面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～ ..

233:１３２人目の素数さん
18/11/12 20:04:45.72 nrLLMPLB.net
証明の続き　x∈R は任意だったから、sup(x∈R)f(x)≦r となる。
c＜rは任意だったから、r↓cとして、sup(x∈R)f(x)≦c となる。
次に、sup(x∈R)f(x)≧c を示したいが、これは明らか。
よって、sup(x∈R)f(x)＝c すなわち sup(x∈R)f(x)＝limsup(x→－∞)f(x) が成り立つ。
fを(-f)で置き換えれば、(-f)自体が補題1の仮定を満たすので、同じ議論によって
sup(x∈R)(－f)(x)＝limsup(x→－∞)(－f)(x) が成り立つ。
よって inf(x∈R)f(x)＝liminf(x→－∞)f(x) が成り立つ。

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