面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

237:１３２人目の素数さん
18/11/12 20:21:03.19 nrLLMPLB.net
証明の続き　もしsup(x∈R)f(x)＝＋∞ならば、任意のN≧1に対して、
あるt∈Rが存在して、N＜f(t)が成り立つ。y_1＝t と置くと、N＜f(y_1)である。
また、f(y_1)＝Σ(k＝1～m)λ_k f(y_1－a_k) である。
よって、あるkに対して N＜f(y_1－a_k) である。そこで、y_2＝y_1－a_k と置く、
これを帰納的に繰り返すと、点列 {y_i}_i が定義できて、
N＜f(y_i), y_1＝t, y_i－y_{i＋1}∈{a_1,…,a_m} となる。
特に、y_iは狭義単調減少で、y_i→－∞ となる。よって、x∈(－∞,y_1]を任意に取ると、
y_{i＋1}＜x≦y_iを満たすiが取れる。b＝max{a_1,…,a_m}と置けば
|f(x)－f(y_i)|≦L|x－y_i|≦L|y_{i＋1}－y_i|≦Lb
なので、f(x)≧f(y_i)－Lb≧N－Lbとなる。これがx∈(－∞,y_1]のとき成り立つので、
α＝(Σ(k＝1～m)λ_ka_k)^{－1} Σ(k＝1～m)λ_k ∫(y_1－a_k,y_1)f ≧ N－Lb
となる。すなわち、α≧N－Lb となる。N≧1は任意だったから、α＝＋∞となって矛盾する。
よって、sup(x∈R)f(x)＜＋∞である。

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