面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

282:１３２人目の素数さん
18/11/15 11:10:28.14 0YjszKFG.net
>>252
> >>36 の１つ目が本当にわからん…
> mod p での非自明な整数解がいつでも存在することは示せたから、
どうやって示すんですか？

283:１３２人目の素数さん
18/11/15 14:20:30.06 7EQ5hn9e.net
>>264
S(p,a) = Σ_(x,y,z,w=1～p) e^(2πi(x^4+y^4-6z^4-12w^4)a/p),
S(p) = Σ_(a=1～p) S(p,a)
とおくと、もし x^4+y^4-6z^4-12w^4=0 の解が (0,0,0,0) しか無ければ S(p)=p となるはず。
一方 S(p,p)=p^4 であり、Aがpで割りきれない時は確か
|Σ_(x=1～p) e^(2πi(x^4)A/p)|≦3√p
が Vinogradov(1954) の "The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers" から言えたはずだから、
S(p) ≧ p^4 - (p-1)(3√p)^4 = p^4 -
81p^3 + 81p^2.
以上から p≦80 がわかるから、あとはこれらの p についてパソコンか何かで調べ上げればOK

284:１３２人目の素数さん
18/11/15 14:41:42.62 7EQ5hn9e.net
>>265
もし x^4+y^4-6z^4-12w^4≡0 (mod p) の解が x≡y≡z≡w≡0 (mod p) しか無ければ
だった　スマン

285:１３２人目の素数さん
18/11/15 14:56:39.31 0YjszKFG.net
>>266
なるほど。
でもなんかこの問題 Hasse principle 使えるような気がしてき

286:た。

287:１３２人目の素数さん
18/11/15 17:24:26.51 0h25dXYt.net
>>262（予想２）普通にできたわ…何でこれ気づかなかったんや…
（∵）S の条件を変えたときに補題１，２，３は同じ議論で通用するから、補題４だけ証明すればよい。
まず g(x)=f(x+1)-f(x) とおき、この g に対して >>259 と同様に C を定めると、
(1)の場合に矛盾が生じるところまで同じ議論が成り立つ。
(2),(3) のいずれの場合も、σ∈{+,-} であって lim_(x→σ∞)C(x)=0 を満たすものが存在。
したがって、a = liminf(x→∞)g(x) < 0 と仮定すると、任意の N>0 について
M∈R, ε>0 s.t. C(r)<|a/6| for∀x∈[M,M+N] がとれるから、
十分大きい全ての x∈R s.t. g(x)<a+ε が g(x+r)<a/2 for∀r∈[M,M+N] を満たすことがわかる。
このような x について、
f(x+M+N)-f(x+M) = g(x+M)+g(x+M+1)+…+g(M+N-1) < Na/2
が成り立つが、N>0 は任意であったからこれは f の有界性に反する。したがって、a≧0.
-g や逆方向の極限についても同様であるから、lim_(x→±∞)g(x)=0.
補題２から g は定数であり、補題１から f も定数である。
以上から補題４にあたる部分が示されたが、
補題１～４から主張を示す部分は、定理３．１と同様の議論が成立する。□
系として（予想１）も成り立つことがわかりますが、証明は略。
同様の結果が成り立つことを保証するのに条件(iv)'は本当に必要なのか？という疑問は当然わきますが、
任意の f∈V に対して定義されて f の x→±∞ での挙動「のみ」に依存する線形な作用素が、
そもそもそんな簡単には作れないような気がしてて、
ここは選択公理とか使ったりする必要がありそうと感じているため、
その辺の反例の構成とかは興味のある有志にお任せしたいと思います…

288:１３２人目の素数さん
18/11/15 17:29:24.42 0h25dXYt.net
>>268
誤：
M∈R, ε>0 s.t. C(r)<|a/6| for∀x∈[M,M+N] がとれるから、
正：
M∈R, ε>0 s.t. C_ε(r)<|a/6| for∀r∈[M,M+N] がとれるから、

289:１３２人目の素数さん
18/11/15 17:51:41.92 Kjq0ut8v.net
3×3行列Aについて、det(A) を tr(A) の式で表せ。

290:１３２人目の素数さん
18/11/15 18:04:52.36 JK7krTW5.net
>>270
det(A) = (1/6)tr(A)^3 - (1/2)tr(A)tr(A^2) + (1/3)tr(A^3) とかはダメ？

291:１３２人目の素数さん
18/11/15 18:15:07.67 0YjszKFG.net
できるわけないやん。trは等しいけどdetは異なる行列なんか死ぬほどあるやろ？

292:１３２人目の素数さん
18/11/15 18:44:55.40 Kjq0ut8v.net
>>271
正解です。直ぐに出てくるなんて凄いな。
私は最近知ったんだけど、この手の内容について参考文献とかあったら教えてください。

293:１３２人目の素数さん
18/11/15 18:51:42.34 Kjq0ut8v.net
>>272
おまえはデキッコナイスか！

294:１３２人目の素数さん
18/11/15 19:13:37.81 7EQ5hn9e.net
>>273
大学で使うような線形代数の教科書だったら何でも載ってる気がするけどなあ、わからんが
wikipedia の固有多項式の項目を見てみるだけでも結構色んな情報引き出せたりすると思うけど、
もし文献が欲しいならすまんが数学の本スレとか別のところで聞いてみてくれ
類題
3次正方行列Aについて、tr(A) を det(Aと単位行列Eの式) の式で表せ。（detの中身は複数種類でも可）

295:１３２人目の素数さん
18/11/15 23:25:29.70 v4atAZWV.net
池の鯉を網で５６匹すくいました。
すくった５６匹に目印をつけ、池にもどしました。
次の日に鯉４５匹をすくったところ、３６匹に目印がついていました。
池の鯉はおよそ何匹ですか。
これ、７０匹でも６９匹でも同確率になるよね？

296:イナ
18/11/15 23:39:15.72 caYs8gU8.net
>>276
80匹じゃないの？

297:１３２人目の素数さん
18/11/16 00:14:14.66 vFBRPbWk.net
>>277
いつもの芸風？56*45/36=70

298:１３２人目の素数さん
18/11/16 00:21:41.73 vFBRPbWk.net
56*45/36=70で求まる70匹のとき36匹の目印が見つかる確率
137149850039891/562949953421

299:312 0.2436270741410791 69匹のときの36匹の目印が見つかる確率も 137149850039891/562949953421312 0.2436270741410791 となった。 import math from fractions import Fraction def choose(n, r): return math.factorial(n) // (math.factorial(n - r) * math.factorial(r)) def dhyper(x,g,b,s): return choose(g,x)*choose(b,s-x) / choose(g+b,s) f69 = dhyper(36,56,69-56,45) print (Fraction(f69)) print(f69) f70 = dhyper(36,56,70-56,45) print (Fraction(f70)) print (f70)

300:１３２人目の素数さん
18/11/16 00:25:09.70 LBn7birX.net
プログラムのご紹介、乙。
でも、ま、プログラムとしての新規性の証明、解説が必要かな？

301:１３２人目の素数さん
18/11/16 00:33:03.74 vFBRPbWk.net
>>280
Rの超幾何分布関数で算出したら
最頻値が２つ出てきたので分数表示できるpythonでやっても同じになって困惑してるのが現状。

302:１３２人目の素数さん
18/11/16 07:16:29.90 ZFCX7NBV.net
全ての成分が自然数で、対角成分が全て0の正方行列Aについて
tr(A^3)は6の倍数であることを証明せよ

303:１３２人目の素数さん
18/11/16 07:37:02.65 Av10eeCd.net
>>282
修正
正方行列→対称行列
です

304:１３２人目の素数さん
18/11/16 08:09:34.01 xmVvCZPI.net
>>282 >>283
B = A^3,
tr(B) = Σ[i=1,n] B(i,i)
= Σ[1≦i,j,k≦n] A(i,j) A(j,k) A(k,i)
= 6Σ[1≦i<j<k≦n] A(i,j) A(j,k) A(i,k)
∵　{i,j,k} のどれかが一致すれば 0
ぢゃね？

305:１３２人目の素数さん
18/11/16 08:47:46.29 U19cHKqd.net
単発質問スレより　引用
1問目は1から9を多くて1回づつ使って等式を完成させる
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
□/□　＊　□/□　＝　□□/□
(a/b)*(c/d) = (10*e+f) /g
左辺の分数は互換なのでa>cとして
Prelude> let r = [[a,b,c,d,e,f,g]|a<-[1..9],b<-[2..9],c<-[1..9],d<-[2..9],e<-[1..9],f<-[1..9],g<-[2..9],(a/b)*(c/d)==(10*e+f)/g,
a/=b,a/=c,a/=d,a/=e,a/=f,a/=g,b/=c,b/=d,b/=e,b/=f,b/=g,c/=d,c/=e,c/=f,c/=g,d/=e,d/=f,d/=g,e/=f,e/=g,f/=g,a>c]
Prelude> let f x = map floor x
Prelude> map f r
[[7,2,3,6,1,4,8],[7,6,3,2,1,4,8],[8,2,3,6,1,4,7],[8,2,7,4,6,3,9],[8,2,7,6,1,4,3],[8,4,7,2,6,3,9],[8,4,7,6,2,1,9],[8,6,3,2,1,4,7],[9,2,7,4,6,3,8],
[9,2,8,4,6,3,7],[9,4,7,2,6,3,8],[9,4,7,6,2,1,8],[9,4,8,2,6,3,7],[9,4,8,6,2,1,7],[9,6,7,4,2,1,8],[9,6,8,4,2,1,7]]

2問目は2個答える
最大になるように-5から5を多くて1回づつ使う
最小になるように-5から5を多くて1回づつ使う
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
こっちが終わらない　：（

306:イナ
18/11/16 09:08:17.41 ksjAcdFq.net
前 >>277訂正。
16×5⇒14×5
ま、でも印をつけられる段階ですでに「ぜんぜん捕まらないすばっしっこい鯉」が10匹ぐらいいると思うんだよね。
すべての鯉をx匹、ぜんぜん捕まらないすばっしっこい鯉をy匹とおくと、
x-y=70(匹)
印をつけられる確率は4/5じゃない気がする。
印をつけるたびすでに印をつけられた鯉が生け簀に増えてくわけで、
すでに印をつけられた鯉を捕ることもあるはず。
y=10なら80匹だし、それに70匹ぐらいなら80匹もぎりぎりオッケーじゃないの。

307:１３２人目の素数さん
18/11/16 09:40:36.84 vFBRPbWk.net
>>285
２問目も計算、終わってた
y = [a/b*(c-d)-e*(f-g)|a<-[-5..5],b<- [-5..(-1)]++[1..5],c<-[-5..5],d<-[-5..5],e<-[-5..5],f<-[-5..5],g<-[-5..5],
a/=b,a/=c,a/=d,a/=e,a/=f,a/=g,b/=c,b/=d,b/=e,b/=f,b/=g,c/=d,c/=e,c/=f,c/=g,d/=e,d/=f,d/=g,e/=f,e/=g,f/=g]
f x = map floor x
yMax = maximum y
z=[[a,b,c,d,e,f,g]|a<-[-5..5],b<- [-5..(-1)]++[1..5],c<-[-5..5],d<-[-5..5],e<-[-5..5],f<-[-5..5],g<-[-5..5]
,a/=b,a/=c,a/=d,a/=e,a/=f,a/=g,b/=c,b/=d,b/=e,b/=f,b/=g,c/=d,c/=e,c/=f,c/=g,d/=e,d/=f,d/=g,e/=f,e/=g,f/=g,a/b*(c-d)-e*(f-g)==

308:yMax] map f z Prelude> map f z [[-5,-1,3,-4,5,-3,4],[-5,-1,3,-3,5,-4,4],[-5,-1,4,-4,5,-3,3],[-5,-1,4,-3,5,-4,3],[-5,1,-4,3,5,-3,4],[-5,1,-4,4,5,-3,3],[-5,1,-3,3,5,-4,4],[-5,1,-3,4,5,-4,3], [5,-1,-4,3,-5,4,-3],[5,-1,-4,4,-5,3,-3],[5,-1,-3,3,-5,4,-4],[5,-1,-3,4,-5,3,-4],[5,1,3,-4,-5,4,-3],[5,1,3,-3,-5,4,-4],[5,1,4,-4,-5,3,-3],[5,1,4,-3,-5,3,-4]]

309:１３２人目の素数さん
18/11/16 09:55:52.98 U19cHKqd.net
>>286
70匹のときの確率
137149850039891/562949953421312　 = 0.2436270741410791
80匹のときの確率　639173184839639/36028797018963968 = 0.017740619663298957
だから、80匹は可能性が低い

310:１３２人目の素数さん
18/11/16 10:03:56.75 U19cHKqd.net
>>286
池の鯉の可能性を５６＋（４５－３６）＝６５匹から上限を１００００匹にして
その確率は一様分布に従う（つまり、６５匹の確率も１００００匹の確率も同じ）として計算したら
最頻値
$`mode`
[1] 69 70
中央値
$median
[1] 71
期待値
$mean
[1] 71.17647
９５％信頼区間(highest density)
$CI.hdi
[1] 65 78
パーセンタイル(2.5.%-97.5%)
$CI.Qqtl
[1] 66 80
80匹はまあ、ギリギリセーフといえなくもない。

311:１３２人目の素数さん
18/11/16 10:33:03.57 3fj2avs/.net
>>36の出題者らしきレスなんにも出てこないけど、これ本当にとけるんかな？時々未解決問題貼るやついるからなぁ。
まぁもう諦めたからどっちでもいいけど。

312:１３２人目の素数さん
18/11/16 10:49:59.06 U19cHKqd.net
>>281
Wolframdでも同じだなぁ。６９匹と７０匹は同確率。
では、56*45/36=70の値は一体なんだろ
choose(56,36)*choose(13,9)/choose(69,45)
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)(56,36)*choose(13,9)%2Fchoose(69,45)
3591292705/14740942556
choose(56,36)*choose(14,9)/choose(70,45)
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)(56,36)*choose(14,9)%2Fchoose(70,45)
3591292705/14740942556
choose(13,9)/choose(69,45)
11/35471218518158136
(13!/(4!*9!)) /(69!/(24!*45!))
choose(14,9)/choose(70,45)
11/35471218518158136
(14!/(5!*9!))/(70!/(25!*45!))

313:１３２人目の素数さん
18/11/16 12:24:02.61 C4anFRr3.net
大きな数を扱う化学では
コップの中の真水56ccを濃度1％の食塩水56ccで置き換えました。
よく混ぜた後45cc取り出して濃度を測ると36/45%でした。
最初の真水の量は何ccだったのか計算せよ。
36/45=56/x
x=70
答え 70cc
とかしてるわけだけど、
確率分布はどんな様子になってるんだろう。
>>276の問題の各数値を10^23倍くらいにすればいいわけだよね

314:１３２人目の素数さん
18/11/16 13:11:22.71 cPC01E8S.net
小学校「さくらんぼ計算」に戸惑う声
URLﾘﾝｸ(headlines.yahoo.co.jp)
URLﾘﾝｸ(amd.c.yimg.jp)
さくらんぼ計算とは、「8＋7」の足し算で、7を2と5に分け、8にこの2を足して10にする。
そして、10と残りの5を足して15と計算するやり方だ。7の下にぶら下がったさくらんぼの実を2つ描き、
2と5を実の中に書くことから、さくらんぼ計算と呼ばれている。
報告主は、「10＋7」の10を3と7に分けるといったムダなことをする子供もいたとして、
こうした考え方を示した文科省に疑問をぶつけていた。このほかにも、さくらんぼ計算のせいで
娘が算数が大嫌いになり、中学3年になっても苦手から抜�

315:ｯ出せずに数学を拒否している。

316:１３２人目の素数さん
18/11/16 13:55:38.45 WpNoJk+p.net
>>95
■P1stを求める
宝一つの時の自陣当たり数
(n(n+1)/2)-1　……①
その中での宝二個の組み合わせ数
((n(n+1)/2)-1)(((n(n+1)/2)-1)-1)/2　……②
最終マスと①との組み合わせ数　　
(n(n+1)/2)-1　……③
自陣の当たりと相手の当たりで自分が勝つ
組み合わせは②と差分の和
差分は1 3 7 13 22 34 50 70 95 125 161 203
252 308 372 444 525 615……
それを表す関数
(4n^3+6n^2-4n-3+3(-1)^n)/48
nが一つずれているのでn-1に補正
｛4(n-1)^3+6(n-1)^2-4(n-1)-3+3(-1)^(n-1)｝/48　……④
計算知能で②x2+③+④を入力すると
P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48　……⑤
全n(n+1)マスで宝二個の組合わせ数
n(n+1)｛n(n+1)-1｝/2　……⑥
引き分け数は、n(n+1)-1と同着数の和
同着数は1 2 4 6 9 12 16 20 25……
これを表す関数は　｛2n^2-1+(-1)^(n)｝/8　……⑦
n(n+1)-1　……⑧
計算知能で⑦+⑧を入力すると
even =(10n^2+8n+(-1)^n-9)/8　……⑨
計算知能で⑥-⑤-⑨を入力すると
Q1st =｛12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3｝/48　

317:イナ
18/11/16 14:41:56.79 ksjAcdFq.net
前 >>286
>>288-289>>291
期待値の問題か。
80匹もぎりぎりセーフってことで正解だね。
一万匹は無理だね。
金銭的にも興行的にも。

318:イナ
18/11/16 15:20:42.09 ksjAcdFq.net
どこ～かで～かね～がな～ぁて～♪ らし～くな～ぃこと～ばかﾟ～ぅか～んで～♪ さむ～さかﾟ～ここ～ちよ～くて～♪ な～んでこ～ぃな～んかして～んだろ～♪ 前 >>295
~､､,, ~~ﾟ~~~｡~ ~~~ ~
(-.-))⌒～っﾞ~ ~ ~~~
υυ～~~~ ~~ ~ ~ﾟ ~~
~~~~ﾟ ~ ~ ~~ ﾟ ~~~ ~

319:１３２人目の素数さん
18/11/16 15:32:30.76 C4anFRr3.net
>>279
この式で56匹から100匹までの確率の総和を取ったら約2になった
sigma[choose(56,36)*choose(n-56,9)/choose(n,45), n = 56 to 100]
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)(56,36)*choose(n-56,9)%2Fchoose(n,45),+n+%3D+56+to+100%5D

320:１３２人目の素数さん
18/11/16 15:40:55.85 U19cHKqd.net
>>292
カードの照合の問題も、最初に選んだ１０枚に印をつけて再捕獲したと考えればいいんだろうけど
200/3=66.6枚という最頻値がどれほどの信頼できるのか疑問。
固有の番号の書かれたカードが何枚あり、
その枚数は１０００枚以下であることはわかっているが、その数を推定したい。
調査員が無作為に１０枚選んで番号を記録して元に戻した。
別の調査員が無作為に２０枚選んで番号を記録した。
二人の調査員の記録した番号を照合すると３枚の番号が一致していた。
この情報からカード枚数の期待値を求めよ。
事前分布としてある枚数である確率を一様分布にするのが現実離れといえるけど。
まあ、男女の生まれる確率分布を一様分布として計算するのに似ているかも。

321:１３２人目の素数さん
18/11/16 15:43:07.21 U19cHKqd.net
>さくらんぼ計算のせい
アベノセイダーズを彷彿とさせるような記述だなぁ。

322:１３２人目の素数さん
18/11/16 16:04:40.32 U19cHKqd.net
>>297
サイコロ

323:をふって１回１の目がでた。サイコロを降った回数は１から１００回のどれかである。１回ふって１回出た確率、２回ふって１回出た確率、３回ふって１回出た確率、...、１００回ふって１回出た確率全部足したらいくらになる？

324:１３２人目の素数さん
18/11/16 16:30:54.15 C4anFRr3.net
>>300
ああ、なるほど。勘違いしていました。

325:１３２人目の素数さん
18/11/16 16:37:21.65 U19cHKqd.net
問題の数値を変えてわずか３匹しか目印なしとすると
池の鯉を網で５６匹すくいました。
すくった５６匹に目印をつけ、池にもどしました。
次の日に鯉４５匹をすくったところ、３匹に目印がついていました。
池の鯉はおよそ何匹ですか。
５６＊４５／３＝８４０匹になるのだけど、
この数値ってどれほどアテにしていいんだろうね？

326:１３２人目の素数さん
18/11/16 17:04:41.28 C4anFRr3.net
数値を10倍、100倍にしたときのグラフを描かせてみた
青が10倍で範囲は690匹から7100匹、
赤が100倍で範囲は6900～7100匹
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)(560,+360)*choose(x-560,+90)%2Fchoose(x,450),++choose(5600,+3600)*choose(x*10-5600,+900)%2Fchoose(x*10,4500),+from+x%3D690+to+710
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
10倍程度だとあまり先鋭化しない
100倍でも思ったより先鋭化しない
化学で扱うような10^23あたりのサンプル数なら推定値の
±0.001%の範囲である確率が0.9999とかになるんだろうな

327:１３２人目の素数さん
18/11/16 17:10:17.60 iOODzE0M.net
そこが統計が数学科であんまり好まれないとこだろうねぇ。
確率の問題と深く関わってはいるけど厳密には確率の問題ではない。
母数の分布とは言うけどそんなもんわかりっこないから本来どうしようもないし。
けどわからんわからんいうてても何も始まらんので適当に××仮説とか立てて「こう考えるとするとこうなる」ぐらいの事しか言えない。
信頼区間にしてもwikiにも明示されてるけどあくまで"指標"でしかない。確率でもなんでもない。
確率だと思うには母数の分布になんかの仮定入れないと無理だけど、その仮定の入れ方ごとに答え変わるし、ましてや次はその仮定どれくらい信頼できるねんと言う話に戻ってしまう。

328:１３２人目の素数さん
18/11/16 17:20:57.75 U19cHKqd.net
>>303
全体の数より、再捕獲での陽性割合を変化させた方がグラフは大きく変化すると思う。
目印陽性がすくないと信頼区間が広くなって推定値が信頼できないが、目印陽性が多いと信頼区間が狭くなる。

329:１３２人目の素数さん
18/11/16 17:39:34.15 C4anFRr3.net
>>305
なるほど。
とはいえさっきはグラフの形だけ見て「あまり先鋭化しない」なんて書いたけど、
10倍では690～710以外の範囲でも無視できない程の確率があるのに
100倍だと6900～7100以外での確率はほぼゼロだから大分違うか

330:１３２人目の素数さん
18/11/16 17:55:11.25 vFBRPbWk.net
>>306
10打数で1安打と1000打数100安打での信頼区間の差では？

331:１３２人目の素数さん
18/11/16 17:59:04.35 3fj2avs/.net
そもそも信頼区間の定義とは違う意味で信頼区間という用語使ってるレス多いな。

332:１３２人目の素数さん
18/11/16 18:10:26.73 vFBRPbWk.net
信頼区間の計算式って沢山あるよな。
1000打数100安打の95%信頼区間
> binom::binom.confint(100,1000)
method x n mean lower upper
1 agresti-coull 100 1000 0.1000000 0.08284688 0.1202145
2 asymptotic 100 1000 0.1000000 0.08140615 0.1185939
3 bayes 100 1000 0.1003996 0.08206073 0.1191877
4 cloglog 100 1000 0.1000000 0.08239444 0.1195577
5 exact 100 1000 0.1000000 0.08210533 0.1202879
6 logit 100 1000 0.1000000 0.08288164 0.1201906
7 probit 100 1000 0.1000000 0.08264461 0.1198768
8 profile 100 1000 0.1000000 0.08243331 0.1196133
9 lrt 100 1000 0.1000000 0.08243172 0.1196130
10 prop.test 100 1000 0.1000000 0.08245237 0.1206909
11 wilson 100 1000 0.1000000 0.08290944 0.1201520

333:１３２人目の素数さん
18/11/16 19:58:26.87 U19cHKqd.net
>>305
自分で

334:も興味があったので弄ってみた。魚の総数を上限１万匹とし、その確率分布は一様分布を仮定。再捕獲した４５匹中何匹に目印がついているかで推測される95%信頼区間(Highest Density Interval）をグラフにしてみた。 http://i.imgur.com/NKcQ61u.png Rのコードはここに置いた（通知を変えて実行できる） http://tpcg.io/TBD7MO

335:１３２人目の素数さん
18/11/16 21:16:06.61 xmVvCZPI.net
>>271
　tr(AA) や tr(A^3) も使えばできますね。
Aの固有多項式は
　f(x) = det(A-xI) = det(A) - {(tr A)^2 - tr(AA)}/2・x + tr(A) xx - x^3,
ケーリー・ハミルトンにより
　f(Ａ) = det(A)Ｉ - {(tr A)^2 - tr(AA)}/2・Ａ + tr(A)ＡＡ - Ａ^3 = O,
　det(A) = (1/3)tr[ {(tr A)^2 - tr(AA)}/2・Ａ - tr(A)ＡＡ + Ａ^3 ] = …

336:１３２人目の素数さん
18/11/16 22:24:21.87 3fj2avs/.net
tr(A^i)全部使っていいなら固有多項式の係数全部表せるのはまんまニュートンの漸化式やん。

337:１３２人目の素数さん
18/11/16 23:11:07.23 1P5sF5+y.net
>>305 >>310
単に >>303風のグラフを描くなら対数で計算すればコップの中の水分子とかでも計算できますね
あとでやってみよう

338:１３２人目の素数さん
18/11/17 08:36:24.31 pOy6FHDl.net
>>311
Ａ = {a_ij} が3次行列のとき
tr(A) = a11 + a22 + a33,
tr(AA) = (a11)^2 + (a22)^2 + (a33)^2 + 2 a12 a21 + 2 a23 a32 + 2 a31 a13,
∴Ａの固有多項式は
det(A-xI) = det{[a11-x, a12, a13], [a21, a22-x, a23], [a31, a32, a33-x]}
= det(A) - (a11 a22 + a22 a33 + a33 a11 - a12 a21 - a23 a32 - a31 a13)x + (a11+a22+a33)xx -x^3
= det(A) - {(tr A)^2 -tr(AA)}/2 x + tr(A) xx - x^3,
>>312
n次多項式がn個の根λ1，λ2，･･･，λn をもつ（ガウス）が既知ならば
　tr(A^i) = (λ1)^i + (λ2)^i + … + (λn)^i,
これは {λ1，λ2，…，λn} のi次の対称多項式だから、1～i次の基本対称式で表わせる。
逆に、i次の基本対称式は tr(A) ～ tr(A^i) で表わせる。

339:１３２人目の素数さん
18/11/17 08:41:34.54 XBWc+pi8.net
池の鯉の総数と調査します。
五郎君が名前に因んで５６匹を捕まえて目印をつけ、池にもどしました。
次の日に三郎君が自分の名前に因んで３６匹の目印のついた鯉を捕まえることにしました。
鯉４５匹めで予定の３６匹が捕まりました。
池の鯉はおよそ何匹ですか。

340:１３２人目の素数さん
18/11/17 09:12:10.72 js5kwOKA.net
>>314
トレースって跡ともいうけど、ずっと「あと」って読んでいた。
線形代数の本の索引で、ア行になくサ行にあったので気づいたわ。

341:１３２人目の素数さん
18/11/17 10:08:03.31 pOy6FHDl.net
>>316
　しゅぷーる
URLﾘﾝｸ(spur.hpplus.jp)

342:１３２人目の素数さん
18/11/17 12:09:53.28 pOy6FHDl.net
>>311
Ａ = {a_ij} がn次行列のときも
tr(A) = a_11 + a_22 + ･･･ + a_nn,
tr(AA) = (a_11)^2 + … + (a_nn)^2 + 2 Σ[i<j] a_ij a_ji,
(trA)^2 - tr(AA) = 2Σ[i<j] (a_ii a_jj - a_ij a_ji),
∴ Ａの固有多項式は
det(A-xI) = det{[a_11-x, a_12, …, a_1n], [a_21, a_22-x, …, a_2n], ……, [a_n1, a_n2, …, a_nn-x]}
= det(A) - …… + Σ[i<j] (a_ii a_jj - a_ij a_jj) (-x)^{n-2} + (a_11+…+a_nn)(-x)^{n-1} + (-x)^n
= det(A) - …… + {(tr A)^2 - tr(AA)}/2 (-x)^{n-2} + tr(A)(-x)^{n-1} + (-x)^n,

343:１３２人目の素数さん
18/11/17 12:30:54.72 NWNFiSSF.net
昨日出した問題だけど
数2Bまでの知識で解ける
a,b,c,dは実数とする。
a+c=-4/3, b+4ac+d=-2, ad+bc=4, bd=1のとき、(a^2-b)(c^2-d)<0を示せ。ただし、計算機は使ってはならない。

344:１３２人目の素数さん
18/11/17 15:28:43.18 A1Nd7rYy.net
あれ？
a^2d=a(4-bc), bc^2=c(4-ad)より
a^2d+bc^2=4(a+c)-(ad+bc

345:)=-16/3-4 になって (a^2-b)(c^2-d) =(ac)^2-(a^2d+bc^2)+bd =(ac)^2-(-16/3-4)+1 になって負になりっこない希ガス。

346:１３２人目の素数さん
18/11/17 15:32:26.94 UVEx0ybP.net
>>319
f(x) = (x^2+2ax+b)(x^2+2cx+d) = x^4-(8/3)x^3-2x^2+8x+1
をxで微分したら 4(x-2)(x-1)(x+1) となるから、
x=-1 で極小 f(-1)<0, x=1 で極大 f(1)>0, x=2 で極小 f(2)>0 となってそれ以外の区間で単調であるから、
f はちょうど２つの単根を持つ。
したがって、(x+a)^2 - (a^2-b) と (x+c)^2 - (c^2-d) はどちらも重根を持たず、どちらか一方のみが２つの実根を持つことから、題意が示される。

347:１３２人目の素数さん
18/11/17 15:33:46.63 A1Nd7rYy.net
てか、本当に実数解あんの？

348:１３２人目の素数さん
18/11/17 15:37:21.74 KDdXvc30.net
>>321
すげぇ……判別式の形露骨に出ないように姑息に2a,2cみたいな係数にしてたのによく見破ったな……
>>322
ある
ウルフラム先生が言ってるんだから間違いない多分

349:１３２人目の素数さん
18/11/17 15:47:33.05 js5kwOKA.net
>>321
すごいな。2つの判別式の積になってるって見抜けないと思いつかんなあ
 >>320
また現れたか、デキッコナイス。なんなんだこいつは。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

350:１３２人目の素数さん
18/11/17 15:53:55.95 A1Nd7rYy.net
あれ？>>320の間違いまじでわからん？
どこ間違ってるかわかる？

351:１３２人目の素数さん
18/11/17 15:56:05.11 KDdXvc30.net
>>325
これa,b,c,dの値固定されてるからacの値によらず(ac)^2-(-16/3-4)+1が常に負になる必要はないんじゃね（特定のa,b,c,dで負になるなら良い）

352:１３２人目の素数さん
18/11/17 16:02:33.51 A1Nd7rYy.net
>>326
いや、変形に計算間違いがないならacが実数である限り何であっても正になってしまう。
いまパソコンが壊れててて計算しか出来ないから検算しようがない。
自分で再計算しても同じとこ間違うのが関の山だし。
まぁ問題に一言も実数とは断ってないから実数でないのかもしれないけど。

353:１３２人目の素数さん
18/11/17 16:05:31.33 KDdXvc30.net
実数って1行目に断ってるぞ…
あと、一応Wolfram alphaのURL乗っけとくわ
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)

354:１３２人目の素数さん
18/11/17 16:09:42.72 A1Nd7rYy.net
>>328
aについてしか解いてくれてないけど。
虚数解混じってるし。
全部実数になる解あるの？

355:１３２人目の素数さん
18/11/17 16:11:44.94 KDdXvc30.net
>>329
More rootってあるだろ、これ以上はスレチになるからこことは違うところで調べてくれ

356:１３２人目の素数さん
18/11/17 16:11:55.46 A1Nd7rYy.net
あ、いや、ごめんなさい。
実数解ひとつあれば全部実数になる解は自動的にあるな。
あれ？>>320どこ間違ってるんだろう。
パソコンないとこうも手詰まりになるもんだな。

357:１３２人目の素数さん
18/11/17 16:15:18.14 knKRx/Qn.net
>>331
> a^2d=a(4-bc), bc^2=c(4-ad)より
> a^2d+bc^2=4(a+c)-(ad+bc)=-16/3-4
a^2d+bc^2=4(a+c)-ac(b+d)
計算見直すだけだろ

358:１３２人目の素数さん
18/11/17 16:20:26.22 A1Nd7rYy.net
あ、わかった。
お騒がせしました。

359:１３２人目の素数さん
18/11/17 16:22:25.07 UVEx0ybP.net
Wolfram 先生に
factorize x^4-(8/3)x^3-2x^2+8x+1
ってお願いして irreducible factorization 出してもらえば普通に a,b,c,d 構成できるんじゃないの
あと >>320 だけど
a^2d+bc^2=4(a+c)-(ad+bc)=-16/3-4
は計算間違いで本当は
a^2d+bc^2=4(a+c)-(abc+acd)
になって特に何が言える訳でもないと思うよ

360:１３２人目の素数さん
18/11/17 16:25:04.30 js5kwOKA.net
まだやってたのか、NG入れてあぼーんしてたから気づかなんだわ。
数学板の常連は意外と面倒見がいいんだな。

361:１３２人目の素数さん
18/11/17 16:30:49.85 UVEx0ybP.net
解決してた　すまん

362: 未解決だけど投稿します各項の係数の絶対値が1以下であるような整数係数多項式 f(x)≠0 であって、x^4+x^3+3x^2+x+1 で割り切れるようなものは存在するか。

363:１３２人目の素数さん
18/11/17 16:31:38.43 A1Nd7rYy.net
>>334
ありがとう。
後で気づいた。
お騒がせしました。

364:１３２人目の素数さん
18/11/17 16:41:11.53 pHGjVcYj.net
m種類の文字をm^n個並べた円順列で、連続するn文字の並びがすべて異なるものは常に存在するか？
例：文字0,1の円順列[00011101]中の3文字の並びは 000,001,011,111,110,101,010,100 で、すべて異なる。

365:１３２人目の素数さん
18/11/17 18:50:57.91 A1Nd7rYy.net
じゃトレースがらみで
Aをn次正方行列とするとき、行列Bを
B[i j] =tr(A^(i+j))
で定められるn次正方行列とする。
この時
Aの固有値が全て異なることと det(B)≠0 である事は必要十分である事を示せ。

366:１３２人目の素数さん
18/11/17 18:56:20.25 A1Nd7rYy.net
>>339
訂正
B[i j] = tr(A^(i+j-2))
です。

367:１３２人目の素数さん
18/11/17 19:39:06.00 pHGjVcYj.net
>>339,340
tr(A^i)はAの固有値のi乗の総和なので、行列BはAの固有値のヴァンデルモンド行列とその転置との積。
したがってBの行列式は差積の2乗つまり判別式。

368:１３２人目の素数さん
18/11/17 19:53:18.73 A1Nd7rYy.net
>>341
素晴らしい！
正解です。簡単すぎてすまソ

369:１３２人目の素数さん
18/11/17 23:22:11.01 laGp565a.net
京大理学部特色入試
お暇な方はどうぞ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

370:１３２人目の素数さん
18/11/18 01:04:20.36 ZJOO9Eig.net
>>338
m=3、n=2の場合で考える。
別のｹｰｽでもいけるけど記述がうるさくなるので。
0～m^n-1の整数を頂点とし[x/m] ≡ y (mod m^n/m)の時xからyに→を描いて向き付きのｸﾞﾗﾌGを作る。
このｸﾞﾗﾌが全ての点をちょうど一回づつ通る向き付きのﾙｰﾌﾟを持つ事を示せば良い。
隣接行列をfromが横方向、toが縦方向に来るようにとる。
また、見やすいようにfromは最下位桁以外が一致するものを固めてならべ、toは最上位桁以外が固まるように並べる。
今の場合なら例えば以下のようになる。
. 00 01 02 10 11 12 20 21 22
00 1 1 1
10 1 1 1
20 1 1 1
01 1 1 1
11 1 1 1
21 1 1 1
02 1 1 1
12 1 1 1
22 1 1 1
このなかの1から1をm^n個選びその表す部分ｸﾞﾗﾌが連結成分数が1の向き付きﾙｰﾌﾟになるものを見つければ良い。
各行、各列からちょうど一個づつ選べば向き付きﾙｰﾌﾟの有限和にはなる。
例えば対角線上の1を全て選べば良い。しかしそれだと連結成分が複数出てくるので繋げていく。
まず左上のm×mを必要なだけ挿げ替えてそのﾌﾞﾛｯｸにあるﾙｰﾌﾟが成分一個になるようにする。
上の例なら
. 00 01 02 10 11 12 20 21 22
00 ○
10 ○
20 ○
01 ○
11 ＊
21 △
02 ○
12 △
22 ※
となる。
この時点で00→20→02→10→01→00、11→11、12→21→12、22→22の4成分。
ここで右上のﾌﾞﾛｯｸを占有するﾙｰﾌﾟの中の→のtoは最下位桁以外を無視して0～m^n/m-1までの全ての数がでるから各ﾌﾞﾛｯｸを少なくとも1回づつ通過する。
よって先の様な挿げ替えを再び行って成分数を1にできる。

371:１３２人目の素数さん
18/11/18 01:42:47.40 ZJOO9Eig.net
訂正
×まず左上のm×mを必要なだけ挿げ替えて
○ まず左上の(m^n/m)×(m^n/m)を必要なだけ挿げ替えて
訂正ついでにも少し補足。
挿げ替えとはA→B、C→DをA→D、C→Bと→を選び直す事。
この作

372:業を何回か繰り返せば同じブロックに属する→は全て同一成分に出来る。今の例なら A→B→‥→A、C→D→‥→Cという2成分が A→D→‥→C→B→‥→Aとつながって1成分減る。

373:１３２人目の素数さん
18/11/18 02:05:20.86 ZJOO9Eig.net
あ、いらん訂正した。>>344であってます。
>>345は無かったことに。
同一ブロックに入るのはたとえばm=3, n=5ならたとえば
fromが02430,02431,02432,02433,02434,
toが. 00243,10243,20243,30243,40243
であるm×m個。
このfromがm個、toがm個のm×m通りは全て→で結ばれていて自由に挿げ替えられる。

374:１３２人目の素数さん
18/11/18 02:36:13.22 ZJOO9Eig.net
>>346
スレ汚しすまん。まだ間違ってる。
挿げ替えのアルゴリズムは >>344では不十分。
以外に訂正。
とりあえず、全ブロックの→を挿げ替えで同一成分にする。
これで十分。
もしこれで2成分以上あったとする。
しかし元のグラフは連結なので2成分X YとXの通過する点とＹの通過する点を結ぶ→がみつかる。
実際異なる連結成分を結ぶパスで長さ最小のパスを取ればそれは→である。
たとえばm=5, n=5で
X: …→02432→30243→…
Y: …→02431→10243→…
の02432と10243の様な組みである。
そしてこの部分は同一ブロックに属する。
しかし同一ブロックの→は全て同一連結成分になる様に取っているのでそれらが異なる連結成分に属するのは矛盾。

375:１３２人目の素数さん
18/11/18 03:56:43.71 ENzLbcND.net
>>343
[1]　(20点)
aを2以上の整数とし、有理数bを b = 1 + 1/a により定める。自然数nに対して、
　S_n = Σ[k=1,n] k^(1/a),
とおく。ただし、k^(1/a) とはa乗するとkになる正の実数のことである。
以下の設問に答えよ。
　(1)　lim[n→∞] S_n / n^b = 1/b　を示せ。
　(2)　lim[n→∞] (S_n - (n^b)/b）= ∞　を示せ。
[4]　(20点)
nを自然数とする。整数kに関する次の条件(C),(D)を考える。
　(C)　0≦k<n.
　(D)　k/n ≦ 1/m < (k+1)/n を満たす自然数mが存在する。
条件(C),(D)を満たす整数kの個数を T_n とする。以下の設問に答えよ。
(1)　T_50 を求めよ。
(2)　次の極限値を求めよ。
　　lim[n→∞］log(T_n)/log(n)
URLﾘﾝｸ(suseum.jp)

376:１３２人目の素数さん
18/11/18 16:54:39.76 ENzLbcND.net
>>321
x - 2/3 = X,
とおくと
f(x) = x^4 -(8/3)x^3 -2x^2 +8x +1
= X^4 -(14/3)X^2 +(80/27)X +(131/27)
= (X^2 +f)^2 -(14/3 +2f)(X-g)^2,
となり、2次因子に分解する。
2(14/3 +2f)g = (80/27),
ff -(14/3 +2f)gg = (131/27),
より
f^3 +(7/3)f^2 -(131/27)f -(9053/729) = 0,
g^3 -(2/5)g^2 +(7/3)g -(10/27) = 0,
f = (-7 +6(13+2√11)^{1/3} +6(13-2√11)^{1/3})/9 = 2.256314207884
g = (2 +3(4+25√11)^{1/3} -3(-4+25√11)^{1/3})/15 = 0.161393818172

377:１３２人目の素数さん
18/11/19 00:15:59.14 eL1RQpps.net
>>349 (続き)
　f(x) = (x^2+2ax+b) (x^2+2cx+d)
とする。
x^2 +2ax +b = X^2 +2√(7/6 +f/2)･(X-g) +f,
判別式 a^2 -b = (7/6 +f/2) -f +2g√(7/6 +f/2)
　= (7/6 -f/2) +20/[27√(7/6 +f/2)]
　= 0.5274900867207
x^2 +2cx +d = X^2 -2√(7/6 +f/2)･(X-g) +f,
判別式 c^2 -d = (7/6 +f/2) -f -2g√(7/6 +f/2)
　= (7/6 -f/2) -20/[27√(7/6 +f/2)]
　= -0.4504709612713
(a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 -(80/27)^2/(7/6 +f/2)
　= -(4/3)[10 - (13+2√11)^{2/3} - (13-2√11)^{2/3}]
　= -0.237618966426144
　< 0,

378:１３２人目の素数さん
18/11/19 07:45:15.59 5ARxnQrn.net
問題 : ４リット�

379:汲ﾆ３リットルの容器を使って２リットルの水を測るにはどうすればいい？これが最短手順でいい？ [(0,0),(4,0),(1,3),(1,0),(0,1),(4,1),(2,3),(2,0)]

380:１３２人目の素数さん
18/11/19 08:21:43.58 uVfWyczI.net
[(0,0),(0,3),(3,0),(3,3),(4,2),(0,2)] は禁止？

381:１３２人目の素数さん
18/11/19 11:25:42.32 eL1RQpps.net
>>350 訂正
(a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 - (20/27)^2/(7/6 +f/2)
　= (1/3)[10 - (13+2√11)^{2/3} - (13-2√11)^{2/3}]
　= -0.237618966426144
　< 0,
分かスレ４４８-819,827

382:１３２人目の素数さん
18/11/19 12:26:19.49 ofBQh0Xr.net
>>352
お見事！

383:１３２人目の素数さん
18/11/19 17:31:06.43 ofBQh0Xr.net
10Lの容器いっぱいに油が入っています。7Lの容器と3Lの容器を使って、この油を5Lずつに分けます。どのような分け方がありますか。
URLﾘﾝｸ(katekyo.mynavi.jp)
何でグラフで解けるんだろ？

384:イナ
18/11/19 18:19:06.42 /GTUzlHS.net
>>355満タン(10)(７)(３)の三つの容器をこの並びで置き、
初め(10)(０)(０)入っているのを移していく
→(３)(７)(０)
→(３)(４)(３)
→(６)(４)(０)
→(６)(１)(３)
→(９)(０)(１)
→(２)(７)(１)
→(２)(５)(３)
→(５)(５)(０)
８回で二分できた。

385:１３２人目の素数さん
18/11/19 18:46:32.29 TVJAPYv0.net
>>344-347
だいたい考えてた解答と一緒です。
自分のは、1234→2341→3412→4123→1234のようなサイクルをつないでいくやり方でした。
探索なしで生成する方法はないんでしょうかね？

386:イナ
18/11/19 18:46:44.45 /GTUzlHS.net
前 >>356両手ありで空にしたとこにすぐ入れるのをノーカンにするなら７回だけど、
(10)(０)(０)
→(３)(７)(０)
→(３)(４)(３)
→(６)(４)(０)省略可
→(６)(１)(３)
→(９)(１)(０)省略可
→(９)(０)(１)
→(２)(７)(１)
→(２)(５)(３)
→(５)(５)(０)
片手だと９回か。

387:１３２人目の素数さん
18/11/19 23:43:46.25 eL1RQpps.net
>>350 >>353
(a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 - (20/27)^2/(7/6 +f/2)
　= (1/3) [(13+2√11)^{1/3} - (13-2√11)^{1/3}]^2
　= -0.237618966426144
　< 0,

388:１３２人目の素数さん
18/11/19 23:55:14.32 yvqX1603.net
>>359
■式を展開してゆくと
(a^2-b)(c^2-d)<0
a^2c^2-a^2d-c^2b+bd<0
a^2c^2-(a^2d+c^2b)+bd<0
a^2c^2-(a+c)(ad+bc)+ac(b+d)+bd<0
ac(ac+b+d)-(a+c)(ad+bc)+bd<0
ac(b+4ac+d)-3a^2c^2-(a+c)(ad+bc)+bd<0
a+c=-4/3, b+4ac+d=-2, ad+bc=4, bd=1
は作ることができたが
最終的に9a^2c^2+6ac-19>0となる

389:１３２人目の素数さん
18/11/19 23:55:39.30 vaYg27wd.net
>>357
え？自作問題なんですか？
よくこんなの思いつきましたね！すっげ！
とりあえず >>344-347みたいな解答できた後、明示的な解が作れないか考えたけど出来ずorz。
普段ならパソコンに探索させてやってみるんですが、今パソコン壊れててそれもできず。
少なくともm=2とかに限定すれば出来て不思議なさそうなんですけどねぇ？

390:１３２人目の素数さん
18/11/20 01:41:08.34 bRya54dl.net
>>355
こうなると人間技では無理だな。
100Lの容器いっぱいに油が入っています。51Lの容器と49Lの容器を使って、この油を50Lずつに分けます。どのような分け方がありますか。

391:１３２人目の素数さん
18/11/20 12:20:49.85 cFR1wwH3.net
>>362
１００ステップでできた。
URLﾘﾝｸ(tpcg.io)

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