面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

285:１３２人目の素数さん
18/11/15 17:24:26.51 0h25dXYt.net
>>262（予想２）普通にできたわ…何でこれ気づかなかったんや…
（∵）S の条件を変えたときに補題１，２，３は同じ議論で通用するから、補題４だけ証明すればよい。
まず g(x)=f(x+1)-f(x) とおき、この g に対して >>259 と同様に C を定めると、
(1)の場合に矛盾が生じるところまで同じ議論が成り立つ。
(2),(3) のいずれの場合も、σ∈{+,-} であって lim_(x→σ∞)C(x)=0 を満たすものが存在。
したがって、a = liminf(x→∞)g(x) < 0 と仮定すると、任意の N>0 について
M∈R, ε>0 s.t. C(r)<|a/6| for∀x∈[M,M+N] がとれるから、
十分大きい全ての x∈R s.t. g(x)<a+ε が g(x+r)<a/2 for∀r∈[M,M+N] を満たすことがわかる。
このような x について、
f(x+M+N)-f(x+M) = g(x+M)+g(x+M+1)+…+g(M+N-1) < Na/2
が成り立つが、N>0 は任意であったからこれは f の有界性に反する。したがって、a≧0.
-g や逆方向の極限についても同様であるから、lim_(x→±∞)g(x)=0.
補題２から g は定数であり、補題１から f も定数である。
以上から補題４にあたる部分が示されたが、
補題１～４から主張を示す部分は、定理３．１と同様の議論が成立する。□
系として（予想１）も成り立つことがわかりますが、証明は略。
同様の結果が成り立つことを保証するのに条件(iv)'は本当に必要なのか？という疑問は当然わきますが、
任意の f∈V に対して定義されて f の x→±∞ での挙動「のみ」に依存する線形な作用素が、
そもそもそんな簡単には作れないような気がしてて、
ここは選択公理とか使ったりする必要がありそうと感じているため、
その辺の反例の構成とかは興味のある有志にお任せしたいと思います…

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