面白い問題おしえて〜 ..
243:132人目の素数さん
18/11/12 20:42:28.44 nrLLMPLB.net
証明の続き まとめると、gは有界であり、Re(z)>0 のとき
G(z)=∫(0,∞)g(−x)e^{−zx}dx であり、GはU上に解析接続されるので、
analytic theorem により、∫(0,∞)g(−y)dy が存在する。
すなわち、∫(−∞,0)g(y)dy が存在する。そこで、ε>0を任意に取る。
∫(−∞,0)g(y)dy が存在することから、lim(x→−∞)∫(x,x+ε)g(y)dy=0 である。
また、x≦y≦x+εのとき|g(x)−g(y)|≦L|x−y|=L(y−x)であるから、
∫(x,x+ε)g(y)dy≧∫(x,x+ε)(g(x)−L(y−x))dy
=εg(x)−L∫(x,x+ε)(y−x)dy=εg(x)−L∫(0,ε) y dy=εg(x)−Lε^2/2
となる。limsup(x→−∞) を取って、0≧εlimsup(x→−∞)g(x)−Lε^2/2 となるので、
limsup(x→−∞)g(x)≦Lε/2 となる。ε>0は任意だったから、
limsup(x→−∞)g(x)≦0 となる。
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