面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

264:１３２人目の素数さん
18/11/14 02:25:34.49 uakH23jG.net
〔補題〕
ペル方程式 pp - 2qq = -1 には解が無数に存在する。
(略証)
(p_1, q_1) = (1, 1)　は一つの解である。
(p, q) が解ならば
　p ' + q'√2 = (1+√2)^2･(p+q√2),
　p ' - q'√2 = (1-√2)^2･(p-q√2),
(どちらでも同じこと）とおくと、
　p ' = 3p + 4q,
　q ' = 2p + 3q,
も解である。(漸化式)
これより解が無数に存在する。
　p_{2n+1} = {(1+√2)^(2n+1) + (1-√2)^(2n+1)}/2,
　q_{2n+1} = {(1+√2)^(2n+1) - (1-√2)^(2n+1)}/(2√2),
∴　p > (27*11-2C)/(C-27*2)　をみたすpも無数に存在する。(C>27*2 のとき)

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