面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

338:１３２人目の素数さん
18/11/17 12:09:53.28 pOy6FHDl.net
>>311
Ａ = {a_ij} がn次行列のときも
tr(A) = a_11 + a_22 + ･･･ + a_nn,
tr(AA) = (a_11)^2 + … + (a_nn)^2 + 2 Σ[i<j] a_ij a_ji,
(trA)^2 - tr(AA) = 2Σ[i<j] (a_ii a_jj - a_ij a_ji),
∴ Ａの固有多項式は
det(A-xI) = det{[a_11-x, a_12, …, a_1n], [a_21, a_22-x, …, a_2n], ……, [a_n1, a_n2, …, a_nn-x]}
= det(A) - …… + Σ[i<j] (a_ii a_jj - a_ij a_jj) (-x)^{n-2} + (a_11+…+a_nn)(-x)^{n-1} + (-x)^n
= det(A) - …… + {(tr A)^2 - tr(AA)}/2 (-x)^{n-2} + tr(A)(-x)^{n-1} + (-x)^n,

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