面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

497:１３２人目の素数さん
18/11/29 06:22:50.32 HF9YHqBY.net
>>468-470
乙です。
こっちは、剰余項を考えないバージョンの
lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2}){x/k}＝1/2
が一般的な形で証明できたかもしれない。使うのは >>413で、m∈Z－{0}のときは
lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})e^{2πimx/k}＝lim(x→∞)x^{－1/2}O(x^{1/3})＝0
が成り立ち、m＝0 のときは
lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})e^{2πimx/k}＝1
が成り立つので、あとは Weyl's criterion の手法を機械的に真似すればいい。
こうすると、より一般的に、リーマン可積分な任意の f：[0,1]→R に対して
lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})f({x/k})＝∫(0,1)f(t)dt
が示せるはず。例のごとく間違ってる可能性もあるので、詳しくは書かないけどｗ

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