面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

282:１３２人目の素数さん
18/11/15 14:20:30.06 7EQ5hn9e.net
>>264
S(p,a) = Σ_(x,y,z,w=1～p) e^(2πi(x^4+y^4-6z^4-12w^4)a/p),
S(p) = Σ_(a=1～p) S(p,a)
とおくと、もし x^4+y^4-6z^4-12w^4=0 の解が (0,0,0,0) しか無ければ S(p)=p となるはず。
一方 S(p,p)=p^4 であり、Aがpで割りきれない時は確か
|Σ_(x=1～p) e^(2πi(x^4)A/p)|≦3√p
が Vinogradov(1954) の "The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers" から言えたはずだから、
S(p) ≧ p^4 - (p-1)(3√p)^4 = p^4 -
81p^3 + 81p^2.
以上から p≦80 がわかるから、あとはこれらの p についてパソコンか何かで調べ上げればOK

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