面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

506:１３２人目の素数さん
18/11/29 05:28:21.92 j6Cen0SX.net
ディリクレのディオファントス近似定理から、各 m について
|m/(n^δ) - p/q| ≦ 2/(qn^β) ((p,q)=1, 1≦q≦n^β) …（☆）
を満たす整数 p,q が存在する。
また、逆に q<n^β を固定したときに（☆）を満たす p が存在するような m∈J_r の個数は、
≦ φ(q)*(2+2(n^δ)/(qn^β)) (φはオイラーのトーシェント関数)
≦ 2(q+n^(δ-β)).
また、そのような m について
n/k = n/k_0 + (1+m/(n^δ))(k-k_0) + ψ~(k) (for∀k∈I_m. ただし k_0:=min(I_m))
とおくと |ψ~(k+1)-ψ~(k)|≦n^(-δ) が成り立つが、これより
n/k = n/k_0 + (1+(p/q))(k-k_0) + ψ(k) (for∀k∈I_m)
とおくと |ψ(k+1)-ψ(k)|≦n^(-δ)+2/(qn^β) が成り立つ。ゆえに、>>416 の補題から
Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)
≦ [|I_m|/q]( 3q*(q/(n^δ) + 2/(n^β)) + 3 ) + q (∵q個の連続する整数ごとに和をとる。あぶれる項はq以下)
≦ 3*L_r*(q/(n^δ) + 3/q) + q.
ここで、J_r を２つの集合
J'_r := {m∈J_r| q≦n^c ととれる },
J''_r := {m∈J_r| q≦n^c ととれない }
に分割すると、
|Σ_(m∈J'_r) Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)| ({x}はxの小数部分)
≦ Σ_(q=1,[n^c]) 2(q+n^(δ-β))*(3*L_r*(q/(n^δ)+3/q)+q)
≦ Σ_(q=1,[n^c]) 4(n^(δ-β))*(12(L_r)/q + q) (∵c≦δ-β)
≦ 48*L_r*n^(δ-β)*(1+clogn) + 4n^(δ-β+2c).
また、
|Σ_(m∈J''_r) Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)|
≦ Σ_(m∈J''_r) (12(L_r)/(n^c) + n^β)
≦ 12*L_r*n^(δ-c)+n^(δ+β).
以上から、
|Σ_(m∈J_r) Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)|
≦ (上二つのJ'_r,J''_rについての評価式の和).

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