面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

266:１３２人目の素数さん
18/11/14 05:55:42.54 XxUkRupx.net
>>249
9852554225504584574の素因数分解は2×83×59352736298220389である。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
p = 2、q = 83、r = 59352736298220389 とおき、それぞれの sylow group P,Q.R を選び、その共役の個数をl、m、n とおく。
このとき m = [G:N(Q)] = 1,p,r,pr、m ≡ 1 (mod q) である。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
しかしこれを満たすのは m=1 のみである。
特に Q は正規部分群である。
同様にして R も正規部分群である。
よってQR = Hは位数qrの部分群であり、同様にしてRはHの正規部分群である。
よってHはRのQによるInner semidirect productである。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
ここでAut Rは位数 r-1 の巡回群であり、(r-1,q) = 1であるからQ→Aut Hは自明であるものしかない。
よってHはQとRの直積であり、位数qrの巡回群である。
同様にしてGはHのPによるInner semidirect productである。
ここでAut Hは位数q-1の巡回群と位数r-1の巡回群の直積であり、P→Aut Hは４つある。
以上によりGは
C[2]×C[83]×C[59352736298220389]、
D[83]×C[59352736298220389]、
C[83]×D[59352736298220389]、
<x,y,z|x^2、y^83、z^ 59352736298220389、xyxy、xzxz>
の４つのいずれかに同型である。

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