面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

239:１３２人目の素数さん
18/11/12 20:30:52.77 nrLLMPLB.net
証明の続き
G(z)＝∫(0,∞)g(－x)e^{－zx}dx＝∫(0,∞)e^{－zx}Σ(k＝1～m)λ_kg(－x－a_k)dx
＝Σ(k＝1～m)λ_k ∫(0,∞)e^{－zx}g(－(x＋a_k))dx
＝Σ(k＝1～m)λ_k ∫(a_k,∞)e^{－z(x－a_k)}g(－x)dx
＝Σ(k＝1～m)λ_k ∫(a_k,0)e^{－z(x－a_k)}g(－x)dx＋G(z)Σ(k＝1～m)λ_ke^{a_kz}
であるから、
(1－Σ(k＝1～m)λ_ke^{a_kz})G(z)＝Σ(k＝1～m)λ_k∫(a_k,0)e^{－z(x－a_k)}g(－x)dx
となる。右辺をH(z)と置き、u(z)＝(1－Σ(k＝1～m)λ_ke^{a_kz}) と置けば、
H(z)とu(z)はC全体で定義可能な正則関数であり、Re(z)＞0 のとき u(z)G(z)＝H(z) が成り立つ。

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