)|x<-[1..174],y<-[1..x],div (x*(x+1)) 2 - y- y-1 == 15000]
[(173,25),(174,112)]
より最終ページが奇数が許されるなら 25, 26 ページ。
最終ページが必ず偶数なら解無し。

581:１３２人目の素数さん
18/12/03 12:46:13.13 E4TDocZk.net
臭いページを破ったんじゃないの？
全178ページで合計は　178*(178+1)/2 = 15931
破られたページは 465，466 ページ

582:１３２人目の素数さん
18/12/03 13:21:00.24 f0Wte+g6.net
破るページは１ページじゃないの？

583:１３２人目の素数さん
18/12/03 13:50:56.60 QN9IvGKv.net
１ページ破るから、表裏がなくなんのね。
ようやく意味がわかった。

584:１３２人目の素数さん
18/12/03 14:35:51.51 QN9IvGKv.net
>>549
１７８頁しかないのにどうやって465，466 ページを破るんだ？
日本の諺：無い袖は振れない

585:１３２人目の素数さん
18/12/03 14:56:23.08 QN9IvGKv.net
>>551
いつもの顰蹙、プログラム解
rip <- function(n){
page=(n*(n+1)/2-15000)%/%2
torn=ifelse(page%%2,page,0)
ifelse(0<torn & torn<n,torn,0)
}
rip=Vectorize(rip)
n*(n+1)/2-3=15000
1/2*(5*sqrt(4801)-1) # 172.7231
n*(n+1)/2-(2n-1)=15000
1/2*(3+7*sqrt(2449)) # 174.7058
> rip(173)
[1] 25
> rip(174)
[1] 0

586:１３２人目の素数さん
18/12/03 15:55:37.25 nkVZQTbD.net
112と113が抜けている

587:１３２人目の素数さん
18/12/03 16:08:47.30 wVNLgVcv.net
問題文には指定はないが、一枚に印刷されてるのは2k-1, 2kやろ？

588:１３２人目の素数さん
18/12/03 16:40:22.42 CykXOOQX.net
嘘つきがファジーとしてみました。
A,B,C,...,G,J,K 11人のうち、何人かが嘘つきで残りは正直者で
全員だれが嘘つきか知っている。
正直者は嘘をつかないが
嘘つきは嘘をつくこともつかないこともある。
11人に「うそつきは何人いますか」と聞くと、下のように答えました。
A:1人,B:2人,,...,J:10人,K:11人
誰が嘘つきでしょうか

589:１３２人目の素数さん
18/12/03 18:48:14.14 Cf5OYjjd.net
>>556
問題としてはこっちのほうが面白いね。
現実的だし。

590:１３２人目の素数さん
18/12/03 19:10:55.96 QN9IvGKv.net
>>556
１１人が1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 9, 9, 9　答えたとすると
嘘つきが必ず嘘をつくか、嘘もホントも答えるかで変わってくるね。

591:１３２人目の素数さん
18/12/03 19:21:43.31 nkVZQTbD.net
分かりやすい説明がありましたわ
「誰も」とか「誰か」の内容は文脈によって決まるので
ある場合にそれは、太郎と花子と次郎という想定が可能である
太郎が花子をねたみ
花子が次郎をねたみ
次郎が太郎をねたんでいる
そういった場合には、「誰もが誰かをねたんでいる」けれど
誰もからねたまれている「誰か」は存在しない
と、そういうことらしいわ

592:１３２人目の素数さん
18/12/03 21:46:47.16 CykXOOQX.net
>>558
嘘つきがファジーだとすると
この例だと
全員嘘つき以外に9と答えた3人のうち2人が正直者で他が嘘つき
という組合せも可能。
総当たりのプログラムではそれだけになったがプログラムに余り自信がない。
コイントスや待ち時間と違ってシミュレーションができない。

593:１３２人目の素数さん
18/12/03 22:29:09.47 Nmd0kpa1.net
>>545
Hどこからきたのですか？

594:１３２人目の素数さん
18/12/03 22:29:28.31 Nmd0kpa1.net
>>545
あ、なんでもないです

595:１３２人目の素数さん
18/12/03 22:35:04.53 Nmd0kpa1.net
>>545
あまり自信がないのですが、□ABCDの右上の三角形(恐らく)FDEはどちらへ？

596:１３２人目の素数さん
18/12/04 01:08:47.08 zMVauxBb.net
>>558のFuzzy versionのsolver
testimonies = [
(==1).length.(filter (==False)),
(==2).length.(filter (==False)),
(==3).length.(filter (==False)),
(==4).length.(filter (==False)),
(==5).length.(filter (==False)),
(==5).length.(filter (==False)),
(==5).length.(filter (==False)),
(==5).length.(filter (==False)),
(==9).length.(filter (==False)),
(==9).length.(filter (==False)),
(==9).length.(filter (==False))
]
isCompatible ts theCase = all (==True) $ zipWith (||) (map not theCase) (map (¥x -> x theCase) ts)
cases = (!! (length testimonies)) $ iterate (¥x-> [a:b|a<-[True,False],b<-x]) [[]]
main = mapM_ print [theCase | theCase<-cases, isCompatible testimonies theCase]
*Main> main
[False,False,False,False,False,False,False,False,True,True,False]
[False,False,False,False,False,False,False,False,True,False,True]
[False,False,False,False,False,False,False,False,False,True,True]
[False,False,False,False,False,False,False,False,False,False,False]

597:１３２人目の素数さん
18/12/04 08:34:38.33 QKKYvADK.net
>>564
いつもHaskellコードありがとうございます。
Rの結果(嘘つきを1で表示)と一致したので安心しました。
> liars <- function(Answer,Strict=TRUE){ # duplicate answer and/or case of all liars permitted
+ N=length(Answer)
+ arg=list()
+ for(i in 1:N) arg[[i]]=0:1
+ dat=do.call(expand.grid,arg) # expand.grid(0:1,0:1,0:1,...,0:1)
+ colnames(dat)=LETTERS[1:N]
+ check <- function(y,answer=Answer){
+ if(all(y==1)) {!all(1:N %in% answer)}
+ else{ # Strict: all honest answer compatible & not included in liar's anwer
+ if(Strict){all(answer[y==0]==s

598:um(y)) & !(sum(y) %in% answer[y==1])} + else {all(answer[y==0]==sum(y))} + } + } + res=as.matrix(dat[apply(dat,1,check),]) + rownames(res)=NULL + return(res) + } > > liars(c(1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 9, 9, 9),Strict=FALSE) A B C D E F G H I J K [1,] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 [2,] 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 [3,] 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 [4,] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

599:１３２人目の素数さん
18/12/04 12:43:32.06 5n977z/C.net
>>558 の Fuzzy Version 位なら理詰めでもそんなに苦労はしないけど。
でも今回みたいな問題なら理詰めで解く事に拘ってもしょうがない気もする。
一致してる証言の数が最大４なので最低でも７人の嘘つきがいる。
よってその数が５人以下と証言しているA～Iは嘘つきであることが確定する。
よって正直者がいるとすればI,J,Kのうちの何人かに限られるが、その数も証言により２と確定する。
よって正直者の集合は{J,K},{I,K},{I,J}のいずれかであることが必要。
逆にこのとき条件は満たされる。
全員嘘つきも条件を満たすので以上４つが解である。

600:１３２人目の素数さん
18/12/04 15:13:07.58 7f8uMrnq.net
答が7,7,7,7,8,8,8,9,9,10,11　だとこんな結果（１が嘘つき、０が正直者）
> liars(c(7,7,7,7,8,8,8,9,9,10,11),Strict=F)
A B C D E F G H I J K
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1
2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1
3 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1
4 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Answer 7 7 7 7 8 8 8 9 9 10 11

601:１３２人目の素数さん
18/12/04 21:10:26.55 ekJSUZdS.net
A,Bの二人が同じ出発地点から同じ目的地点に向けて同じ道を同時に出発する。
最初はAが歩き、Bが自転車で出発する。
Bがある距離進んだところで自転車を残して歩き出す。
Aが自転車にたどり着いたら自転車に乗ってBを追い越し、ある距離進んだところで自転車を残して歩き出す。
全行程をこのようにして進む。
どの時点でも二人のどちらかは歩いているが、片方が自転車にのっているときもあるので、自転車が無いときより早く着くという意見がある。
どの時点でもどちらかが必ず歩いていたのだから、自転車があっても早くならないという意見もある。
どちらの意見が正しいのか？

602:１３２人目の素数さん
18/12/04 23:09:14.80 9sqWfWC3.net
>>568
イメージしにくかったら具体例で考えてみるというのはどうか。
徒歩は時速3キロ、自転車は時速20キロ、目的地は60キロ先。徒歩のみで行けば20時間かかる。
Bが自転車を30キロ地点で降りたとすると、そこまで1.5時間かかっているので、残りの行程は10時間、到着まで11.5時間となる。
Aは10時間かけて自転車のある30キロ地点に着き、それから残りの行程を10時間かけて進む。到着までは同じく11.5時間となる。
徒歩のみよりはどちらも早い。

603:１３２人目の素数さん
18/12/04 23:10:24.61 9sqWfWC3.net
>>569訂正
＞Aは10時間かけて自転車のある30キロ地点に着き、それから残りの行程を1.5時間かけて進む。到着までは同じく11.5時間となる。

604:１３２人目の素数さん
18/12/05 06:47:04.15 kDWs7GYM.net
>>568
平均速度は歩行と自転車の調和平均になるのでいいかな。

605:１３２人目の素数さん
18/12/05 06:58:44.87 kDWs7GYM.net
歩行速度a, 自転車速度bで平均速度は1/((1/a+1/b)/2) =2ab/(a+b)
上の例だとの2*3*30/(3+20)=120/23=60/11.5=5.217
自転車での走行距離には無関係なんだな。

606:１３２人目の素数さん
18/12/05 07:04:26.84 kDWs7GYM.net
0 < a < b のときa < 2ab/(a+b)と言えるか、という問題に帰結。
あとは任せた。

607:１３２人目の素数さん
18/12/05 07:08:48.39 kDWs7GYM.net
>>573
すぐできた。
左辺-右辺={a(a+b)-2ab}/{a+b}=a(a-b)/(a+b)<0

608:１３２人目の素数さん
18/12/05 07:38:10.01 kDWs7GYM.net
>572
訂正
2*3*30/(3+20)=120/23=60/11.5=5.217
↓
2*3*20/(3+20)=120/23=60/11.5=5.217

609:１３２人目の素数さん
18/12/05 08:01:47.25 tR7lbHvn.net
>>572
スマソ、誤答の気がしてきた。

610:１３２人目の素数さん
18/12/05 08:27:13.33 tR7lbHvn.net
自転車での走行距離が長いほど平均時速は速くなるな。

611:１３２人目の素数さん
18/12/05 09

612::44:41.52 ID:O2YJX1G3.net

613:１３２人目の素数さん
18/12/05 13:04:57.15 NGe6N71c.net
>568
どちらかが常に歩いてはいるが、Bが自転車を置いた場所にAが辿り着く頃には、Bはもっと先の場所を歩いているわけだから、そのぶん時間が短縮されるのは自明。

614:１３２人目の素数さん
18/12/05 13:40:37.72 tR7lbHvn.net
>>579
自明というより、どれだけ短縮されるのが計算したくなるよ。

615:イナ
18/12/05 20:09:17.35 duwFGlVv.net
>>563
△FEDは考えなくていい。求められてない。求められてるのは△BEFの面積。
FもEもDもそこにあるだけ。どこへも行かない。
前 >>545
GH=3、FH=HD=DE=9を作図する。
HDとFEの交点Mを中心に、
△DMEと△HMFは点対称だから、
△DMEは□ABCDから引かなくていい。
△DMEを引いてもどっちみち△BEFを求めるとき、
△HMFを足すことになるから。

616:１３２人目の素数さん
18/12/07 12:31:49.36 a4KQBFJb.net
S を集合とする。T は S の部分集合からなるある集合であり、包含関係に関して全順序をなす。すなわち、
A,B∈T ならば (A⊂B または B⊂A)
が成り立つ。
(1) S が可算集合の時、T の濃度はどのくらい大きくなれるか。
(2:未解決) S が非可算の場合はどうか。

617:１３２人目の素数さん
18/12/07 13:04:38.50 +DIQ+jRM.net
>>582
(1)はQの部分集合Aで
x∈A、y≦x⇒y∈A を満たすもの全体が連続体濃度になるので連続体濃度が答えかな？

618:１３２人目の素数さん
18/12/07 15:03:46.83 ppqSvBiP.net
>>583
正解
(2)は一般連続体仮説を採用すれば似たような方法で T=|2^S| となる T の存在が言えるけど、
果たして ZFC だけから出せるだろうか？というのが疑問になってできた問題

619:１３２人目の素数さん
18/12/10 01:33:32.73 MNYdlnCZ.net
kを自然数とする。
漸化式
x[1] = x[2] = 1
x[n+2] = x[n+1](x[n+1]+k)/x[n]
で定められる数列の全ての項は整数であることを示せ。

620:１３２人目の素数さん
18/12/10 08:38:45.57 nBAqzpCd.net
n人でじゃんけんを1回だけする。
1回のじゃんけんでの勝者の数をxとする。
xの期待値が最大となるnはいくつか？

621:１３２人目の素数さん
18/12/10 10:41:18.69 fcMs8kve.net
>>586
期待値は
Σ[k=1,n-1] C[n,k] (1/3)^(n-1)
= n ((2/3)^(n-1) - (1/3)^(n-1))
1≦n≦4においてはn=4のとき最大値 28/27。
n ≧ 2 のとき
(n+1) (2/3)^n
≦ n (2/3)^(n^1) (2n+2)/(3n)
より n≧5のとき
n(2/3)^(n-1) ≦ 5 (2/3)^4 = 80/81
∴n≧5のとき期待値<28/27。

622:１３２人目の素数さん
18/12/10 12:45:29.76 nBAqzpCd.net
>>587
予想通り即効で正解されてしまった。
面白くない問題でスマソm(__)m

623:１３２人目の素数さん
18/12/10 20:50:39.39 DTNFHqe/.net
超素数
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)

624:１３２人目の素数さん
18/12/11 00:11:13.28 QM6MoWQK.net
>>585
g_0(t)＝1, g_1(t)＝1, g_2(t)＝1, g_3(t)＝t＋1,
g_n(t)＝(2t＋2)g_{n－2}(t)－g_{n－4}(t) (n≧4)
としてg_n(t)を定義すると、n≧0に対して、g_n(t)は0でない整数係数多項式である。
また、数学的帰納法で
g_n(t)g_{n－3}(t)－g_{n－1}(t)g_{n－2}(t)＝t (n≧3)
が示せる。次に、f_n(t)＝g_n(t)g_{n－1}(t) (n≧1) と置くと、
n≧1に対して、f_n(t)は0でない整数係数多項式である。また、
f_1(t)＝1, f_2(t)＝1, f_n(t)＝f_{n－1}(t)(f_{n－1}(t)＋t)/f_{n－2}(t) (n≧3)
が成り立つことが示せる。特に、>>585のx[n]に対して x[n]＝f_n(k) (n≧1) である。
f_n(t)は整数係数多項式だから、f_n(k)は整数であり、よってx[n]は整数である。

625:１３２人目の素数さん
18/12/11 01:08:41.28 h7NydyA2.net
>>590
おお、すばらしい。正解です。
解答も想定解答の一つと同じ。
ちなみにこれk=1の場合が同志社大学の過去問らしいんですが、どなたか元ネタご存知ありません？

626:１３２人目の素数さん
18/12/11 04:18:22.38 Fzml7DDz.net
単位円の面積を4等分する曲線(分岐あり)の長さの最小値を求めよ

627:１３２人目の素数さん
18/12/11 05:01:03.99 AqNnxt5M.net
そういやなんかこの手の問題で面積極小になるときの曲線とか面とかのなす角は××°になるって話をなんか”××の原理”って呼ぶって話してた人いたけどなんの原理でしたっけ？
なんかギリシャ時代だかなんだかの学者さんの名前だった記憶があるんですけど。

628:１３２人目の素数さん
18/12/11 05:04:37.43 Fzml7DDz.net
プラトーの法則だね
プラトー自体は19世紀ベルギーの物理学者
2次元の場合はジャンクションが120°になって境界とのなす角は直角になる

629:１３２人目の素数さん
18/12/11 05:32:01.32 JHSR4JT6.net
>>594
ｿﾚﾀﾞ！！あざっす❗

630:１３２人目の素数さん
18/12/11 07:58:39.78 gGtYeNxO.net
>>585
　k>0 だから特性多項式　tt -2(k+1)t +1　は2実根α、βをもつ。
　α = k+1 - √(k(k+2)),
　β = k+1 + √(k(k+2)),
　β-α = 2√(k(k+2)),
題意より
x[n+2] - x[n+1] = k(β^n - α^n)/(β-α),
であるが、上記により
α+β = 2(k+1)、αβ = 1。
またα、βの整係数対称式はこれらの整多項式だから整数。

なお、
x[n+1] = 1 + k[(β^n -1)/(β-1) - (α^n -1)/(α-1)] /(β-α),

631:１３２人目の素数さん
18/12/11 12:13:23.54 812OVAmO.net
>>585
ちょっと理屈わかんないけど数値実験では合わないですね。
Prelude> let alpha k = k + 1 - (sqrt $ k*(k+2))
Prelude> let beta k = k + 1 + (sqrt $ k*(k+2))
Prelude> let x k n = 1 + k*(((beta k)^(n-1) -1)/((beta k)-1) - ((alpha k)^(n-1) -1)/((beta k)-1)) /((beta k)-(alpha k))
Prelude> let k = 1 in mapM_ print [x k n | n<-[1..10]]
1.0
1.3660254037844388
2.464101615137755
6.49038105676658
21.497422611928567
77.49930939094767
286.4998149518621
1066.4999504165007
3977.4999867141414
14841.499996440063
Prelude> let y k = map head $ iterate (¥[u,v]->[v,(v)*(v+1)/(u)]) [1,1]
Prelude> let k = 1 in mapM_ print $ take 10 $ y k
1.0
1.0
2.0
6.0
21.0
77.0
286.0
1066.0
3977.0
14841.0

632:１３２人目の素数さん
18/12/11 12:52:45.22 +jUDREv9.net
>>596-597
失礼。あってますね。orz
Prelude> let theAlpha k = k+1 - (sqrt $ k*(k+2))
Prelude> let theBeta k = k+1 + (sqrt $ k*(k+2))
Prelude> let x k n = let {alpha = theAlpha k; beta = theBeta k} in 1 + k*((beta^n -1)/(beta-1) - (alpha^n -1)/(alpha-1)) /(beta-alpha)
Prelude> let k = 1 in mapM_ print [x k n | n<-[0..9]]
1.0
1.0
2.0
6.0
21.0
77.0
286.0
1066.0
3977.0
14840.999999999996
Prelude> let y k = map head $ iterate (¥[u,v]->[v,(v)*(v+1)/(u)]) [1,1]
Prelude> let k = 1 in mapM_ print $ take 10 $ y k
1.0
1.0
2.0
6.0
21.0
77.0
286.0
1066.0
3977.0
14841.0

633:１３２人目の素数さん
18/12/11 16:56:36.87 gGtYeNxO.net
>>585
題意から
x[1] = 1, x[2] = 1, x[3] = k+1,
y[n] = {x[n+1] + k + x[n-1]} / x[n]　とおくと、
y[2] = {x[3] + k + x[1]} / x[2] = 2(k+1),
y[n+1] - y[n] = {x[n+2]/x[n+1] - (x[n+1]+k)/x[n]} ＋ {(x[n]+k)/x[n+1] - x[n-1]/x[n]} = 0,
∴ y[n] = 2(k+1),
これより、線形漸化式
x[n+1] - 2(k+1)x[n] + x[n-1] + k = 0,
を得る。
∴ x[n] のすべての項は整数である。
k>0 だから特性多項式 tt -2(k+1)t +1 は2実根をもつ。
>>596 に続く。

634:１３２人目の素数さん
18/12/11 17:03:48.34 NJc7rTqU.net
>>591,585
x[n]=a[n]a[n-1] とおくと、a[n]=(a[n-1]a[n-2] + k)/a[n-3] となって、Somos Sequence に似てる。
(k=0がSomos Sequence) URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
a[0]=a[1]=1, a[n]=(a[n-1]^2 + k)/a[n-2] でも整数性があるみたいだけど、
a[0]=a[1]=a[2]=a[3]=1, a[n]=(a[n-1]a[n-3] + a[n-2]^2 + k)/a[n-4] では整数性がない。
Somos Sequenceはクラスター代数と深い関係があるようなので、元ネタはその関係じゃないのかな？

635:１３２人目の素数さん
18/12/11 17:11:21.29 G3kmmu1J.net
>>600
そうなんですか？
用意した解法のもう一方がsomosの整数性を証明したローラン現象という事がこの数列でも起こってることを確認する方法なんですが、一般にこの現象を起こす何か十分条件的なものがあるんですかねぇ？
そのクラスター代数との関わりってのはどんなんですか？

636:１３２人目の素数さん
18/12/11 17:17:19.20 NJc7rTqU.net
>>601
Somos Sequenceはクラスター代数と関係があるってことを聞いたことがあるだけなので、
すまないけど詳しいことは全く知らないです。

637:１３２人目の素数さん
18/12/11 18:56:26.41 Er+Nf/KD.net
>>602
ですか。
残念。
この同志社の問題どうやって作ったのか謎で謎で。
多分なんかこの手の問題出てきた背景的なものあると思うんだけどなぁ。

638:１３２人目の素数さん
18/12/12 01:33:43.21 neKV7OZz.net
>>599
線形漸化式
x[n+1] - 2(k+1)x[n] + x[n-1] + k = 0,
より
x[n] = (1/2) + Ｔ_{2n-3}(coshθ)/(2coshθ)
　= {coshθ + cosh((2n-3)θ)} /(2coshθ)
　= cosh((n-1)θ)cosh((n-2)θ) /(coshθ),
ここにθは　cosh(2θ) = k+1,
Ｔ_n はn次の第一種チェビシェフ多項式。

639:１３２人目の素数さん
18/12/12 01:35:23.62 neKV7OZz.net
>>600
線形漸化式
a[n+2] - 2(k+1)a[n] + a[n-2] = 0,
より
a[n] = cosh((n-1)θ)　　　(n：奇数)
　　 = cosh((n-1)θ)/coshθ　　(n：偶数)
ここにθは　cosh(2θ) = a[3] = k+1,
a[2m+1] = Ｔ_m(1+k),
a[2m] = Ｔ_{2m-1}(coshθ) / coshθ
　　　= {a[2m+1] + a[2m-1]} / (2+k),
Ｔ_n はn次の第一種チェビシェフ多項式。
nが小さい方は
a[1] = 1,
a[2] = 1,
a[3] = 1+k,
a[4] = 1+2k,
a[5] = 1+4k+2kk,
a[6] = 1+6k+4kk,
a[7] = 1+9k+12kk+4k^3,

640:１３２人目の素数さん
18/12/12 02:09:23.14 Lw0Q+tOh.net
>>605
その解答がクラスター代数と関係してるんですか？

641:
18/12/12 02:14:17.55 Gi2B8yq5.net
>>592境界線の長いほうをx、短いほうが円の中心を通り2yとなるようにとると、
xは頂角120°、底辺√2の二等辺三角形の等しい二辺だから、
x･(√3/2)=√2/2
x=√2/√3=(√6)/3
y=√2/2-x/2=√2/2-√6/6=(3√2-√6)/3
最小値は、
4x+2y=(4√6)/3+(3√2-√6)/3
=√6+√2
≒3.86370331
前 >>545

642:
18/12/12 02:21:16.65 Gi2B8yq5.net
前 >>607訂正。
>>592境界線の長いほうをx、短いほうが円の中心を通り2yとなるようにとると、
xは頂角120°、底辺√2の二等辺三角形の等しい二辺だから、
x･(√3/2)=√2/2
x=√2/√3
=(√6)/3
y=√2/2-x/2
=√2/2-√6/6
=(3√2-√6)/6
最小値は、
4x+2y=(4√6)/3+(3√2-√6)/3
=√6+√2
≒3.86370331
前 >>545

643:１３２人目の素数さん
18/12/12 02:57:52.09 neKV7OZz.net
>>600
a[0] = 1, a[1] = 1, a[2] = k+1,
a[n]a[n-2] - a[n-1]^2 = k,
の場合は
b[n] = (a[n+1] + a[n-1]) /a[n]　とおくと
b[1] = (a[2] + a[0])/a[1] = k+2,
b[n] - b[n-1] = {(a[n+1] +a[n-1])a[n-1] - (a[n]+a[n-2])a[n]} / (a[n]a[n-1])
　= {(a[n+1]a[n-1] - a[n]^2) - (a[n]a[n-2] - a[n-1]^2)} / (a[n]a[n-1])
　= (k-k) / (a[n]a[n-1])
　= 0,
∴　b[n] = k+2,
線形漸化式
a[n+1] - (k+2)a[n] + a[n-1] = 0,
より
a[n] = Ｔ_{2n-3}(coshθ) /(coshθ)
　　= cosh((2n-3)θ) /(coshθ),
ここにθは　cosh(2θ) = (k+2)/2,
Ｔ_n はn次の第一種チェビシェフ多項式。

644:１３２人目の素数さん
18/12/12 04:21:42.53 vVlAH203.net
>>608
不正解です
それだと面積4等分にならない

645:１３２人目の素数さん
18/12/12 10:43:19.69 JUzCcDpp.net
>>610
(θ-xsinθ)/2=π/8のときの
4√((cosθ-x)^2+(sinθ)^2) + 2xの最小値
かな？

646:
18/12/12 11:20:38.81 Gi2B8yq5.net
前 >>608訂正。
前々 >>607前々の前 >>545→>>581
>>592境界線の長いほうをx、短いほうが円の中心を通り2yとなるようにとると、
頂点が4つあるほうの領域を円の中心を通る半径で二分した領域の面積は、弧をLとして、
π/8=L/2+(xy√3)/2
斜辺1の直角三角形について、三平方の定理より、
(x/2+y)^2+{(x√3)/2}^2=1
x^2/4+xy+y^2+3x/4=1―①
最小値4x+2y=mとおくと、
y=m/2-2x
①に代入すると、
x^2/4+x(m/2-2x)+(m/2-2x)^2+3x/4=1
x^2+(x/2)m-2x^2+m^2/4-2xm+4x^2+3x/4-1=0
x^2+2xm-8x^2+m^2-8xm+16x^2+3x-4=0
9x^2-6xm+m^2+3x-4=0
9x^2+(3-6m)x+m^2-4=0
(判別式)=(3-6m)^2-4･9(m^2-4)=0
9-36m+36m^2-36m^2+144=0
36m=153
m=17/4(=4.25)

647:
18/12/12 11:49:20.18 Gi2B8yq5.net
前 >>612訂正。面積要らなかった。
>>592境界線の長いほうをx、短いほうが円の中心を通り2yとなるようにとると、
内角120°で分岐する長さxの直線2つと弧で囲まれた領域にある、
半径1を斜辺とし、その弧に対する弦の半分とその弦の中点から円の中心までを二辺とする直角三角形について、三平方の定理より、
(x/2+y)^2+{(x√3)/2}^2=1
x^2/4+xy+y^2+3x/4=1―①
最小値4x+2y=mとおくと、
y=m/2-2x
①に代入すると、
x^2/4+x(m/2-2x)+(m/2-2x)^2+3x/4=1
x^2+(x/2)m-2x^2+m^2/4-2xm+4x^2+3x/4-1=0
x^2+2xm-8x^2+m^2-8xm+16x^2+3x-4=0
9x^2-6xm+m^2+3x-4=0
9x^2+(3-6m)x+m^2-4=0
(判別式)=(3-6m)^2-4･9(m^2-4)=0
9-36m+36m^2-36m^2+144=0
36m=153
m=17/4(=4.25)

648:１３２人目の素数さん
18/12/12 12:40:53.92 LhhrZ/FI.net
>>611
これを解いて最小値は
> len = function(θ) 4*sqrt((cos(θ)-((4*θ)-pi)/sin(θ)/4)^2 + sin(θ)^2) + 2*((4*θ)-pi)/sin(θ)/4
> optimize(len,c(0,pi/2))$o
[1] 3.95125826

649:１３２人目の素数さん
18/12/12 12:44:55.28 LhhrZ/FI.net
>>613
十文字なら全長４なので４以上が最小値はありえん。

650:１３２人目の素数さん
18/12/12 12:53:04.61 LhhrZ/FI.net
>>614
Wolframにグラフを書いてもらいました。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)((cos(%CE%B8)-((4*%CE%B8)-pi)%2Fsin(%CE%B8)%2F4)%5E2+%2B+sin(%CE%B8)%5E2)+%2B+2*((4*%CE%B8)-pi)%2Fsin(%CE%B8)%2F4+,+%CE%B8+in+%5B0,pi%2F2%5D

651:１３２人目の素数さん
18/12/12 13:42:21.80 LhhrZ/FI.net
>>616
出来上がり図
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

652:１３２人目の素数さん
18/12/12 13:46:29.04 CF6JIWOg.net
>>611
>>614
残念ながら不正解
直線のみならそれで大丈夫だけど解は曲線です

653:１３２人目の素数さん
18/12/12 15:34:39.76 MRxQUXjD.net
>>618
そろそろ答え教えろよ

654:１３２人目の素数さん
18/12/12 15:34:55.02 hGPRw/Of.net
この場合もプラトーの法則成立するんでない？
・曲線は円、または直線。
・分岐は３枝でなす角は１２０°。
・外円との接続部は９０°。

655:１３２人目の素数さん
18/12/12 16:53:47.97 VPYuy2Z7.net
>>620
minimize 2x+4(1-x*cosθ)(π/3-θ)/sin(π/3-θ) where θ-x*sinθ+((1-x*cosθ)((π/3-θ)/sin(π/3-θ)-1))^2=π/4
という式をたててみたがwolframalphaさんは答えを出してくれなかった
手で計算したところ
x=0.18059
θ=0.93017(単位円との交点間の弧の長い方の角度=106.59度)
のとき、分割線長の総和=3.9376

656:１３２人目の素数さん
18/12/12 17:04:46.38 VPYuy2Z7.net
>>621で仮定した条件
分割線が(-x,0)-(x,0)の線分、および >>620の条件を満たす(±x,0)-(±cosθ,sinθ),(±x,0)-(±cosθ,-sinθ)の円弧(複号同順)

657:１３２人目の素数さん
18/12/12 17:18:34.78 LhhrZ/FI.net
>>622
>617の４本の放射直線を円弧で置き換えたモデルって理解でいいですか？

658:１３２人目の素数さん
18/12/12 17:25:08.78 VPYuy2Z7.net
>>623
そうなります
ぜんぶ直線だとプラトーの法則が成立しないので
中央の線分を円弧に変えたらもっと良くなるのかどうかは検証していません

659:１３２人目の素数さん
18/12/12 17:51:53.99 neKV7OZz.net
2つの分岐点を (0, ±b) とする。(0<b<1)
境界円の中心　{±(1-bb)/(2b√3)，±(1+bb)/(2b)}
境界円の半径　R = (1-bb)/(b√3),
境界円と外円の交点　{±((√3)/2)(1-bb)/(1+b+bb)，±(1/2)(1+4b+bb)/(1+b+bb)}
境界円の円周角　θ = (π/3) - arctan((√3)(1-bb)/(1+b+bb)),
境界線の合計長さ　L = 2b + 4Rθ,

660:１３２人目の素数さん
18/12/12 17:55:14.46 neKV7OZz.net
>>625 (訂正)
境界円の中心角　θ = (π/3) - arctan((√3)(1-bb)/(1+b+bb)),
　　　　￣￣￣

661:１３２人目の素数さん
18/12/12 18:02:58.80 L0ts2vzH.net
空の境界

662:１３２人目の素数さん
18/12/12 18:58:35.62 LhhrZ/FI.net
>>624
こういう野球のボールのようなイメージになりますね。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

663:１３２人目の素数さん
18/12/12 19:03:07.39 VPYuy2Z7.net
>>628
分岐のところの角度をそれぞれ120°にすると条件が揃います

664:１３２人目の素数さん
18/12/12 20:24:12.24 LhhrZ/FI.net
>>625
bbってb*b＝b^2ですよね？
Lの最小値を求めようとグラフにしたらこんなになったんだけど。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
"
2つの分岐点を (0, ±b) とする。(0<b<1)
境界円の中心　{±(1-bb)/(2b√3)，±(1+bb)/(2b)}
境界円の半径　R = (1-bb)/(b√3),
境界円と外円の交点　{±((√3)/2)(1-bb)/(1+b+bb)，±(1/2)(1+4b+bb)/(1+b+bb)}
境界円の中心角　θ = (π/3) - arctan((√3)(1-bb)/(1+b+bb))
境界線の合計長さ　L = 2b + 4Rθ
"
L = function(b){
R=(1-b*b)/b/sqrt(3)
theta=pi/3-atan(sqrt(3)*(1-b*b)/(1+b+b*b))
2*b + 4*R*theta
}
curve(L(x))

665:１３２人目の素数さん
18/12/12 20:35:24.99 DiP58j3Z.net
結局
円内にある４つの円弧のうち右上のやつの半径をrとして(全部同じだけど)
(1)　x^2 + y^2 ≦ 1 (y ≧ 0)、(x-rsinθ-cosθ)^2+(y - sinθ+rcosθ)^2 ≦ r^2
.　　の表す領域の面積がπ/8
(2)　rcosθ - sinθ = r/2
をとくのか。
(1)がめんどい。

666:１３２人目の素数さん
18/12/12 20:39:23.53 LhhrZ/FI.net
>>621
その値で作図してみました。
野球のボールというよりメガネ小僧って感じになりました。

667:１３２人目の素数さん
18/12/12 20:41:01.99 LhhrZ/FI.net
>>632
これが抜けてた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

668:１３２人目の素数さん
18/12/12 20:42:30.62 DiP58j3Z.net
分岐のとこが１２０°で外円との交わりが９０°でっせ

669:１３２人目の素数さん
18/12/12 20:54:01.26 LhhrZ/FI.net
ちょっと、遊んでみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

670:１３２人目の素数さん
18/12/12 21:00:48.01 LhhrZ/FI.net
>>634
やっぱり、野球ボールの方がだった？

671:１３２人目の素数さん
18/12/12 22:01:26.70 lGPi/8Bz.net
>>634
違う。仕切り線は４つの円弧でないとダメ

672:１３２人目の素数さん
18/12/12 23:31:03.32 LJWyFz3p.net
∫[a-r,a-rcosθ]√(1-x^2)dx + ∫[a-rcosθ,1]√(r^2-(x-a)^2)dx = π/8　のときの 2(a-r) + 4rθの最小値を求める問題に帰着したけど
数式が複雑過ぎて断念。

673:１３２人目の素数さん
18/12/13 01:11:40.41 earCgaZv.net
こんなのキレイな解はでないんじゃね？
方程式たてて近似解求めるしかないよ。
多分だけど。

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