面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

462:=FALSE){ x=xy[1];y=xy[2] if(x<0|x>20|y<0|y>30)return(Inf) tt=c(0,x,x+20,x+40,y,y+30,60) tt=sort(tt) d=diff(tt) w=sum(d^2/2)/sum(d) if(Print){ print(tt) cat(sum(d^2/2),'/',sum(d)) } return(w) } optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead')　# 最小値 > optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead') $`par` [1] 9.999003 14.999925 $value [1] 5.833333 w8(c(10,15),P=T) > w8(c(10,15),P=T) [1] 0 10 15 30 45 50 60 350 / 60[1] 5.833333 optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead',control=list(fnscale=-1))　# 最大値 > optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead',control=list(fnscale=-1)) $`par` [1] 0 0 $value [1] 8.333333 w8(c(0,0),P=T) > w8(c(0,0),P=T) [1] 0 0 0 20 30 40 60 500 / 60[1] 8.333333

463:１３２人目の素数さん
18/11/26 18:31:44.90 mGDYWVbl.net
細かいことを言えば
１番線　03
２番線　18　48
３番線　13　33　53
でもいいはず。

464:１３２人目の素数さん
18/11/26 18:39:21.59 mGDYWVbl.net
これも最大値かな
１番線　00
２番線　20　50
３番線　00 20　40

465:１３２人目の素数さん
18/11/26 20:08:04.25 mGDYWVbl.net
>>431
４番線は１時間に４本電車が来るとしてプログラムに解かせると
[[1]]
[1] 0
[[2]]
[1] 15 45
[[3]]
[1] 10 30 50
[[4]]
[1] 7.5 22.5 37.5 52.5
待ち時間の期待値は3.333333

466:１３２人目の素数さん
18/11/26 20:47:10.08 yzjtacP4.net
>>440
おつ　n(≧2)番線に 60*(2k-1)/2n (k=1,2,…,n) 分に来させれば良いと予想したくなるなｗファレイ数列みたいだ
しかしそれだと30分に到着する番線が大量発生して非効率そうだ

467:１３２人目の素数さん
18/11/26 21:42:27.22 mGDYWVbl.net
>>441
そんなに単純じゃないみたい。
> densha(c(15,10,7.5,6),P=T)
[[1]]
[1] 0
[[2]]
[1] 15 45
[[3]]
[1] 10 30 50
[[4]]
[1] 7.5 22.5 37.5 52.5
[[5]]
[1] 6 18 30 42 54
155 / 60
[1] 2.583333
よりも、こっちの方が平均待ち時間が少ない。
> densha(c(14,8,6,6),P=T)
[[1]]
[1] 0
[[2]]
[1] 14 44
[[3]]
[1] 8 28 48
[[4]]
[1] 6 21 36 51
[[5]]
[1] 6 18 30 42 54
150 / 60
[1] 2.5

468:１３２人目の素数さん
18/11/26 22:33:06.60 mGDYWVbl.net
>>442
こっちの方がもっと少なかった。
> densha(c(16,12,8,6),P=T)
[[1]]
[1] 0
[[2]]
[1] 16 46
[[3]]
[1] 12 32 52
[[4]]
[1] 8 23 38 53
[[5]]
[1] 6 18 30 42 54
148 / 60
[1] 2.466667
プログラムでの最適解はこんな値を返してきた。
> optim(par=30/2:5,densha)
$`par`
[1] 15.967750 11.935738 8.225689 5.999897

469:１３２人目の素数さん
18/11/27 11:33:32.61 b5HUeFcY.net
至急お願いします
異なる業種間で賃金格差が存在しているかどうかを調査するために、一部上場企業の金融業と製造業から総合職（入社5年目）の社員をそれぞれ100名ずつ無作為抽出したところ、平均賃金は金融業が600万円、製造業が570万円でした。
また、標本標準偏差はどちらも70万円でした。業種間で賃金格差が存在しているどうかを有意水準5％で検定するとき、その結果として正しいものを以下から選びなさい。
A. 金融業の方が賃金が高い
B. 製造業の方が賃金が高い
C. 金融業と製造業に賃金格差があるとは言えない
D. いずれでもない

470:１３２人目の素数さん
18/11/27 11:35:03.74 b5HUeFcY.net
某テレビ局のプロデューサーX氏は製作番組の視聴率の目標を20％と想定していました。500世帯を対象に調査をしたところ、平均視聴率は15%でした。X氏の製作番組は目標視聴率20％を達成したかどうかを有意水準5％で検定します。
真の視聴率をpとするとき、帰無仮説と対立仮説、および検定結果として正しい組合せを以下から選びなさい。
A. 帰無仮説p=0.20、対立仮説p<0.20、帰無仮説を採択
B. 帰無仮説p=0.15、対立仮説p<0.15、帰無仮説を採択
C. 帰無仮説p=0.20、対立仮説p<0.20、帰無仮説を棄却
D. 帰無仮説p=0.15、対立仮説p<0.15、帰無仮説を棄却
E. いずれでもない
サイコロを300回投げたところ、そのうち60回で1が出ました。このサイコロに歪みがないかを有意水準5%で検定します。
サイコロを1回投げたとき1が出る確率をpとするとき、帰無仮説と対立仮説、および検定結果として正しい組合せを以下から選びなさい。
A. 帰無仮説p=1/6、対立仮説p≠1/6、帰無仮説を棄却
B. 帰無仮説p>1/6、対立仮説p=1/6、帰無仮説を棄却
C. 帰無仮説p<1/6、対立仮説p>1/6、帰無仮説を採択
D. 帰無仮説p=1/6、対立仮説p≠1/6、帰無仮説を採択
E. いずれでもない

471:１３２人目の素数さん
18/11/27 11:56:26.20 oixSVMNZ.net
質問スレに書きたまえ。

472:１３２人目の素数さん
18/11/27 14:19:17.27 Lp6axtvL.net
>>444
> T.test=function(n1,n2,m1,m2,sd1,sd2){
+ SE12=sqrt((1/n1+1/n2)*((n1-1)*sd1^2+(n2-1)*sd2^2)/((n1-1)+(n2-1)))
+ T=(m1-m2)/SE12
+ 2*pt(abs(T),n1-1+n2-1,lower.tail = FALSE)
+
+ }
> T.test(100,100,600,570,70,70)
[1] 0.002767864

473:１３２人目の素数さん
18/11/27 14:22:23.16 Lp6axtvL.net
>>444
> kinyu=scale(rnorm(100))*70+600
> seizo=scale(rnorm(100))*70+570
> t.test(kinyu,seizo,var.equal = TRUE)
Two Sample t-test
data: kinyu and seizo
t = 3.0305, df = 198, p-value = 0.002768
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
10.47802 49.52198
sample estimates:
mean of x mean of y
600 570
> t.test(kinyu,seizo,var.equal = TRUE,alt='greater')
Two Sample t-test
data: kinyu and seizo
t = 3.0305, df = 198, p-value = 0.001384
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
13.64024 Inf
sample estimates:
mean of x mean of y
600 570
答は　A

474:１３２人目の素数さん
18/11/27 14:26:13.78 Lp6axtvL.net
>>445
前半
> binom.test(0.15*500,500,0.20,alternative = 'less')
Exact binomial test
data: 0.15 * 500 and 500
number of successes = 75, number of trials = 500, p-value = 0.002383
alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.2
95 percent confidence interval:
0.0000000 0.1788032
sample estimates:
probability of success
0.15
答はC

475:１３２人目の素数さん
18/11/27 14:29:13.62 Lp6axtvL.net
>>445
後半
> binom.test(60,300,1/6)
Exact binomial test
data: 60 and 300
number of successes = 60, number of trials = 300, p-value = 0.1216
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.1666667
95 percent confidence interval:
0.1562313 0.2498044
sample estimates:
probability of success
0.2
帰無仮説は棄却できない。
帰無仮説を不採択だから、答はE
　

476:１３２人目の素数さん
18/11/27 15:00:23.15 nF8QUSwO.net
>>445
447-450
この問題で答えがEなんてありえるの？

477:１３２人目の素数さん
18/11/27 16:17:20.20 V3tvhpxu.net
>>451
キム仮説は棄却するものであって採択するものではない。

478:１３２人目の素数さん
18/11/27 16:24:02.48 LSBkGFiA.net
>>452
どういうことですか？
棄却されないという言い方しないと不正解だという意味？

479:１３２人目の素数さん
18/11/27 16:28:58.66 LSBkGFiA.net
あ、ほんとだ。帰無仮説って採択しちゃいけないんですね。

480:１３２人目の素数さん
18/11/27 23:44:32.45 vRyR0fY+.net
y=f(x) (0≦x≦a, f(x)≦0, f(0) = f(a) = 0)であらわされる滑り台上をボールを転がす運動を考える。
ただし、摩擦、空気抵抗などは無視してボールは重力とすべり台の面からの垂直抗力のみをうけて運動するものとする。
(0,0)にボールを静かにおいて滑り台を転がせ、(a,0)まで運動させるとき、その所要時間が最小となる曲線はなにか？
また東京ー大阪間の距離を400km、重力加速度を9.8m/s^2としたときの所要時間はおよそいくらか？
とある数学読み物で見つけた記事より。
当方答えのみ知っております。
導出の方法など知らないのでそれは自己採点でおながいしますｗ

481:１３２人目の素数さん
18/11/28 11:39:19.45 g3KJxOzn.net
有名問題だが、地球を球体とした場合はサイクロイドにはなんないと思うぞい

482:１３２人目の素数さん
18/11/28 12:33:05.86 Ra/jVdM5.net
>>456
そこは気になったんですが元記事通りの文章で。
今は400kmは地球が球状であることは無視でおながいします。

483:１３２人目の素数さん
18/11/28 19:18:07.40 aJc4zmU1.net
>>380
最後の手段でズルしちゃうけど、剰余項は少なくとも
O(n^(131/416＋ε)) (ε＞0は任意)まで改善できるはず。
ただし dirichlet divisor problem を経由するのでとてもズルイｗ
まず、nの約数の総和をd(n)とするとき、
Dirichlet hyperbola method により、1以上の実数xに対して
Σ(1≦n≦x)d(n)＝2Σ(1≦n≦x^{1/2})[x/n]－[x^{1/2}]^2
が成り立つ。
Σ(1≦n≦x^{1/2})[x/n]＝Σ(1≦n≦x^{1/2})(x/n)－Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}
なので、お目当ての Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n} が出てきて
2Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}＝2xΣ(1≦n≦x^{1/2})(1/n)－[x^{1/2}]^2－Σ(1≦n≦x)d(n)
と表せる。

484:１３２人目の素数さん
18/11/28 19:22:38.31 aJc4zmU1.net
次に、Σ(1≦n≦x^{1/2})(1/n) に対してオイラー・マクローリンの公式
Σ(a≦n≦x)f(n)
＝∫(a,x)f(t)dt＋(f(a)＋(1－2{x})f(x))/2＋B_2({x})f'(x)－B_2(0)f'(a)－∫(a,x)B_2({t})f''(t)dt
(ただしaは整数でxは実数でB_2(t)＝(t^2/2)－(t/2)＋(1/12))
を適用して、γ＝lim(x→∞)(Σ(a≦n≦x)(1/n)－log(x)) と合わせて計算すれば、
2Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}＝x^{1/2}＋xlog(x)＋(2γ－1)x＋O(1)－Σ(1≦n≦x)d(n)
となるはず。一方で、dirichlet divisor problem の最新の結果では
Σ(1≦n≦x)d(n)＝xlog(x)＋(2γ－1)x＋O(x^θ), infθ≦131/416
となっているので、
2Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}＝x^{1/2}＋O(1)－O(x^θ)＝x^{1/2}＋O(x^θ), infθ≦131/416
となって、目標の剰余項 O(n^(131/416＋ε)) (ε＞0は任意)になる。

485:１３２人目の素数さん
18/11/28 19:26:03.82 aJc4zmU1.net
ちなみに、逆の計算もできて、
Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}＝(1/2)x^{1/2}＋O(x^α)
が成り立つなら
Σ(1≦n≦x)d(n)＝xlog(x)＋(2γ－1)x＋O(x^α)
も成り立つ。よって、>>380の剰余項はdirichlet divisor problemの剰余項と
本質的に同じものになる。そして、dirichlet divisor problemの剰余項では
infθ≧1/4 が成り立つらしいので、>>380の剰余項もそこまでが限界になる。
ぴったり infθ＝1/4 が成り立つかは未解決問題らしい。

486:１３２人目の素数さん
18/11/28 19:29:43.00 aJc4zmU1.net
dirichlet divisor problemにおけるO(x^θ)の変遷はwikipediaに年表が載っていて、
最初にO(x^{1/2})があって、次の更新は1904年で、このときはO(x^{1/3}log x)が得られている。
一応、この時点で >>411よりも精度が高い。該当する論文は、よく分からないけどたぶんこれ。
sur une fonction transcendante et ses applications a la sommation de quelques series
sur une fonction transcendante et ses applications a la sommation de quelques series(suite)
どちらも非常に長い上に、ゼータ関数を経由していて何をやっているのか全然分からん。
最初の更新がこんな高度なレベルってのが信じられんｗ
別の見方をすると、>>380や >>411ならO(x^{1/3}log x)には及ばないものの非自明な更新が
初等的に得られるということでもある。

487:１３２人目の素数さん
18/11/28 20:32:26.13 r8zTzMor.net
問題（第１種情報処理技術者試験・平成元年度春期午前問１７を改題）
ある医院では、患者が平均１０分間隔でポアソン到着にしたがって訪ねてくることがわかった。
医者は１人であり、１人の患者の診断及び処方にかかる時間は平均８分の指数分布であった。
設問１　患者が待ち始めてから、診断を受け始めるまでの「平均待ち時間」を求めなさい。

488:１３２人目の素数さん
18/11/28 23:11:43.61 9XMjQaay.net
>>458
>Dirichlet hyperbola method
なんかすごいのが出てきた。
こんなんがあるんだ！

489:１３２人目の素数さん
18/11/28 23:26:34.56 9XMjQaay.net
>>458
あかん。のっけからわからん。
Dirichlet hyperbola method って
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
ですよね？
このf,g,hに何をapplyしたら
Σ(1≦n≦x)d(n)＝2Σ(1≦n≦x^{1/2})[x/n]－[x^{1/2}]^2
になるんですか？

490:１３２人目の素数さん
18/11/28 23:38:27.58 9XMjQaay.net
あ、わかった。g=h=1、f(x) = d(x)だ。なるほろ。

491:１３２人目の素数さん
18/11/28 23:52:51.22 9XMjQaay.net
>>459
ホントだ。示せてる。すんげ～。

492:１３２人目の素数さん
18/11/29 00:12:29.89 KKV0PTEX.net
となると今度は >>380の出題者さんの難しい論文を引用しないでも済む方法が聞きたい。
おながいします。

493:１３２人目の素数さん
18/11/29 05:26:25.15 j6Cen0SX.net
>>458-461
ふぁっ！？　そんなもんがあったのか…勉強になるわ、後でじっくり読もう
一応 >>380 の解答載せるけど、だいぶゴリッゴリの力ずくでそれ程有意義とも思えんけどまあ許してちょ…
あとリクエストにおこたえしてガバガバながら一番最後以外の細かい係数も出してみた
実数 δ, δ', β, c を 0<δ/2≦β<δ<δ'<1, 3δ'≦1+δ, 0<c≦δ-β を満たすものとして任意に固定する。
（パラメータを最適化したら δ'=1/3, δ=1/6, β=c=1/12 となるから先に代入して読んでいっても可）
n を正の整数とする。各正の整数 r≦n^(δ'-δ) に対して集合 J_r を
J_r := {mは0以上の整数| r ≦ 1 + m/(n^δ) < 1+r }
と定める。また、各 m∈J_r に対して集合 I_m を
I_m := {kは2以上の整数| 1+m/(n^δ) ≦ n/(k(k-1)) < 1+(m+1)/(n^δ)}
と定める。以降、r と m は上に示された範囲のみを動くものとする。
まずは I_m の元の個数 |I_m| を評価したい。I_m の条件式を整理すると
(1/2)*(1+√(1+4n*(1+(m+1)/(n^δ))^(-1))) < k ≦ (1/2)*(1+√(1+4n*(1+m/(n^δ))^(-1)))
となるから、この範囲の k の個数を考えると
|I_m| ≦ 1 + √(n*(1+m/(n^δ))^(-1)) - √(n*(1+(m+1)/(n^δ))^(-1))
≦ 1 + (√n)*(1/(n^δ))/(2*(1+m/(n^δ))^(3/2))
≦ 1 + (1/2) * n^(1/2 - δ) * r^(-3/2)
≦ (3/2)*n^(1/2-δ)*r^(-3/2) (∵ 1/2-δ-(3/2)(δ'-δ)≧0 )
=: L_r.

494:１３２人目の素数さん
18/11/29 05:28:21.92 j6Cen0SX.net
ディリクレのディオファントス近似定理から、各 m について
|m/(n^δ) - p/q| ≦ 2/(qn^β) ((p,q)=1, 1≦q≦n^β) …（☆）
を満たす整数 p,q が存在する。
また、逆に q<n^β を固定したときに（☆）を満たす p が存在するような m∈J_r の個数は、
≦ φ(q)*(2+2(n^δ)/(qn^β)) (φはオイラーのトーシェント関数)
≦ 2(q+n^(δ-β)).
また、そのような m について
n/k = n/k_0 + (1+m/(n^δ))(k-k_0) + ψ~(k) (for∀k∈I_m. ただし k_0:=min(I_m))
とおくと |ψ~(k+1)-ψ~(k)|≦n^(-δ) が成り立つが、これより
n/k = n/k_0 + (1+(p/q))(k-k_0) + ψ(k) (for∀k∈I_m)
とおくと |ψ(k+1)-ψ(k)|≦n^(-δ)+2/(qn^β) が成り立つ。ゆえに、>>416 の補題から
Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)
≦ [|I_m|/q]( 3q*(q/(n^δ) + 2/(n^β)) + 3 ) + q (∵q個の連続する整数ごとに和をとる。あぶれる項はq以下)
≦ 3*L_r*(q/(n^δ) + 3/q) + q.
ここで、J_r を２つの集合
J'_r := {m∈J_r| q≦n^c ととれる },
J''_r := {m∈J_r| q≦n^c ととれない }
に分割すると、
|Σ_(m∈J'_r) Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)| ({x}はxの小数部分)
≦ Σ_(q=1,[n^c]) 2(q+n^(δ-β))*(3*L_r*(q/(n^δ)+3/q)+q)
≦ Σ_(q=1,[n^c]) 4(n^(δ-β))*(12(L_r)/q + q) (∵c≦δ-β)
≦ 48*L_r*n^(δ-β)*(1+clogn) + 4n^(δ-β+2c).
また、
|Σ_(m∈J''_r) Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)|
≦ Σ_(

495:m∈J''_r) (12(L_r)/(n^c) + n^β) ≦ 12*L_r*n^(δ-c)+n^(δ+β). 以上から、 |Σ_(m∈J_r) Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)| ≦ (上二つのJ'_r,J''_rについての評価式の和).

496:１３２人目の素数さん
18/11/29 05:33:09.64 j6Cen0SX.net
この評価式を r=1,2,…,[n^(δ'-δ)] について足し合わせれば、
Σ_(r=1,[n^(δ'-δ)]) Σ_(m∈J_r) Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)
≦ 72ζ(3/2)*n^(1/2-β)*(1+clogn) + 4n^(δ'-β+2c) + 18ζ(3/2)*n^(1/2-c) + n^(δ'+β).
また、k=1,…,[√n] のうち、このΣで k の項が足されていないようなものの個数は
≦ 1+n^((1/2)(1+δ-δ'))
であることがわかる。ゆえに、
|Σ_(k=1,[√n]) {k/n}-(1/2)| ≦ (上二つの評価式の和)+1. (最後の +1 は整数 k>[√n] の項で足された分)
δ'=1/3, δ=1/6, β=c=1/12 と定めることにより |Σ_(k=1,[√n]) ({n/k}-1/2)|=O(n^(5/12)*logn) がわかる。□

497:１３２人目の素数さん
18/11/29 06:22:50.32 HF9YHqBY.net
>>468-470
乙です。
こっちは、剰余項を考えないバージョンの
lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2}){x/k}＝1/2
が一般的な形で証明できたかもしれない。使うのは >>413で、m∈Z－{0}のときは
lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})e^{2πimx/k}＝lim(x→∞)x^{－1/2}O(x^{1/3})＝0
が成り立ち、m＝0 のときは
lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})e^{2πimx/k}＝1
が成り立つので、あとは Weyl's criterion の手法を機械的に真似すればいい。
こうすると、より一般的に、リーマン可積分な任意の f：[0,1]→R に対して
lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})f({x/k})＝∫(0,1)f(t)dt
が示せるはず。例のごとく間違ってる可能性もあるので、詳しくは書かないけどｗ

498:１３２人目の素数さん
18/11/29 17:20:21.53 eeR3aEhF.net
有名なのできっと既出だとは思いますが、すごくお気に入りなのでぜひ紹介させてください。
ドラゴンの目の色は、赤か緑のどちらかである。
ドラゴンは不死身だが、もし自分の目の色が緑だと知ってしまった場合、そのドラゴンは日付が変わると同時にトカゲに変身してしまう。
だからドラゴンたちは決して鏡を見ないし、お互いの目の色の話もしないのだ。
ところで、ある島にはドラゴンが100頭住んでいて、その目はすべて緑色である。
ここを訪れたある旅人は去り際に、見送りに来た100頭のドラゴン全員に聞こえるようにこう言った。
「この島には少なくとも一頭、緑の目のドラゴンがいる」
このあと、この島で何日後に、何が起こるだろうか。
ただしドラゴンたちは十分に聡明で、もしあるドラゴンがトカゲに変身したとき次の日にはそのことを皆が知ることになるものとし、
100頭のドラゴンは互いに顔見知りであり自身以外の99頭が緑の目をもつことを知っているものとし、
この島にドラゴンは出入りしないものとする。

499:１３２人目の素数さん
18/11/29 18:58:12.47 +9fHdpLo.net
不思議だなこれ
寝る。
次の日n頭中の誰もトカゲになってないなら、
どうn-1頭をとってもその中に少なくとも1頭緑目がいることになる。
適当にn-1頭が集まって「この中に少なくとも1頭緑目がいる」と宣言する。しなくても皆気付いてるけど。
寝る。
次の日集まったn-1頭中の誰もトカゲになってないなら、
その中からどうn-2頭をとってもうち少なくとも1頭は緑目がいることになる。
適当にn-2頭が集まって「この中に少なくとも1頭緑目がいる」と宣言する。しなくても皆気付いてるけど。
以下略
一方で「島には少なくとも1頭緑目がいる」という旅人の言葉は
全てのドラゴンにとって既知の事実だし、
それが全てのドラゴンにとって既知の事実だということも皆が知っているし、
それが全てのドラゴンにとって既知の事実だということも皆が知っているということも皆が知っている。
旅人の言葉は何の情報を与えてドラゴンの推論エンジンを始�

500:ｮしたのか？

501:１３２人目の素数さん
18/11/29 21:03:17.45 HF9YHqBY.net
>>471の方針のもとで剰余項ありのケースを考えたら、
C_0^∞関数で近似して普通に剰余項が出たっぽい。
f：[0,1]→Rは2階微分可能で、f '' ∈L^2 が成り立つとする。
このとき、α＝1/3に対して
Σ(k≦x^{1/2})f({x/k})＝x^{1/2}∫(0,1)f(t)dt＋O(x^{(2/5)α＋(3/10)})
が成り立つ。
残念ながら、O(x^{5/12}log(x))よりは精度が悪いｗ

502:１３２人目の素数さん
18/11/30 00:36:11.15 rQpMmAJV.net
>>472
類題をどっかで見たようなと思ったけど、これと同じかな？
こっちのほうがイメージしやすそう
100組の夫婦が暮らす村がある。
100人の夫は全員他の家の妻と不倫をしている。
この村のルールでは、妻が夫の不倫を知ったらその夜に夫を殺さなければならない。
妻は他の家の夫が不倫をしていることを必ず見抜くことができるが、
自分の夫の不倫には絶対に気がつかない。
妻たちは全員論理的な思考ができて、かつ他の妻に夫が不倫をしていることを決して言わない。
村を訪れた旅人が「少なくとも一人の夫が不倫をしている」と言った。
その後どうなるか。

503:１３２人目の素数さん
18/11/30 03:38:09.32 6JPMu1Zv.net
見直したけど大丈夫っぽいので、>>471の詳細を書いてみます。
剰余項つきの >>474はまた今度。
f：[0,1]→Rに対して
S_u(f)＝limsup(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})f({x/k})
S_d(f)＝liminf(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})f({x/k})
と置く。lim が実数として存在するときには
S(f)＝lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})f({x/k})
とも置く。S(f)が存在することと、
S_u(f)＝S_d(f)∈R が成り立つことは同値であり、
そのときS(f)＝S_u(f)＝S_d(f)∈Rが成り立つ。

504:１３２人目の素数さん
18/11/30 03:41:32.79 6JPMu1Zv.net
fがリーマン可積分なら、S(f)が存在してS(f)＝∫(0,1)f(t)dtが成り立つことを示したい。
Weyl's criterion の真似をする(f(x)が特殊な形から出発して一般化していく)。
f(x)＝sin(2πkx) (k∈Z) のときは、もしk≠0なら、
>>413により S(f)＝0＝∫(0,1) f(t)dt である。
また、k＝0のときは S(f)＝0＝∫(0,1) f(t)dt である。よって、この場合は成立。
f(x)＝cos(2πkx) (k∈Z) のときは、もしk≠0なら、>>413と同じように計算して、
S(f)＝0＝∫(0,1) f(t)dt である。また、k＝0のときは
S(f)＝1＝∫(0,1) f(t)dt である。よって、この場合も成立。
S(f)の線形性により、有限個の sin(2πkx), cos(2πkx) (k∈Z) の
R係数の線型結合で表されるg(x)に対しても、S(g)が存在してS(g)＝∫(0,1)g(t)dtとなる。

505:１３２人目の素数さん
18/11/30 03:44:54.09 6JPMu1Zv.net
次に、f：[0,1]→R が連続で f(0)＝f(1) を満たすときを考える。
この場合、フーリエ展開の理論から、任意のε＞0に対して、有限個の
sin(2πkx), cos(2πkx) (k∈Z) のR係数の線型結合で表されるg(x)であって
sup(x∈[0,1])|f(x)－g(x)|＜ε
を満たすものが取れる。S(g)＝∫(0,1)g(t)dt により、
S_u(g)＝S_d(g)＝∫(0,1)g(t)dt なので、g－ε≦f≦g＋ε (各点)
と合わせて
S_u(f)≦S_u(g＋ε)＝S_u(g)＋ε＝∫(0,1) g(t)dt＋ε
S_d(f)≧S_d(g－ε)＝S_d(g)－ε＝∫(0,1) g(t)dt－ε
S_u(f)≧S_d(f)
となる。また、|∫(0,1)g(t)dt－∫(0,1)f(t)dt|≦εである。よって、
∫(0,1)f(t)dt－2ε≦S_d(f)≦S_u(f)≦∫(0,1)f(t)dt＋2ε となる。
ε＞0は任意だったから、この場合も成立。

506:１３２人目の素数さん
18/11/30 03:48:44.97 6JPMu1Zv.net
次に、A⊂[0,1] に対して、1_A：[0,1]→R を 1_A(x)＝1 (x∈A), 0 (x∈[0,1]－A) と定義する。
ここでは、I⊂[0,1] は開区間または閉区間または半開区間とする。f＝1_I のときを考える。
任意のε＞0に対して、折れ線で構成される連続関数 f_1,f_2：[0,1]→R であって
f_k(0)＝f_k(1) (k＝1,2),
f_1≦f≦f_2 (各点の意味),
∫(0,1)(f_2(t)－f_1(t))dt＜ε
を満たすものが簡単に構成できる。S_u(f_k)＝S_d(f_k)＝∫(0,1)f_k(t)dt なので、
S_u(f)≦S_u(f_2)＝∫(0,1)f_2(t)dt≦∫(0,1)f_1(t)dt＋ε≦∫(0,1)f(t)dt＋ε
S_d(f)≧S_d(f_1)＝∫(0,1)f_1(t)dt≧－ε＋∫(0,1)f_2(t)dt≧－ε＋∫(0,1)f(t)dt
S_u(f)≧S_d(f)
により、－ε＋∫(0,1)f(t)dt≦S_d(f)≦S_u(f)≦∫(0,1)f(t)dt＋ε となる。
ε＞0は任意だったから、この場合も成立。

507:１３２人目の素数さん
18/11/30 03:53:36.23 6JPMu1Zv.net
よって、有限個の 1_I (I⊂[0,1]は開区間または閉区間または半開区間)の
R係数の線型結合で表されるg(x)に対しても、S(g)が存在してS(g)＝∫(0,1)g(t)dtとなる。
すなわち、任意の階段関数 g：[0,1]→R に対して、S(g)が存在してS(g)＝∫(0,1)g(t)dtとなる。
最後に、f：[0,1]→R は

508:リーマン可積分とする。リーマン積分の性質により、任意のε＞0に対して、ある階段関数 f_1,f_2：[0,1]→R が存在して、 f_1≦f≦f_2 (各点の意味), ∫(0,1)(f_2(t)－f_1(t))dt＜ε が成り立つ。よって、>>479と同じ計算で S(f)＝∫(0,1)f(t)dt となる。特にf(x)＝xとして、lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2}){x/k}＝1/2 が成り立つ。□

509:１３２人目の素数さん
18/11/30 15:38:06.60 rQpMmAJV.net
>>473
解説を読んでもすぐにはピンとこないよね
＞99日後に分かる
＞「少なくとも99頭のドラゴンが緑の目をしていること」はみんな知っているよ
＞これが「旅人がドラゴンに与えた情報」です

510:１３２人目の素数さん
18/11/30 15:56:26.16 FBGG17Gf.net
>>475
今までに
他の家で誰も殺されていないことを全ての妻が知っている、のが前提だよね？

511:１３２人目の素数さん
18/11/30 17:09:43.19 DJTATwgI.net
>>480
なるほど、求める性質が成り立ってくれるとわかる関数のクラスをどんどん"扱いやすいもの"にしていくという方法か
そうすると、2以上のαに対して S'(f)=lim_(x→∞) x^(1/α) Σ_(k=1,[x^(1/α)]) f(k) と定義した時に
同じ議論が成り立つかどうかも、最初の sinkx, coskx についての箇所さえチェックすればいいことになるんかな
まあ、これを考えるとなると、一般の多項式についてガウス和チックなこと考えなきゃいけなくて
かなり面倒になることが予想される…ｗここも興味ある有志にお任せするとしようか

512:１３２人目の素数さん
18/11/30 17:16:10.09 REFDuxRq.net
緑目ドラゴン3頭が島で暮らしている。
旅人が「少なくとも1頭は緑目」と言う。
ドラゴンAは考える
「我以下の2頭は緑目」
「論理的に考えて3頭中どの2頭をとっても少なくとも1頭緑目がいる」
「我とドラゴンBのうち少なくとも1頭は緑目」
「見てわかるようにドラゴンBは緑目」
「だがドラゴンBから見ると『論理的に考えて3頭中どの2頭をとっても少なくとも1頭緑目がいる』は成り立たない」
「我が赤目の場合、ドラゴンBからは緑目は1頭しか見えていないのだからな」
「とすれば論理的に考えて」
「皆が緑目であるか、」
「自分だけが赤目であるか、」
「のいずれかであるな」
おしまい。

513:１３２人目の素数さん
18/11/30 17:28:59.35 REFDuxRq.net
>>484
＞「我以下の2頭は緑目」
我以外、の書き間違えでした。
自分の目の色はわからないので自分と他人とでは情報に対称性がないわけです。
よって「自分から見るとAが帰結されるから他人もAと帰結するはず」とは言えない。
「少なくとも1頭緑目がいる」という既知の情報からは
「自分だけが赤目か皆が緑目のいずれかである」
という既知の事実以上の推論は不可能でした。

514:１３２人目の素数さん
18/11/30 19:07:58.32 rQpMmAJV.net
①　既知の情報だから何も起こらない説
②　外部発言がなくても全員が変身する説
信じるか信じないかは、あなた次第

515:１３２人目の素数さん
18/11/30 19:31:32.14 REFDuxRq.net
>>473
＞適当にn-1頭が集まって「この中に少なくとも1頭緑目がいる」と宣言する。しなくても皆気付いてるけど。
この「皆気付いてるけど」が少なくとも n=3 のときは成り立たないんだよね

516:１３２人目の素数さん
18/11/30 23:57:51.84 FDb9lbGr.net
３匹の場合でこうかな
1日目のA:
1)我(A)が赤目だと仮定しよう。そのとき、Bは赤目(A)と緑目(C)が見えている。
Bは「a)我(B)が赤目だと仮定しよう。そのとき、Cは赤目(A,B)だけが見えている。
ならば、Cは『緑目が少なくとも一頭いるのだから、我(C)が緑目だ』と考える。
b)我(B)が緑目だと仮定しよう。そのとき、Cは赤目(A)と緑目(B)が見えている。
ならば、Cは『緑目が少なくとも一頭いることからは、我(C)が緑目だとはいえない』と考える。
a)b)から、明日になってCがトカゲになっていたら我(B)は赤目、ならなかったら我(B)は緑目だ」と考える。
2)我(A)が緑目だと仮定しよう。そのとき、Bは緑目(A,C)が見えている。
Bは「緑目が少なくとも一頭いることからは、我(B)が緑目だとはいえない」と考える。
2日目のA:
Cはトカゲにならなかった。
1)我(A)が赤目だと仮定しよう。Bは「我(B)は緑目だ」と考える。
2)我(A)が緑目だと仮定しよう。Bは「我(B)は緑目だとはいえない」と考える。
1)2)から、明日になってBがトカゲになっていたら我(A)は赤目、ならなかったら我(A)は緑目だ。
3日目のA:
Bはトカゲにならなかった。
我(A)は緑目だ。

517:１３２人目の素数さん
18/12/01 00:19:18.76 d/iEZ9M6.net
>>488
対称性から2日目に結論が出るから、3日目には全員トカゲになっているな

518:１３２人目の素数さん
18/12/01 00:25:39.26 subMGBQf.net
>>488
そうするとこの場合はどうなるんだろう。
島に3頭の緑目ドラゴンがいた。
ドラゴンAはある日ふと思った。
「この島には少なくとも1

519:頭の緑目がいる」

520:１３２人目の素数さん
18/12/01 00:26:50.87 subMGBQf.net
もちろんBCも(目で見て)それ(少なくとも1頭緑目がいることを)を知っている、とAは考えている。

521:１３２人目の素数さん
18/12/01 00:37:15.89 UzK/K8Af.net
>>490
その場合はAの想像の中のBの想像の中のCは「緑目が少なくとも一頭いる」ことは知らない。
ABCが「緑目が少なくとも一頭いる」という知識を共有してないといけない。

522:１３２人目の素数さん
18/12/01 00:50:34.34 subMGBQf.net
>>492
1行目はわかるんだけれども、2行目、
旅人なしでも
少なくとも1頭はいるという知識は共有しているし
共有しているという知識も共有していますよね。

523:１３２人目の素数さん
18/12/01 04:25:09.77 CULPj2qo.net
「あなた方の少なくとも1匹は緑目」
＝「あなた以外のドラゴンがみな緑目でないなら、あなたは緑目」
「俺達の少なくとも1匹は緑目」からは後者の推論が成り立たない

524:１３２人目の素数さん
18/12/01 05:59:03.59 subMGBQf.net
「俺たちの少なくとも1頭は緑目」
＝「俺以外の2頭が赤目なら俺は緑目」
形式的には全く問題なく推論が成り立つ気がするが

525:１３２人目の素数さん
18/12/01 07:35:05.28 B/IRA2ng.net
>>475
類題として俺はこれを思い出した。
URLﾘﾝｸ(imagizer.imageshack.com)

526:イナ
18/12/01 09:36:39.36 Lf06XF8t.net
>>496
すぐに走りだす奴がいないということは三人の帽子は順不同の白白赤か白白白。
つまり白赤が見えてるか白白が見えてる。白赤が見えてるとき人は一般に自分が赤である確率が1/3だから走るはずだ。が、あとの二人が走らないということは白白が見えてるってこった！―そう思ってみんな走った。

527:１３２人目の素数さん
18/12/01 10:09:01.06 fEPxSJvL.net
www

528:１３２人目の素数さん
18/12/01 10:54:01.84 wA8sRiTg.net
５００

529:１３２人目の素数さん
18/12/01 12:39:41.36 CULPj2qo.net
>>495
「俺たちの～」は、(自分を除いて)少なくとも1頭が緑目、という限定主観情報
「あなた方の～」は、(自分も含めて)少なくとも1頭が緑目、という客観情報
限定主観情報からは自分が緑目の推論は不可能

530:１３２人目の素数さん
18/12/01 16:52:23.81 CULPj2qo.net
「共有知識」で検索してたら関連パズルを発見
A,B,Cの3人が次のようなゲームをしました．
まずゲームマスターが3つの帽子に30, 2018, 2048と書き込み，この順にA,B,Cにかぶせます．
ゲームマスターは全員の前でこう告げます：
「帽子には全て正の整数が書かれています．それから，帽子に書かれた数のうち最大のものは，残りの2つの数の和になっています．」
3人は自分以外の人の帽子は見えますが，自分の帽子は見えません．
次にゲームマスターはA,B,Cの順に「自分の帽子に書かれた数がわかりますか？」と尋ねます．
全員が続けて「わからない」と答えたら，再びA,B,Cの順に同じことを尋ねます．
最初に自分の帽子に書かれた数字がわかるのは3人のうち誰で，それはその人への何回目の質問のときでしょうか．
ただし参加者全員は十分に明晰で，嘘をつくこともないとし，発言は全員に聞こえるものとします．

531:
18/12/01 18:51:55.48 Lf06XF8t.net
師走、師走、師走！
師が走ると書いて師走!!
笑わば笑え、師走の気層のひかりの底を唾しはぎしりゆききする、俺はひとりの修羅なのだ！　前 >>497
開運!!
参考文献
『春と修羅』宮沢賢治

532:
18/12/01 19:23:22.88 Lf06XF8t.net
ヾ∩∩〃
（(`e`)やぁ
（っц)~きつい戦い
~ιγ) でした。
_υ`υ_ 二人とも走んなかったんで、こいつら白白見てる、俺白だ！　前 >>502ピンときました。どのみち同時に走ったところで勝つ確率1/3なんで、それならスタート切って2/3失格じゃないなら

533:一抜けできるなって。

534:１３２人目の素数さん
18/12/01 19:47:10.44 uyFzn6KH.net
>>501
とりあえず73ターン目のCは正解出来るみたいね。
これ以前に誰かが正解出来る可能性が否定出来てないのでダメだけど。
まず1ターン目誰もわからないので(a,a)の形が見えてる人がいないことが分かる。
次に2ターン目誰もわからないので(a,2a)の形が見えてる人がいないことが分かる。
次に3ターン目誰もわからないので(a,3a), (2a, 3a)の形が見えてる人がいないことが分かる。
……
と続けていくと遅くとも73ターン目のＢの終了時点で(15a, 994a)の形が見えてる人がいないとわかり、Cはこの時点で(30,2018,1988) でないとわかるのでこのターンで正解出来る。
これが最初かどうかは不明。

535:１３２人目の素数さん
18/12/01 20:46:54.61 CULPj2qo.net
(a,a)否定の意味は分かるけど
(a,2a)否定の意味が分からないorz

536:１３２人目の素数さん
18/12/01 21:12:27.84 uyFzn6KH.net
もし(a,2a)と見えてる人がいたらその人にとって可能性は
(a,a,2a)か(a,2a,3a)しかないけど1ターン目で前者が否定されてるから(a,2a,3a)に確定するはず。
にも関わらず2ターン目で全員解答不能ならそのように見えてる人はいないとわかる。

537:１３２人目の素数さん
18/12/01 22:26:37.88 oLhduph7.net
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538:１３２人目の素数さん
18/12/01 22:47:57.42 CULPj2qo.net
>>506
なるほど
ということは４ターン目終了時は以下が否定か
(a,4a)、(2a,5a)、(3a,4a)、(3a,5a)
まだ (15a,994a) の理屈は分かってないけど
1988＝2*2*7*71 は関係あるかもね

539:１３２人目の素数さん
18/12/01 23:13:44.17 ix7k9ti5.net
昔家庭教師だったけど、数年前に学生に

540:出された問題がわからない。曰く数学オリンピックに入賞した奴が考えた問題だそうで、それの回答をせがんできたが自分には無理だった今でも悔しいので、誰か答えがわかったら多角形の対角線(以下A)をすべて結び、対角線同士の交点をXとする。またXから、他のXもしくは多角形の頂点へと線を結び(以下B)、B同士、またはBとAが交わった点をYとする。またYから、他のY、もしくはX・多角形の頂点へと線を結び、それらの線同士、またはそれらの線とB、Aが交わった点をZとする。以下この操作を無限に繰り返すことができない多角形をMとする。 ①Mに該当する六角形を１つ図示せよ ②Mは七角形以上の多角形には存在しないことを証明せよ ①は分かった ②は無理だった

541:１３２人目の素数さん
18/12/01 23:25:49.60 uyFzn6KH.net
>>509
> ①Mに該当する六角形を１つ図示せよ
>
> ①は分かった
はどんな6角形ですか？

542:１３２人目の素数さん
18/12/01 23:38:40.23 ix7k9ti5.net
>>510
ヒントでいいなら、まず無限に上の操作を繰り返せない五角形を考えてみたらいいと思う
六角形はその要領で考えたら自然と出来るよ

543:１３２人目の素数さん
18/12/02 00:10:17.97 qrkUsr2r.net
>>511
いや、問題文の意味がわからない。
>>509の文章からは今まで獲得した点集合から４点ABCDを線分AB、CDを選んでその交点を新たに追加していいように思える。
でもそのルールだとどんな凸５角形からスタートしても無限に交点を生成できる。
たとえばABCDEを凸５角形でこの順にならんでるとしてAC、BDの交点をX[1]、X[1]E、ADの交点をY[2]、
以下AC、BY[i-1]の交点をX[i]、AD、X[i]Eの交点をY[i]とえらんでいけば、X[i]はAC上のすべて異なる点になってしまう。
なんかこの作業が禁止される禁止則がないとだめだけど >>509の文章ではそれがなにか伝わってこない。
なので６角形でMに属する図形の例あげてもらえれば伝わってくるのではないかと。

544:１３２人目の素数さん
18/12/02 01:06:23.43 fdTrITVn.net
>>512
五角形は長方形の対角線の交点に頂点が来るようにしたらいけるよ
それ以上結びようがない

545:１３２人目の素数さん
18/12/02 01:12:54.18 j7QG7I+o.net
>>513
ああ、５角形って角が１８０度もありなのね。
やっと意味わかった。

546:１３２人目の素数さん
18/12/02 01:15:55.59 DwQ9ijI8.net
あ、ちがうな。
＞五角形は長方形の対角線の交点に頂点が来るようにしたらいけるよ
これで意味わかった。

547:１３２人目の素数さん
18/12/02 01:18:27.34 B+C2Ix9O.net
>>513
もう一度確認。
凸でなくてもいい（１８０°超えるのは可）
だけどピッタリ１８０°は不可で桶？
でないと△ABCのBC上に４点とればMになっちゃうもんね？

548:１３２人目の素数さん
18/12/02 01:30:04.51 /eJ4uY04.net
>>513
だめだ。まだ不明点あるや。
凸でなくていいならたとえば六角形ABCDEFで∠Aが180°超える場合、対角線BFは６角形の外にでるけど、たとえばこのBFと直線ACの交点を追加するのはありなん？
それともあくまで “辺”、”対角線” はその延長を含まず追加される点は常にもとのPolygonの中に限定されるの？

549:１３２人目の素数さん
18/12/02 01:46:22.52 fdTrITVn.net
>>516
それでいい
 >>517
あり

550:１３２人目の素数さん
18/12/02 01:49:02.50 Dx2sd3hu.net
>>518
(1)の６角形の６点は全てことならないとだめなん？
たとえば長方形ABCDの交点をXとして
ABXCDXを６活計とみなすのはあり？

551:１３２人目の素数さん
18/12/02 01:49:51.92 fdTrITVn.net
>>519
それはなしだな

552:１３２人目の素数さん
18/12/02 01:56:45.89 36l5kxLk.net
>>520
これはなしなのか…
だと(1)の方がさっぱりわからん。
なんか可能性みお

553:としてるのかな。凸包はやっぱり４角形？

554:１３２人目の素数さん
18/12/02 02:09:34.62 B+C2Ix9O.net
>>520
以下の解釈であってる？
Pを平面上の凸とは限らない多角形とする。
ただし内角は180°だけは禁止し、その周は単純閉曲線(S^1と同相)とする。
帰納的にF[i]を定める。
F[1] = Pの頂点集合。
F[i+1] = { l と mの交点 | l、m は F[1]∪…∪F[i] から任意に選んだ２点を結ぶ直線}
(1) #P = 6、#∪F[i] < ∞ をみたすPが存在することを示せ。
(2) #P ≧ 7、#∪F[i] < ∞ となるPは存在しないことを示せ。

555:１３２人目の素数さん
18/12/02 02:44:44.87 D2g2qj2O.net
>>508
省略表記の否定比率リスト(合ってる自信はない)
①　112
②　123
③　134　235
④　145　347　257　358
⑤　156　459　37.10　47.11　279　57.12　38.11　58.13

556:１３２人目の素数さん
18/12/02 03:03:38.91 s5Fyrcu3.net
>>509
URLﾘﾝｸ(integers.hatenablog.com)
これをヒントにできるかもね。線分を延長して直線にするのを許すか許さないかの違いはあるけど

557:１３２人目の素数さん
18/12/02 03:32:20.82 KWCNNez9.net
>>524
問題から出題の経緯までそっくりwww
もしかしてサイトの本人？
でも設定微妙にちがうよね？
>>509は対角線の延長の交点も追加するのありといってるけどそれだとサイトの６点配置が２つ載ってるけど両方アウトになる。

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