分からない問題はここに書いてね448

分からない問題はここに書いてね448 at MATH

[1からを表示]
50:１３２人目の素数さん
18/10/24 22:31:23.90 3j5JE9tl.net
80

51:１３２人目の素数さん
18/10/24 23:48:05.98 LB37fX3V.net
>>34
〔前スレ．993〕
　aを正の定数とする。
xyz空間において，円柱 yy + zz ≦ aa と角柱 |x| + |z|≦ a との共通部分をKとする。
(1) Kの体積を求めよ。
(2) Kの表面積を求めよ。

52:１３２人目の素数さん
18/10/25 00:16:28.74 0sa6guuR.net
>>49
(1)
ｚ＝一定の平面で切ると、
　|x| ≦ a - |z|,
　|y| ≦ √(aa-zz),
の長方形。
V = 8∫[0，a] (a-z)√(aa-zz) dz = (2π - 8/3)a^3 = 3.61651864a^3

53:１３２人目の素数さん
18/10/25 00:20:46.17 3neCGX+4.net
a,b,cは素数で、2≦a≦b≦cかつa+b>cを満たす。
AB=c,BC=a,CA=bである△ABCの面積をS(a,b,c)とする。
（1）有理数pと自然数nを用い、S(a,b,c)=p√nと表したとき、n=1とならないことを示せ。
（2）次の命題の真偽を

54:述べよ。「どのような素数qについても、a,b,cをうまく選ぶことで、n=qとなるようにできる」

55:１３２人目の素数さん
18/10/25 08:36:23.80 yl10Tcfs.net
高専２年
行列
(2)は簡単ですが(1)の固有値が求まりません
お願いします
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

56:１３２人目の素数さん
18/10/25 08:42:17.38 JdbNzNMl.net
わからないんですね

57:１３２人目の素数さん
18/10/25 09:25:25.86 0sa6guuR.net
>>52
固有値　　　(固有ベクトル)^t
----------------------------------
　1+2a 　　(1/√3，1/√3，1/√3)
　1-a　　　(1/√6，1/√6，-2/√6)
　1-a　　　(1/√2，-1/√2，0)
1-a は重根なので、固有ベクトルの取り方がいくつもあります。
a=0 つまり A=E のときは任意のベクトルが固有ベクトルです。

58:１３２人目の素数さん
18/10/25 09:58:35.15 0sa6guuR.net
>>50 (補足)
∫(a-z)√(aa-zz) dz
　= ∫[(1/2)a^3 -aaz -azz +z^3]/√(aa-zz) dz + (a^3)/2･∫1/√(aa-zz) dz
　= (1/6) (2aa+3az-2zz) √(aa-zz) + (a^3)/2･arcsin(z/a) +c,

59:１３２人目の素数さん
18/10/25 10:42:44.15 G7anWKpK.net
「無」に勝るものは何もありませんか？

60:１３２人目の素数さん
18/10/25 10:45:54.04 cU6atyIc.net
>>44
増える草の量+最初の草の量-食べる草の量=0
として式を作る。
15a+b-100*15u=0
10a+b-120*10u=0
14a+b-(80*14+x*4)u=0
これを解くとx=80

61:１３２人目の素数さん
18/10/25 11:38:07.42 BJ8Ls50p.net
>>38
勝手にtで置いてたけどpだったかw

62:１３２人目の素数さん
18/10/25 11:42:09.86 BJ8Ls50p.net
面白スレの795で、宝は2つのまま、縦と横のマス数をそれぞれn、n+1と置いたとき、横に沿って探した方が相手より先に見つけやすいことは3,4の場合でそうだったことから容易に想像出来るが、その証明は出来るだろうか？

63:１３２人目の素数さん
18/10/25 11:48:03.89 BJ8Ls50p.net
縦nマス、横n+1マスのn(n+1)マスのうちランダムに選ばれた2マスにそれぞれ宝が眠っている。
縦1列を探し終えたらすぐ右の1列に移って宝を探していく方法をとるP君と、横1行を探し終えたらすぐ下の1行に移って宝を探していく方法をとるQ君が、同時に左上の地点から探索を開始した。
例えば、n=3の時はP君はAEIBFJCGKDHLの順で探す。Q君はABCDEFGHIJKの順で探すことになる。
ABCD
EFGH
I JK L
1つの地点を捜索するのにかかる時間は同じで、相手が1度探し終えた地点を重複して調べることも当然ある。
相手より先に宝を見つけた方を勝者とする。同時の場合は引き分けとする。
どちらの方が有利になるだろうか？

64:１３２人目の素数さん
18/10/25 12:09:57.32 pgMxDp3h.net
え？3x4なら横からやったほうがいいの？
直観的には同じだけど…

65:１３２人目の素数さん
18/10/25 13:26:11.80 Gnr41rTz.net
50の(2)ってどうすればいいの？

66:１３２人目の素数さん
18/10/25 13:27:04.86 Gnr41rTz.net
>>62
49のでした

67:１３２人目の素数さん
18/10/25 13:27:17.09 Gnr41rTz.net
>>62
49のでした

68:１３２人目の素数さん
18/10/25 14:32:32.99 /l3Dn7CN.net
>>64
切断面は半分の楕円が4つなので簡単、残りの円柱側面は積分で求める。
S = 2 * (π a (√(2) a) ) + 4 a² ∫ [0, +π] dθ (1- sinθ)
以下略
URLﾘﾝｸ(o.8ch.net)

69:１３２人目の素数さん
18/10/25 15:22:53.04 wVAS8Odg.net
α，β，γ は α>0，β>0，γ>0，α+β+γ=π を満たすものとする．このとき， sinαsinβsinγ の最大値を求めよ．
最もエレガントな回答を教えてください。
ごちゃごちゃ一つ固定して微分すればすぐ解けますが
対称性から一発で解けたりしませんか？

70:１３２人目の素数さん
18/10/25 15:26:52.62 pgMxDp3h.net
>>66
面積に直したら、３項の相加相乗の問題に帰着するから一瞬じゃないの？

71:１３２人目の素数さん
18/10/25 15:31:26.94 pgMxDp3h.net
あんまり一瞬でもないな
適当すぎｗ

72:１３２人目の素数さん
18/10/25 15:53:08.30 l+i4tsAg.net
>>66
よく知られてるのは log sin x の凸性使うやつだな。

73:１３２人目の素数さん
18/10/25 15:56:31.23 d9pvisw+.net
無に勝てるものはありますか？

74:１３２人目の素数さん
18/10/25 16:01:35.27 jGg55AkS.net
z/{((z-1)^2)((z-2)^3)}
の各特異点における留数を求めるのって
z=1 だったら
(z-1)^5をかけて4回も微分して極限をとるっていうことしないといけないのってめちゃくちゃ手間がかかると思うんですけど
そうする以外に簡単にもとまる方法ってないですか？

75:１３２人目の素数さん
18/10/25 16:10:31.43 /l3Dn7CN.net
>>66
f(α,β,γ) = sinαsinβsinγ と置く.
領域境界では f = 0 、領域内点では f ＞ 0 .
境界が素直なので f の勾配ベクトルが平面 α + β + γ = π と直交する点を探せばよい.
つまり cosα sinβ sinγ = sinα cosβ sinγ = sinα sinβ cosγ より
tanα = tanβ = tanγ ∴ α = β = γ = π/3
f = (√(3)/2)^3 = (3/8)√3 を得る.

76:１３２人目の素数さん
18/10/25 16:48:51.00 /l3Dn7CN.net
>>71
z/{((z-1)^2)((z-2)^3)}
= {(z-1) + 1}/{((z-1)^2)((z-1 - 1)^3)} (以降 h = z-1 と置く)
= -(1/h + 1/h^2) * (1 + h + h^2 + ...)^3
= -(1/h + 1/h^2) * (1 + 3h + ...)
= -1/h^2 - 4/h - ...
1/h の係数だけ拾えばよい
(z-2 + 2)/{((z-2 + 1)^2)((z-2)^3)}
= (1/h^2 + 2/h^3) { 1 - h + h^2 + ... }^2
= (1/h^2 + 2/h^3) { 1 - 2h + 3h^2 +... }
以下略

77:１３２人目の素数さん
18/10/25 17:03:07.15 jGg55AkS.net
>>73
おおおおおおおお
確かに！！！！！！！！
ありがとうございます

78:１３２人目の素数さん
18/10/25 17:20:06.01 3neCGX+4.net
>>51
これお願いします
（2）がわかりません

79:１３２人目の素数さん
18/10/25 17:42:08.46 0sa6guuR.net
>>69
最もエレガントな解答は log(sin(x)) の凸性使えば一発で出ますが >>69
GM-AM で下準備
　sinα sinβ sinγ ≦ {(sinα + sinβ + sinγ)/3}^3
してから sin(x) の凸性使う
　(sinα + sinβ + sinγ)/3 ≦ sin{(α+β+γ)/3} = sin(60ﾟ) = (√3)/2,
ほうが簡単かもです。

80:１３２人目の素数さん
18/10/25 18:03:57.91 3neCGX+4.net
こういうのをゴリ押しで解こうとするたび思うんだが、sinxをexp(ix)で表しても手間は減らないもの？

81:１３２人目の素数さん
18/10/25 18:36:49.94 Gnr41rTz.net
>>65
ありがとうございます

82:１３２人目の素数さん
18/10/25 19:30:25.68 StgroO81.net
>>60
コンピュータでシミュレーションしてみた。
n=3のときは (P1st:：P君が先に見つける宝の埋没場所の組み合わせ数）
> t342=treasure(3,4,2)
P1st Q1st even
26 27 13
n=4のときは
> t452=treasure(4,5,2)
P1st Q1st even
84 83 23
常に横に探す方が有利ではないようだ。
Rでのコードはここ
URLﾘﾝｸ(tpcg.io)

83:１３２人目の素数さん
18/10/25 19:45:57.54 StgroO81.net
>>79
ｎを変化させてP,Qが先に見つける宝の配置を計算させてみた。
大きいほうが有利になる。
> t(sapply(1:15,treasure1))
P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
[11,] 4320 4165 161
[12,] 6054 5845 191
[13,] 8261 7987 223
[14,] 11019 10668 258
[15,] 14413 13972 295

84:１３２人目の素数さん
18/10/25 20:20:58.73 Gnr41rTz.net
2点(0,0,0),(2,0,1)を通る直線をl,2点(1,-2,0),(0,-4,-1)を通る直線をmとし、l,mをz軸のまわりに、1回転して得られる曲面をそれぞれα、βとする。

85:１３２人目の素数さん
18/10/25 20:23:37.03 Gnr41rTz.net
>>81
2平面z=0,z=5とαで囲まれた部分をA,2平面z=0,z=5とβで囲まれた部分をBとするとき、共通部分A∩Bの体積を求めよ

86:１３２人目の素数さん
18/10/25 20:29:57.03 Gnr41rTz.net
>>82
詳しい解説お願いします。

87:１３２人目の素数さん
18/10/25 20:54:39.62 Gnr41rTz.net
>>82
>>83
自分の答えは2511π/15となったんですがあっていますか？

88:１３２人目の素数さん
18/10/25 21:00:26.45 gnoSWQS2.net
約分

89:１３２人目の素数さん
18/10/25 21:06:36.11 Gnr41rTz.net
>>85約分すればあっていますか？

90:１３２人目の素数さん
18/10/25 21:38:41.16 mkO25Lni.net
>>60 >>61
Ωの部分集合を事象と言う
Ω自身は全事象と言う
Ω＝｛A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L｝となる
各 i （１≦i≦１２）が根元事象である
最初に宝が出るという事象A＝｛宝｝で確率P(A)は
P(A)＝１／１２　となる
最初に探す方向を i
列が変わる時をｊとして
最初に宝が出るという事象Aと事象Bを考える.
A＝｛（i，j）|　i または j が宝｝
B＝｛（i，j）|　i または j が宝｝
Ω＝｛（i，j）|１≦i≦ｎ，１≦j≦ｎ＋１｝となり
このｎ（ｎ＋１）通りの各要素が根元事象
縦方向に探査する場合
Ω＝｛（i，j）|１≦i≦ｎ，１≦j≦ｎ＋１｝から
#A＝ｎ（ｎ＋１）－ｎ（ｎ－１）＝２ｎ
#Aは事象Aに含まれる要素の個数
横方向に探査する場合
Ω＝｛（i，j）|１≦i≦ｎ＋１，１≦j≦ｎ｝から
#B＝ｎ（ｎ＋１）－ｎ（ｎ－１）＝２ｎ
最初に宝が出る確率は
∴P(A)＝P(B)＝２ｎ／ｎ（ｎ＋１）

91:１３２人目の素数さん
18/10/25 21:52:35.93 Gnr41rTz.net
>>84
計算ミスしてました
156πです

92:１３２人目の素数さん
18/10/25 21:58:55.19 aLWZN9hC.net
σをn次の置換とする。R^nからR^nへの写像で、(x_1,...,x_n)を(x_σ(1),...,x_σ(n))にうつすものは連続であることを示して下さい。

93:１３２人目の素数さん
18/10/25 22:01:08.70 pgMxDp3h.net
直観的に考えたら違う理由が思いつかないから書いたんだけど…
何故違うかもしれないと考えたのかわからないレベルで違う理由が思いつかない
ABCDEFGHIJK
AEIBFJCGKDHL
と並んでる状態で、A-Kのうち２個がランダムで当たり
最初の当たりが左に近いのはどっち？ってことじゃん
 >>80では有意差が有るように見えるけど、何故なのかよくわからない

94:１３２人目の素数さん
18/10/25 22:01:25.95 yIeks/2s.net
>>87
読んだ人の時間を無駄遣いさせるような明らかな誤答は慎めよ。

95:１３２人目の素数さん
18/10/25 22:03:12.46 yIeks/2s.net
>>90
別スレの解説をコピペ
なるほどねえ
確かにQの方が微妙に先に見つける場合が多いな
Pが先に見つけるのは以下の26通り
CE,DE,DI,EF,EG,EH,EI,EJ,EK,EL,FG,FH,FI,FJ,FK,FL,GI,GJ,HI,HJ,IJ,IK,IL,JK,JL,KL
Qが先に見つけるのは以下の27通り
BC,BD,BF,BG,BH,BI,BJ,BK,BL,CD,CF,CG,CH,CJ,CK,CL,DF,DG,DH,DJ,DK,DL,GH,GK,GL,HK,HL
同時に見つけるのは以下の13通り
AB,AC,AD,AE,AF,AG,AH,AI,AJ,AK,AL,BE,CI

96:１３２人目の素数さん
18/10/25 22:05:27.49 mkO25Lni.net
>>91
具体的な反例を伴わないのは詭弁ですよ

97:１３２人目の素数さん
18/10/25 22:09:37.49 yIeks/2s.net
>>93
既に>80で実証済

98:１３２人目の素数さん
18/10/25 22:31:29.47 StgroO81.net
>>80
n=2
ABC
DEF
の場合
短軸方向探索Pが先に宝を発見する埋め方：４通り
> print(matrix(LETTERS[t232$P1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] C D D E
[2,] D E F F
長軸方向探索Qが先に宝を発見する埋め方：５通り
> print(matrix(LETTERS[t232$Q1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] B B B C C
[2,] C E F E F
同時に宝を発見する埋め方：６通り
> print(matrix(LETTERS[t232$even],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] A A A A A B
[2,] B C D E F D

99:１３２人目の素数さん
18/10/25 22:40:16.52 pgMxDp3h.net
なんか納得できない結果が出てきてて頭がぐるぐるううううう

100:１３２人目の素数さん
18/10/25 22:53:50.48 mkO25Lni.net
そんなの当たり前じゃん(´・ω・`)
等確率にしかならないのに無理やり差異を
見つけようとしているもん

101:１３２人目の素数さん
18/10/25 22:56:19.95 yIeks/2s.net
>>96
>95の操作をn=20までやってみた。
> t(sapply(1:20,treasure1))
P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
[11,] 4320 4165 161
[12,] 6054 5845 191
[13,] 8261 7987 223
[14,] 11019 10668 258
[15,] 14413 13972 295
[16,] 18533 17988 335
[17,] 23476 22812 377
[18,] 29344 28545 422
[19,] 36246 35295 469
[20,] 44296 43175 519

102:１３２人目の素数さん
18/10/25 22:58:30.06 yIeks/2s.net
シミュレーションしても>92の結果に合致。
> x=c(1,1,rep(0,10))
> PQ <- function(){
+ Q=sample(x)
+ z=matrix(Q,ncol=4,byrow=T)
+ P=as.vector(z)
+ c( even=which.max(P) == which.max(Q),
+ p1st=which.max(P) < which.max(Q),
+ q1st=which.max(P) > which.max(Q))
+
+ }
> k=1e6
> re=replicate(k,PQ())
> mean(re['even',]) ; 13/(26+27+13)
[1] 0.197025
[1] 0.1969697
> mean(re['p1st',]) ; 26/(26+27+13)
[1] 0.393803
[1] 0.3939394
> mean(re['q1st',]) ; 27/(26+27+13)
[1] 0.409172
[1] 0.4090909

103:１３２人目の素数さん
18/10/25 23:06:23.26 yIeks/2s.net
>>96
宝の埋め方の組み合わせを列挙して分類したら
>95のようになるのは同意？

104:１３２人目の素数さん
18/10/25 23:11:46.33 xxxgguJP.net
>>92
この結果面白いね
問題が２つ見つけるまでやって多く獲った方どっち？だったらイーブンだけど、１つ目を先に獲った方が勝ち、とすると差が出る
この場合、２番目を先に見つける確率にもきっと差があるのだろう

105:１３２人目の素数さん
18/10/25 23:27:39.20 pgMxDp3h.net
>>100
納得できないのは直観的に納得できないだけで、そういうことになるよなぁとはわかっていると思います
今ちょっと考えているのが、遅く見つけたほうが勝ちというルールで行うなら
Ｑ：ABCDEFGHIJKL
Ｐ：AEIBFJCGKDHL
では、Ｐ君の方が勝率は高いということ。
じゃあ、Ｑに対してＰ以上に勝率の高い文字列（検索順序）は存在するはずだけど
それらを具体的に求める方法は？
とか考えてしまう。
で、頭がぐーるぐーるるるるるる

106:１３２人目の素数さん
18/10/25 23:50:26.24 StgroO81.net
>>101
先に２つの宝を発見した方を勝者とするのでやってみた。
n=2
ABC
DEF
の場合

> t232=treasure2(2,3,2)
P1st Q1st even
5 4 6
短軸方向探索Pが先に２つの宝を発見する埋め方：５通り
> print(matrix(LETTERS[t232$P1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] A A B B D
[2,] D E D E E
長軸方向探索Qが先に２つの宝を発見する埋め方：４通り
> print(matrix(LETTERS[t232$Q1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] A A B C
[2,] B C C D
同時に２つめの宝を発見する埋め方：６通り
> print(matrix(LETTERS[t232$even],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] A B C C D E
[2,] F F E F F F

107:１３２人目の素数さん
18/10/25 23:55:16.91 StgroO81.net
先に２つの宝を発見した方を勝者とするのでやってみた。
n=3
ABCD
EFGH
IJKL
の場合
> t342=treasure2(3,4,2)
P1st Q1st even
27 26 13
> #短軸方向探索Pが先に２つの宝を発見する埋め方
> print(matrix(LETTERS[t342$P1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19]
[1,] A A A A A B B B B B C C C D E E E E F
[2,] E F I J K E F I J K I J K K F I J K I
[,20] [,21] [,22] [,23] [,24] [,25] [,26] [,27]
[1,] F F G G G I I J
[2,] J K I J K J K K
> #長軸方向探索Qが先に２つの宝を発見する埋め方
> print(matrix(LETTERS[t342$Q1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19]
[1,] A A A A A B B B B C C C C C D D D D D
[2,] B C D G H C D G H D E F G H E F G H I
[,20] [,21] [,22] [,23] [,24] [,25] [,26]
[1,] E E F F G H H
[2,] G H G H H I J
> #同時に２つめの宝を発見する埋め方
> print(matrix(LETTERS[t342$even],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13]
[1,] A B C D D E F G H H I J K
[2,] L L L J L L L L K L L L L

108:１３２人目の素数さん
18/10/25 23:59:41.97 StgroO81.net
>>104
R　の　コードは　 URLﾘﾝｸ(tpcg.io)

109:１３２人目の素数さん
18/10/26 00:14:40.87 1urJ4mi5.net
ABCD
EFGH
を一般化するとこうなるかな？
横一列に並んだ ABCDEFGH の中からランダムに2つを選んで宝を隠しておく
ABCDEFGH の中から宝を探す順番は8！通りある
最初の宝を見つけた時点で終わるものとするとき、
8！通りの探し方の中で最も有利な探し方はどのような探し方か

110:１３２人目の素数さん
18/10/26 00:18:52.65 TSc11EGu.net
もっとも有利なんてないやろ。
じゃんけんと一緒。
どんな列取ってきてもその先頭文字を末尾に回した探索には負ける。

111:１３２人目の素数さん
18/10/26 00:31:25.54 MkOm1coU.net
　A..B..C..D
A■■■□
E■■■■
I ■□■■

112:１３２人目の素数さん
18/10/26 00:38:06.24 kGQXd/Nk.net
全部の中で一番がないというのは >>107の考察通りだと思う。
けど、ある特定の列に対して最も勝率が高いのはどれだろうとは気になる。
けど、先頭文字を末尾に回した奴が一番勝率高くなるのかな。
ABCDEFGに対してなら
BCDEFGAが一番勝率高い気がする

113:１３２人目の素数さん
18/10/26 00:40:48.65 MkOm1coU.net
最初に当たり一つ引けばそこでゲーム終了だから
二つ目の当たりとの組み合わせは考慮しなくていい
当たりがどの座標のマスに置かれても
要素の個数は変化しないので
どの方向からの探査によっても確率は変化しない

114:１３２人目の素数さん
18/10/26 01:01:12.32 kGQXd/Nk.net
これ、当たりが１個でも、探索順番によって勝率変わってくるな
やっと構造がなんとなくわかってきた
自分の脳みその弱さが悲しくなってくる

115:１３２人目の素数さん
18/10/26 01:17:34.08 0VxS+eWR.net
>>109
部屋の数についての帰納法でいけるんじゃね？
主張は
部屋の数が n の時 P:A[1]A[2]…A[n] に引き分けないという条件下で勝つ確率最大なのは Q:A[2]A[3]…A[n]A[1]。
以下Qの探索順をB[i]とする。
n=3では多分成立。
n<k で成立として n=k のとき。
P が Q に勝つのはA[1]とA[2]以外に宝が配置されるときでその確率は (n-2)/C[n,2]。
引き分けるのはA[1]、A[2]に配置されるときで確率1/C[n,2]。
よってQがPに勝つ確率は (C[n] - 1 - (n-2)/(C[n,2] - 1)。
容易にA[1]≠B[1]の場合はコレより確率は大きくならないとわかる。
A[1] = B[1]の場合を考えればよい。
このとき引き分けないという条件下では宝箱はA[1]以外の２つに配置される場合でその場合Qの勝つ条件付き確率の最大値は (C[n-1] - 1 - (n-3)/(C[n-1,2] - 1)。
多分 (C[n] - 1 - (n-2)/(C[n,2] - 1) ≧ (C[n-1] - 1 - (n-3)/(C[n-1,2] - 1)より成立。

116:１３２人目の素数さん
18/10/26 02:33:21.22 kGQXd/Nk.net
>>112
おお、そういう風に片付くのか
帰納法で出来ないかとも考えたけど、自分の頭では無理だったのです
これで自分はスッキリしました！

117:１３２人目の素数さん
18/10/26 07:56:23.26 w2SAJyTA.net
>>112
一列じゃなくて長方形型 n×n+1の配置じゃないの？
nの次は (n+1)(n+2)では

118:１３２人目の素数さん
18/10/26 08:04:41.48 w2SAJyTA.net
>>98の結果をみると20までだが
縦nマス、横n+1マスのn(n+1)マスのとき
n=1でイーブン
n=2,3で長軸方向探索が有利
n=4以上で短軸方向探索が有利となっているので
数学的帰納法はn=3で適応できないと思う。

119:１３２人目の素数さん
18/10/26 08:33:37.24 UN3+CRN8.net
>>114 115
考えてる問題が違う。

120:１３２人目の素数さん
18/10/26 11:12:21.06 Jik/lAlw.net
>>109
# ABCDEFGに対してなら
# BCDEFGAが一番勝率高い気がする <

121:br> library(gtools) n=7 k=2 perm=permutations(n,n) Q=perm[1,] np=nrow(perm) p1st=numeric(np) for(i in 1:np){ P=perm[i,] tre=combn(n,k) nt=ncol(tre) re=numeric() for(j in 1:nt){ re[j]=min(which(tre[1,j]==P),which(tre[2,j]==P))- min(which(tre[1,j]==Q),which(tre[2,j]==Q)) } p1st[i]=sum(re<0) } plot(p1st) p1st[which.max(p1st)] (p.max=which(p1st==15)) print(matrix(LETTERS[perm[p.max,]],ncol=7),quote=F) #

122:１３２人目の素数さん
18/10/26 11:13:54.87 Jik/lAlw.net
>>117
# ABCDEFGに対してなら
# BCDEFGAが一番勝率高い気がする
一番勝率高い探索順は４通りあった
> print(matrix(LETTERS[perm[p.max,]],ncol=7),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
[1,] B C D E F A G
[2,] B C D E F G A
[3,] B C D E G A F
[4,] B C D E G F A

123:１３２人目の素数さん
18/10/26 11:21:23.87 X/+dwIGq.net
>>118
なるほどね
先回り側がEの次の部屋へ進むってことは当たりはFGだからどっちに進んでも同じか

124:１３２人目の素数さん
18/10/26 11:24:00.72 X/+dwIGq.net
そうして、
先回り側の順序の最後の2つは決して実行されない
その４つの順序のどれでも最後から3番目のFかGまでで決着が付くから

125:１３２人目の素数さん
18/10/26 11:43:40.29 w2SAJyTA.net
宝を２個先にみつけた方が勝者とすると
ABCDEFGに対して一番勝率高い探索順は？

126:１３２人目の素数さん
18/10/26 11:44:35.23 w2SAJyTA.net
これも４通り出てきた。
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
[1,] A C D E F G B
[2,] B C D E F G A
[3,] C A D E F G B
[4,] C B D E F G A

127:１３２人目の素数さん
18/10/26 11:46:50.17 aPqhQq7R.net
要するに｢相手に『自分が探索済のマス』を探させる｣｢自分は『相手が探索済のマス』を探さない｣の2つを出来るだけ守っていればいい話だから相手の探索方法に対応する最適解の議論はあまり意義がないのではと思う

128:１３２人目の素数さん
18/10/26 11:49:49.69 aPqhQq7R.net
しかし、n=4から先はずっと短軸探索が有利になるのか。長軸側が逆転することはなさそうだし、n≧4の場合について｢短軸探索が有利である｣は成り立ちそう。これを証明することは出来ないだろうか…

129:１３２人目の素数さん
18/10/26 11:52:00.18 w2SAJyTA.net
>>124
俺もそっちに興味があるが、証明できる頭脳はない。

130:１３２人目の素数さん
18/10/26 12:47:58.81 kGQXd/Nk.net
宝箱１個なら、なんとか証明できそうな感じだし、そこから拡張すれば宝箱２個でもいけるのかなぁ
整数苦手だからよくわかんない

131:１３２人目の素数さん
18/10/26 13:00:54.84 Jik/lAlw.net
>>126
そうは問屋が卸さないみたいだよ。
縦４マス、横５マスで宝箱を１から７まで増やしてみると
宝が６個になると短軸有意から長軸有意に逆転した。
処理速度の制約であまり大きな数字で検証できないのだが。
> sapply(1:7,function(k) treasure(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666

132:１３２人目の素数さん
18/10/26 13:12:19.08 Jik/lAlw.net
>>127
気長にやってみた。
> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1
４×５の場合
宝：１個　同等
宝：２～５個　短軸有利
宝：６～１３個　長軸有利
宝：１４～２０個　同等
と推移した。

133:１３２人目の素数さん
18/10/26 13:55:10.00 kGQXd/Nk.net
>>127
えー
なかなか簡単にはいかせてもらえないね
考えながら仕事片付けるとしよう

134:１３２人目の素数さん
18/10/26 13:56:53.28 Jik/lAlw.net
>>129
それに宝箱１のときは、イーブンだろ。

135:１３２人目の素数さん
18/10/26 14:

136:19:32.80 ID:kGQXd/Nk.net

137:１３２人目の素数さん
18/10/26 14:21:23.31 kGQXd/Nk.net
あかん、今考える余裕ないｗ
 >>131の同じになるってのもとりあえず保留

138:１３２人目の素数さん
18/10/26 14:40:12.43 Jik/lAlw.net
>>124
宝２個でn=30まで計算させてみた。４以上で短軸有利は不変だった。
> t(sapply(1:30,treasure1))
P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
[11,] 4320 4165 161
[12,] 6054 5845 191
[13,] 8261 7987 223
[14,] 11019 10668 258
[15,] 14413 13972 295
[16,] 18533 17988 335
[17,] 23476 22812 377
[18,] 29344 28545 422
[19,] 36246 35295 469
[20,] 44296 43175 519
[21,] 53615 52305 571
[22,] 64329 62810 626
[23,] 76571 74822 683
[24,] 90479 88478 743
[25,] 106198 103922 805
[26,] 123878 121303 870
[27,] 143676 140777 937
[28,] 165754 162505 1007
[29,] 190281 186655 1079
[30,] 217431 213400 1154

139:１３２人目の素数さん
18/10/26 14:48:29.91 D44zYEch.net
正の整数の組(x,y)であって,x!+y!=x^yを満たすようなものを全て求めよ
の解説をして頂けませんか？
答えは2,2 2,3だと思うのですが解答が無くて
よろしくお願いします

140:１３２人目の素数さん
18/10/26 16:53:39.39 /QODWg6q.net
>>89
お願いします

141:１３２人目の素数さん
18/10/26 17:11:33.07 c2QmUPBq.net
>>134
xは偶数しかありえないのでx=2mとおけば

142:１３２人目の素数さん
18/10/26 17:18:43.03 CMAX0Lj4.net
>>136
y≦x-1のとき,
x!+y!=y!(x!/y!)+y!=y!((x!/y!)+1),
(3≦)(x!/y!)+1=x･(x-1)!/y!+1とxは互いに素だから, x!+y!≠x^y.
すなわちx≦y.
3≦xのとき,
x!+y!=x!(1+(y!/x!))は(x-1)(≧2)の倍数.
x-1とxは互いに素であり, x!+y!≠x^y.
すなわちx≦2.
1)x=1のとき, 与式を満足させるyはない.
2)x=2のとき, 2+y!=2^y.
y≧4とすれば,
2+y!=2+24･(y!/4!)>2+3･2^(k-1)>2^k.
すなわちy≦3.
よって求める組は(x,y)=(2,2), (2,3).
できました！

143:１３２人目の素数さん
18/10/26 21:20:44.30 yoS+SCcd.net
宝箱問題、
もとの 4x3 型の12部屋で宝箱の数を変えてみると
1と8以上で有利不利無し、それ以外は長軸優先有利となるな
初見での印象よりも随分奥深いなこれ

144:１３２人目の素数さん
18/10/26 21:36:39.41 MkOm1coU.net
>>138
計算式お願いする

145:１３２人目の素数さん
18/10/26 21:50:07.25 kZgcrX3x.net
数列の項を並べ替えてできる数列の収束性、極限値は如何？
もう少し正確にいうと、
全単射関数　n : N -> N で数列 a[ i ] を n で並べ替えた数列b[ i ]を
b[ i ] = a[ n(i) ] で定義する。
b[ i ] の収束性、極限値はどうなるでしょう?

146:１３２人目の素数さん
18/10/26 22:00:49.67 yoS+SCcd.net
プログラムで計算したので式はなんとも
部屋が
ABCD
EFGH
IJKL
として
宝物10個のときはABが空きなら縦の勝ち、
AEが空きなら横の勝ち
縦勝ちの宝物9個の配置
CDEFGHIJK
CDEFGHIJL
CDEFGHIKL
CDEFGHJKL
CDEFGIJKL
CDEFHIJKL
CDEGHIJKL
CEFGHIJKL
DEFGHIJKL
横勝ち
BCDFGHIJK
BCDFGHIJL
BCDFGHIKL
BCDFGHJKL
BCDFGIJKL
BCDFHIJKL
BCDGHIJKL
BCFGHIJKL
BDFGHIJKL
以下各個数での勝敗の数
treasures 1: p win 5 q win 5 even 2
treasures 2: p win 26 q win 27 even 13
treasures 3: p win 73 q win 76 even 71
treasures 4: p win 133 q win 140 even 222
treasures 5: p win 167 q win 176 even 449
treasures 6: p win 148 q win 153 even 623
treasures 7: p win 91 q win 92 even 609
treasures 8: p win 37 q win 37 even 421
treasures 9: p win 9 q win 9 even 202
treasures 10: p win 1 q win 1 even 64
treasures 11: p win 0 q win 0 even 12
treasures 12: p win 0 q win 0 even 1

147:１３２人目の素数さん
18/10/26 22:08:18.66 Jik/lAlw.net
>>139
Rでよければこんな感じ
# 宝の数を変

148:化させる treasure0 <- function(m=3,n=4,k=2){ y=1:(m*n) (z=matrix(y,ncol=n,byrow=T)) (P=as.vector(z)) (Q=as.vector(t(z))) PQ <- function(x){ p=q=numeric(k) for(i in 1:k){ p[i]=which(P==x[i]) q[i]=which(Q==x[i]) } min(p)-min(q) } tre=combn(m*n,k) re=apply(tre,2,PQ) return(c(短軸有利=sum(re<0),長軸有利=sum(re>0),同等=sum(re==0))) } sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k)) > sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k)) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] 短軸有利 5 26 73 133 167 148 91 37 9 1 0 0 長軸有利 5 27 76 140 176 153 92 37 9 1 0 0 同等 2 13 71 222 449 623 609 421 202 64 12 1

149:１３２人目の素数さん
18/10/26 22:13:14.38 Jik/lAlw.net
>>138
>128に書いたけど
４x５だと宝箱を増やすと途中で短軸有利から長軸有利に変わっちゃうので自分でもびっくりした。
> 141
よろしければプログラムコードをアップしていただけませんか？Pythonでしょうか？

150:１３２人目の素数さん
18/10/26 23:56:14.49 yoS+SCcd.net
>>143
ちょっと整理してました。
NB. n comb n returns all n length set from 0..m-1
comb =: dyad define
if. x=1 do.
(1,~y)$i.y
elseif. x=y do.
(1,y)$i.y
elseif. do.
((y-1) ,/"0 1 (x-1) comb y-1 ), x comb y-1
end.
)
NB. usage: 3 4 game 2
game =: dyad define
p =. ,/ |: x $ i. */x
q =. i. */x
g =. y comb */x
d =. (<./"1)@(g &((i."1 0)~))
r =.(d p)-(d q)
y, (+/ r<0), (+/ r>0), (+/ r=0)
)
NB. run 3 4 games n for n in 1..12
smoutput 'tre p q even'
smoutput 3 4 game "1 0 (1+i. 12)

151:１３２人目の素数さん
18/10/27 00:03:42.01 ViIBGTWI.net
>>144のコードはマイナー言語J
ここで実際に動かしてみることができます
https://goo.gl/znRTwf

152:１３２人目の素数さん
18/10/27 00:29:15.21 jxMEHoZP.net
一般に,
U[j=1, n]A_j=ℝ となるn個の集合 A_j (*1) について,
j=1,2,...,n で a_j∈A_j となるような変数 a_j を取り,
lim[a_j→α] f(a_j) =k (*2) が全ての j について言えたならば,
lim[x→α] f(x) =k (*2) が言えますか。
例えば, p∈ℚ, q∈ℝ\ℚ とすると, p と q を合わせれば全実数を取ります。このとき,
lim[p→α] f(p) =lim[q→α] f(q) =k
かつ
lim[x→α] f(x) ≠k
となる f(x) は存在しますか。
(*1)αに十分近い要素も含む
(*2)離散的極限

153:１３２人目の素数さん
18/10/27 00:38:29.78 J3qsmS39.net
いいえ

154:１３２人目の素数さん
18/10/27 02:22:56.86 mmS65Xwb.net
>>145
お手数かけました。
残念ながら自分の知識ではアラビア文字のように理解不能でした。

155:１３２人目の素数さん
18/10/27 02:53:34.68 OAQWCVH9.net
>>60
一つ質問ですが
スタート地点Aに宝があるとゲームスタートと同時に
同着でゲーム終了になるけど、ポイントAに宝は設置されるのですか？

156:１３２人目の素数さん
18/10/27 05:41:32.14 wXU0Mfmd.net
σをn次の置換とする。
R^nからR^nへの写像で、(x_1,...,x_n)を(x_σ(1),...,x_σ(n))にうつすものは連続であることを示して下さい。

157:１３２人目の素数さん
18/10/27 07:18:29.04 jxMEHoZP.net
>>147
示してください

158:１３２人目の素数さん
18/10/27 07:28:51.70 A93ydLot.net
>>140
条件収束する級数を考えればa[i]とb[i]の収束性に関係がないことは明らか

159:１３２人目の素数さん
18/10/27 07:48:26.57 mmS65Xwb.net
>>149
その場合は引き分けで終了。
宝の置き方はランダム。
12C2=66通りに等確率で配置。

160:１３２人目の素数さん
18/10/27 08:12:06.26 mmS65Xwb.net
>>145
数字を増やしたらサイトの時間制限を超えて結果がでなくて残念。
尚、>142のRはメモリ不足で停止しました。
NB. usage: 5 6 game 2
NB. run 5 6 games n for n in 1..30
smoutput 'tre p q even'
smoutput 5 6 game "1 0 (1+i. 30)

161:１３２人目の素数さん
18/10/27 08:42:19.60 jrPclkaP.net
SMアウトプットとか、なんかヤラシイな、おい。

162:１３２人目の素数さん
18/10/27 08:49:29.55 0lSGEQBN.net
>>155
分散分析でF分布の値の比に　F-ratio というのが出てくるの知ってた？

163:１３２人目の素数さん
18/10/27 09:08:02.61 A93ydLot.net
可換環論ではAss、穴(Ann)、ホモロジー、(チェイン)ホモトピー、……汚い言葉がいっぱい出てくるよ！やったね！

164:１３２人目の素数さん
18/10/27 09:33:42.09 vmv+J04S.net
>>140
a[i] → c とする。
e>0 とする。
|a[i] - c| ≧ e である i は有限個。
∴ |b[i] - c| ≧ e である i は有限個。
∴ b[i] → c。

165:１３２人目の素数さん
18/10/27 09:55:50.27 75FsN/5Y.net
>>146
離散的極限って離散位相での極限？
だったら Aj が disjoint な集合なら
a[1]→α、a[1]∈A[1]、a[2]→α、a[2]∈A[2] 自体が起こりえないやろ？
誘導位相？

166:１３２人目の素数さん
18/10/27 12:33:48.57 n7pGg+WO.net
>>154
12部屋から6部屋選ぶ組み合わせは924通りしかないのに
20部屋から10部屋だと184756通り、
30部屋から15部屋だと155117520通り、
という感じなのでどうしても時間やメモリを食いますよね

167:１３２人目の素数さん
18/10/27 13:00:02.78 BkDpmm6u.net
>>60
場合分けなどが面倒くさくて疲れ果てたけど、計算結果は >>133と一致。
P1st(n)-Q1st(n) が（偶奇によらず） (n^2-2n-6)(n-1)/6 になったので、n=2,3でＱが、n≧4でＰが有利。
コードはSagemath。
from sage.calculus.calculus import symbolic_sum
,var m,l,k,a,n
P1 = (symbolic_sum((m-1)*(m)-2*l-1, l,1,m-2)
+ symbolic_sum(symbolic_sum((m-1-k)*(m-k)+k-1-l, l,k,2*k) + symbolic_sum((m-1-k)*(m-k)+3*k-2*l-1, l,2*k+1,m-2), k,1,a-2)
+ symbolic_sum(symbolic_sum((m-1-k)*(m-k)+k-1-l, l,k,m-2), k,a-1,m-2)
).substitute({a:m/2}).substitute({m:n+1})
P2 = (symbolic_sum((m-1)*(m)-2*l-1, l,1,m-2)
+ symbolic_sum(symbolic_sum((m-1-k)*(m-k)+k-1-l, l,k,2*k) + symbolic_sum((m-1-k)*(m-k)+3*k-2*l-1, l,2*k+1,m-2), k,1,a-1)
+ symbolic_sum(symbolic_sum((m-1-k)*(m-k)+k-1-l, l,k,m-2), k,a,m-2)
).substitute({a:(m-1)/2}).substitute({m:n+1})
def P1st(x):
return P1.substitute({n:x}) if mod(x,2) == 1 else P2.substitute({n:x})
Q1 = (symbolic_sum(symbolic_sum((m+1-k)*(m-k)+k-2*l-1, k,0,l-1), l,0,a)
+ symbolic_sum(symbolic_sum((m+1-k)*(m-k)+k-2*l-1, k,0,m-l-1) + symbolic_sum((m-k)^2+k-l,k,m-l,l-1), l,a+1,m-1)
+ symbolic_sum(k^2-2*m*k+m^2+k-m,k,0,m-2)
).substitute({a:(m-1)/2}).substitute({m:n})
Q2 = (symbolic_sum(symbolic_sum((m+1-k)*(m-k)+k-2*l-1, k,0,l-1), l,0,a-1)
+ symbolic_sum(symbolic_sum((m+1-k)*(m-k)+k-2*l-1, k,0,m-l-1) + symbolic_sum((m-k)^2+k-l,k,m-l,l-1), l,a,m-1)
+ symbolic_sum(k^2-2*m*k+m^2+k-m,k,0,m-2)
).substitute({a:m/2}).substitute({m:n})
def Q1st(x):
return Q1.substitute({n:x}) if mod(x,2) == 1 else Q2.substitute({n:x})
P1 == 1/24*(6*n^3 + 20*n^2 - n - 27)*(n - 1) # nが奇数のとき
P2 == 1/4*n^4 + 7/12*n^3 - 7/8*n^2 - 13/12*n + 1 # nが偶数のとき
Q1 == 1/24*(6*n^2 + 10*n - 3)*(n + 1)*(n - 1) # nが奇数のとき
Q2 == 1/24*(6*n^2 - 2*n - 5)*(n + 2)*n # nが偶数のとき

168:１３２人目の素数さん
18/10/27 13:42:52.35 0lSGEQBN.net
>>161
>133です。労作ありがとうございます。
コードは全く読めないのですが、宝の数を増やしての計算はこのコードで可能なのでしょうか？
４×５の場合で宝を増やすと
宝：１個　同等
宝：２～５個　短軸有利
宝：６～１３個　長軸有利
宝：１４～２０個　同等
に変化したので差分はどんな関数なのだろうかとか、
５×６ではどうなるのか（メモリ不足で実行できませんでした）とか興味があります。

169:１３２人目の素数さん
18/10/27 13:50:43.55 0lSGEQBN.net
>>161
(n^2-2n-6)(n-1)/6 をグラフ表示してみました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

170:１３２人目の素数さん
18/10/27 14:00:54.93 BkDpmm6u.net
>>162
>>161は多項式にまでするために

171:、部屋をn x (n+1)、宝を２個と特殊化したものです。 #nloc(m,n,k,l)は縦m、横nの部屋で横優先が部屋(k,l)で初めて宝を発見する場合で #宝が置かれても縦優先に先を越されない部屋の数。 def nloc(m,n,k,l): q,r = divmod(n*k+l,m) return (n-q)*(m-k)+q-1-l + ((k-r) if r > k else 0) #nwin(m,n,c)は部屋が縦m、横n、宝がc個で横優先が勝つ宝の配置の数 def nwin(m,n,c): return sum(binomial(nloc(m,n,k,l),c-1) for k in range(m) for l in range(n) if k*(n-1)<l*(m-1)) 縦優先は縦横を替える。

172:１３２人目の素数さん
18/10/27 15:11:26.67 upNvrDEa.net
>>164
レスありがとうございます。
コードは読めないのですが、
部屋数から宝部屋の組合せを列挙してどちらが縦横どちらが先にみつけるかを探る手続きで必要な計算式をプログラムが絞りだしてくれるという理解でいいのでしょうか？

173:１３２人目の素数さん
18/10/27 16:24:46.83 2oyqegeD.net
>>165
いえ、計算式そのものです。数式で書けば
nwin(m,n,c) := Σ[(k,l)∈{0,…,m-1}×{0,…,n-1}, k*(n-1)<l*(m-1)] binomial((n-q)*(m-k)+q-1-l + (k-r)δ(r > k), c-1)、
ただし、n*k+lをmで割った商をq、余りをrとし、δ(P)をPが真なら1、偽なら0である関数とする。

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