面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

378:１３２人目の素数さん
18/11/19 18:46:32.29 TVJAPYv0.net
>>344-347
だいたい考えてた解答と一緒です。
自分のは、1234→2341→3412→4123→1234のようなサイクルをつないでいくやり方でした。
探索なしで生成する方法はないんでしょうかね？

379:イナ
18/11/19 18:46:44.45 /GTUzlHS.net
前>>356両手ありで空にしたとこにすぐ入れるのをノーカンにするなら７回だけど、 (10)(０)(０) →(３)(７)(０) →(３)(４)(３) →(６)(４)(０)省略可 →(６)(１)(３) →(９)(１)(０)省略可 →(９)(０)(１) →(２)(７)(１) →(２)(５)(３) →(５)(５)(０) 片手だと９回か。

381:１３２人目の素数さん
18/11/19 23:43:46.25 eL1RQpps.net
>>350 >>353
(a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 - (20/27)^2/(7/6 +f/2)
　= (1/3) [(13+2√11)^{1/3} - (13-2√11)^{1/3}]^2
　= -0.237618966426144
　< 0,

382:１３２人目の素数さん
18/11/19 23:55:14.32 yvqX1603.net
>>359
■式を展開してゆくと
(a^2-b)(c^2-d)<0
a^2c^2-a^2d-c^2b+bd<0
a^2c^2-(a^2d+c^2b)+bd<0
a^2c^2-(a+c)(ad+bc)+ac(b+d)+bd<0
ac(ac+b+d)-(a+c)(ad+bc)+bd<0
ac(b+4ac+d)-3a^2c^2-(a+c)(ad+bc)+bd<0
a+c=-4/3, b+4ac+d=-2, ad+bc=4, bd=1
は作ることができたが
最終的に9a^2c^2+6ac-19>0となる

383:１３２人目の素数さん
18/11/19 23:55:39.30 vaYg27wd.net
>>357
え？自作問題なんですか？
よくこんなの思いつきましたね！すっげ！
とりあえず >>344-347みたいな解答できた後、明示的な解が作れないか考えたけど出来ずorz。
普段ならパソコンに探索させてやってみるんですが、今パソコン壊れててそれもできず。
少なくともm=2とかに限定すれば出来て不思議なさそうなんですけどねぇ？

384:１３２人目の素数さん
18/11/20 01:41:08.34 bRya54dl.net
>>355
こうなると人間技では無理だな。
100Lの容器いっぱいに油が入っています。51Lの容器と49Lの容器を使って、この油を50Lずつに分けます。どのような分け方がありますか。

385:１３２人目の素数さん
18/11/20 12:20:49.85 cFR1wwH3.net
>>362
１００ステップでできた。
URLﾘﾝｸ(tpcg.io)

386:１３２人目の素数さん
18/11/20 19:24:29.46 U5ObGMnl.net
>>361
いや、以前に問題だけなにかで知ったやつ。
いま探したけど、けっこう有名っぽい。生成コードも載ってるし。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
なんか見たことある名前だと思ったら De Bruijn notationの人だった。

387:１３２人目の素数さん
18/11/20 20:29:08.33 2b66cHGf.net
無限にも一般化できそうねこれ　既に解答あるかどうか知ってる訳じゃないけど
n を正の整数とする時、関数 f:Z→Z であって、F:Z→Z^n;F(x)=(f(x+1),f(x+2),…,f(x+n)) が全単射になるものは常に存在するか？

388:１３２人目の素数さん
18/11/20 20:41:37.58 2b66cHGf.net
De Bruijn torus みたいに多次元への一般化も考えられてるみたいだし、更にこんな一般化もできる　ごっちゃごちゃやけど
m, n_1, n_2,…, n_m を正の整数とし、N=n_1*n_2*…*n_m とおく。この時、関数 f:Z^m→Z であって
F:Z^m→Z^N; F(x) = ( f(x+(1,1,…,1)), f(x+(1,1,…,2)), …, f(x+(n_1,n_2,…,n_m)) )
が全単射になるものは常に存在するか？

389:１３２人目の素数さん
18/11/21 01:28:51.54 e25FOlfs.net
とりあえず >>364 のページには ”こうすりゃできる” というのが載ってはいるが、なぜそれで出来るサッパリわがんね。
試しにm=n=3で手計算でやってみると
aaabaacabbabcacbaccbbbcbccc
……できてる……すっげ！

390:１３２人目の素数さん
18/11/21 15:11:01.60 klg9AAWq.net
18: [] 2018/11/21(水) 02:38:57.162 ID:QyQDf8nQ0
これ頼む
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

391:１３２人目の素数さん
18/11/21 16:43:13.37 Ul7BezYU.net
ブルゾンちえみ

392:１３２人目の素数さん
18/11/21 16:50:09.62 LdWYnCJ+.net
>>368
刺身にタンポポの花を乗せるような単調作業は、このスレにはふさわしくない。

393:１３２人目の素数さん
18/11/21 18:12:12.71 yvDuGGse.net
>>368
くそつまらん問題だな

394:１３２人目の素数さん
18/11/21 18:57:16.48 vRlJnRg/.net
>>365
文字が整数ではなく自然数だったら、つまりf:N→N,

395: F:N→N^nだったら、 n=2の場合、0 01 1 0212 2 031323 3 0414… n=3の場合、0 001011 1 002012022102112122 2 003013… のようにすればよさそうだけど、n≧4の場合はどうすればいいんだろう？

396:１３２人目の素数さん
18/11/21 19:24:25.67 e25FOlfs.net
>>368
計算機でやれば一瞬……打ち込むのに1時間程かかるwww

397:１３２人目の素数さん
18/11/22 01:16:02.37 x/Au2Ugh.net
>>368
直木三十五

398:１３２人目の素数さん
18/11/22 01:47:18.64 x/Au2Ugh.net
>>374
左上から
　横7cm → 縦5cm → 横4cm → 横8cm → 縦9cm → 横5cm,
下3段の縦の比
右端から 4:4:8 → 4:4:9 → 8:9 → 8:4:5 →→ 7:7:5:4:5
横の比　20:35:21:(5cm)

399:１３２人目の素数さん
18/11/22 07:33:32.61 LiApVatG.net
>>375
やはり比で解く問題だったか

400:１３２人目の素数さん
18/11/23 01:34:48.76 4a5jgypk.net
>>363のwikiに載ってる方法
0 ≦ x ≦ m^n-1をみたす整数を(必要なら上位を0で埋めて)m進数n桁表示で表示したとき、その最上位以外をひとつずつ上位に移し、最高位を最下位に移す写像を f とする。
このとき f は0 ≦ x ≦ m^n-1をみたす整数の全体 S の置換を与える。
この置換を互いに可換な循環置換の積 f = g[1]g[2]…g[t] で表す。
ただしg[i] = (n[i1]…n[ij]) n[i1]が最小限と表示するときワードw[i] = n[i1]…n[ij]は辞書式順序で昇順であるとする。
n[11]n[12]…をすべてつなげたワードをwとする。
そのワードの各文字をm^(n-1)で割った商で置き換えたワードがde Bruijn sequenceとなる。
--例--
m=3、n=2のとき。
f = (0) (1 3) (2 6) (4) (5 7) (8)
であるから
w = 0 1 3 2 6 4 5 7 8
であり各文字を3^1で割った商に置き換えて
001021222
はde Bruijn sequenceとなる。
……やっと証明わかった。
こんな構成法絶対思いつかん。

401:１３２人目の素数さん
18/11/23 18:46:55.67 imnUH0Gw.net
実数 x に対して [x] を x の整数部分と定める。この時、次の値を求めよ：
lim_(n→∞) (1/√n)Σ_(k=1,[√n])(n/k-[n/k])

402:１３２人目の素数さん
18/11/23 21:38:04.43 v31SUiKG.net
>>378
収束するん？
全然収束してる感ないけど？
*Main> let f n = (/(sqrt n)) $ sum [n/k - (fromInteger $ truncate $ n/k) |k<-[1..(sqrt n)]]
*Main> mapM_ print [f x | x<-[10000..10010]]
0.39775176396203077
0.42960405947242447
0.4414551710047714
0.4733020995001393
0.46515384320018427
0.4370114006470376
0.4688537799785083
0.5106894801475358
0.4425649747743292
0.4843978105580605
0.37630141203414064

403:１３２人目の素数さん
18/11/23 22:23:27.31 afoQoOE+.net
じゃあ問題変えよか
次を示せ：
Σ_(k=1,[√n]) n/k-[n/k] = (1/2)√n + O(n^(10/21))

404:１３２人目の素数さん
18/11/23 23:06:09.28 K/FSQatd.net
>>380
>>378より主張が強くなってるけどホントに成立するん？
相当収束遅いんかな？
100000000000でもまだ0.01ぐらいの誤差あるけど。
この辺までくると計算誤差かもしれないけど。
もってる R(n)/n^(10/21) の上からの評価値と矛盾してない？
収束してても不思議ない感くらいはあるんだけど。
*Main> mapM_ print [f x | x<-[100000000000..100000000010]]
0.49838288499722044
0.4983868107954477
0.4983780874456663
0.4984167982310302
0.49843969769390706
0.4984309743244439
0.4984601983048952
0.4984957468592659
0.4984870234930951
0.49847830012017674
0.4984695768000378

405:１３２人目の素数さん
18/11/23 23:47:54.50 afoQoOE+.net
>>381
誤差項の係数まで出してるわけじゃないから計算一つ一つ追ってくのはしんどくてすぐできそうにないけど、>>380 の右辺を
(√n)･(1/2 + O(n^(-1/42)))
と変形できて、n にそのまま 10^11 入れて n^(-1/42) 計算しても 0.547 くらいになるから、
むしろ >>381 の数値の 1/2 との近さは"良すぎる"くらいだね　言い換えれば >>380 の評価がガバガバすぎるってことなんだけど

406:１３２人目の素数さん
18/11/23 23:51:14.65 K/FSQatd.net
>>382
らじゃ。むずかしそう……

407:１３２人目の素数さん
18/11/24 00:57:22.81 R0eGczxp.net
>>275
> 3次正方行列Aについて、tr(A) を det(Aと単位行列Eの式) の式で表せ。（detの中身は複数種類でも可）
これどうやるんですか？

408:１３２人目の素数さん
18/11/24 01:23:19.32 lLG6RWzh.net
>>384
A の固有値を a,b,c とおくと
det(A+E) + det(A-E) - 2det(A)
= (a+1)(b+1)(c+1) + (a-1)(b-1)(c-1) - 2abc
= 2(a+b+c) = 2tr(A)
でいける

409:１３２人目の素数さん
18/11/24 01:41:19.61 R0eGczxp.net
>>385
なるほど！ありがとうございます。

410:１３２人目の素数さん
18/11/24 07:43:35.23 QwiE/Y/T.net
>>382
これもしかしてL関数とか使う？

411:１３２人目の素数さん
18/11/24 10:55:38.86 9xCWeV16.net
>>387
想定してる解答ではそういう複素解析的な技術は使ってないよ
使えるのかどうかはわからないけど、n>n' として n' の時の和が n の時の和の部分和になってる訳じゃないから
今までと同じような方法で臨むのは難しそうな気がする

412:１３２人目の素数さん
18/11/24 12:56:55.99 464U4GYy.net
>>388
違うのか…
Σ_(k=1,[√n]) (n/k-[n/k] - 1/2) = O(n^(10/21))
を示せば十分で
x - [x] - 1/2 = -2/πΣ[i] sin(2πix)/i
を使って
Σ_(k=1,[√n]) (n/k-[n/k] - 1/2) = -2/πΣ[k] Σ[i] sin (2πi n/k) / i
で
Σ[i] sin (2πi n/k) / i = Σ [ξ] <sin (2πi n/k), ξ(i)> L(ξ, 1)
でL(ξ,1)を評価するのかなと。
でもこのL(ξ,1)の評価ネットで探してもありそでなさそで……
これむずい。気長にやります。

413:１３２人目の素数さん
18/11/24 13:09:45.85 HscCLQgZ.net
{x}＝x－[x]と定義して、
Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}＝(1/2)x^{1/2}＋O(x^{1/3})
が示せた(計算ミスがなければ)。方針は >>389なんだけど、
L関数ではなく、普通にフェイェール核を使う。
あとはオイラー・マクローリン。

414:１３２人目の素数さん
18/11/24 13:16:03.61 464U4GYy.net
>>390
おお、すごい！解答おながいします。

415:１３２人目の素数さん
18/11/24 13:19:27.31 HscCLQgZ.net
すまん、フェイェール核じゃなくてディリクレ核だった。

416:１３２人目の素数さん
18/11/24 13:30:52.39 464U4GYy.net
私も >>389訂正。L(ξ, 1)じゃなくてL(1,ξ)ね。
あとwolframで確かめてみたら
x - [x] - 1/2 = -1/πΣ[i] sin(2πix)/iですね。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)(sin(1+x)%2F1%2Bsin(2+x)%2F2%2B+sin(3+x)%2F3%2Bsin(4+x)%2F4%2Bsin(5+x)%2F5%2Bsin(6+x)%2F6%2Bsin(7+x)%2F7%2Bsin(8+x)%2F8%2Bsin(9+x)%2F9%2Bsin(10+x)%2F10)
これ気合で i:1～10 足したけどもっと賢く入力できないのかな？
ここからオイラーマクローリンで行こうとおもったんだけど
∫[1,∞] a cos (ax)x (x - [x] - 1/2) d

417:x (ただし a = 2πn/k) の項が出てきて評価ができなかった。 Dirichlet の不連続因子っての使うのかなとも思ったんだけど眠くなってやめた。積分苦手 orz。

418:１３２人目の素数さん
18/11/24 14:01:12.00 HscCLQgZ.net
計算が面倒くさすぎるので、使う道具だけ書いておきます。間違ってたらスマン。
m≧0に対して、D_m：R→R を D_m(x)＝(sin mπx)/sin πx (x∈R－Z), m (x∈Z) と定義する。
また、f_m＝D_{2m＋1} (m≧0) と定義する。
基本的な性質の一覧。
D_0(x)＝0, D_1(x)＝1, D_m(1±x)＝D_m(x)＝D_m(－x) (x∈R, m≧1)
f_0(x)＝1, f_m(1±x)＝f_m(x)＝f_m(－x) (x∈R, m≧1)
m≧1に対して∫(0,1/2)f_m(t)dt＝∫(1/2,1)f_m(t)dt＝1/2
m≧1, x∈R に対して Σ(n＝1～m) cos2πnx ＝－1/2＋f_m(x)/2
m≧1, x∈R に対して {x}－1/2＝－Σ(n＝1～m) (sin 2πnx)/(πn)＋∫(1/2,{x})f_m(t)dt

419:１３２人目の素数さん
18/11/24 14:12:41.48 HscCLQgZ.net
定義　命題Pに対して、[[P]] ∈ {0,1} を次のように定義する。
[[P]]＝0 (Pが偽のとき), 1 (Pが真のとき).
定理1　x∈R に対して lim(m→∞)∫(1/2,{x})D_m(t)dt ＝－[[x∈Z]]/2.
特に、x∈R に対して lim(m→∞)∫(1/2,{x})f_m(t)dt ＝－[[x∈Z]]/2.
特に、x∈R に対して Σ(n＝1～∞) (sin 2πnx)/(πn) ＝ 1/2－{x}－[[x∈Z]]/2.

420:１３２人目の素数さん
18/11/24 14:18:51.97 HscCLQgZ.net
定理2　g：[0,1/2]→Rは[0,1/2]上でルベーグ積分可能であり、g(＋0)が存在するとする。このとき、
Clim(m→∞)∫(0,1/2)f_m(t)g(t)dt＝g(＋0)/2.
ただし、実数列 {a_m}_m に対して Clim(m→∞)a_m＝lim(m→∞)(a_1＋a_2＋…＋a_m)/m と定義する。
定理3　a＜bとする。g：[a,b]→Rは[a,b]上でルベーグ積分可能であり、n∈[a,b]∩Zのとき、
g(x)はx＝nにおいて片側極限が必ず存在するとする。このとき、
Clim(m→∞)∫(a,b)f_m(t)g(t)dt＝Σ(n∈[a,b]∩Z) (g(n－0)＋g(n＋0))/2.
ただし、a∈Z のときは、(g(a－0)＋g(a＋0))/2 の部分を g(a＋0)/2 で置き換える。
また、b∈Z のときは、(g(b－0)＋g(b＋0))/2 の部分を g(b－0)/2 で置き換える。

421:１３２人目の素数さん
18/11/24 14:21:47.97 HscCLQgZ.net
定理4(オイラー・マクローリンの公式)　a∈Z, b∈R, a＜b とする。
f：[a,b]→C はC^1級とする。このとき、任意の実数 x∈[a,b] に対して
Σ(a≦k≦x)f(k)＝∫(a,x)f(t)dt＋(f(a)＋(1－2{x})f(x))/2＋∫(a,x)f'(t)({t}－1/2)dt.
定理5(オイラー・マクローリンの公式)　a, b∈R, a＜b とする。
f：[a,b]→C はC^1級とする。このとき、任意の実数 x∈[a,b] に対して
Σ(a＜k≦x)f(k)＝∫(a,x)f(t)dt＋((1－2{x})f(x)－(1－2{a})f(a))/2＋∫(a,x)f'(t)({t}－1/2)dt.

422:１３２人目の素数さん
18/11/24 14:32:22.84 HscCLQgZ.net
Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}＝(1/2)x^{1/2}＋O(x^{1/3}) の証明を大雑把に。
x＞1として、Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}＝Σ(1≦k≦x^{1/3}){x/k}＋Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2}){x/k}
と分解して、まず Σ(1≦k≦x^{1/3}){x/k}＝O(x^{1/3}). 次に、m≧1を任意に取って
Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2}){x/k}
＝Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2})(1/2－Σ(n＝1～m) (sin 2πnx/k)/(πn)＋∫(1/2,{x/k})f_m(t)dt)
＝([x^{1/2}]－[x^{1/3}])/2－Σ(n＝1～m)(1/(πn))Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2}) sin 2πnx/k
　＋Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2})∫(1/2,{x/k})f_m(t)dt　(1)
と分解する。

423:１３２人目の素数さん
18/11/24 14:39:30.16 HscCLQgZ.net
おーっと、計算ミスしてるっぽい箇所を発見。。。

424:１３２人目の素数さん
18/11/24 14:42:15.81 UbXGWPhk.net
>>398
kの小さいとこ分けるのはやったんだけどなぁ。
まぁやってみます。
ところで出題者さんに質問。
この誤差項のx^(10/21)の肩の数字はいくらでも小さく採れるんですか？

425:１３２人目の素数さん
18/11/24 14:44:32.75 HscCLQgZ.net
だめだ、計算ミスがある。
ここまで書いてしまったが、すまんｗ

426:１３２人目の素数さん
18/11/24 15:29:53.61 R0eGczxp.net
>>401
君の使命を果たすんだ！

427:１３２人目の素数さん
18/11/24 15:35:04.80 qzNDTVhe.net
>>400
や、今解答として用意してる計算のしかたであれば、最善のパラメーターのとり方でこの結果。
もっと和のとり方を工夫したら改善できるかもだけども

428:１３２人目の素数さん
18/11/24 16:06:23.59 1kbxmjW3.net
>>403
そうなんですか。
むずいなぁ。
今のとこのスレの流れ的にいい線いってます？

429:１３２人目の素数さん
18/11/24 16:48:54.13 qzNDTVhe.net
普通に改善できた…でもパラメータ変えて誤差項の指数小さくできるかはっきりしないし問題は変えないことにする
（もし小さくできたとしてもややこしくなるだけだし変えないつもりだけど）
>>404
うーん、フーリエ展開から攻めるのはちょっとオススメしにくい
小数部分をとる関数 {x} に不連続点があるせいで級数が絶対収束しないから、
各フーリエ係数ごとに和をとってから全体を評価しようとするとどうしてもばかでかくなってしまう気がする
フーリエ級数いじるの得意じゃないし本当にできないのかとかについては何とも言えないけど

430:１３２人目の素数さん
18/11/24 16:55:34.93 qzNDTVhe.net
停滞するのもあれだし類題出しときます
lim_(n→∞) (1/logn)Σ_(k=1,[logn]) (n/k-[n/k])
は存在するか。

431:１３２人目の素数さん
18/11/24 17:17:24.06 HscCLQgZ.net
まだ暗算レベルだけど、Σ(k≦x^{1/2})({x/k}^2－{x/k}) だったら、
>>394-399で失敗した計算が救済できて
Σ(k≦x^{1/2})({x/n}^2－{x/n})＝(-1/6)x^{1/2}＋O(x^{1/3})
あたりのオーダーが言えそうな気がする。
また間違うかもしれないので書かないけどｗ

432:１３２人目の素数さん
18/11/24 19:35:26.74 HscCLQgZ.net
>>407もダメだった。
B(t)＝{t}－1/2と置くと、>>407の場合、
∫(x^{1/3},x^{1/2})B(t)B(x/t)dt みたいなのが出てきて、
これのxに関するオーダーが計算できないｗ
どうやら、オイラー・マクローリンで計算すると、{x/n}の難しいところが
B(t)に移転してしまい、B(t)の積分計算ができなくなって失敗するっぽい。

433:１３２人目の素数さん
18/11/25 02:09:19.35 AuW29Ma5.net
>>275 >>384 >>385
・4次のとき
　det(A+xE) - det(A-xE)
　= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x) - (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)
　= 2 S_3 x + 2 tr(A) x^3,
より
　tr(A) = {det(A+2E) -2det(A+E) +2det(A-E) -det(A-2E)}/(2･3!)
・5次のとき
　det(A+xE) -2det(A) + det(A-xE)
　= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x)(e+x) -2abcde + (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)(e-x)
　= 2 S_3 x^2 + 2 tr(A) x^4,
より
　tr(A) = {det(A+2E) -4det(A+E) +6det(A) -4det(A-E) +det(A-2E)}/(4!)
・6次のとき
　det(A+xE) - det(A-xE)
　= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x)(e+x)(f+x) - (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)(e-x)(f-x)
　= 2 S_5 x + 2 S_3 x^3 + 2 tr(A) x^5,
より
　tr(A) = {det(A+3E) -4det(A+2E) +5det(A+E) -5det(A-E) +4det(A-2E) -det(A-3E)}/(2･5!)
・7次のとき
　det(A+xE) -2det(A) + det(A-xE)
　= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x)(e+x)(f+x)(g+x) -2abcdefg + (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)(e-x)(f-x)(g-x)
　= 2 S_5 x^2 + 2 S_3 x^4 + 2 tr(A) x^6,
より
　tr(A) = {det(A+3E) -6det(A+2E) +15det(A+E) -20det(A) +15det(A-E) -6det(A-2E) +det(A-3E)}/(2･6!)
S_k はk次の基本対称式。 S_1 = tr(A), S_n = det(A),

434:１３２人目の素数さん
18/11/25 02:25:52.63 AuW29Ma5.net
>>275 >>384 >>385
A, E はn次の正方行列とする。
・nが奇数のとき
　tr(A) = {1/(n-1)!}Σ[k=0,n-1] (-1)^k C(n-1,k) det{A + (k-(n-1)/2)E},
・nが偶数のとき
　tr(A) = {1/2(n-1)!}Σ[k=0,n] (-1)^k {C(n-1,k)-C(n-1,k-1)} det{A + (k-n/2)E},
　ただし、C(n-1,n) = C(n-1,-1) = 0

435:１３２人目の素数さん
18/11/25 02:42:24.60 XzUMGiUk.net
和のとり方を改善してパラメータをとり直した結果、
>>380 の誤差項を O(n^(5/12)･logn) まで改善できたので一応報告
けど予定通り、問題の主張を変えるつもりはなし

436:１３２人目の素数さん
18/11/25 06:01:42.98 f8nTJKnO.net
Σ[k≦√n] sin n/k の評価ができんorz。

437:１３２人目の素数さん
18/11/25 14:43:15.35 4bOKPxfm.net
>>412
手助けになればいいけど、下の定理2.1.6を使えば Σ_(k=√n) sin(n/k) = O(n^(1/3)) まで落とせそう
URLﾘﾝｸ(spectrum.library.concordia.ca)
Theorem2.1.6 (2nd derivative test)
fは区間[a,b]上で二階連続的微分可能であり、c>1 であって
0<λ≦f''(t)≦cλ (for∀t∈[a,b])
が成り立っているとする。この時、
Σ_(a<k≦b) e^(2πif(k)) = O_c( (b-a)λ^(1/2) + λ^(-1/2) ).□
具体的には m を正の整数（この場合およそ (√n)/(2π) ）として、j=0,1,… に対して a_j = m･2^(-j-1), b_j = a･2^(-j) と定めて、
f(x)=N/x として各区間 [a_j,b_j] に対して定理を適用する訳なんだけど、
この場合 j の値にかかわらず c=8 で一様にとれるから、j=0,1,…,r で足し合わせても同じ implied constant で抑えられる。
あとは r の値をうまく調整すればOK

438:１３２人目の素数さん
18/11/25 18:39:02.79 9eLajdTN.net
>>413
sin 2πn/k はうまくいきました。
でも本丸は∫ a*cos(2πax)/x dxなんですよね～。
こいつがO(1/a)とかならうまくいくし、数値実験てきには成立してそうなんだけどむずい。
やっぱりこりゃノーヒントじゃ無理だ。
>>378さんヒントお願いします。

439:１３２人目の素数さん
18/11/25 21:03:53.65 0+5Uplew.net
１時間に２本の列車があり、8：00　8:45 9:00 9:45　10：00 10:45 ...という風にダイヤが組まれている。
ランダムに駅に行ったときの待ち時間の期待値はいくらか？

440:１３２人目の素数さん
18/11/25 21:07:15.08 MRMVN18u.net
>>414
ほい
（補題）h/q (q>0) は既約分数であり、k=1,2,…,q の時実数 r(k) の絶対値は E 以下であるとする。
この時、任意の実数 a について次が成り立つ：
|Σ_(k=0,q-1) ({hk/q + a + r(k)} - 1/2)| ≦ 3qE + 3.
（ただし特にことわらなければ {x} は x の小数部分を表すものとする）
（∵）σ(k) := [q{hk/q + a}] は集合 {0,1,…,q-1} 上の全単射であるから、
ε(k) := {hk/q + a} - σ(k)/q ∈ [0,1/q) とおけば
Σ_(k=0,q-1) {hk/q + a + r(k)}
= Σ_(k=0,q-1) {σ(k)/q + ε(k) + r(k)}
= Σ_(k=0,q-1) {(k + 1/2)/q + r'(k)}. （σ(k) を k で置き換え。ただし |r'(k)| ≦ E + 1/(2q) ）
ここで、r'(k)=0 (for k=0,1,…,q-1) の時この和が q/2 に等しくなることから、
| Σ_(k=0,q-1) {(k+1/2)/q + r'(k)} - {(k+1/2)/q} | ≦ 3qE+3
を示せばよい。そのためには、区間 [k/q - E, (k+1)/q + E] が関数{x}の不連続点（つまり整数）を通過する k とそうでない k に Σ を分けて、
それぞれを評価すればよい。詳細は略（突然の飽き）□

441:１３２人目の素数さん
18/11/25 22:00:17.82 UuPttQIq.net
>>294
■①^2+④でもP1stは求められる
((n(n+1)/2)-1)^2+｛4(n-1)^3+6(n-1)^2-4(n-1)-3+3(-1)^(n-1)｝/48　
計算知能で①^2+④を入力すると
P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48

442:１３２人目の素数さん
18/11/25 22:26:05.78 pUh+e9hX.net
>>415
1時間に2本だから30分。

443:１３２人目の素数さん
18/11/25 22:30:55.48 0+5Uplew.net
>>418
8：00　8:30 9:00 9:30　10：00 10:30なら、1時間に2本だが最大の待ち時間が30分だぞ。

444:１３２人目の素数さん
18/11/25 22:43:08.35 AuW29Ma5.net
>>415
1時間に2本だから 18.75分。
最大の待ち時間は 45分。

445:１３２人目の素数さん
18/11/25 22:52:10.23 pUh+e9hX.net
あ、失礼。15分。

446:１３２人目の素数さん
18/11/25 23:03:00.46 0+5Uplew.net
>>420
正解。
これの平均値を求めるだけ。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

447:１３２人目の素数さん
18/11/26 00:47:04.32 BZQrI/i+.net
>>416
ありがとう。
また考えてみます。
Fourier展開みたいな技使ってもダメっぽいね。
コツコツやるしかないのね……

448:１３２人目の素数さん
18/11/26 01:17:52.33 JAq6ovHt.net
>>415
1時間に2本だから｛30 - M(60-M)/60｝分。
最大の待ち時間はM分。

449:１３２人目の素数さん
18/11/26 01:22:34.01 zUO0KBha.net
東京駅からのぞみ号で朝8時から9時に出発する（9時発も可）。
無作為に選んだ8時台の時間に出発ホームに到着したとすると平均の待ち時間は何分か？
以下が東京8時台発のぞみ号の時刻表である。
8:00 8:10 8:13 8:20 8:23 8:30 8:40 8:47 8:50 9:00

450:イナ
18/11/26 03:00:27.06 s06YIHN9.net
(0+9+8+7+6+5+4+3+2+1+0+2+1+0+6+5+4+3+2+1+0+2+1+0+6+5+4+3+2+1+0+9+8+7+6+5+4+3+2+1+0+6+5+4+3+2+1+0+2+1+0+9+8+7+6+5+4+3+2+1+0)÷61
=207÷61
=3.39344262
≒3.4(分)
3分24秒
前 >>425

451:１３２人目の素数さん
18/11/26 07:15:29.27 zUO0KBha.net
>>425
面積計算して平均したら
3.95分＝3分57秒になった。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

tt=c(0,10,13,20,23,30,40,47,50,60) # time table
x=diff(tt)
sum(x^2/2)/sum(x)
URLﾘﾝｸ(tpcg.io)

452:１３２人目の素数さん
18/11/26 07:29:11.92 zUO0KBha.net
>>425
Prelude> let tt = [0,10,13,20,23,30,40,47,50,60]
Prelude> let diff = zipWith (-) (tail tt) (init tt)
Prelude> sum (map (\x -> x^2/2) diff) / sum(diff)
3.95

453:１３２人目の素数さん
18/11/26 08:20:42.11 zUO0KBha.net
>>426
レスありがとうございます。
筆算、乙。
０～６０分を１分ごと、０．１分ごと０．０１分、０．０１分ごとにして計算すると
> mean(ct2wt(seq(0,60,by=1)))
[1] 3.393443
> mean(ct2wt(seq(0,60,by=0.1)))
[1] 3.893511
> mean(ct2wt(seq(0,60,by=0.01)))
[1] 3.944343
> mean(ct2wt(seq(0,60,by=0.001)))
[1] 3.949434
面積計算の値3.95分に収束するようです。
Rのソース
tt=c(0,10,13,20,23,30,40,47,50,60) # time table
ct2wt <- function(x){ # clock time to waiting time
n=length(tt)
if(x<=tt[1]){w8=tt[1]-x
}else{
for(i in 1:(n-1)){
if(tt[i]<=x & x<=tt[i+1]){
w8=(tt[i+1]-x)
break
}
}}
return(w8)
}
ct2wt=Vectorize(ct2wt)

454:１３２人目の素数さん
18/11/26 15:12:05.01 kjzRc5OI.net
分単位でちょうどの時間に着いた時は
待ち時間なしの確率が1/2になるというわけだな

455:１３２人目の素数さん
18/11/26 15:40:21.97 cCOlyEA2.net
ある駅のホームの1番線には1時間ごと、2番線には(1/2)時間ごと、3番線には(1/3)時間ごとに電車が来るようにダイヤを組みたい。
ランダムな時間に駅に着いたときの平均待ち時間を最小にするには、どのようにダイヤを組めば良いか。
ただし、何番線の電車に乗っても向かう方向や停車駅に違いは無いとする。

456:１３２人目の素数さん
18/11/26 16:20:05.15 kjzRc5OI.net
単純に考えて、以下ぐらいしか思いつかない
３番線　00　20　40
２番線　20/3　110/3
１番線　50　

457:１３２人目の素数さん
18/11/26 16:27:19.74 kjzRc5OI.net
>>432　訂正
最大15分はどうしても開くのかな？
３番線　00　20　40
２番線　05　35
１番線　50　

458:１３２人目の素数さん
18/11/26 16:37:26.72 kjzRc5OI.net
１番線　00
２番線　15　45
３番線　10　30　50

459:１３２人目の素数さん
18/11/26 17:05:53.16 kjzRc5OI.net
最小5分50秒　00　10　15　30　45　50　00
最大8分20秒　00　20　30　40　00

460:１３２人目の素数さん
18/11/26 17:53:39.06 yzjtacP4.net
>>433-434
正解
３番線を00,20,40で固定すれば、対称性から２番線は x,30+x (0≦x≦10) のみを考えればよくて、
x をどうとっても１番線を 50 とするのが最適解（のうちの１つ）であることがわかる。
（より長い空白のど真ん中に入れた方がより平均待ち時間を削減できるから）

461:１３２人目の素数さん
18/11/26 18:17:18.85 mGDYWVbl.net
いつもの顰蹙のプログラミング解
w8 <- function(xy,Print

462:=FALSE){ x=xy[1];y=xy[2] if(x<0|x>20|y<0|y>30)return(Inf) tt=c(0,x,x+20,x+40,y,y+30,60) tt=sort(tt) d=diff(tt) w=sum(d^2/2)/sum(d) if(Print){ print(tt) cat(sum(d^2/2),'/',sum(d)) } return(w) } optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead')　# 最小値 > optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead') $`par` [1] 9.999003 14.999925 $value [1] 5.833333 w8(c(10,15),P=T) > w8(c(10,15),P=T) [1] 0 10 15 30 45 50 60 350 / 60[1] 5.833333 optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead',control=list(fnscale=-1))　# 最大値 > optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead',control=list(fnscale=-1)) $`par` [1] 0 0 $value [1] 8.333333 w8(c(0,0),P=T) > w8(c(0,0),P=T) [1] 0 0 0 20 30 40 60 500 / 60[1] 8.333333

463:１３２人目の素数さん
18/11/26 18:31:44.90 mGDYWVbl.net
細かいことを言えば
１番線　03
２番線　18　48
３番線　13　33　53
でもいいはず。

464:１３２人目の素数さん
18/11/26 18:39:21.59 mGDYWVbl.net
これも最大値かな
１番線　00
２番線　20　50
３番線　00 20　40

465:１３２人目の素数さん
18/11/26 20:08:04.25 mGDYWVbl.net
>>431
４番線は１時間に４本電車が来るとしてプログラムに解かせると
[[1]]
[1] 0
[[2]]
[1] 15 45
[[3]]
[1] 10 30 50
[[4]]
[1] 7.5 22.5 37.5 52.5
待ち時間の期待値は3.333333

466:１３２人目の素数さん
18/11/26 20:47:10.08 yzjtacP4.net
>>440
おつ　n(≧2)番線に 60*(2k-1)/2n (k=1,2,…,n) 分に来させれば良いと予想したくなるなｗファレイ数列みたいだ
しかしそれだと30分に到着する番線が大量発生して非効率そうだ

467:１３２人目の素数さん
18/11/26 21:42:27.22 mGDYWVbl.net
>>441
そんなに単純じゃないみたい。
> densha(c(15,10,7.5,6),P=T)
[[1]]
[1] 0
[[2]]
[1] 15 45
[[3]]
[1] 10 30 50
[[4]]
[1] 7.5 22.5 37.5 52.5
[[5]]
[1] 6 18 30 42 54
155 / 60
[1] 2.583333
よりも、こっちの方が平均待ち時間が少ない。
> densha(c(14,8,6,6),P=T)
[[1]]
[1] 0
[[2]]
[1] 14 44
[[3]]
[1] 8 28 48
[[4]]
[1] 6 21 36 51
[[5]]
[1] 6 18 30 42 54
150 / 60
[1] 2.5

468:１３２人目の素数さん
18/11/26 22:33:06.60 mGDYWVbl.net
>>442
こっちの方がもっと少なかった。
> densha(c(16,12,8,6),P=T)
[[1]]
[1] 0
[[2]]
[1] 16 46
[[3]]
[1] 12 32 52
[[4]]
[1] 8 23 38 53
[[5]]
[1] 6 18 30 42 54
148 / 60
[1] 2.466667
プログラムでの最適解はこんな値を返してきた。
> optim(par=30/2:5,densha)
$`par`
[1] 15.967750 11.935738 8.225689 5.999897

469:１３２人目の素数さん
18/11/27 11:33:32.61 b5HUeFcY.net
至急お願いします
異なる業種間で賃金格差が存在しているかどうかを調査するために、一部上場企業の金融業と製造業から総合職（入社5年目）の社員をそれぞれ100名ずつ無作為抽出したところ、平均賃金は金融業が600万円、製造業が570万円でした。
また、標本標準偏差はどちらも70万円でした。業種間で賃金格差が存在しているどうかを有意水準5％で検定するとき、その結果として正しいものを以下から選びなさい。
A. 金融業の方が賃金が高い
B. 製造業の方が賃金が高い
C. 金融業と製造業に賃金格差があるとは言えない
D. いずれでもない

470:１３２人目の素数さん
18/11/27 11:35:03.74 b5HUeFcY.net
某テレビ局のプロデューサーX氏は製作番組の視聴率の目標を20％と想定していました。500世帯を対象に調査をしたところ、平均視聴率は15%でした。X氏の製作番組は目標視聴率20％を達成したかどうかを有意水準5％で検定します。
真の視聴率をpとするとき、帰無仮説と対立仮説、および検定結果として正しい組合せを以下から選びなさい。
A. 帰無仮説p=0.20、対立仮説p<0.20、帰無仮説を採択
B. 帰無仮説p=0.15、対立仮説p<0.15、帰無仮説を採択
C. 帰無仮説p=0.20、対立仮説p<0.20、帰無仮説を棄却
D. 帰無仮説p=0.15、対立仮説p<0.15、帰無仮説を棄却
E. いずれでもない
サイコロを300回投げたところ、そのうち60回で1が出ました。このサイコロに歪みがないかを有意水準5%で検定します。
サイコロを1回投げたとき1が出る確率をpとするとき、帰無仮説と対立仮説、および検定結果として正しい組合せを以下から選びなさい。
A. 帰無仮説p=1/6、対立仮説p≠1/6、帰無仮説を棄却
B. 帰無仮説p>1/6、対立仮説p=1/6、帰無仮説を棄却
C. 帰無仮説p<1/6、対立仮説p>1/6、帰無仮説を採択
D. 帰無仮説p=1/6、対立仮説p≠1/6、帰無仮説を採択
E. いずれでもない

471:１３２人目の素数さん
18/11/27 11:56:26.20 oixSVMNZ.net
質問スレに書きたまえ。

472:１３２人目の素数さん
18/11/27 14:19:17.27 Lp6axtvL.net
>>444
> T.test=function(n1,n2,m1,m2,sd1,sd2){
+ SE12=sqrt((1/n1+1/n2)*((n1-1)*sd1^2+(n2-1)*sd2^2)/((n1-1)+(n2-1)))
+ T=(m1-m2)/SE12
+ 2*pt(abs(T),n1-1+n2-1,lower.tail = FALSE)
+
+ }
> T.test(100,100,600,570,70,70)
[1] 0.002767864

473:１３２人目の素数さん
18/11/27 14:22:23.16 Lp6axtvL.net
>>444
> kinyu=scale(rnorm(100))*70+600
> seizo=scale(rnorm(100))*70+570
> t.test(kinyu,seizo,var.equal = TRUE)
Two Sample t-test
data: kinyu and seizo
t = 3.0305, df = 198, p-value = 0.002768
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
10.47802 49.52198
sample estimates:
mean of x mean of y
600 570
> t.test(kinyu,seizo,var.equal = TRUE,alt='greater')
Two Sample t-test
data: kinyu and seizo
t = 3.0305, df = 198, p-value = 0.001384
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
13.64024 Inf
sample estimates:
mean of x mean of y
600 570
答は　A

474:１３２人目の素数さん
18/11/27 14:26:13.78 Lp6axtvL.net
>>445
前半
> binom.test(0.15*500,500,0.20,alternative = 'less')
Exact binomial test
data: 0.15 * 500 and 500
number of successes = 75, number of trials = 500, p-value = 0.002383
alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.2
95 percent confidence interval:
0.0000000 0.1788032
sample estimates:
probability of success
0.15
答はC

475:１３２人目の素数さん
18/11/27 14:29:13.62 Lp6axtvL.net
>>445
後半
> binom.test(60,300,1/6)
Exact binomial test
data: 60 and 300
number of successes = 60, number of trials = 300, p-value = 0.1216
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.1666667
95 percent confidence interval:
0.1562313 0.2498044
sample estimates:
probability of success
0.2
帰無仮説は棄却できない。
帰無仮説を不採択だから、答はE
　

476:１３２人目の素数さん
18/11/27 15:00:23.15 nF8QUSwO.net
>>445
447-450
この問題で答えがEなんてありえるの？

477:１３２人目の素数さん
18/11/27 16:17:20.20 V3tvhpxu.net
>>451
キム仮説は棄却するものであって採択するものではない。

478:１３２人目の素数さん
18/11/27 16:24:02.48 LSBkGFiA.net
>>452
どういうことですか？
棄却されないという言い方しないと不正解だという意味？

479:１３２人目の素数さん
18/11/27 16:28:58.66 LSBkGFiA.net
あ、ほんとだ。帰無仮説って採択しちゃいけないんですね。

480:１３２人目の素数さん
18/11/27 23:44:32.45 vRyR0fY+.net
y=f(x) (0≦x≦a, f(x)≦0, f(0) = f(a) = 0)であらわされる滑り台上をボールを転がす運動を考える。
ただし、摩擦、空気抵抗などは無視してボールは重力とすべり台の面からの垂直抗力のみをうけて運動するものとする。
(0,0)にボールを静かにおいて滑り台を転がせ、(a,0)まで運動させるとき、その所要時間が最小となる曲線はなにか？
また東京ー大阪間の距離を400km、重力加速度を9.8m/s^2としたときの所要時間はおよそいくらか？
とある数学読み物で見つけた記事より。
当方答えのみ知っております。
導出の方法など知らないのでそれは自己採点でおながいしますｗ

481:１３２人目の素数さん
18/11/28 11:39:19.45 g3KJxOzn.net
有名問題だが、地球を球体とした場合はサイクロイドにはなんないと思うぞい

482:１３２人目の素数さん
18/11/28 12:33:05.86 Ra/jVdM5.net
>>456
そこは気になったんですが元記事通りの文章で。
今は400kmは地球が球状であることは無視でおながいします。

483:１３２人目の素数さん
18/11/28 19:18:07.40 aJc4zmU1.net
>>380
最後の手段でズルしちゃうけど、剰余項は少なくとも
O(n^(131/416＋ε)) (ε＞0は任意)まで改善できるはず。
ただし dirichlet divisor problem を経由するのでとてもズルイｗ
まず、nの約数の総和をd(n)とするとき、
Dirichlet hyperbola method により、1以上の実数xに対して
Σ(1≦n≦x)d(n)＝2Σ(1≦n≦x^{1/2})[x/n]－[x^{1/2}]^2
が成り立つ。
Σ(1≦n≦x^{1/2})[x/n]＝Σ(1≦n≦x^{1/2})(x/n)－Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}
なので、お目当ての Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n} が出てきて
2Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}＝2xΣ(1≦n≦x^{1/2})(1/n)－[x^{1/2}]^2－Σ(1≦n≦x)d(n)
と表せる。

484:１３２人目の素数さん
18/11/28 19:22:38.31 aJc4zmU1.net
次に、Σ(1≦n≦x^{1/2})(1/n) に対してオイラー・マクローリンの公式
Σ(a≦n≦x)f(n)
＝∫(a,x)f(t)dt＋(f(a)＋(1－2{x})f(x))/2＋B_2({x})f'(x)－B_2(0)f'(a)－∫(a,x)B_2({t})f''(t)dt
(ただしaは整数でxは実数でB_2(t)＝(t^2/2)－(t/2)＋(1/12))
を適用して、γ＝lim(x→∞)(Σ(a≦n≦x)(1/n)－log(x)) と合わせて計算すれば、
2Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}＝x^{1/2}＋xlog(x)＋(2γ－1)x＋O(1)－Σ(1≦n≦x)d(n)
となるはず。一方で、dirichlet divisor problem の最新の結果では
Σ(1≦n≦x)d(n)＝xlog(x)＋(2γ－1)x＋O(x^θ), infθ≦131/416
となっているので、
2Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}＝x^{1/2}＋O(1)－O(x^θ)＝x^{1/2}＋O(x^θ), infθ≦131/416
となって、目標の剰余項 O(n^(131/416＋ε)) (ε＞0は任意)になる。

485:１３２人目の素数さん
18/11/28 19:26:03.82 aJc4zmU1.net
ちなみに、逆の計算もできて、
Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}＝(1/2)x^{1/2}＋O(x^α)
が成り立つなら
Σ(1≦n≦x)d(n)＝xlog(x)＋(2γ－1)x＋O(x^α)
も成り立つ。よって、>>380の剰余項はdirichlet divisor problemの剰余項と
本質的に同じものになる。そして、dirichlet divisor problemの剰余項では
infθ≧1/4 が成り立つらしいので、>>380の剰余項もそこまでが限界になる。
ぴったり infθ＝1/4 が成り立つかは未解決問題らしい。

486:１３２人目の素数さん
18/11/28 19:29:43.00 aJc4zmU1.net
dirichlet divisor problemにおけるO(x^θ)の変遷はwikipediaに年表が載っていて、
最初にO(x^{1/2})があって、次の更新は1904年で、このときはO(x^{1/3}log x)が得られている。
一応、この時点で >>411よりも精度が高い。該当する論文は、よく分からないけどたぶんこれ。
sur une fonction transcendante et ses applications a la sommation de quelques series
sur une fonction transcendante et ses applications a la sommation de quelques series(suite)
どちらも非常に長い上に、ゼータ関数を経由していて何をやっているのか全然分からん。
最初の更新がこんな高度なレベルってのが信じられんｗ
別の見方をすると、>>380や >>411ならO(x^{1/3}log x)には及ばないものの非自明な更新が
初等的に得られるということでもある。

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