面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

262:１３２人目の素数さん
18/11/13 19:42:09.32 SF2cgR9a.net
>>235の証明　補題1の積分計算と同じ計算をすると、
α＝(Σ(k＝1～m)λ_ka_k)^{－1}Σ(k＝1～m)λ_k∫(x－a_k,x)f
がxに依存しない定数として定義できる(a.e.x の意味ではなく、任意のxに依存しない)。
F(x)＝∫(0,x)(f(t)－α)dt (x∈R) と置く。微積分学の基本定理から、
Fはa.e.で微分可能で F'＝(f－α) a.e. である。
次に、αが任意のxに依存しないことから、>>231と同じ計算で
F(x)＝Σ(k＝1～m)λ_kF(x－a_k) (x∈R) となる。
また、L＝|α|＋||f||_∞ と置けば、L＜＋∞であり、
|F(y)－F(x)|＝|∫(x,y)(f－α)|≦L|x－y| (x,y∈R) である。よって、
FはR上でリプシッツ連続である。よって、定理1から、Fは定数関数である。
よって、FはR全体で微分可能で、R全体で F'＝0 である。
一方で、F'＝(f－α) a.e. だったから、(f－α)＝0 a.e. となる。
よって、f＝α a.e. である。□

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