面白い問題おしえて～な 28問目

面白い問題おしえて～な 28問目 at MATH

[1からを表示]
50:１３２人目の素数さん
18/11/03 10:29:30.90 zSMa/Wom.net
>>47
自信がないけど
x=1/6*1+5/6*(x+4)を解いてx=21でいいんだよな？

51:１３２人目の素数さん
18/11/03 11:35:59.53 zSMa/Wom.net
>>45
3/15=1/5
x=[[a,b,c]|a<-[1..6],b<-[a..6],c<-[b..6],minimum[a,b,c]==2]
length x --15
length $ elemIndices 4 (map maximum x) -- 3

52:１３２人目の素数さん
18/11/03 11:39:29.08 zSMa/Wom.net
>>49
これは間違い、組み合わせじゃなくて順列にしなくちゃいけなかった。
x=[[a,b,c]|a<-[1..6],b<-[1..6],c<-[1..6],minimum[a,b,c]==2]
length x -- 61
length $ elemIndices 4 (map maximum x) --12
12/61

53:１３２人目の素数さん
18/11/03 12:08:51.34 zSMa/Wom.net
>>47
サイコロをふって１の目がでたら終了。　
（１）終了までにでた目の総和の期待値はいくらか？
（２）総和が５０以上になる確率はいくらか？
（２）はどうやって解けばいいんだろ？
場合分けして１～４９まで場合分けして余事象でだすしかないのだろうか？

54:１３２人目の素数さん
18/11/03 15:16:07.91 OVkXWZOI.net
>>51
そうだと思うけど…
SageMath：
,var x
f = (x/6)/(1-(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)/6)
1-f.taylor(x,0,49).subs(x=1)
2887816213848518927/28430288029929701376
0.101575341438975

55:１３２人目の素数さん
18/11/03 15:31:30.50 OVkXWZOI.net
>>51-52
おおよそなら、1回1以外の目が出るごとに平均して総和が4大きくなるから、
総和が50以上になるのは12～13回1以外の目がでればいい。
(5/6)^12 = 0.112156654784615
(5/6)^13 = 0.0934638789871792
近似としてはまあまあか？

56:１３２人目の素数さん
18/11/03 16:42:30.14 THzLQZJS.net
>>52
を部分分数分解して無理？

57:１３２人目の素数さん
18/11/03 17:47:45.86 OVkXWZOI.net
>>54
なるほど！そうすればできるね。
,var n
R.<x> = CC['x']
g = (x/6)/(1-(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)/6)/(1-x) #x^nの係数は総和がn以下になる確率
pfd = g.partial_fraction_decomposition()
p = sum(c.numerator()/c.denominator().subs(x=0)*(-1/c.denominator().subs(x=0))^n for c in pfd[1]) #pは総和がn以下になる確率
sage: p
-0.924602908258674*e^(-0.0450727249412852*n)
- (0.0141317451913899 + 0.0178673357104935*I)*e^(-(0.329151925064039 - 1.18446726809051*I)*n)
- (0.0141317451913899 - 0.0178673357104935*I)*e^(-(0.329151925064039 + 1.18446726809051*I)*n)
- 0.0172163389039878*e^(-(0.361410021965218 - 3.14159265358979*I)*n)
- (0.0149586312272785 + 0.00913725707805078*I)*e^(-(0.363486436096737 - 2.18509474953750*I)*n)
- (0.0149586312272785 - 0.00913725707805078*I)*e^(-(0.363486436096737 + 2.18509474953750*I)*n)
+ 1.00000000000000
sage: 1-p.subs(n=49)
0.101575341438976 + 5.79026428787119e-24*I

58:１３２人目の素数さん
18/11/03 18:27:17.22 zSMa/Wom.net
能力的についていけない、コードと議論なんだけどRでのシミュレーション解（１０００回の頻度の１０００回平均値）と一致しております。
> dice = function(){
+ total=x=sample(6,1)
+ while(x!=1){
+ x=sample(6,1)
+ total=total+x
+ }
+ total
+ }
> re50=replicate(1e3,mean(replicate(1e3,dice()>=50)))
> summary(re50)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0740 0.0950 0.1010 0.1013 0.1070 0.1350

59:１３２人目の素数さん
18/11/03 21:23:52.08 OVkXWZOI.net
>>56
生成関数をTaylor展開で1を代入は場合分けしているのも同然だし、nが変わるごとn回微分するのはコストがかかる。
部分分数分解すればn乗ですむ、というのが >>54の指摘。
生成関数の部分分数分解は基本ともいえるのにでなかったのが恥ずかしい。

60:１３２人目の素数さん
18/11/04 00:25:20.63 1wP06nNi.net
結局有理関数のテイラー展開の係数だからn項間関係の漸化式とけばいいんだね。
Prelude Data.List Data.Ratio> let ns n d = map head $ iterate(¥p -> (++[0] )$ tail $ zipWith (-) (p ++ (repeat 0)) $ map ((*) $ (head p)/(head d)) d) n
Prelude Data.List Data.Ratio> fromRational $ (!!49) $ ns [0,1%6] [6%1,-6%1,-1%1,0,0,0,0,1%1]
0.8984246585610248
Prelude Data.List Data.Ratio> 1 - it
0.10157534143897518

61:１３２人目の素数さん
18/11/04 01:08:35.11 1wP06nNi.net
訂正
Prelude Data.List Data.Ratio> let ns n d = map ((/(head d)).head) $ iterate(¥p -> tail $ zipWith (-) (p ++ (repeat 0)) $ map ((*) $ (head p)/(head d)) d) n
Prelude Data.List Data.Ratio> fromRational $ (!!49) $ ns [0,1%1] [6%1,-6%1,-1%1,0,0,0,0,1%1]
0.8984246585610248
Prelude Data.List Data.Ratio> 1 - it
0.10157534143897518

62:１３２人目の素数さん
18/11/04 04:19:27.45 RDBCTf5Y.net
答えが1/4じゃなくて10/49なのはトランプ問題
では、答えが4/25じゃなくて20/61なのは何問題？

63:１３２人目の素数さん
18/11/04 08:06:33.61 VDxltAIF.net
>>60
>50は>45の確率

64:１３２人目の素数さん
18/11/04 08:18:37.88 VDxltAIF.net
>>59
>51,56です。
いつも簡潔なHaskellのコードをありがとうございます。
自分にはか初見and/or失念のコマンドを調べながら勉強してます。

65:１３２人目の素数さん
18/11/04 11:05:02.24 5kr3GpiZ.net
>>36の①がムズイ。
どうやるんだろ？

66:１３２人目の素数さん
18/11/04 13:20:58.52 t5LZe7yy.net
>>57
すみません。
そもそもテイラー展開が出てくる理屈からしてわからないものです。

67:イナ
18/11/04 13:38:11.75 eJosweG2.net
前 >>39
>>44
BD=5または6または7

68:１３２人目の素数さん
18/11/04 16:33:37.60 5kr3GpiZ.net
答え載せてるんだから、コレよりいい解答を見つけよが題意じゃね？
答えだけ書いてどうする？
しかも十分性成り立ってないし。

69:１３２人目の素数さん
18/11/04 16:41:52.33 lTCeMsqQ.net
>>51
総和の分布ってパラメータ1/21の指数分布になるみたいだな。
グラフにするとそんな感じだけど証明はわからんのであしからず。

70:１３２人目の素数さん
18/11/04 16:56:27.49 2EqmTiCY.net
>>44
△ABC∽△DACになるようにしたら相似比2:1だからBC=8, CD=2 となってBD=6。
それしかないかを調べるにはどうするのがよいだろうか？

71:１３２人目の素数さん
18/11/04 17:03:14.33 2EqmTiCY.net
>>64
生成関数のべき級数展開をx^49の項まで求めているだけです。
ここでの生成関数はx^nの係数が総和がnになる確率です。

72:１３２人目の素数さん
18/11/04 17:34:30.63 tTiGqsss.net
>>44
AB=7, AC=4, AD=7/2,
BC < AB + AC = 7 + 4 = 11,
BC = BH + CH
= √(AB^2-AH^2) + √(AC^2-AH^2)
≧ √(AB^2-AD^2) + √(AC^2-AD^2)
= (7√3 + √15)/2
= 7.99867
∴ 8 ≦ BC ≦ 10

73:１３２人目の素数さん
18/11/04 17:49:00.39 RDBCTf5Y.net
>>61
>>45の答えは12/61だけど、20/61になるような改題は作れる？

74:イナ
18/11/04 18:41:40.54 eJosweG2.net
前 >>65△ABCを描き、BC上にAD=7/2なるDをとると、
x=BDの条件は、
AB-AD＜BD＜AB+AC
7-7/2＜x＜7+4
よってBDは4、5、6、7、8、9、10のいずれか。
AからBCに垂線AHを引くと、
AC^2-CH^2=AB^2-BH^2
=AD^2-DH^2
4^2-(y+z)^2=7^2-(x+y)^2
=(7/2)^2-y^2
16-(y+z)^2=49-(x+y)^2
=49/4-y^2
xとyについて解くと、
196-4(x^2+2xy+y^2)=49-4y^2
196-4x^2-8xy=49
8xy=147-4x^2
y=147/32-2=83/32
yとzについて解くと、
BD=4のとき、y=DH、z=CH-yとすると、
DC=DH+HC=y+z=83/16+z
=83/16+CH-y
―中略―――
BD=4、5、6はいずれもNG
―中略―――
x=BD=7のとき、
49/4-y^2=7^2-(7-y)^2
=49-(49-14y+y^2)
49/4=14y
y=7/8
CH=√{16-(49･15/64)}
={√(1024-735)}/8
=(√289)/8
=17/8
y=DH=√{(7/2)^2-(7√15/8)^2}
=7/8
BH=√{7^2-(7√15/8)^2}
=49/8
BD=BH+DH=49/8+7/8=56/8=7
CD=CH-DH=17/8-7/8=10/8=5/4
BD=7はNG
x=BD=8、9、10は未調査。
この中にある可能性がある。

75:１３２人目の素数さん
18/11/04 18:49:12.73 LooLpWav.net
そもそも答え出すだけなら
(x^2+3.5^2-7^2)/7x=-(y^2+3.5^2-4)^2/7y
3.5<x<10.5, 0.5<y<7.5
の整数解出すだけだから問題としては大して難しいわけでもない。
エレガントなやつを求められてる。

76:１３２人目の素数さん
18/11/04 18:50:32.50 LooLpWav.net
あ、式所々おかしいけどエスパーに期待

77:イナ
18/11/04 19:45:58.67 eJosweG2.net
前 >>72
BDが整数のときCDも整数になったらそれが答えなんだが、BD=8、9、10でもならなんだ。
しらみ潰しに調べてしらみを潰しきった。
∴解なし
または計算間違い。
おそらく同じ図を使ったときAH辺り同じ数字を使った可能性がある。

78:１３２人目の素数さん
18/11/04 22:35:51.00 zevnpesP.net
>>75
AB=7,AC=4,AD=7/2,BD=x,CD=y
cos(∠ADB)+cos(∠ADC)=0→(x^2+49/4-49)/(7x)+(y^2+49/4-16)/(7y)=0
正整数解は(x,y)=(6,2)

79:イナ
18/11/04 23:05:37.18 eJosweG2.net
前 >>75見落とし、6を。
x=BD=6のとき、
AB^2-BH^2=AD^2-DH^2=AC^2-CH^2
7^2-(x+y)^2=(7/2)^2-y^2=4^2-z^2
49-x^2-2xy-y^2=49/4-y^2=16-z^2
xとyについて解くと、
49-x^2-2xy-y^2=49/4-y^2
(3/4)49-x^2-2xy=0
y=(3/8x)49-x/2
x=6を代入し、
y=49/16-3
=1/16
yとzについて解くと、
(7/2)^2-y^2=4^2-z^2
49/4-y^2=16-z^2
z^2=16-49/4+y^2
z^2=15/4+y^2
y=1/16を代入すると、
z^2=15/4+1/256
=(15･64+1)/256
=(960+1)/256
=961/256
z=31/16
CD=y+z=1/16+31/16=2
BDもCDも整数ゆえOK。

80:イナ
18/11/05 08:02:22.38 2UQFV+Ew.net
前 >>77訂正。
整数→正の整数

81:１３２人目の素数さん
18/11/05 15:04:22.76 gJu+KUPZ.net
数列{a_n}は
a_1=1
a_(3n+1)=a_(2n+1)
a_(3n-1)=a_(2n-1)
a_(3n)=-a_n
を満たす。この時、 lim_(n→∞) (1/n)Σ_(k=1,n)a_k を求めよ

82:１３２人目の素数さん
18/11/05 16:07:54.33 B1F8UTQM.net
>>70
BC が決まると、ピタゴラスの定理より BH，CH が出る。
　2BH - BC = BH - CH = (BH^2 - CH^2)/(BH+CH) = (AB^2 - AC^2)/BC = 33/BC,
　BH = (BC + 33/BC)/2,
　CH = BC - BH = (BC - 33/BC)/2,
さらに
　y = DH = √{BH^2 + AD^2 - AB^2} = √(BH^2 - 147/4),
　x = BD = BH - DH = BH - √{BH^2 + AD^2 - AB^2} = BH - √(BH^2 - 147/4),
または
　x = BD = BC - CH - √(CH^2 + AD^2 - AC^2) = BC - CH - √(CH^2 - 15/4),
これに BC = 8，9，10 を入れる。

83:１３２人目の素数さん
18/11/05 16:55:39.33 NWPSgxHY.net
サイコロを１０００回ふったとき１２３４５６の順に並ぶめがある確率は？
(1000-6+1)/6^6=995/46656= 0.0213263
であってる？

84:１３２人目の素数さん
18/11/05 17:05:06.59 NWPSgxHY.net
>>81
10万回のシミュレーションで
> diseq = function(x) grepl("123456",paste(sample(6,x,rep=T),collapse=''))
> re=mean(replicate(1e5,diseq(k)))
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.02179 0.02179 0.02179 0.02179 0.02179 0.02179
なので多分、あってると思う。

85:１３２人目の素数さん
18/11/05 17:49:29.47 wfCkOOVj.net
>>81
2496132527372941115749329604992316

86:2050180048167808600668865194878033743728420689 84376099408174097463441629168520294258369368829106815003461566130708953839682920 95221171948291726439658114424799498019097661179266489639765057526270978013345104 76524747032016146895691394753020822407944413722991044460400808243936692906887421 58562789397002085900222149015685484765540355084031630923512566224026716368839141 57709132547009630669030748477906517799741669954712570078185561021427430325179405 72821546368625756251314713494685242945606761774980997529512510098234243941523221 41377931716188773349134288985450150950313965433089387066776103030489204172673462 73213105601812900585824575190324664251243051466881215047349049321238316686313754 951248352723962319494352745433967465925847447405514305001/6^1000 ≒0.017620460571654540349...

87:１３２人目の素数さん
18/11/05 18:18:13.85 B1F8UTQM.net
>>81
「123456」を２つ以上含む場合を無視すれば合ってる。
「123456」の前後5回以内に「123456」はないから短時間の負相関があるが、それを無視すると
　1 - {1 - 1/(6^6)}^(1000-6+1) = 0.021100729

88:１３２人目の素数さん
18/11/05 18:29:06.48 6Utw5VZV.net
p[n]=n回目までに１２３４５６の並びが無い確率
p[n]=「n-1回目までに１２３４５６の並びが無い確率」-「n-1回目までに１２３４５６の並びが無く、n回目で１２３４５６が現れる確率」
=p[n-1]-p[n-6]/(6^6)
p[0]=p[1]=p[2]=p[3]=p[4]=p[5]=1
求める確率は 1-p[1000]
あとは任せた

89:１３２人目の素数さん
18/11/05 19:02:20.70 gJu+KUPZ.net
g[n]はn回目までに123456の並びがある確率
f[n]はn回目までに123456が出現してないが直前が12345で終わってる確率
e[n]はn回目までに123456が出現してないが直前が1234で終わってる確率
…
b[n]はn回目までに123456が出現してないが直前が1で終わってる確率
a[n]はn回目の時点で上のどれにも当てはまらない確率
とすると、
a[0]=1, b[0]=c[0]=d[0]=e[0]=f[0]=g[0]=0,
a[n+1]=(5/6)a[n]+(2/3)(b[n]+c[n]+d[n]+e[n]+f[n]),
b[n+1]=(1/6)(a[n]+b[n]+c[n]+d[n]+e[n]+f[n]),
c[n+1]=(1/6)b[n],
d[n+1]=(1/6)c[n],
e[n+1]=(1/6)d[n],
f[n+1]=(1/6)e[n],
g[n+1]=g[n]+(1/6)f[n]
となるから、あとはがんばる（他力本願）
>>85 も同じになるんかねこれ

90:１３２人目の素数さん
18/11/05 20:53:19.32 wfCkOOVj.net
>>83　
変換行列間違えました。
29894670002765580717622018953762664878384906585883227072416001286367327613872462
36176982687935042063489589508768499096701653359496110507628202771697652461481898
15867083862983975849719649919755556602395081603445217810191450771872978378492822
20929434295896536747523490245609702844253652551469152963247478735449528154607738
94897010212340239653386134088594267247751133592603591616944486751154360658915673
06079634567518636788329151870647053752023096491715169208527344676777484044463919
37957902455021334206833507250332593780127396266576899688383930527654264882692836
52659851277089138926126233

91:125349416055818289864095231536195189335702592341232170 57986389166894334399077869160455544669456052004648395254763440350805452857924718 777798944034868387931340048957755897293189482452979797088/6^1000 ≒0.021102960211841870224...

92:１３２人目の素数さん
18/11/05 21:00:04.55 wfCkOOVj.net
>>86　と同等の内容を、行列を使って計算させたのが、87の結果です。

93:１３２人目の素数さん
18/11/05 21:06:03.03 yk5baVV4.net
エレファントな解答を求む。

94:１３２人目の素数さん
18/11/05 22:15:57.52 1RAsBANL.net
>81と>87の差異はどういう違いでしょうか？
123456を1個含むか複数かの違いでしょうか？
複数許容なら数値の大きい方でいいのでしょうか？

95:１３２人目の素数さん
18/11/05 22:38:47.29 Pcec+Aw3.net
どかーん！
(⌒⌒⌒)
　｜｜
／￣￣￣￣￣＼
|　・　Ｕ　　　　　　|
| |ι　　　　　　　|つ
Ｕ｜｜￣￣｜｜
　　￣　　　　　￣
呼んだ？

96:１３２人目の素数さん
18/11/05 22:53:10.54 wfCkOOVj.net
>>90
81の計算は、当選確率1/6^6のクジを995回引いたときの当選回数の期待値に等しい。
84の計算は、当選確率1/6^6のクジを995回引いたとき、少なくとも一回当たりくじを引く確率に等しい。
「目的の出目が六回続けて出る」という事が達成される確率が1/6^6。
普通のクジなら、外れを引くとクジ一個分を無駄にする。
しかし、この問題の場合は、いわば途中まで成功していた分のクジも無駄になることになる。
一回の失敗で、無駄になるクジの数が１枚の場合もあれば、複数の場合もある。
チャレンジできる回数が995回固定ということはない。
さらに、失敗したとしても、もし、１を引いていたら、新たなチャレンジの第一歩を
踏み出していたことになるが、それ以外の目で失敗したら、第０歩から
スタートすることになる。単純に「失敗」と言っても、内容が異なることもある。
本来はこのような機微に関わる問題で、厳密な値は、シンプルな式では表せない。
87や86は、6^1000通りある全てのパターンを想定している。

97:１３２人目の素数さん
18/11/05 22:59:51.87 hlCe+j6H.net
チャレンジできる回数が995回固定されないかも
ちょうど1000回使い切ることもありうる

98:１３２人目の素数さん
18/11/05 23:21:44.43 1RAsBANL.net
>>92
解説ありがとうございました。
＞失敗したとしても、もし、１を引いていたら、新たなチャレンジの第一歩を踏み出していたことになる
この理解が私には欠けていました。

99:１３２人目の素数さん
18/11/06 02:48:39.54 jOazYBXJ.net
P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
完全追尾型多項式が完成しました
宝の個数を２で固定します
P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48
Q1st =｛12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3｝/48
■Wolframに入力すると既約分数表示になるので御注意
P1st／Q1st
=｛8(n-1)｛(n-2)n-6｝/｛2n(n+2)(6n^2-2n-5)-3(-1)^n+3｝｝+1

100:１３２人目の素数さん
18/11/06 03:09:24.93 FZJllfOU.net
>>85
任されたんぢゃ、生姜ねぇ…
線形漸化式は
　p[n] = p[n-1] - p[n-6] /(6^6),
特性多項式は
　t^6 - t^5 + (1/6)^6
= (t-α) (t-β) {tt -2

101:Re(γ_1) t + |γ_1|^2} {tt -2 Re(γ_2) t + |γ_2|^2}, 特性根は α = 0.9999785642321302281427595561300279367871 　　= 1 - (1/6)^6 - 5･(1/6)^12 - 40･(1/6)^18 - … β = 0.11947305512892524659941083415872186721 γ_1 = |γ_1| e^(i θ_1) 　|γ_1| = 0.117113316705063892011642575051190099053 　θ_1 = 2.5253513177722176449 γ_2 = |γ_2| e^(ｉ θ_2) 　|γ_2| = 0.11436934616195511830934529716995273057 　θ_2 = 1.279751470687185368 p[n] = 1.00000000689325α^(n-5) + c_0 β^n + c_1 |γ_1|^n cos(n θ_1+ d_1) + c_2 |γ_2|^n cos(n θ_2 + d_2) 　　　= 1.00000000689325α^(n-5)　　　　　　　　(n>>1) 　　 ∵　0．114 < |β|，|γ_1|，|γ_2| < 0．120　なので 1 - p[1000] = 1 - 1.00000000689325α^995 = 0.021102960211842 1.00000000689325 = 1 + 15 (1/6)^12 + …

102:１３２人目の素数さん
18/11/06 03:39:44.90 FZJllfOU.net
>>84
いったん「123456」が完成すると次の5回はデッド・タイムになるわけか。
GM計数管（放射線測定器）の分解時間、不感時間みたいなものかな？

103:１３２人目の素数さん
18/11/06 05:08:26.34 FZJllfOU.net
>>44
BD、CD が半整数でいいなら、もう一つ解があるらしい…

104:１３２人目の素数さん
18/11/06 05:12:24.35 DN0vL5hu.net
haskell先生の答え
*Main> let ps = map (!!6) $ iterate (¥x->(tail x) ++ [x!!5 + 6%(6^6) - (sum $ take 6 x)/6^6]) $ [1%1,1%1,1%1,1%1,1%1,0,0,0,0,0,0]
*Main> fromRational $ ps !! 999
2.110296021184187e-2

105:１３２人目の素数さん
18/11/06 05:17:27.31 Er8xgC3V.net
>>98
あった
*Main> [(x,y)| x<-[4.0,4.5..10.0],y<-[1.0,1.5..7.0],y*(x^2+(3.5)^2-7^2)== -x*(y^2+(3.5)^2-4^2)]
[(4.5,4.5),(6.0,2.0)]

106:１３２人目の素数さん
18/11/06 05:50:54.52 FZJllfOU.net
>>86
g[n] の漸化式は
g[n] - g[n-1] = (1/6)f[n-1] = (1/6)^2 e[n-2] = (1/6)^3 d[n-3] = (1/6)^4 c[n-4] = (1/6)^5 b[n-5]
　　= (1/6)^6 (1-g[n-6])
となります。したがって　p[n] = 1 - g[n]　の漸化式は
　p[n] = p[n-1] - (1/6)^6 p[n-6],
これは >>85 と同じです。
Memo．
　a[n] = p[n] - (1/6)p[n-1] - (1/6)^2 p[n-2] - (1/6)^3 p[n-3] - (1/6)^4 p[n-4] - (1/6)^5 p[n-5],
　b[n] = (1/6) p[n-1],
　c[n] = (1/6)^2 p[n-2],
　d[n] = (1/6)^3 p[n-3],
　e[n] = (1/6)^4 p[n-4],
　f[n] = (1/6)^5 p[n-5],
　g[n] = 1 - p[n],

107:１３２人目の素数さん
18/11/06 06:21:01.93 L5OqW8l+.net
Haskell 先生に聞いてみました。
Prelude Data.List Data.Ratio> let ps = map head $ iterate (¥x->(tail x) ++ [x!!5 - 1%(6^6) * x!!0]) [1%1,1%1,1%1,1%1,1%1,1%1-1%(6^6)]
Prelude Data.List Data.Ratio> fromRational $ 1%1 - (ps !! 999)
2.110296021184187e-2
確かにこっちの方がいいね。

108:１３２人目の素数さん
18/11/06 08:00:46.22 9NNsjRpE.net
>>102
こんな短いコードで算出できるとは驚きです。
計算原理がさっぱりわかりません。
個々のコマンドはなんとかわかります。
1-1/(6^6）は何の数値でしょうか？

109:１３２人目の素数さん
18/11/06 08:04:21.77 9NNsjRpE.net
>>103
>96の線形漸化式の配列化？

110:１３２人目の素数さん
18/11/06 08:57:44.56 9NNsjRpE.net
>>102
ようやくコードの意味が理解できたのでRに移植。
実数計算なので誤差がでます。
f = function(N){
p=numeric()
p[1]=p[2]=p[3]=p[4]=p[5]=p[6]=1
for(n in 7:(N+1)){
p[n]=p[n-1]-p[n-6]/(6^6)
}
1-p[N+1]
}
> f(1000)
[1] 0.02110296

111:１３２人目の素数さん
18/11/06 09:04:09.41 9NNsjRpE.net
>>105
表示桁を増やしてみた。
> options(digits=22)
> f(1000)
[1] 0.0211029602118424364221

112:１３２人目の素数さん
18/11/06 12:59:18.08 poLu8oO

113:g.net

114:１３２人目の素数さん
18/11/06 15:40:04.34 cDO4b4Dm.net
コインを１０００回投げた。連続して表がでる確率が最も高いのは何回連続するときか？

115:１３２人目の素数さん
18/11/06 17:36:12.86 /OX7Wfwz.net
0<|2x^2-y^3|<100√|y|
を満たす整数の組(x,y)が無限に存在することを示せ

116:１３２人目の素数さん
18/11/06 17:39:00.56 FZJllfOU.net
まとめ（？）
ε = 1/(6^6)　とおく。
・「123456]を２つ以上含む場合を無視　 >>81
　1 - p[n] ≒ (n-5)ε
・複数あり、相関を無視　　 >>84
　1 - p[n] = 1 - (1-ε)^{n-5} = (n-5)ε - (1/2)(n-5)(n-6)ε^2 + (1/6)(n-5)(n-6)(n-7)ε^3 - …
・複数あり、相関あり　　 >>96
　α = 1 -ε -5ε^2 -40ε^3 -385ε^4 -4095ε^5 - …
　1 - p[n] = 1 - (1 + 15ε^2 + …)α^{n-5} = (n-5)ε - (1/2)(n-10)(n-11)ε^2 + …
Python？ Haskell？
プログラムの作れないオジサンは Excel で1000行使ってますよ。。。

117:１３２人目の素数さん
18/11/06 19:13:07.74 0/M2gc6l.net
>>108
日本語の微妙なニュアンスは、それで合ってるの？
100回のコイントスで連続表の最大回数は
5回がもっとも起こりやすく確率は26%　らしいけど

118:１３２人目の素数さん
18/11/06 19:32:20.35 3z562f7u.net
>>108
1000回コインを振って、11連以上、10連以上、．．．、7連以上の表が出る確率はそれぞれ、
0.215431673
0.385449752
0.624240992
0.861144809
0.981783332
なので、最大連続数が、10連、9連、8連、7連となる確率は、それぞれ、
0.170018079
0.23879124
0.236903817
0.120638523
8連と9連がほぼ等しいが、9連となる確率が最も高い。
参考
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:462番)-465

119:１３２人目の素数さん
18/11/06 20:00:33.66 cDO4b4Dm.net
>>112
１００回で５
１０００回で９
１００００回で１２
１０万回で１５
１０００万回で１８になった。

120:１３２人目の素数さん
18/11/06 20:04:45.57 cDO4b4Dm.net
>>113
Rのスクリプトはここに置いた。
ｽﾚﾘﾝｸ(hosp板:54番)
有理数表示したかったのでPythonに移植
ここで実行可能
# URLﾘﾝｸ(tpcg.io)

サイコロを１万回ふったときに５回以上　及び、丁度５回１の目が続く確率を算出。数字を変えて実行も可能。

121:１３２人目の素数さん
18/11/06 20:07:29.69 FZJllfOU.net
a = 2^(1/6) は無理数だから、ディリクレの定理より
　|p/q - a| < 1/q^2
（「ディオファントス近似」とかいうらしい。）
x = q^3，y = pp とおくと
0 < | 2xx - y^3 | = | 2q^6 - p^6 | < ?
う～む、近似が足りぬ…

122:１３２人目の素数さん
18/11/06 20:14:11.95 FZJllfOU.net
>>115
では、ニュートン・ラフソン法を使おう。
　f(x) = (x^6 -2) / x^(5/2),
として
　x ' = x - f(x) / f '(x) = x - 2x(x^6 -2)/(7x^6 +10) = x(5x^6 +14)/(7x^6 +10),
を繰り返す。このとき
　x '- a = (x-a)^3 * (5x^4 +8ax^3 +9aaxx +8aaax +5a^4)/(7x^6 +10)
∴　| x '- a | < C |x-a|^3,
さて…

123:１３２人目の素数さん
18/11/06 20:32:32.09 cDO4b4Dm.net
>>113
１００万回で１８の間違い。
ちなみに１０００万回で２２回（確率は0.2474）だった。

124:１３２人目の素数さん
18/11/06 20:39:21.84 cDO4b4Dm.net
>>117
URLﾘﾝｸ(www.tutorialspoint.com)
だとタイムアウトしたので、オフラインで算出してみた。
Just 22
4456779119136417/18014398509481984
= 0.2474009396866937

125:１３２人目の素数さん
18/11/06 22:06:22.80 0/M2gc6l.net
ある道路では、30分以内に車が通る確率は99.9%である。
では、10分以内に車が通る確率は？

126:１３２人目の素数さん
18/11/06 22:18:24.46 JyIr9Vjq.net
>>119
1-(1-0.999)^(1/3)
=0.9

127:１３２人目の素数さん
18/11/06 23:36:10.05 08uZxk9P.net
>>115
それを満たすp q が無限にあったとしてもそれらが平方数、立方数になってくれてる保証なんかないでしょ？

128:１３２人目の素数さん
18/11/07 00:32:00.28 p6NUZQ5G.net
>>105
分数表示したいのでPythonに移植した。
from fractions import Fraction
def dice126(N):
P=list()
for n in range(6):
P.append(1)
P.append(1-1/(6**6))
for n in range(7,N+1):
P.append(P[n-1]-P[n-6]/(6**6))
return(1-P[N])
def dice123456(N):
print(Fraction(dice126(N)))
print(" = " + str(dice126(N)))
dice123456(1000)

129:１３２人目の素数さん
18/11/07 00:44:06.23 5PMwby1T.net
>>116 （補足）
　a = 2^(1/6) として
　0 < (5x^4 +8ax^3 +9aaxx +8aaax +5a^4)/(7x^6 +10) ≦ C,
　C = 2.706458005831039532180100595416
　等号成立は x = 0.903918268122918428596803223653869

130:１３２人目の素数さん
18/11/07 02:28:28.15 Lk/NCQ39.net
>>81
((1-(5/6)^6)^6)/4

131:１３２人目の素数さん
18/11/07 04:43:16.35 5PMwby1T.net
>>96 (補足)
　p[0] = p[1] = p[2] = p[3] = p[4] = p[5] = 1
より
　p[n] = 1.00000000689307114563713652919α^(n-5) + c_0 β^n + ……
　　= (1 + 15ε^2 + 220ε^3 + 320ε^4 +…)α^(n-5) + c_0 β^n + ……
　c_0 = -0.02813048468
　c_1 = 0.03983999218
　d_1 = -0.51407117920
　c_2 = -0.05049060128
　d_2 = 1.43835771780

132:１３２人目の素数さん
18/11/07 09:16:36.43 5PMwby1T.net
>>110 (補足)
ε = 1/(6^6)　とする。
p[n] ≒ (1 +15ε^2 +220ε^3+ 3060ε^4 + …) α^(n-5)
　　= (1 +15ε^2 +220ε^3+ 3060ε^4 + …)(1 -ε -5ε^2 -40ε^3 -385ε^4 -4095ε^5 -…)^(n-5)
　　= 1 -(n-5)ε +(1/2!)(n-10)(n-11)ε^2 -(1/3!)(n-15)(n-16)(n-17)ε^3 +(1/4!)(n-20)(n-21)(n-22)(n-23)ε^4 - …

133:１３２人目の素数さん
18/11/07 17:50:14.73 fQSBmb6Q.net
今んとこ解かれてないのは >>26 >>36 >>42 >>43 >>79 >>109 かね
真ん中二つはリンク先に答えあるみたいだしあれだけども

134:１３２人目の素数さん
18/11/07 19:51:09.21 5PMwby1T.net
>>110 (補足)
ε = 1/(6^6)　とする。
α = 1 -ε -5ε^2 -40ε^3 -385ε^4 -4095ε^5 -46376ε^6 -548340ε^7 - …
p[n] = Σ[k=0,∞] Ｃ[n-1-5k，k] (-ε)^k,

135:１３２人目の素数さん
18/11/07 21:09:24.11 p6NUZQ5G.net
某シリツ

136:医大の裏口入学調査委員会が裏口入学は高々10%と報告したとする。その結果の検証に100人を調査したら4人続けて裏口入学生であった、という。この検証から裏口入学率が10%であるか否かを有意水準1%で検定せよ。

137:１３２人目の素数さん
18/11/07 21:51:21.02 mEYJ0uIZ.net
>>129
＞その結果の検証に100人を調査したら4人続けて裏口入学生であった、という。
これは100件の検証結果の中に
・1度だけ4連続裏口入学があった
・複数回4連続裏口入学があった
・1度だけ4以上連続裏口入学があった
・複数回4以上連続裏口入学があった
のどれを意味していますか？

138:１３２人目の素数さん
18/11/07 22:38:16.40 p6NUZQ5G.net
>>130
情報がないとして全ての場合を含む、
１回以上、4以上の連続裏口入学があった場合を考える。
４連続が１回でもいいし、
４連続が２回の後に５連続が１回でもいいとする。
想定したのは
表のでる確率が0.1のコインを100回投げて表が4回以上連続する確率が1%未満かという問題。

139:１３２人目の素数さん
18/11/07 23:02:36.60 PN+gm2kl.net
>>131
４回以上連続することが複数回あっても構わないとする。

140:１３２人目の素数さん
18/11/08 02:09:05.40 45SX77TX.net
>>128 (訂正)
　p[n] = Σ(k=0, [n/5]) C[n-5k, k] (-ε)^k,
でした。　...orz >>126 は ok

141:１３２人目の素数さん
18/11/08 02:34:17.78 45SX77TX.net
>>109 >>116
(x, y) = (q^3, pp) とおくと、求めるものは
0 < | 2q^6 - p^6 | < 100･p,
を満たす整数 (p, q)
そこで 2^(1/6) = a の近似分数の列 p/q = t を次の漸化式で定める。
　t ' = t - 2 t (t^6 - 2)/(7 t^6 + 10) = t (5 t^6 + 14)/(7 t^6 + 10),
(p,q) の漸化式は
　p ' = p (5p^6 + 14q^6),
　q ' = q (7p^6 + 10q^6),
(p,q) = (1,1) のときは成立するが
(p,q) = (19, 17) のときは　2xx -y^3 = 2･17^6 - 19^6 = 1229257 > 100*19
(p,q) = (10889952049, 9701846569)　のときは　2xx -y^3 = 2q^6 - p^6 = 2.31865949E+54 > 100･p
(p,q) = (217953260587942275546675683149407795232019596416934847340158868299331811, 194174280472305108606358058802927185430436427469916728412097502845028473)
のときも絶望的でござる。

142:１３２人目の素数さん
18/11/08 02:59:04.34 45SX77TX.net
>>76
　Macedonia の人の解答と同じらしいです。

143:１３２人目の素数さん
18/11/08 04:07:51.53 pDHe6HSd.net
>>134
てかその方針そのものが無理なんじゃないの？
もし
>0 < | 2q^6 - p^6 | < 100･p,
>を満たす整数 (p, q)
が無限にあったら
0 < 2q^6 - p^6 < 100p 又は -100p < 2q^6 - p^6 < 0
になるけど前者なら t = 100p/q^6、b=(p/q)^(-5/6)とおいて
p/q < 2^(1/6) < (p^6/q^6 + 100/q^6)^(1/6) = p/q + tb/6 - 5tb/72 (bt) + 55tb/1296 (bt)^2 + ……
だけど誤差項がO(q^(-5))なので
＞この系は、トゥエ・ジーゲル・ロスの定理が、代数的数の有理数での近似の下界は 2 を超えて 2 + ε への改善はできないという意味で、最良であることを示している。
に矛盾してしまう。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
後者でも同様。

144:１３２人目の素数さん
18/11/09 05:17:13.44 pvdoV3Z4.net
>>110 >>126 >>128
ε = 1/(6^6) とする。
p[n] = (1 +15ε^2 +220ε^3 +3060ε^4 +42504ε^5 +593775ε^6 +8347680ε^7 + … )α^(n-5)
α は　t^6 - t^5 +ε = 0 の根
α = 1 -ε -5ε^2 -40ε^3 -385ε^4 -4095ε^5 -46376ε^6 -548340ε^7 -6690585ε^8 - …

145:１３２人目の素数さん
18/11/09 07:40:

146:24.37 ID:pvdoV3Z4.net

147:１３２人目の素数さん
18/11/09 14:55:14.01 ds1M8gYh.net
>>79
分からないけど、｛a_n｝の母関数の関数等式ができたので一応書いとく
f(x)=Σ[n≧1] a_nx^n
g(x)=Σ[n≧1] a_(2n-1)x^(2n-1)
h1(x)=Σ[n≧1] a_(3n-2)x^(3n-2)
h2(x)=Σ[n≧1] a_(3n-1)x^(3n-1)
h3(x)=Σ[n≧1] a_(3n)x^(3n)
とおく。これらは区間 (-1,1) 上で絶対収束する。
まず明らかに
　h1(x)+h2(x)+h3(x)=f(x)　…①
　(f(x)-f(-x))/2=g(x)　…②
さらに漸化式より
　xh1(x^2)=g(x^3)　…③
　h2(x^2)=xg(x^3)　…④
　h3(x)=-f(x^3)　…⑤
①に x^2 を代入して x 倍
　xh1(x^2)+xh2(x^2)+xh3(x^2)=xf(x^2)
③④⑤より
　g(x^3)+x^2g(x^3)-xf(x^6)=xf(x^2)
②より
　(1+x^2)(f(x^3)-f(-x^3))/2-xf(x^6)=xf(x^2)
整理して
　(1+x^2)(f(x^3)-f(-x^3))=2x(f(x^2)+f(x^6))
うーん…

148:１３２人目の素数さん
18/11/09 16:11:31.59 u44VxTes.net
>>79はデタラメ詰将棋君の香りがする。
ホントに解けるのかどうかかなり疑問ww

149:１３２人目の素数さん
18/11/09 17:20:59.61 UXVKU4RE.net
デタラメ詰将棋君ってなんだよ？説明したまえ

150:１３２人目の素数さん
18/11/09 19:33:26.08 ak/GsOoT.net
しらんの？わかスレでこれ答えでんやろって適当な問題連発してるやつ。
とくに彼がだしてる確率系は殆どとけない。
(というか持ってる答えあるなら出してくれといって出したことないのでそう推定している。)
>>79はいかにも彼が好きそうな形。
本人解けたつもりで出してるだけの可能性あり。

151:１３２人目の素数さん
18/11/09 21:24:51.59 EXq8jHLE.net
でたらめ予定調和君

152:１３２人目の素数さん
18/11/09 22:58:54.45 5AnUTlVm.net
コインを１００回投げて表が連続した最大数が５のとき、表がでる確率の９５％信頼区間を求めよ。
近似解計算で
lower upper
0.2487456 0.6386493
になったけど、自信がない。

153:１３２人目の素数さん
18/11/10 01:10:06.43 TW6tyhOr.net
>>138
>t^6 - t^5 +ε = 0 の根は
>
>α = 1 - Σ[k=1,∞] c(5, k) ε^k,
これどうやって証明するんですか？
Link先にも載ってないですけど？

154:１３２人目の素数さん
18/11/10 01:27:10.71 TW6tyhOr.net
あ、わかった。
G.f.: inverse series of y*(1-y)^5.
これだ。

155:１３２人目の素数さん
18/11/10 02:17:14.74 BjsJwiKs.net
>>79は関数等式が作れたので満足ということにしよう
 >>26
これも分からないけど考えたことを書いてみる。
区間 [0,√2] で関数の値を決めれば、
等式 f(x+√2)=(f(x)+f(x+1))/2 を満たすように実数全体に一意に拡張することができる。
したがって、[0,√2] 上で定数であることを示すことが必要かつ十分。
[0,√2] 上で定数でないと仮定して、有界でないことを導く感じかなあ。
x を大きくすると平均化されて収束しそうなので、逆に x を -∞ の方に持ってくと有界でなくなりそう。

156:１３２人目の素数さん
18/11/10 02:54:00.82 0LaPCkg7.net
>>89
Henry Mancini - Baby Elephant Walk
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)

157:１３２人目の素数さん
18/11/10 03:12:05.12 P9RJEHjc.net
諦め早いなあ　じゃヒント

158: >>79 S(n) = Σ_(k=1,n) a_(2k-1) とおくと S(3n) = Σ_(k=1,n) a_(6k-5) + a_(6k-3) + a_(6k-1) = Σ_(k=1,n) a_(4k-3) - a_(2k-1) + a_(4k-1) = S(2n) - S(n)

159:１３２人目の素数さん
18/11/10 03:46:00.82 P9RJEHjc.net
ちなみに言っとくと
 >>142 人違いです　書き込んだことあるのはこの面白スレだけなので
あとついでにもう一問
整数 N に対し、rad(N) を N の互いに異なる素因数の積と定める。
正の整数 n に対して (1+√2)^n を展開した時の √2 の係数を a_n とおくと、
n を奇数の中から適切に選んで rad(a_n)/a_n を任意に小さくできることを示せ。

160:１３２人目の素数さん
18/11/10 05:01:41.49 QJPqV+Y8.net
ヒントあってもムズい。
存在すれば０までは簡単だけど。

161:１３２人目の素数さん
18/11/10 05:09:34.22 0LaPCkg7.net
>>150
a_n = {(1+√2)^n - (1-√2)^n} / (2√2),
{(1+√2)^m + (1-√2)^m}/2 は自然数。
∴　a_{pq} は a_p および a_q で割り切れる。
さて、どうするか？

162:１３２人目の素数さん
18/11/10 05:35:01.43 EuCYu9xA.net
>>150
こっちの方はできたかな？
RをQ[√2]の整数環とする。
p≡3.5 (mod 8)である素数をとる。
x^2 - 2 = 0は mod p で解を持たないからQ/Zのpの拡大次数は2でpRはRの素イデアル。
とくにa+b√2∈p^iR ⇔ a∈p^iZ かつ b∈p^iZ である。
ここで n をR/p^2Rの乗法群の位数とするとき(1+√2)^n ≡ 1 (mod p^2R)であるからa≡1 (mod p^2) かつ b≡0 (mod p^2)である。
とくにこのとき rad b ≦ b/p であるから rad b / b ≦ 1/p となる。
p≡3.5 (mod 8)である素数は無数にあるから主張は示された。

163:１３２人目の素数さん
18/11/10 05:45:34.35 EuCYu9xA.net
あれ？素数取り直す必要ないか。
R/3^iRの乗法群の位数をnとすれば(1+√2)^n = a + b√2 とおくとき同様にしてb ≡ 0 (mod 3^i)だから
b / rad b ≦ 1/3^(i-1)でいいのか。

164:１３２人目の素数さん
18/11/10 05:57:33.06 P9RJEHjc.net
>>153
その n が奇数になる保証はあるかい？

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