面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

504:１３２人目の素数さん
18/11/30 03:41:32.79 6JPMu1Zv.net
fがリーマン可積分なら、S(f)が存在してS(f)＝∫(0,1)f(t)dtが成り立つことを示したい。
Weyl's criterion の真似をする(f(x)が特殊な形から出発して一般化していく)。
f(x)＝sin(2πkx) (k∈Z) のときは、もしk≠0なら、
>>413により S(f)＝0＝∫(0,1) f(t)dt である。
また、k＝0のときは S(f)＝0＝∫(0,1) f(t)dt である。よって、この場合は成立。
f(x)＝cos(2πkx) (k∈Z) のときは、もしk≠0なら、>>413と同じように計算して、
S(f)＝0＝∫(0,1) f(t)dt である。また、k＝0のときは
S(f)＝1＝∫(0,1) f(t)dt である。よって、この場合も成立。
S(f)の線形性により、有限個の sin(2πkx), cos(2πkx) (k∈Z) の
R係数の線型結合で表されるg(x)に対しても、S(g)が存在してS(g)＝∫(0,1)g(t)dtとなる。

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