面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

255:１３２人目の素数さん
18/11/13 12:23:04.40 oFVtyBzR.net
固有の番号の書かれたカードが何枚あり、
その枚数は１０００枚以下であることはわかっているが、その数を推定したい。
調査員が無作為に１０枚選んで番号を記録して元に戻した。
別の調査員が無作為に２０枚選んで番号を記録した。
二人の調査員の記録した番号を照合すると３人分の番号が一致していた。
この情報からカード枚数の期待値を求めよ。

256:１３２人目の素数さん
18/11/13 13:03:18.44 FBLhmoMV.net
>>240
>二人の調査員の記録した番号を照合すると３人分の番号が一致していた。
三枚一致した？

257:１３２人目の素数さん
18/11/13 14:11:06.47 oFVtyBzR.net
>>241
そのとおり、三枚一致。

258:１３２人目の素数さん
18/11/13 14:44:52.93 FBLhmoMV.net
>>240
とりあえず”3枚一致した”と解釈して
C:３枚一致するという事象、N:カードの枚数、p[n] = P(N=n)として
E(N|C) = Σ n P(N=n|C) = Σ n P(N=n＆C) / P(C) = Σ n p[n] P(C|N=n) / (Σ p[n] P(C|N=n))、
P(C) = Σp[n]P(C|N=n)、
P(C|N=n) = C[10,3]C[n-10,17]/C[n,20] (n≧27)
.　　　　　 0 (otherwise)、
により
E(N|C) = Σn p[n] C[10,3]C[n-10,17]/C[n,20] / (Σ p[n] C[10,3]C[n-10,17]/C[n,20])
ここまでは定義どうり。
しかし問題文にp[n]が与えられてないし、p[n]に依存すると思われるのでここで詰まる。
一様分布だとしてHaskell先生に聞く。
Prelude Data.Ratio> let c m n = div (product [m-n+1..m]) (product [1..n])
Prelude Data.Ratio> let pc n = ((c 10 3)*(c (n-10) 17))%(c n 20)
Prelude Data.Ratio> (sum [(fromInteger n)*(pc n)|n<-[

259:27..1000]])/(sum[pc n|n<-[27..1000]]) 21375 % 143 Prelude Data.Ratio> fromRational it 149.47552447552448 キレイに求まるんかな？

260:１３２人目の素数さん
18/11/13 14:55:08.32 oFVtyBzR.net
>>243
正解です。
最頻値が20*10/3の６６なのに期待値との乖離が大きくてびっくりした。
Rでも
[1] 149.4755244755245
95%信頼区間をhighest densitye intervalで算出したら32 ～ 411
確率分布をグラフにしたらこんな感じ。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

261:１３２人目の素数さん
18/11/13 19:37:40.91 SF2cgR9a.net
>>239
ひえー！
予定していた長い方の証明は >>239には通用しないので、
書く意味がなくなりましたね(＾o＾)
>>235の証明だけ書いておきます。実は >>231とほぼ同じです。

262:１３２人目の素数さん
18/11/13 19:42:09.32 SF2cgR9a.net
>>235の証明　補題1の積分計算と同じ計算をすると、
α＝(Σ(k＝1～m)λ_ka_k)^{－1}Σ(k＝1～m)λ_k∫(x－a_k,x)f
がxに依存しない定数として定義できる(a.e.x の意味ではなく、任意のxに依存しない)。
F(x)＝∫(0,x)(f(t)－α)dt (x∈R) と置く。微積分学の基本定理から、
Fはa.e.で微分可能で F'＝(f－α) a.e. である。
次に、αが任意のxに依存しないことから、>>231と同じ計算で
F(x)＝Σ(k＝1～m)λ_kF(x－a_k) (x∈R) となる。
また、L＝|α|＋||f||_∞ と置けば、L＜＋∞であり、
|F(y)－F(x)|＝|∫(x,y)(f－α)|≦L|x－y| (x,y∈R) である。よって、
FはR上でリプシッツ連続である。よって、定理1から、Fは定数関数である。
よって、FはR全体で微分可能で、R全体で F'＝0 である。
一方で、F'＝(f－α) a.e. だったから、(f－α)＝0 a.e. となる。
よって、f＝α a.e. である。□

263:１３２人目の素数さん
18/11/14 01:47:37.44 uakH23jG.net
>>212 >>215 >>216 >>237 >>238
仮に C > 27*2 だとすると >>212 により無数に反例が出てくるので、
C≦27*2 ですかね…

264:１３２人目の素数さん
18/11/14 02:25:34.49 uakH23jG.net
〔補題〕
ペル方程式 pp - 2qq = -1 には解が無数に存在する。
(略証)
(p_1, q_1) = (1, 1)　は一つの解である。
(p, q) が解ならば
　p ' + q'√2 = (1+√2)^2･(p+q√2),
　p ' - q'√2 = (1-√2)^2･(p-q√2),
(どちらでも同じこと）とおくと、
　p ' = 3p + 4q,
　q ' = 2p + 3q,
も解である。(漸化式)
これより解が無数に存在する。
　p_{2n+1} = {(1+√2)^(2n+1) + (1-√2)^(2n+1)}/2,
　q_{2n+1} = {(1+√2)^(2n+1) - (1-√2)^(2n+1)}/(2√2),
∴　p > (27*11-2C)/(C-27*2)　をみたすpも無数に存在する。(C>27*2 のとき)

265:１３２人目の素数さん
18/11/14 04:52:59.01 A5DUEUEt.net
位数9852554225504584574の群を分類せよ

266:１３２人目の素数さん
18/11/14 05:55:42.54 XxUkRupx.net
>>249
9852554225504584574の素因数分解は2×83×59352736298220389である。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
p = 2、q = 83、r = 59352736298220389 とおき、それぞれの sylow group P,Q.R を選び、その共役の個数をl、m、n とおく。
このとき m = [G:N(Q)] = 1,p,r,pr、m ≡ 1 (mod q) である。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
しかしこれを満たすのは m=1 のみである。
特に Q は正規部分群である。
同様にして R も正規部分群である。
よってQR = Hは位数qrの部分群であり、同様にしてRはHの正規部分群である。
よってHはRのQによるInner semidirect productである。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
ここでAut Rは位数 r-1 の巡回群であり、(r-1,q) = 1であるからQ→Aut Hは自明であるものしかない。
よってHはQとRの直積であり、位数qrの巡回群である。
同様にしてGはHのPによるInner semidirect productである。
ここでAut Hは位数q-1の巡回群と位数r-1の巡回群の直積であり、P→Aut Hは４つある。
以上によりGは
C[2]×C[83]×C[59352736298220389]、
D[83]×C[59352736298220389]、
C[83]×D[59352736298220389]、
<x,y,z|x^2、y^83、z^ 59352736298220389、xyxy、xzxz>
の４つのいずれかに同型である。

267:１３２人目の素数さん
18/11/14 21:17:34.40 uBKcGx1c.net
池の鯉を網で５６匹すくいました。
すくった５６匹に目印をつけ、池にもどしました。
次の日に鯉４５匹をすくったところ、３６匹に目印がついていました。
池の鯉はおよそ何匹ですか。
95%信頼区間も合わせて述べなさい。

268:１３２人目の素数さん
18/11/14 22:13:33.36 qZaeulAo.net
>>36 の１つ目が本当にわからん…
mod p での非自明な整数解がいつでも存在することは示せたから、
剰余を使った証明はどうやら無理っぽいということまでしかわからん…

269:１３２人目の素数さん
18/11/15 00:31:58.54 f0/aOcVm.net
次の等式が成立することを示せ。eはネイピア数である。
1/((1π)^2+1)+1/((2π)^2+1)+1/((3π)^2+1)+……=1/(e^2-1)

270:１３２人目の素数さん
18/11/15 00:38:45.17 0YjszKFG.net
>>252
忘れてた。
これムズイよね？
多分すべてのp進数体では解を持つけど大域的には解がないHasse principle の反例になるやつだと思うんだけど、じゃどうせいと言われると手が止まるよね？

271:１３２人目の素数さん
18/11/15 02:26:40.72 0h25dXYt.net
>>239 の定理３だけど、証明に致命的な間違いが見つかってやり直したが、それでもどう頑張っても修正無理そうだ…
代わりに、 S の条件をさらに強めたバージョンに変更して（主張がだいぶしょぼくなったけど）今度こそ証明したので報告。
安々と定理なんて言うもんじゃないな…
実数上の有界連続関数全体からなるベクトル空間を V とおく。
V 上の線形作用素 S:V→V が次を全て満たすとする：
(i)任意の a∈R に対して定まる平行移動作用素 T=T_a:V→V ; (Tf)(x)=f(x+a) について、T と S は可換。
(ii)f∈V が定数関数の時、Sf=f.
(iii)任意の a>0 について次が成り立つ：「f∈V が f(x)>0 for ∀x∈R-(aZ) を満たせば (Sf)(0)>0.」
(iv)次を満たす H>0 が存在する：「f∈V が f(x)=0 for ∀x∈[-H,H] を満たせば (Sf)(0)=0.」
（定理３．１）このような状況の時、Sf=f を満たす f∈V は定数関数のみである。
使う補題とすんごい大雑把な証明の概略
（補題１）f∈V が Sf=f を満たし、ある a>0 について f(x+a)=f(x) for ∀x∈R を満たせば、f は定数。
（∵）f(x) が f の最小値をとるような x の集合を L、 x∈L⇒x+a∈L を満たす a の集合を G とおくと、
G は閉集合で加法に関して群をなし、∪_(x∈L) {a∈R| x+a∈L でない} = R-G が言える。
R の強リンデレフ性から L の点列 {x_n} であって ∪_(n=1,∞) {a∈R| x_n+a∈L でない} = R-G を満たすものがとれて、
アスコリ＝アルツェラの定理から F(x) = Σ_(n=1,∞) 2^(-n)_f(x+x_n) は連続で S 不変、
かつ ∀x∈R-G で F(x)>0 となるから (iii) より G=R となるしかない。□

272:１３２人目の素数さん
18/11/15 02:39:58.41 CcvRy6JY.net
>>253
Σ[k≧1] 1/((kπ)^2 + 1)
=Σ[k≧1i≧1] (-1(kπ)^2)^i
=Σ[i≧1] ζ(2i)(-1π^2)^i
=Σ[i≧1] (-1)^(i+1)B[2i](2π)^(2i)/2/(2i)!(-1π^2)^i
=Σ[i≧1] (-1)B[2i]2^(2i)/2/(2i)!
= (1/2)(coth 1 - 1)
=1/(e^2-1)

273:１３２人目の素数さん
18/11/15 03:57:25.66 0h25dXYt.net
>>255 の続き
（補題２）f∈V が Sf=f を満たし、lim(x→∞)f(x) と lim(x→-∞) f(x) が存在するならば、f は定数。
（∵）g(x)=f(x+1)-f(x) とおいて sup_x g(x) > 0 と仮定すると、g(x) が g の最大値になるような最小の x_0 と最大の x_1 について、
G(x):=g(x+x_0)+g(x+x_1) は S 不変かつ G(x)<G(0) for∀x≠0 となり、(iii) と矛盾。
これらの議論が -g にも適用できることから g が定数とわｂｩるので、補題ｂPより f も定数。□
（補題３）f∈V が Sf=f を満たすならば、F(x):=∫_(0,1) f(x+t)dt も SF=F を満たす。
（∵）関数列 f_n(x):=(1/n)Σ_(k=1,n

274:) f(x+k/n) のコンパクト一様収束性から従う。□

275:１３２人目の素数さん
18/11/15 04:33:13.19 BIkI04V5.net
>>253
オイラー積表示
　sinh(x) = x Π[k=1,∞] {1 + (x/kπ)^2},
より
　log|sinh(x)| = log|x| + Σ[k=1,∞] log{1 + (x/kπ)^2},
　coth(x) = cosh(x)/sinh(x) = ( log|sinh(x)| ) ' = 1/x + 2Σ[k=1,∞] x/{(kπ)^2 + x^2},
に x=1 を入れる…

276:１３２人目の素数さん
18/11/15 04:41:27.91 0h25dXYt.net
>>257 の続き　一番面倒な補題
（補題４）f∈V が１以下のリプシッツ係数を持ち Sf=f を満たすならば、lim_(x→∞) f(x) が存在する。
（∵）a:=liminf_(x→∞) f(x) < b:=limsup_(x→∞) f(x) であると仮定する。
各 r∈R に対して C(r)=lim_(ε→+0) limsup_(x→∞, f(x)<a+ε) f(x+r)-a とおくと、
アスコリアルツェラから C は有界かつ１以下のリプシッツ係数を持つことがわかる。
またこれより、各 r∈R に対して、非有界な上昇列 {x_n} であって n→∞ の時 f(x_n)-a→0、f(x_n+r)-a→C(r) を満たすものがとれるが
アスコリアルツェラから部分列 {x'_n} であって T_(x'_n)f-a が [-1,1] 上で一様収束するものがとれる。（Tの定義は(i)参照）
この部分列 {x''_n} をとって T_(x''_n)f-a が [-2,2] 上で一様収束するものがとれて、更に部分列 {x'''_n} をとって T_(x'''_n)f-a が [-3,3] 上で一様収束するものがとれて、…
と部分列を帰納的に定義できることから、{x_n} の部分列 {y_n} であって T_(y_n)f-a がコンパクト一様収束するものがとれる。
この関数列の収束先である F_r は 0≦F_r(x)≦C(x) for∀x かつ F_r(r)=C(r) を満たし、なおかつ S 不変。これが任意の r に定義できることから、
C(x) にコンパクト一様収束する V の関数列 {g_n} であって g_n(x)≧0 for∀x かつ (Sg_n)(0)=0 を満たすものが構成できるので、(SC)(0)=0.
r_1,r_2∈R について C(r_1)=C(r_2)=0 ⇒ C(r_1+r_2)=0 がわかるので、C の零点集合は (1) R の加法に関する離散部分群かその部分集合、(2) R 全体、
もしくは (3)０以上の実数全体か０以下の実数全体のどちらかの部分集合 X であって原点から離れるにつれ徐々に稠密になっていく集合、のどれかになる。
（続く）

277:１３２人目の素数さん
18/11/15 04:45:42.16 0h25dXYt.net
>>259 の続き
(1) の場合は (iii) と矛盾。(2) の場合は、十分小さい ε>0 と十分大きい実数 b_1<a_1<a_2<a_3<b_3 s.t.
（x≧b_1 かつ f(x)<a+ε ならば ∀r∈[-H,H] について f(x+y)<(a+b)/2）　∧　f(b_1),f(b_3)>(a+3b)/4
∧　f(a_2) = min_(t∈[b_1,b_3]) f(t) < a+ε　∧　a_1=min{t∈[b_1,b_3]|f(t)=f(a_2)}　∧　a_3=max{t∈[b_1,b_3]|f(t)=f(a_2)}
がとれるので、(T_(a_1)+T_(a_3))f(x)>2f(a_2) (for∀x∈[-H,0)∪(0,H]) から S(T_(a_1)+T_(a_3))f(0)>2f(a_2) となるが、これは f(a_1)+f(a_3)=2f(a_2) と矛盾。
これらから (3) の場合のみが残る。集合 X が伸びている方向を σ∈{+,-} とおくと、Xはσの方向に徐々に稠密になっていくから lim_(x→σ∞) C(x)=0.
これまでと全く同様の議論を -f に対して行い（勿論aとbも逆になる）、C にあたる関数を D とおく。
もし D の零点集合が伸びる方向が σ と逆ならば (C+D)(x)>0 for∀x≠0 より S(C+D)(0)>0 となるが、これは SC(0)=SD(0)=0 と矛盾。
よって、D は C と同じ方向に伸びるので、lim_(x→σ∞) D(x)=0. したがって、M>0, ε>0 であって
（M<x かつ f(x)<a+ε ならば、∀r∈[H,3H] について f(x)<(2a+b)/3）　∧　（M<x かつ f(x)<b+ε ならば、∀r∈[H,3H] について f(x)>(a+2b)/3）
を満たすものが存在。これより、M<b'_1<a'_1<a'_2<a'_3<b'_3 を
f(b_1),f(b_3) > b-ε　∧　f(a_2) = min_(t∈[b_1,b_3]) f(t) < a+ε　∧　a_1=min{t∈[b_1,b_3]|f(t)=f(a_2)}　∧　a_3=max{t∈[b_1,b_3]|f(t)=f(a_2)}
を満たすように定めれば、(1') |b'_1-a'_1|≦H または |b'_3-a'_3|≦H と (2') b'_1+H<a'_1 かつ a'_3<b'_3-H の二つの場合に分けてそれぞれ今までとほぼ同様に矛盾を示せる。□

278:１３２人目の素数さん
18/11/15 05:14:14.61 0h25dXYt.net
（定理３．１）f∈V が Sf=f を満たすならば、f は定数。
（∵）補題３から F(x):=∫_(0,1) f(x+t)dt も S 不変かつリプシッツ連続であるが、
補題４（と対称性）から lim(x→∞) F(x) と lim(x→-∞) F(x) が存在。
補題２から F は定数であるから、f(x)=f(x+1). これと補題１から f は定数。□
（系１）正の数からなる無限列 λ_1, λ_2,… の総和は１であり、
有界な実数列 a_1, a_2,… のうちQ上一次独立な二つ組が存在すると仮定する。
この時、実数上の有界連続関数 f で
f(x) = Σ_(n=1,∞) λ_nf(x+a_n) (for∀x)
を満たすものは定数関数に限られる。（証明略）
（系２）a<b を実数、φ を区間 [a,b] 上の連続関数であって
φ(t)≧0 (for∀t∈[a,b]), ∫_(a,b)φ(t)dt=1
を満たすものとする。この時、実数上の有界連続関数 f で
f(x) = ∫_(a,b)φ(t)f(x+t)dt (for∀x)
を満たすものは定数関数に限られる。（証明略）

279:１３２人目の素数さん
18/11/15 05:34:37.06 0h25dXYt.net
ちなみに、例えばこんなことはまだ示せていません。和をとったりしてる範囲が非有界なので
（予想１）実数上の有界連続関数 f で
f(x) = Σ_(n=1,∞) f(x+√n)*2^(-n) (for∀x)
を満たすものは定数関数に限られる。また、
f(x) = (1/√π)∫_(-∞,∞) f(x+t)e^(-t^2) dt (for∀x)
を満たすものも定数関数に限られる。
（予想２）S の条件のうち (iv) を
(iv)’ 関数列 f_n∈V (n=1,2,…) が一様有界かつ 0∈V にコンパクト一様収束するならば lim_(n→∞) (Sf_n)(0)=0.
まで緩めても、定理３．１と同様の主張が成り立つ。

280:１３２人目の素数さん
18/11/15 05:51:08.71 0h25dXYt.net
>>260 訂正
誤：
したがって、M>0, ε>0 であって
（M<x かつ f(x)<a+ε ならば、∀r∈[H,3H] について f(x)<(2a+b)/3）　∧　（M<x かつ f(x)<b+ε ならば、∀r∈[H,3H] について f(x)>(a+2b)/3）
を満たすものが存在。
正：
したがって、M>0, ε>0, m>3H であって
（M<x かつ f(x)<a+ε ならば、∀r∈[m-2H,m+2H] について f(x)<(2a+b)/3）　∧　（M<x かつ f(x)<b+ε ならば、∀r∈[m-2H,m+2H] について f(x)>(a+2b)/3）
を満たすものが存在。

281:１３２人目の素数さん
18/11/15 11:10:28.14 0YjszKFG.net
>>252
> >>36 の１つ目が本当にわからん…
> mod p での非自明な整数解がいつでも存在することは示せたから、
どうやって示すんですか？

282:１３２人目の素数さん
18/11/15 14:20:30.06 7EQ5hn9e.net
>>264
S(p,a) = Σ_(x,y,z,w=1～p) e^(2πi(x^4+y^4-6z^4-12w^4)a/p),
S(p) = Σ_(a=1～p) S(p,a)
とおくと、もし x^4+y^4-6z^4-12w^4=0 の解が (0,0,0,0) しか無ければ S(p)=p となるはず。
一方 S(p,p)=p^4 であり、Aがpで割りきれない時は確か
|Σ_(x=1～p) e^(2πi(x^4)A/p)|≦3√p
が Vinogradov(1954) の "The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers" から言えたはずだから、
S(p) ≧ p^4 - (p-1)(3√p)^4 = p^4 -
81p^3 + 81p^2.
以上から p≦80 がわかるから、あとはこれらの p についてパソコンか何かで調べ上げればOK

283:１３２人目の素数さん
18/11/15 14:41:42.62 7EQ5hn9e.net
>>265
もし x^4+y^4-6z^4-12w^4≡0 (mod p) の解が x≡y≡z≡w≡0 (mod p) しか無ければ
だった　スマン

284:１３２人目の素数さん
18/11/15 14:56:39.31 0YjszKFG.net
>>266
なるほど。
でもなんかこの問題 Hasse principle 使えるような気がしてきた。

285:１３２人目の素数さん
18/11/15 17:24:26.51 0h25dXYt.net
>>262（予想２）普通にできたわ…何でこれ気づかなかったんや…
（∵）S の条件を変えたときに補題１，２，３は同じ議論で通用するから、補題４だけ証明すればよい。
まず g(x)=f(x+1)-f(x) とおき、この g に対して >>259 と同様に C を定めると、
(1)の場合に矛盾が生じるところまで同じ議論が成り立つ。
(2),(3) のいずれの場合も、σ∈{+,-} であって lim_(x→σ∞)C(x)=0 を満たすものが存在。
したがって、a = liminf(x→∞)g(x) < 0 と仮定すると、任意の N>0 について
M∈R, ε>0 s.t. C(r)<|a/6| for∀x∈[M,M+N] がとれるから、
十分大きい全ての x∈R s.t. g(x)<a+ε が g(x+r)<a/2 for∀r∈[M,M+N] を満たすことがわかる。
このような x について、
f(x+M+N)-f(x+M) = g(x+M)+g(x+M+1)+…+g(M+N-1) < Na/2
が成り立つが、N>0 は任意であったからこれは f の有界性に反する。したがって、a≧0.
-g や逆方向の極限についても同様であるから、lim_(x→±∞)g(x)=0.
補題２から g は定数であり、補題１から f も定数である。
以上から補題４にあたる部分が示されたが、
補題１～４から主張を示す部分は、定理３．１と同様の議論が成立する。□
系として（予想１）も成り立つことがわかりますが、証明は略。
同様の結果が成り立つことを保証するのに条件(iv)'は本当に必要なのか？という疑問は当然わきますが、
任意の f∈V に対して定義されて f の x→±∞ での挙動「のみ」に依存する線形な作用素が、
そもそもそんな簡単には作れないような気がしてて、
ここは選択公理とか使ったりする必要がありそうと感じているため、
その辺の反例の構成とかは興味のある有志にお任せしたいと思います…

286:１３２人目の素数さん
18/11/15 17:29:24.42 0h25dXYt.net
>>268
誤：
M∈R, ε>0 s.t. C(r)<|a/6| for∀x∈[M,M+N] がとれるから、
正：
M∈R, ε>0 s.t. C_ε(r)<|a/6| for∀r∈[M,M+N] がとれるから、

287:１３２人目の素数さん
18/11/15 17:51:41.92 Kjq0ut8v.net
3×3行列Aについて、det(A) を tr(A) の式で表せ。

288:１３２人目の素数さん
18/11/15 18:04:52.36 JK7krTW5.net
>>270
det(A) = (1/6)tr(A)^3 - (1/2)tr(A)tr(A^2) + (1/3)tr(A^3) とかはダメ？

289:１３２人目の素数さん
18/11/15 18:15:07.67 0YjszKFG.net
できるわけないやん。trは等しいけどdetは異なる行列なんか死ぬほどあるやろ？

290:１３２人目の素数さん
18/11/15 18:44:55.40 Kjq0ut8v.net
>>271
正解です。直ぐに出てくるなんて凄いな。
私は最近知ったんだけど、この手の内容について参考文献とかあったら教えてください。

291:１３２人目の素数さん
18/11/15 18:51:42.34 Kjq0ut8v.net
>>272
おまえはデキッコナイスか！

292:１３２人目の素数さん
18/11/15 19:13:37.81 7EQ5hn9e.net
>>273
大学で使うような線形代数の教科書だったら何でも載ってる気がするけどなあ、わからんが
wikipedia の固有多項式の項目を見てみるだけでも結構色んな情報引き出せたりすると思うけど、
もし文献が欲しいならすまんが数学の本スレとか別のところで聞いてみてくれ
類題
3次正方行列Aについて、tr(A) を det(Aと単位行列Eの式) の式で表せ。（detの中身は複数種類でも可）

293:１３２人目の素数さん
18/11/15 23:25:29.70 v4atAZWV.net
池の鯉を網で５６匹すくいました。
すくった５６匹に目印をつけ、池にもどしました。
次の日に鯉４５匹をすくったところ、３６匹に目印がついていました。
池の鯉はおよそ何匹ですか。
これ、７０匹でも６９匹でも同確率になるよね？

294:イナ
18/11/15 23:39:15.72 caYs8gU8.net
>>276
80匹じゃないの？

295:１３２人目の素数さん
18/11/16 00:14:14.66 vFBRPbWk.net
>>277
いつもの芸風？56*45/36=70

296:１３２人目の素数さん
18/11/16 00:21:41.73 vFBRPbWk.net
56*45/36=70で求まる70匹のとき36匹の目印が見つかる確率
137149850039891/562949953421312
0.2436270741410791
69匹のときの36匹の目印が見つかる確率も
137149850039891/562949953421312
0.2436270741410791
となった。
import math
from fractions import Fraction
def choose(n, r):
return math.factorial(n) // (math.factorial(n - r) * math.factorial(r))
def dhyper(x,g,b,s):
return choose(g,x)*choose(b,s-x) / choose(g+b,s)
f69 = dhyper(36,56,69-56,45)
print (Fraction(f69))
print(f69)
f70 = dhyper(36,56,70-56,45)
print (Fraction(f70))
print (f70)

297:１３２人目の素数さん
18/11/16 00:25:09.70 LBn7birX.net
プログラムのご紹介、乙。
でも、ま、プログラムとしての新規性の証明、解説が必要かな？

298:１３２人目の素数さん
18/11/16 00:33:03.74 vFBRPbWk.net
>>280
Rの超幾何分布関数で算出したら
最頻値が２つ出てきたので分数表示できるpythonでやっても同じになって困惑してるのが現状。

299:１３２人目の素数さん
18/11/16 07:16:29.90 ZFCX7NBV.net
全ての成分が自然数で、対角成分が全て0の正方行列Aについて
tr(A^3)は6の倍数であることを証明せよ

300:１３２人目の素数さん
18/11/16 07:37:02.65 Av10eeCd.net
>>282
修正
正方行列→対称行列
です

301:１３２人目の素数さん
18/11/16 08:09:34.01 xmVvCZPI.net
>>282 >>283
B = A^3,
tr(B) = Σ[i=1,n] B(i,i)
= Σ[1≦

302:i,j,k≦n] A(i,j) A(j,k) A(k,i) = 6Σ[1≦i<j<k≦n] A(i,j) A(j,k) A(i,k) ∵　{i,j,k} のどれかが一致すれば 0 ぢゃね？

303:１３２人目の素数さん
18/11/16 08:47:46.29 U19cHKqd.net
単発質問スレより　引用
1問目は1から9を多くて1回づつ使って等式を完成させる
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
□/□　＊　□/□　＝　□□/□
(a/b)*(c/d) = (10*e+f) /g
左辺の分数は互換なのでa>cとして
Prelude> let r = [[a,b,c,d,e,f,g]|a<-[1..9],b<-[2..9],c<-[1..9],d<-[2..9],e<-[1..9],f<-[1..9],g<-[2..9],(a/b)*(c/d)==(10*e+f)/g,
a/=b,a/=c,a/=d,a/=e,a/=f,a/=g,b/=c,b/=d,b/=e,b/=f,b/=g,c/=d,c/=e,c/=f,c/=g,d/=e,d/=f,d/=g,e/=f,e/=g,f/=g,a>c]
Prelude> let f x = map floor x
Prelude> map f r
[[7,2,3,6,1,4,8],[7,6,3,2,1,4,8],[8,2,3,6,1,4,7],[8,2,7,4,6,3,9],[8,2,7,6,1,4,3],[8,4,7,2,6,3,9],[8,4,7,6,2,1,9],[8,6,3,2,1,4,7],[9,2,7,4,6,3,8],
[9,2,8,4,6,3,7],[9,4,7,2,6,3,8],[9,4,7,6,2,1,8],[9,4,8,2,6,3,7],[9,4,8,6,2,1,7],[9,6,7,4,2,1,8],[9,6,8,4,2,1,7]]

2問目は2個答える
最大になるように-5から5を多くて1回づつ使う
最小になるように-5から5を多くて1回づつ使う
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
こっちが終わらない　：（

304:イナ
18/11/16 09:08:17.41 ksjAcdFq.net
前 >>277訂正。
16×5⇒14×5
ま、でも印をつけられる段階ですでに「ぜんぜん捕まらないすばっしっこい鯉」が10匹ぐらいいると思うんだよね。
すべての鯉をx匹、ぜんぜん捕まらないすばっしっこい鯉をy匹とおくと、
x-y=70(匹)
印をつけられる確率は4/5じゃない気がする。
印をつけるたびすでに印をつけられた鯉が生け簀に増えてくわけで、
すでに印をつけられた鯉を捕ることもあるはず。
y=10なら80匹だし、それに70匹ぐらいなら80匹もぎりぎりオッケーじゃないの。

305:１３２人目の素数さん
18/11/16 09:40:36.84 vFBRPbWk.net
>>285
２問目も計算、終わってた
y = [a/b*(c-d)-e*(f-g)|a<-[-5..5],b<- [-5..(-1)]++[1..5],c<-[-5..5],d<-[-5..5],e<-[-5..5],f<-[-5..5],g<-[-5..5],
a/=b,a/=c,a/=d,a/=e,a/=f,a/=g,b/=c,b/=d,b/=e,b/=f,b/=g,c/=d,c/=e,c/=f,c/=g,d/=e,d/=f,d/=g,e/=f,e/=g,f/=g]
f x = map floor x
yMax = maximum y
z=[[a,b,c,d,e,f,g]|a<-[-5..5],b<- [-5..(-1)]++[1..5],c<-[-5..5],d<-[-5..5],e<-[-5..5],f<-[-5..5],g<-[-5..5]
,a/=b,a/=c,a/=d,a/=e,a/=f,a/=g,b/=c,b/=d,b/=e,b/=f,b/=g,c/=d,c/=e,c/=f,c/=g,d/=e,d/=f,d/=g,e/=f,e/=g,f/=g,a/b*(c-d)-e*(f-g)==yMax]
map f z
Prelude> map f z
[[-5,-1,3,-4,5,-3,4],[-5,-1,3,-3,5,-4,4],[-5,-1,4,-4,5,-3,3],[-5,-1,4,-3,5,-4,3],[-5,1,-4,3,5,-3,4],[-5,1,-4,4,5,-3,3],[-5,1,-3,3,5,-4,4],[-5,1,-3,4,5,-4,3],
[5,-1,-4,3,-5,4,-3],[5,-1,-4,4,-5,3,-3],[5,-1,-3,3,-5,4,-4],[5,-1,-3,4,-5,3,-4],[5,1,3,-4,-5,4,-3],[5,1,3,-3,-5,4,-4],[5,1,4,-4,-5,3,-3],[5,1,4,-3,-5,3,-4]]

306:１３２人目の素数さん
18/11/16 09:55:52.98 U19cHKqd.net
>>286
70匹のときの確率
137149850039891/562949953421312　 = 0.2436270741410791
80匹のときの確率　639173184839639/36028797018963968 = 0.017740619663298957
だから、80匹は可能性が低い

307:１３２人目の素数さん
18/11/16 10:03:56.75 U19cHKqd.net
>>286
池の鯉の可能性を５６＋（４５－３６）＝６５匹から上限を１００００匹にして
その確率は一様分布に従う（つまり、６５匹の確率も１００００匹の確率も同じ）として計算したら
最頻値
$`mode`
[1] 69 70
中央値
$median
[1] 71
期待値
$mean
[1] 71.17647
９５％信頼区間(highest density)
$CI.hdi
[1] 65 78
パーセンタイル(2.5.%-97.5%)
$CI.Qqtl
[1] 66 80
80匹はまあ、ギリギリセーフといえなくもない。

308:１３２人目の素数さん
18/11/16 10:33:03.57 3fj2avs/.net
>>36の出題者らしきレスなんにも出てこないけど、これ本当にとけるんかな？時々未解決問題貼るやついるからなぁ。
まぁもう諦めたからどっちでもいいけど。

309:１３２人目の素数さん
18/11/16 10:49:59.06 U19cHKqd.net
>>281
Wolframdでも同じだなぁ。６９匹と７０匹は同確率。
では、56*45/36=70の値は一体なんだろ
choose(56,36)*choose(13,9)/choose(69,45)
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)(56,36)*choose(13,9)%2Fchoose(69,45)
3591292705/14740942556
choose(56,36)*choose(14,9)/choose(70,45)
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)(56,36)*choose(14,9)%2Fchoose(70,45)
3591292705/14740942556
choose(13,9)/choose(69,45)
11/35471218518158136
(13!/(4!*9!)) /(69!/(24!*45!))
choose(14,9)/choose(70,45)
11/35471218518158136
(14!/(5!*9!))/(70!/(25!*45!))

310:１３２人目の素数さん
18/11/16 12:24:02.61 C4anFRr3.net
大きな数を扱う化学では
コップの中の真水56ccを濃度1％の食塩水56ccで置き換えました。
よく混ぜた後45cc取り出して濃度を測ると36/45%でした。
最初の真水の量は何ccだったのか計算せよ。
36/45=56/x
x=70
答え 70cc
とかしてるわけだけど、
確率分布はどんな様子になってるんだろう。
>>276の問題の各数値を10^23倍くらいにすればいいわけだよね

311:１３２人目の素数さん
18/11/16 13:11:22.71 cPC01E8S.net
小学校「さくらんぼ計算」に戸惑う声
URLﾘﾝｸ(headlines.yahoo.co.jp)
URLﾘﾝｸ(amd.c.yimg.jp)
さくらんぼ計算とは、「8＋7」の足し算で、7を2と5に分け、8にこの2を足して10にする。
そして、10と残りの5を足して15と計算するやり方だ。7の下にぶら下がったさくらんぼの実を2つ描き、
2と5を実の中に書くことから、さくらんぼ計算と呼ばれている。
報告主は、「10＋7」の10を3と7に分けるといったムダなことをする子供もいたとして、
こうした考え方を示した文科省に疑問をぶつけていた。このほかにも、さくらんぼ計算のせいで
娘が算数が大嫌いになり、中学3年になっても苦手から抜け出せずに数学を拒否している。

312:１３２人目の素数さん
18/11/16 13:55:38.45 WpNoJk+p.net
>>95
■P1stを求める
宝一つの時の自陣当たり数
(n(n+1)/2)-1　……①
その中での宝二個の組み合わせ数
((n(n+1)/2)-1)(((n(n+1)/2)-1)-1)/2　……②
最終マスと①との組み合わせ数　　
(n(n+1)/2)-1　……③
自陣の当たりと相手の当たりで自分が勝つ
組み合わせは②と差分の和
差分は1 3 7 13 22 34 50 70 95 125 161 203
252 308 372 444 525 615……
それを表す関数
(4n^3+6n^2-4n-3+3(-1)^n)/48
nが一つずれているのでn-1に補正
｛4(n-1)^3+6(n-1)^2-4(n-1)-3+3(-1)^(n-1)｝/48　……④
計算知能で②x2+③+④を入力すると
P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48　……⑤
全n(n+1)マスで宝二個の組合わせ数
n(n+1)｛n(n+1)-1｝/2　……⑥
引き分け数は、n(n+1)-1と同着数の和
同着数は1 2 4 6 9 12 16 20 25……
これを表す関数は　｛2n^2-1+(-1)^(n)｝/8　……⑦
n(n+1)-1　……⑧
計算知能で⑦+⑧を入力すると
even =(10n^2+8n+(-1)^n-9)/8　……⑨
計算知能で⑥-⑤-⑨を入力すると
Q1st =｛12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3｝/48　

313:イナ
18/11/16 14:41:56.79 ksjAcdFq.net
前 >>286
>>2

314:88-289>>291 期待値の問題か。 80匹もぎりぎりセーフってことで正解だね。一万匹は無理だね。金銭的にも興行的にも。

315:イナ
18/11/16 15:20:42.09 ksjAcdFq.net
どこ～かで～かね～がな～ぁて～♪ らし～くな～ぃこと～ばかﾟ～ぅか～んで～♪ さむ～さかﾟ～ここ～ちよ～くて～♪ な～んでこ～ぃな～んかして～んだろ～♪ 前 >>295
~､､,, ~~ﾟ~~~｡~ ~~~ ~
(-.-))⌒～っﾞ~ ~ ~~~
υυ～~~~ ~~ ~ ~ﾟ ~~
~~~~ﾟ ~ ~ ~~ ﾟ ~~~ ~

316:１３２人目の素数さん
18/11/16 15:32:30.76 C4anFRr3.net
>>279
この式で56匹から100匹までの確率の総和を取ったら約2になった
sigma[choose(56,36)*choose(n-56,9)/choose(n,45), n = 56 to 100]
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)(56,36)*choose(n-56,9)%2Fchoose(n,45),+n+%3D+56+to+100%5D

317:１３２人目の素数さん
18/11/16 15:40:55.85 U19cHKqd.net
>>292
カードの照合の問題も、最初に選んだ１０枚に印をつけて再捕獲したと考えればいいんだろうけど
200/3=66.6枚という最頻値がどれほどの信頼できるのか疑問。
固有の番号の書かれたカードが何枚あり、
その枚数は１０００枚以下であることはわかっているが、その数を推定したい。
調査員が無作為に１０枚選んで番号を記録して元に戻した。
別の調査員が無作為に２０枚選んで番号を記録した。
二人の調査員の記録した番号を照合すると３枚の番号が一致していた。
この情報からカード枚数の期待値を求めよ。
事前分布としてある枚数である確率を一様分布にするのが現実離れといえるけど。
まあ、男女の生まれる確率分布を一様分布として計算するのに似ているかも。

318:１３２人目の素数さん
18/11/16 15:43:07.21 U19cHKqd.net
>さくらんぼ計算のせい
アベノセイダーズを彷彿とさせるような記述だなぁ。

319:１３２人目の素数さん
18/11/16 16:04:40.32 U19cHKqd.net
>>297
サイコロをふって１回１の目がでた。
サイコロを降った回数は１から１００回のどれかである。
１回ふって１回出た確率、２回ふって１回出た確率、３回ふって１回出た確率、...、１００回ふって１回出た確率
全部足したらいくらになる？

320:１３２人目の素数さん
18/11/16 16:30:54.15 C4anFRr3.net
>>300
ああ、なるほど。勘違いしていました。

321:１３２人目の素数さん
18/11/16 16:37:21.65 U19cHKqd.net
問題の数値を変えてわずか３匹しか目印なしとすると
池の鯉を網で５６匹すくいました。
すくった５６匹に目印をつけ、池にもどしました。
次の日に鯉４５匹をすくったところ、３匹に目印がついていました。
池の鯉はおよそ何匹ですか。
５６＊４５／３＝８４０匹になるのだけど、
この数値ってどれほどアテにしていいんだろうね？

322:１３２人目の素数さん
18/11/16 17:04:41.28 C4anFRr3.net
数値を10倍、100倍にしたときのグラフを描かせてみた
青が10倍で範囲は690匹から7100匹、
赤が100倍で範囲は6900～7100匹
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)(560,+360)*choose(x-560,+90)%2Fchoose(x,450),++choose(5600,+3600)*choose(x*10-5600,+900)%2Fchoose(x*10,4500),+from+x%3D690+to+710
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
10倍程度だとあまり先鋭化しない
100倍でも思ったより先鋭化しない
化学で扱うような10^23あたりのサンプル数なら推定値の
±0.001%の範囲である確率が0.9999とかになるんだろうな

323:１３２人目の素数さん
18/11/16 17:10:17.60 iOODzE0M.net
そこが統計が数学科であんまり好まれないとこだろうねぇ。
確率の問題と深く関わってはいるけど厳密には確率の問題ではない。
母数の分布とは言うけどそんなもんわかりっこないから本来どうしようもないし。
けどわからんわからんいうてても何も始まらんので適当に××仮説とか立てて「こう考えるとするとこうなる」ぐらいの事しか言えない。
信頼区間にしてもwikiにも明示されてるけどあくまで"指標"でしかない。確率でもなんでもない。
確率だと思うには母数の分布になんかの仮定入れないと無理だけど、その仮定の入れ方ごとに答え変わるし、ましてや次はその仮定どれくらい信頼できるねんと言う話に戻ってしまう。

324:１３２人目の素数さん
18/11/16 17:20:57.75 U19cHKqd.net
>>303
全体の数より、再捕獲での陽性割合を変化させた方がグラフは大きく変化すると思う。
目印陽性がすくないと信頼区間が広くなって推定値が信頼できないが、目印陽性が多いと信頼区間が狭くなる。

325:１３２人目の素数さん
18/11/16 17:39:34.15 C4anFRr3.net
>>305
なるほど。
とはいえさっきはグラフの形だけ見て「あまり先鋭化しない」なんて書いたけど、
10倍では690～710以外の範囲でも無視できない程の確率があるのに
100倍だと6900～7100以外での確率はほぼゼロだから大分違うか

326:１３２人目の素数さん
18/11/16 17:55:11.25 vFBRPbWk.net
>>306
10打数で1安打と1000打数100安打での信頼区間の差では？

327:１３２人目の素数さん
18/11/16 17:59:04.35 3fj2avs/.net
そもそも信頼区間の定義とは違う意味で信頼区間という用語使ってるレス多いな。

328:１３２人目の素数さん
18/11/16 18:10:26.73 vFBRPbWk.net
信頼区間の計算式って沢山あるよな。
1000打数100安打の95%信頼区間
> binom::binom.confint(100,1000)
method x n mean lower upper
1 agresti-coull 100 1000 0.1000000 0.08284688 0.1202145
2 asymptotic 100 1000 0.1000000 0.08140615 0.1185939
3 bayes 100 1000 0.1003996 0.08206073 0.1191877
4 cloglog 100 1000 0.1000000 0.08239444 0.1195577
5 exact 100 1000 0.1000000 0.08210533 0.1202879
6 logit 100 1000 0.1000000 0.08288164 0.1201906
7 probit 100 1000 0.1000000 0.08264461 0.1198768
8 profile 100 1000 0.1000000 0.08243331 0.1196133
9 lrt 100 1000 0.1000000 0.08243172 0.1196130
10 prop.test 100 1000 0.1000000 0.08245237 0.1206909
11 wilson 100 1000 0.1000000 0.08290944 0.1201520

329:１３２人目の素数さん
18/11/16 19:58:26.87 U19cHKqd.net
>>305
自分でも興味があったので弄ってみた。
魚の総数を上限１万匹とし、その確率分布は一様分布を仮定。
再捕獲した４５匹中何匹に目印がついているかで推測される95%信頼区間(Highest Density Interval）をグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
Rのコードはここに置いた（通知を変えて実行できる）
URLﾘﾝｸ(tpcg.io)

330:１３２人目の素数さん
18/11/16 21:16:06.61 xmVvCZPI.net
>>271
　tr(AA) や tr(A^3) も使えばできますね。
Aの固有多項式は
　f(x) = det(A-xI) = det(A) - {(tr A)^2 - tr(AA)}/2・x + tr(A) xx - x^3,
ケーリー・ハミルトンにより
　f(Ａ) = det(A)Ｉ - {(tr A)^2 - tr(AA)}/2・Ａ + tr(A)ＡＡ - Ａ^3 = O,
　det(A) = (1/3)tr[ {(tr A)^2 - tr(AA)}/2・Ａ - tr(A)ＡＡ + Ａ^3 ] = …

331:１３２人目の素数さん
18/11/16 22:24:21.87 3fj2avs/.net
tr(A^i)全部使っていいなら固有多項式の係数全部表せるのはまんまニュートンの漸化式やん。

332:１３２人目の素数さん
18/11/16 23:11:07.23 1P5sF5+y.net
>>305 >>310
単に >>303風のグラフを描くなら対数で計算すればコップの中の水分子とかでも計算できますね
あとでやってみよう

333:１３２人目の素数さん
18/11/17 08:36:24.31 pOy6FHDl.net
>>311
Ａ = {a_ij} が3次行列のとき
tr(A) = a11 + a22 + a33,
tr(AA) = (a11)^2 + (a22)^2 + (a33)^2 + 2 a12 a21 + 2 a23 a32 + 2 a31 a13,
∴Ａの固有多項式は
det(A-xI) = det{[a11-x,

334: a12, a13], [a21, a22-x, a23], [a31, a32, a33-x]} = det(A) - (a11 a22 + a22 a33 + a33 a11 - a12 a21 - a23 a32 - a31 a13)x + (a11+a22+a33)xx -x^3 = det(A) - {(tr A)^2 -tr(AA)}/2 x + tr(A) xx - x^3, >>312 n次多項式がn個の根λ1，λ2，･･･，λn をもつ（ガウス）が既知ならば　tr(A^i) = (λ1)^i + (λ2)^i + … + (λn)^i, これは {λ1，λ2，…，λn} のi次の対称多項式だから、1～i次の基本対称式で表わせる。逆に、i次の基本対称式は tr(A) ～ tr(A^i) で表わせる。

335:１３２人目の素数さん
18/11/17 08:41:34.54 XBWc+pi8.net
池の鯉の総数と調査します。
五郎君が名前に因んで５６匹を捕まえて目印をつけ、池にもどしました。
次の日に三郎君が自分の名前に因んで３６匹の目印のついた鯉を捕まえることにしました。
鯉４５匹めで予定の３６匹が捕まりました。
池の鯉はおよそ何匹ですか。

336:１３２人目の素数さん
18/11/17 09:12:10.72 js5kwOKA.net
>>314
トレースって跡ともいうけど、ずっと「あと」って読んでいた。
線形代数の本の索引で、ア行になくサ行にあったので気づいたわ。

337:１３２人目の素数さん
18/11/17 10:08:03.31 pOy6FHDl.net
>>316
　しゅぷーる
URLﾘﾝｸ(spur.hpplus.jp)

338:１３２人目の素数さん
18/11/17 12:09:53.28 pOy6FHDl.net
>>311
Ａ = {a_ij} がn次行列のときも
tr(A) = a_11 + a_22 + ･･･ + a_nn,
tr(AA) = (a_11)^2 + … + (a_nn)^2 + 2 Σ[i<j] a_ij a_ji,
(trA)^2 - tr(AA) = 2Σ[i<j] (a_ii a_jj - a_ij a_ji),
∴ Ａの固有多項式は
det(A-xI) = det{[a_11-x, a_12, …, a_1n], [a_21, a_22-x, …, a_2n], ……, [a_n1, a_n2, …, a_nn-x]}
= det(A) - …… + Σ[i<j] (a_ii a_jj - a_ij a_jj) (-x)^{n-2} + (a_11+…+a_nn)(-x)^{n-1} + (-x)^n
= det(A) - …… + {(tr A)^2 - tr(AA)}/2 (-x)^{n-2} + tr(A)(-x)^{n-1} + (-x)^n,

339:１３２人目の素数さん
18/11/17 12:30:54.72 NWNFiSSF.net
昨日出した問題だけど
数2Bまでの知識で解ける
a,b,c,dは実数とする。
a+c=-4/3, b+4ac+d=-2, ad+bc=4, bd=1のとき、(a^2-b)(c^2-d)<0を示せ。ただし、計算機は使ってはならない。

340:１３２人目の素数さん
18/11/17 15:28:43.18 A1Nd7rYy.net
あれ？
a^2d=a(4-bc), bc^2=c(4-ad)より
a^2d+bc^2=4(a+c)-(ad+bc)=-16/3-4
になって
(a^2-b)(c^2-d)
=(ac)^2-(a^2d+bc^2)+bd
=(ac)^2-(-16/3-4)+1
になって負になりっこない希ガス。

341:１３２人目の素数さん
18/11/17 15:32:26.94 UVEx0ybP.net
>>319
f(x) = (x^2+2ax+b)(x^2+2cx+d) = x^4-(8/3)x^3-2x^2+8x+1
をxで微分したら 4(x-2)(x-1)(x+1) となるから、
x=-1 で極小 f(-1)<0, x=1 で極大 f(1)>0, x=2 で極小 f(2)>0 となってそれ以外の区間で単調であるから、
f はちょうど２つの単根を持つ。
したがって、(x+a)^2 - (a^2-b) と (x+c)^2 - (c^2-d) はどちらも重根を持たず、どちらか一方のみが２つの実根を持つことから、題意が示される。

342:１３２人目の素数さん
18/11/17 15:33:46.63 A1Nd7rYy.net
てか、本当に実数解あんの？

343:１３２人目の素数さん
18/11/17 15:37:21.74 KDdXvc30.net
>>321
すげぇ……判別式の形露骨に出ないように姑息に2a,2cみたいな係数にしてたのによく見破ったな……
>>322
ある
ウルフラム先生が言ってるんだから間違いない多分

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