面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

506:１３２人目の素数さん
18/11/30 03:48:44.97 6JPMu1Zv.net
次に、A⊂[0,1] に対して、1_A：[0,1]→R を 1_A(x)＝1 (x∈A), 0 (x∈[0,1]－A) と定義する。
ここでは、I⊂[0,1] は開区間または閉区間または半開区間とする。f＝1_I のときを考える。
任意のε＞0に対して、折れ線で構成される連続関数 f_1,f_2：[0,1]→R であって
f_k(0)＝f_k(1) (k＝1,2),
f_1≦f≦f_2 (各点の意味),
∫(0,1)(f_2(t)－f_1(t))dt＜ε
を満たすものが簡単に構成できる。S_u(f_k)＝S_d(f_k)＝∫(0,1)f_k(t)dt なので、
S_u(f)≦S_u(f_2)＝∫(0,1)f_2(t)dt≦∫(0,1)f_1(t)dt＋ε≦∫(0,1)f(t)dt＋ε
S_d(f)≧S_d(f_1)＝∫(0,1)f_1(t)dt≧－ε＋∫(0,1)f_2(t)dt≧－ε＋∫(0,1)f(t)dt
S_u(f)≧S_d(f)
により、－ε＋∫(0,1)f(t)dt≦S_d(f)≦S_u(f)≦∫(0,1)f(t)dt＋ε となる。
ε＞0は任意だったから、この場合も成立。

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