面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

32:sage
18/11/01 04:00:36.26 xVnRbBm5.net
>>27
nについての帰納法で。
n=1 のとき (略)
n-1 に対して成立したとする。
　n次の多項式f(x)に対し、因数定理より
　f(x+⊿) - f(x) = g(x)⊿,
　g(x) は高々n-1次の多項式で、係数はf(x)の場合と同様。
いま
　Σ[k=0，n] c_k f(x+s_k) = 0,
とする。x^n の係数を比べて
　Σ[k=0，n-1] c_k ＋ c_n = 0,
だから
　0 = Σ[k=0，n] c_k f(x+s_k)
　= Σ[k=0，n-1] c_k {f(x+s_k) - f(x+s_n)}
　= Σ[k=0，n-1] c_k (s_k-s_n)g(x+s_k)
帰納法の仮定により g(x+s_k) は1次独立。(k<n)
∴ c_k (s_k - s_n) = 0,　　(k<n)
題意により s_k - s_n ≠ 0, (k<n)
∴ c_k = 0　　　(k<n)
∴ c_n = -Σ[k=0,n-1] c_k = 0,
∴ f(x+s_k) も1次独立。(0≦k≦n)

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