面白い問題おしえて～な 27問目

面白い問題おしえて～ ..

674:１３２人目の素数さん
18/09/25 18:58:44.85 SXQ8iiU3.net
でもこの意味だと流石に一致する気が全くしないんだけど。

675:１３２人目の素数さん
18/09/25 18:59:57.77 SXQ8iiU3.net
あ、ちがう、a_{k+4}ね。なら可能性あるか……

676:１３２人目の素数さん
18/09/25 21:40:05.35 Eb9fo1bk.net
さすがにたまたま4項あっただけな希ガス

677:１３２人目の素数さん
18/09/25 22:17:32.79 rPFxES/9.net
>>647
お見事
ちなみにf(x)=x^{-1}φ(x)の意味を考えるとしたら
単位元とのズレ、とでもなるのでしょうか
またこのようなf(x)を考えるのはよくあること？

678:１３２人目の素数さん
18/09/26 00:10:59.85 zomwMvsu.net
>>655
2(ab+bc+ca)^3

679:１３２人目の素数さん
18/09/26 00:18:06.08 bt38Ex19.net
>>618
これは美しい証明を得たが、
それをみると自然に次の問が浮かんでくる

G:有限群 φ:Gの自己同型
・ ∀x∈G について φ^{n}(x)=x
・ φ(x)=x をみたすxは単位元のみ
このときGは可換であるか？
ただし、φ^{1}=φ(x)、 φ^{n}(x)=φ(φ^{n-1}(x)) である。

680:１３２人目の素数さん
18/09/26 01:01:21.81 QBwnT99Q.net
>>651
自分もPCで >>597を数えたら、k=6 で 3501、k=7 で 36820 だった。
def three_letter_nonadjacent_words(counter, word, letters="abc"):
if sum(counter) == 0:
yield word
return
for i,x in enumerate(letters):
if counter[i] > 0:
if len(word) < 2 or {x,word[-1],word[-2]} != set(letters):
c = list(counter)
c[i] -= 1
yield from three_letter_nonadjacent_words(tuple(c), word + x)
def circularly_legal(word, letters=set("abc")):
return {word[0],word[-1],word[-2]} != letters \
and {word[1],word[0],word[-1]} != letters
def circular_three_letter_nonajacent_words(k):
for word in three_letter_nonadjacent_words((k,)*3,""):
if not circularly_legal(word):
continue
yield word
def num_fixed_perms(word):
n = len(word)
r = 1
for i in range(1,n):
if word[i:] == word[:-i] and word[:i] == word[-i:]:
r += 1
rev = word[::-1]
if word == rev:
r += 1
for i in range(1,n):
if word[i:] == rev[:-i] and word[:i] == rev[-i:]:
r += 1
return r
def num_circular_three_letter_nonajacent_words(k):
#used Burnside's lemma
return sum(num_fixed_perms(word) for word in \
circular_three_letter_nonajacent_words(k)) // (6*k)
for k in range(1,7):
print(k, num_circular_three_letter_nonajacent_words(k))

681:１３２人目の素数さん
18/09/26 01:20:57.38 bjLF+FF2.net
やっぱり >>597は無理やろ？
せいぜい計算機でプログラミングの練習位にしかならんと思う。

682:１３２人目の素数さん
18/09/26 10:02:25.87 JunfIhlz.net
私もチャレンジしたところ、同じ結果が得られました。
当初、色の入れ替えも同一視するプログラムを作ってしまっていたため、
その結果があります。それも添えます。
k=8は、重複チェック用のメモリが確保できないとのメッセージが出たため、
実行できませんでした。(色入替同一視版は可能でした)
k=2...　１　　　　　(1)
k=3...　４　　　　　(2)
k=4...　４２　　　　(13)
k=5...　３３５　　　(67)
k=6...　３５０１　　(651)
k=7...　３６８２０　　(6258)
k=8...　？？？？？？　　(68747)

683:１３２人目の素数さん
18/09/26 10:51:16.17 zomwMvsu.net
>>598 >>605 のせいで難しい…
回転・反転を区別すれば a_{k-1}
ここに　tan(x) sinh(x) = Σ[n=0，∞] {a_n/(2n)!} x^{2n},
k=1　　a_0 = 0,
k=2　　a_1 = 2 パターン　　 >>629 >>636
k=3　　a_2 = 12 パターン　　 >>629
k=4　　a_3 = 142 パターン　　 >>629
k=5　　a_4 = 3192

684: パターン k=6　　a_5 = 116282 パターン a_n ～ 2 sinh(π/2) (2n)! (2/π)^(2n+1),　　　(n>>1) http://oeis.org/A009747 　　（Exponential generating function = tan(x)sinh(x) )

685:１３２人目の素数さん
18/09/26 11:36:44.96 CV990pYj.net
>>667
＞回転・反転を区別すれば a_{k-1}
＞ここに　tan(x) sinh(x) = Σ[n=0，∞] {a_n/(2n)!} x^{2n},
おお、これだけでも十分素晴らしい！
それで十分だから解答のせてたも！

686:１３２人目の素数さん
18/09/26 20:52:50.98 kMXjNQ4p.net
>>667
？
回転・反転を区別して、色の入れ替えを同一視するなら次になるけど：
k=1: 0
k=2: 2
k=3: 12
k=4: 142
k=5: 1675
k=6: 20648
k=7: 257740

687:１３２人目の素数さん
18/09/26 20:55:15.37 JunfIhlz.net
メモリを動的確保に変えて計算させました
k=8...　407629　　(68747)

688:１３２人目の素数さん
18/09/26 23:11:19.44 geJ49fv1.net
x^12+y^12+z^12-2*((xy)^6+(xz)^6+(yz)^6)=0
(x^n-y^n)≠√((2*y^n+2*x^n-z^n)*z^n)
(y^n-z^n)≠√((2*y^n+2*z^n-x^n)*x^n)
(x^n-z^n)≠√((2*x^n+2*z^n-y^n)*y^n)

√((2*y^n+2*x^n-z^n)*z^n)+√((2*y^n+2*z^n-x^n)*x^n)+√((2*x^n+2*z^n-y^n)*y^n)≠0

689:１３２人目の素数さん
18/09/27 00:27:52.60 Ny+jsTgk.net
結局 >>667 は間違ってるの？
でもまぁなんかの足しになるかもしれないから
>回転・反転を区別すれば a_{k-1}
>ここに　tan(x) sinh(x) = Σ[n=0，∞] {a_n/(2n)!} x^{2n},
を導出した過程をうｐして下さりませ。

690:１３２人目の素数さん
18/09/27 19:09:40.41 Ia/JTFRy.net
>>597
自分は >>665に同意。もしきれいな式があったら、興味を持つが。
以下、PCでの探索まとめ。
回転・反転を区別、色の入れ替えを同一視
k=1: 0
k=2: 2
k=3: 12
k=4: 142
k=5: 1675
k=6: 20648
k=7: 257740
k=8: 3255630
k=9: 41515401
回転・反転を同一視、色を区別
k=1: 0
k=2: 1
k=3: 4
k=4: 42
k=5: 335
k=6: 3501
k=6: 36820
k=8: 407629
k=9: 4612825
回転・反転・色の入れ替えを同一視
k=1: 0
k=2: 1
k=3: 2
k=4: 13
k=5: 67
k=6: 651
k=7: 6258
k=8: 68747
k=9: 770248

691:１３２人目の素数さん
18/09/27 19:13:11.34 Ia/JTFRy.net
有名問題だと思うけど。
すべての辺の長さが自然数の三角形で周の長さが nのもの(合同を同一視する)の個数を a[n]としたときの
a[n]の生成関数、つまり f(x) = Σ[n=0,∞] a[n] x^n となる関数 f(x)を求めよ。

692:１３２人目の素数さん
18/09/28 09:55:02.92 UYgVuIW1.net
>>673
この計算に使った言語は何でしょうか？

693:１３２人目の素数さん
18/09/28 11:49:51.98 phrHQfEJ.net
>>674
おっしゃる通りです。 Alcuin数列
　ｆ（ｘ） = (x^3)/{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
なお、これは周長が n+6 である不等整数辺⊿の数でもある。(辺長≧2 となる。)
　a≦b≦c　のとき (a,b,c) ⇔ (a+1,b+2,c+3)

694:１３２人目の素数さん
18/09/28 12:13:54.75 uvbX02Yn.net
>>672お願いします。

695:１３２人目の素数さん
18/09/28 12:31:47.58 hKwonw3I.net
>>675
Pythonです。プログラムは >>664の改変。
速度は気にせず、楽さとわかりやすさで。
バーンサイドの補題を使うことで並べ方どうしの比較をしないのでメモリーを使わず、
時間さえあればいくらでも求められますが、実際は k=10,11 が時間的限界でしょう。
>>676
難しくないので、導出も書いてくださいな。

696:１３２人目の素数さん
18/09/28 13:06:24.90 uvbX02Yn.net
>>678
横レス。
導出はできるんだけどなにがどうしてこんな綺麗な形になるのかさっぱりわからんから書く気にならない。
なんかもっと美しい方法がありそうで。

697:１３２人目の素数さん
18/09/28 15:43:49.16 phrHQfEJ.net
>>678 >>679
>>676 のf(x) は
a[n] は自然数n を n=2p+3q+4r (p≧0, q≧1, r≧0) と分割するやり方である。
Number of partitions of n into parts 2, 3, and 4, with at least one part 3.
- Joerg Arndt, 2013/Feb/03
と同値だが、これをどう出すか…

698:１３２人目の素数さん
18/09/28 16:02:16.14 gDbOCyp+.net
任意の自然数 n に対して、表面積の等しい n種類の直方体が存在することを示せ。

699:１３２人目の素数さん
18/09/28 17:01:14.65 phrHQfEJ.net
>>681
稜の長さが　{2^r, 2^r, 2^(2n-r)-2^(r-1)}　である正方形柱　(r=1,2,…,n)
体積は 2^(2n+r) - 2^(3r-1).

700:１３２人目の素数さん
18/09/28 17:59:15.72 LXsE/mVy.net
>>679 >>680
とりあえず、奇数の場合と偶数の場合にわけて
f(x) = x^3/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)) + x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))
で導くルートは見つけた。
でも
＞a[n] は自然数n を n=2p+3q+4r (p≧0, q≧1, r≧0) と分割するやり方である。
これで一発解決できるルートがいかにもありそうだよね？

701:１３２人目の素数さん
18/09/28 19:28:36.85 JQRujdYG.net
とりあえず奇偶でわけるルート
An = {(u,v,w) | n/2 - u, n/2-v, n/2-wは自然数、u+v+w = n/2、u≦v≦w}
とおけば a[n] = #An。
n が奇数のとき
Bn = {(p,q,r) | p,q,r は非負整数、p+2q+3r=(n-3)/2}
とおき、対応(u,v,w)→(w-v,v-u,u-1/2)によってAn,Bnは一対一対応するから#An = #Bn。
∴Σ[n:odd]a[n]x^n = x^3/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))。
n が偶数のとき
Cn = {(p,q,r) | p,q,r は非負整数、p+2q+3r=(n-6)/2}
とおき、対応(u,v,w)→(w-v,v-u,u-1)によってAn,Cnは一対一対応するから#An = #Cn。
∴Σ[n:even]a[n]x^n = x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))。
∴f(x) = x^3/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)) + x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)) = x^3/((1-x^2)(1-x^3)(1-x^4))。

702:１３２人目の素数さん
18/09/28 23:23:10.68 cekwbF/M.net
3より大きな正整数nに対し、2^n+1の素因数がどれもn未満であるようなものは存在するか？

703:１３２人目の素数さん
18/09/29 09:00:31.68 bRb+ZnSw.net
>>685
これムズい。
ヒントおながいします。
結論は存在する？しない？

704:１３２人目の素数さん
18/09/29 09:19:38.82 rj9LUQDs.net
>>686
すまないが存在しないだろうと予想している
コンピュータで計算してもそれらしきものは見つからなかった

705:１３２人目の素数さん
18/09/29 09:22:16.58 x/pASdT/.net
>>687
現時点で答えないの？
じゃぁそれ書いといてよ。

706:１３２人目の素数さん
18/09/29 09:48:36.15 +ZGkjoNR.net
>>685は、未解決問題を出題したのか？

707:１３２人目の素数さん
18/09/29 10:27:52.08 ZjAaeEtu.net
普通に考えたら有限個しかしないだろう
nが大きくなれば小さい素因数を大量に持たないといけなくなるがそんなのは非現実的

708:１３２人目の素数さん
18/09/29 12:57:43.60 +Hfhy7Kj.net
答え持ってない問題を書いていいかどうかは別にしても、現時点で答えがないなら最低でも >>514のように文面から答え持ってない事がわかるようにせんと駄目だよ。

709:１３２人目の素数さん
18/09/29 15:39:26.89 GXtaiBeF.net
>>674,679,680,683
見た目より簡単だよ。生成関数の標準的な演習問題くらい？
想定解答は以下のようなもの：
合同は同一視するので三角形の成立条件を考慮すれば、
辺の長さが自然数の三角形と 0<a≦b≦c<a+b をみたす非負整数の組(a,b,c)は一対一に対応することがわかる。
a=s+1, b=a+t, c=b+u とおき、 c<a+b ⇔ c-b<a ⇔ u≦s より s=u+v とおくことにより、
関係式 a=u+v+1, b=u+v+t+1, c=2u+v+t+1 で
0<a≦b≦c<a+b をみたす非負整数の組(a,b,c)と任意の非負整数の組(u,v,t)は一対一に対応することがわかる。
したがって、
f(x) = Σ[n-0,∞] a[n] x^n = Σ[0<a≦b≦c<a+b] x^(a+b+c)
= Σ[u,v,t≧0] x^(4u+3v+2t+3) = (x^3)/(1-x^4)(1-x^3)(1-x^2)。

710:１３２人目の素数さん
18/09/29 15:50:07.13 c/zrVhx6.net
いや、そのu,v,tが思いつかんかった。
これ
0<a≦b≦c<a+b
からうまくu.v.tを見つけてくるのがミソだと思うけどこれなんか一般論で見つけてくる方法があります？慣れの問題？

711:１３２人目の素数さん
18/09/29 16:37:21.66 GXtaiBeF.net
>>693
一般論というか基本的技法ですね。
・条件のない非負整数の組と対応させることが目標。
・p<q は p+1≦q とする。
・p≦q をみたす整数の組(p,q)は q=p+k とおくことで k≧0 をみたす整数の組(p,k)と一対一に対応することを使う。
>>692では
0<a から a=s+1 とおき（これで a は非負整数 s で一対一に表せる）
a≦b≦c から b=a+t, c=b+u とおき（ここまでで 0<a≦b≦c をみたす a,b,c が非負整数 s,t,u で一対一に表せる）
そうすることで c<a+b ⇔ u≦s となるので s=u+v とおく（これで条件をみたす a,b,c が非負整数 v,t,u で一対一に表せた）
となります。

712:１３２人目の素数さん
18/09/29 16:42:36.38 5t2MTazF.net
>>680　と >>692 の関係
(p, q, r) = (t, v+1, u)

713:１３２人目の素数さん
18/09/29 16:44:28.46 GXtaiBeF.net
>>694
もちろんすべての場合でうまくいくというものではありません。
この場合は運よくうまくいってきれいな形になりましたが。

714:１３２人目の素数さん
18/09/29 16:52:45.98 GXtaiBeF.net
>>695,680
> a[n] は自然数n を n=2p+3q+4r (p≧0, q≧1, r≧0) と分割するやり方である。
は生成関数の形から分かることで、
三角形とその分割が有用な関係を持つとは思えません。
あったら面白いですが。

715:１３２人目の素数さん
18/09/29 17:33:54.89 RHyq/92m.net
>>696,697
なるほど。
本文の場合は
0<a≦b≦c<a+b
⇔0 ≦ (a-1)≦ (b-1) ≦ (c-1) ≦ (a-1)+(b-1)
でa-1,b-1,c-1について整理するとキレイに定数項消えちゃうんだ。
気づかなかったorz。

716:１３２人目の素数さん
18/09/29 17:57:25.67 5t2MTazF.net
>>681
稜の長さが { p^(3r), p^(2n+r), p^(2n-r)[p^(2n)-p^(2r)] } である直方体 (r=0,1,…,n-1)
表面積　2p^(6n),
体積　p^(4n+3r)[p^(2n)-p^(2r)],
p>1.

717:１３２人目の素数さん
18/09/29 18:16:47.45 5t2MTazF.net
>>682 の拡張
稜の長さが { p^r, p^r, [p^(2n-r)-p^r]/2 } である正方形柱 (r=0,1,…,n-1)
表面積　2p^(2n),
体積　(p^r)[p^(2n)-p^(2r)]/2,
p>1.

718:１３２人目の素数さん
18/09/29 18:43:59.68 +ZGkjoNR.net
どうやって思いつくん？

719:１３２人目の素数さん
18/09/29 20:12:28.11 sReFGpyG.net
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720:１３２人目の素数さん
18/09/29 20:15:52.31 uT1RU4nf.net
呪怨キタ

721:１３２人目の素数さん
18/09/30 01:15:04.79 60e7kxgM.net
>>682 >>700
稜の長さを { A, A, (S/2A - A)/2 } とおく。
(S/2A - A)/2 が自然数となるAを n個以上とれるように Sを決める。
稜　…　多面体の辺

722:１３２人目の素数さん
18/09/30 04:11:30.00 I1AIdvLV.net
{(x,y,z)|x+y+z=n、x,y,z は非負整数、n は1以上の整数}
を満たす格子点の集合をAとする。
Aから異なる三点を選んだとき、それが正三角形を成している確率を n で表せ。
答えは、プログラムを組めば予想可能なものになるので、答えのみの解答は認めないものとする。

723:１３２人目の素数さん
18/09/30 04:56:56.32 p1KBHVZY.net
Oを中心とする半径1の円周上に、n個の点P[1],P[2],...,P[n]を、以下の2条件をともに満たすように配置する。なお各点はこの順に反時計回りに配置されるものとする。
（ア）各線分P[i]P[i+1]の長さは全て等しい。すなわちP[0]P[1]=P[1]P[2]=...=P[n-1]P[n]である。
（イ）0°<∠P[1]OP[n]≦180°
n以下の各自然数iに対し、△OP[i-1]P[i]の重心をG[i-1]とおく。
このとき、以下の（A）が成り立つように辺P[0]P[1]の長さを定めることができるか。
（A）相異なる整数jとkをうまく選べば、2点P[j]とP[k]を通る直線で、その上にG[0],G[1],...,G[n-1]の少なくとも1つが乗るようにできる。

724:１３２人目の素数さん
18/09/30 05:31:43.70 p1KBHVZY.net
すいません先程の問題文がおかしかったので訂正します。
Oを中心とする半径1の円周上に、n個の点P[1],P[2],...,P[n]を、以下の2条件をともに満たすように配置する。なお各点はこの順に反時計回りに配置されるものとする。
（ア）各線分P[i]P[i+1]の長さは全て等しい。すなわちP[1]P[2]=P[2]P[3]=...=P[n-1]P[n]である。
（イ）0°<∠P[1]OP[n]≦180°
n-1以下の各自然数iに対し、△OP[i]P[i+1]の重心をG[i]とおく。
このとき、以下の（A）が成り立つように辺P[1]P[2]の長さを定めることができるか。
（A）相異なる整数jとkをうまく選んで2点P[j]とP[k]を通る直線を引けば、その上にG[1],G[2],...,G[n-1]の少なくとも1つが乗る。

725:１３２人目の素数さん
18/09/30 05:39:36.69 l/U+OsJc.net
>>705
求める確率をp[n]とすると
p[n]=2/(n^2+3n-2)
になると予想した
A[n]={(x,y,z)|x+y+z=n, x,y,zは非負整数}
できる正三角形の個数をT[n]とすると、
最初の方は
T[1]=1, T[2]=5, T[3]=15, T[4]=35, T[5]=70
となった
A[n]と△型・▽型の正三角形の個数は規則的に数えられるけど
傾いてる正三角形が一般の場合にうまくいかないorz

726:１３２人目の素数さん
18/09/30 07:08:48.15 60e7kxgM.net
>>708
　辺長L（≧2）の△型には、傾いた正三角形（L-1）個が内接する。(▽も含む)
>>705
A[1] = 3,
A[n] = A[n-1] + (n+1),
より
A[n] = (n+2)(n+1)/2,　　　… 三角数
A[n]個の点から3点を選ぶ方法は
C[A[n], 3] = A[n] (A[n]-1) (A[n]-2)/6
　= {(n+2)(n+1)/2} {(n+3)n/2} {(nn+3n-2)/2},
　辺長nの大きい△型の中に
　辺長Lの△型が C[n+2-L, 2] 個ある。
　傾いている正三角形も含めれば、そのL倍になる。
T[n] = Σ(L=1, n) C[n+2-L, 2]・L
　= C[n+3, 4]
　= (n+3)(n+2)(n+1)n/24
　= A[n](A[n]-1)/6,
よって
T[n]/C[A[n], 3] = 1/(A[n]-2) = 2/(nn+3n-2),

727:１３２人目の素数さん
18/09/30 08:26:01.48 I1AIdvLV.net
ご名答
>> 辺長L（≧2）の△型には、傾いた正三角形（L-1）個が内接する。(▽も含む)
ここがポイントですね。傾かないものも含めると、
「サイズLの正置な正三角形には、調度L個の正三角形が属す」
と言えます。全ての正三角形は、いずれかの正置な正三角形に属すため、
あとは、正置な正三角形がいくつあるかを調べ、足し合わせるだけです。

728:１３２人目の素数さん
18/09/30 09:33:26.40 p1KBHVZY.net
707おねがいします

729:１３２人目の素数さん
18/09/30 10:15:57.85 l/U+OsJc.net
>>709,710
なるほど、そうやって考えるんですね
C[n+2-L, 2]の部分ですが、これは
辺長Lの正置な正三角形のいちばん上の辺長1の正三角形に注目して
Σ[k=1,n-(L-1)]k
と数えたものでしょうか？

730:１３２人目の素数さん
18/09/30 10:53:25.52 I1AIdvLV.net
サイズ　n　の正置な正三角形は　１　(=C[2,2])
サイズ　n-1　の正置な正三角形は　３　(=1+2=C[3,2])
サイズ　n-2　の正置な正三角形は　６　(=1+2+3=C[4,2])
サイズ　n-3　の正置な正三角形は　10　(=1+2+3+4=C[5,2])
．．．
サイズ　1　の正置な正三角形は　1+2+3+...+n=C[n+1,2]
です。では、サイズ　L　では？　というと、　C[n+2-L,2]　という事です。
注目するサイズの正置正三角形のトップの頂点の、可動範囲を数え上げるという考えでもｏｋですね。

731:１３２人目の素数さん
18/09/30 12:10:03.51 +ZX6Gzee.net
>>682
用意していた答え
３辺の長さを (a,b,c) = (1, 2^r-1, 2^{2n-r}-1)、r=1,2,…n とおくと、
表面積 S = 2(ab+bc+ca) = 2(2^{2n}-1).

732:１３２人目の素数さん
18/09/30 17:00:25.87 QXkD3Yad.net
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733:１３２人目の素数さん
18/10/01 00:17:31.81 NFGqB/Wz.net
>>580
山札からダイヤが１２枚出たところまですべて１／４で
１３枚目のみゼロにすることも可能
■箱の中のカードがダイヤである確率は
基本形の式
ｑ＝１－｛｛１６５ｎ－３ｎ^2＋３５１｝／（２０８ｎ－７ｎ^2＋４６８）｝に
係数αをｎの各項に掛ける
ｑ＝１－｛｛１６５ｎα－３αｎ^2＋３５１｝／（２０８ｎα－７αｎ^2＋４６８）｝
３５１と４６８にはそれぞれβ＝４７９００１６００を掛ける
∵ｑ＝１－｛｛１６５ｎα－３αｎ^2＋３５１β｝／（２０８ｎα－７αｎ^2＋４６８β）｝
α＝（ｎ^2－13ｎ）^6＋182（ｎ^2－13ｎ）^5＋13468（ｎ^2－13ｎ）^4
　　　＋516360（ｎ^2－13ｎ）^3＋10752768（ｎ^2－13ｎ）^2＋114341760（ｎ^2－13ｎ）
　　　＋479001600
これで出来上がり

734:１３２人目の素数さん
18/10/01 01:58:40.96 e3gl78jP.net
どうして確率や場合の数の問題しか出てこないのかね。
そんなに面白いかい？

735:１３２人目の素数さん
18/10/01 11:23:19.73 zs2OgFnD.net
AとBが引き分けのないゲームを次々と行い、一回のゲームで勝つ確率はそれぞれa, bである。つまりa+b=1である。
Aが先にn勝に到達する確率を求めよ。

736:１３２人目の素数さん
18/10/01 11:30:00.57 0Ok3sr+H.net
>>718
これ求まるん？
1/2の時でもバナッハのマッチ箱で超難題なのに。
1/2じゃなくて求まるん？

737:１３２人目の素数さん
18/10/01 11:33:21.47 lz/dpGRk.net
>>719
続けたまえ

738:１３２人目の素数さん
18/10/01 11:44:18.11 MPNlhgUM.net
先にn勝というのは、2n-1回やってn勝以上することと同じ
Σ[k=n～2n-1] a^k･b^(2n-1-k)･C(k,2n-1)

739:１３２人目の素数さん
18/10/01 13:22:40.67 WGyB9cPW.net
何も難問じゃない
将棋の番勝負の勝率レーティングから推計したことあるやつなら簡単にわかるはず

740:１３２人目の素数さん
18/10/01 13:40:31.38 DmLU+xOs.net
あ、失礼。単にAが勝つ確率か。回数の期待値と勝手に思った。勝つ確率だけなら出るかな？

741:１３２人目の素数さん
18/10/01 13:43:03.18 DmLU+xOs.net
つまりは >>721か。
これ求まるんかな？

742:１３２人目の素数さん
18/10/01 13:51:24.17 lSP8i6OA.net
707おねがいします

743:１３２人目の素数さん
18/10/01 13:57:37.32 dDtimu84.net
>>721,724
p(n)=Σ[k=n,2n-1]a^k･b^(2n-1-k)･C(k,2n-1)
とおくと、n≧2のとき二項定理より
(a+b)^(2n-1)=2(p(n)-a^n・b^(n-1))+a^n・b^(n-1)
よって
p(n)=(1+a^n・b^(n-1))/2

744:１３２人目の素数さん
18/10/01 14:02:16.70 dDtimu84.net
>>726
二項係数抜けてるしそもそも3行目ダメですね
撤回します

745:１３２人目の素数さん
18/10/01 15:59:39.87 qcAe9ESj.net
とりあえず10項ほど計算させてみたけど
makelist(factor(expand(sum(binomial(2*n-1,k)*a^k*(1-a)^(2*n-1-k),k,n,2*n-1))),n,1,10);
[
a,
－a^2*(2*a－3),
a^3*(6*a^2－15*a+10),
－a^4*(20*a^3－70*a^2+84*a－35),
a^5*(70*a^4－315*a^3+540*a^2－420*a+126),
－a^6*(252*a^5－1386*a^4+3080*a^3－3465*a^2+1980*a－462),
a^7*(924*a^6－6006*a^5+16380*a^4－24024*a^3+20020*a^2－9009*a+1716),
－a^8*(3432*a^7－25740*a^6+83160*a^5－150150*a^4+163800*a^3－108108*a^2+40040*a－6435),
a^9*(12870*a^8－109395*a^7+408408*a^6－875160*a^5+1178100*a^4－1021020*a^3+556920*a^2－175032*a+24310),
－a^10*(48620*a^9－461890*a^8+1956240*a^7－4849845*a^6+7759752*a^5－8314020*a^4+5969040*a^3－2771340*a^2+755820*a－92378)
]
なんにも思いつかんorz。

746:１３２人目の素数さん
18/10/01 16:20:15.25 gVHzs4Q+.net
あかん、いろいろ調べたけどどうしようもなさそう。
>>721で正解なんかな？

747:１３２人目の素数さん
18/10/01 18:00:13.71 lSP8i6OA.net
pを有理数とする。3辺の長さがp,p,1の二等辺三角形をT(p)と書く。
ある自然数kが存在して、k個のT(p)のみに分割できる多角形全体からなる集合をS(k)とする。
k=1,2,3,...に対し、以下の条件を満たすS(k)の要素の多角形の形状をすべて決定せよ。
条件『多角形の任意の2頂点間の距離は有理数である。』

748:
18/10/01 21:00:19.22 yiYUO1B1.net
>>718
Aが先にn勝する確率をPnとすると、
P1=a
P2=a^2+2a^2･b
P3=a^3+3a^3･b+6a^3･b^2
P4=a^4+4a^4･b+(5Ｃ2)a^4b^2+(6Ｃ3)a^4･b^3
=a^4+4a^4･b+10a^4b^2+20a^4･b^3
P5=a^5+5a^5･b+(6Ｃ2)a^5･b^2+(6Ｃ3)a^5･b^3+(6Ｃ4)a^5･b^4
=a^5+5a^5･b+15a^5･b^2+20a^5･b^3+15a^5･b^4
P6=a^6+6a^6･b+(7Ｃ2)a^6･b^2+(7Ｃ3)a^6･b^3+(7Ｃ4)a^6･b^4+(7Ｃ5)a^6･b^5
=a^6+6a^6･b+21a^6･b^2+35a^6･b^3+35a^6･b^4+21a^6･b^5
P7=……
前 >>624フィボナッチだな。一般項出るぞ。

749:１３２人目の素数さん
18/10/01 22:20:08.16 NFGqB/Wz.net
■□■■■□■■■□■■■□■■■
■□■□■□■□■□■□■□■□■
■■■□■■■□■■■□■■■□■

750:
18/10/01 23:00:40.25 yiYUO1B1.net
P1=a
P2/a^2=1+2b
P3/a^3=1+3b+6b^2
P4/a^4=1+4b+(5･4/2･1)b^2+(6･5･4/3･2･1)b^3
P5/a^5=1+5b+(6･5/2･1)b^2+(6･5･4/3･2･1)b^3+(6･5/2･1)b^4
P6/a^6=1+6b+21b^2+35b^3+35b^4+21b^5
P7/a^7=1+7b+28b^2+56b^3+70b^4+56b^5+28b^6
P8/a^8=1+8b+36b^2+84b^3+126b^4+126b^5+84b^6+36b^7
P9/a^9=1+9b+45b^2+120b^3+210b^4+252b^5+210b^6+120b^7+45b^8
P10/a^10=1+10b+55b^2+165b^3+330b^4+462b^5+462b^6+330b^7+165b^8+55b^9
前 >>731漸化式ができそう。
nが奇数のとき、
Pn/a^n=
nが偶数のとき、
Pn/a^n=

751:１３２人目の素数さん
18/10/02 02:29:23.68 VNedEoPb.net
>>721
p(n) = Σ[k=n, 2n-1] a^k b^(2n-1-k) C(2n-1, k),　　　(b=1-a)
p(n+1) = p(n) + C[2n-1, n] (a-b)(ab)^n,　　　(b=1-a)

752:１３２人目の素数さん
18/10/02 04:59:51.66 VNedEoPb.net
∂p(n)/∂a = (n/2) C(2n, n) {a(1-a)}^(n-1),
p(n) = (n/2) C(2n, n) Σ[k=0, n-1] (-1)^k C(n-1, k)/(n+k) a^(n+k)
　　　= (n/2) C(2n, n) a^n Σ[k=0, n-1] C(n-1, k)/(n+k) (-a)^k,
　　　

753:イナ
18/10/02 05:33:31.15 K+aBpi/A.net
前 >>733訂正。
P10/a^10=1+10b+(11Ｃ2)b^2+(12Ｃ3)b^3+(13Ｃ4)b^4+(14Ｃ5)b^5+(15Ｃ6)b^6+(16Ｃ7)b^7+(17Ｃ8)b^8+(18Ｃ9)b^9
=1+10b+55b^2+220b^3+715b^4+2002b^5+5005b^6+11440b^7+24310b^8+48620b^9
P9/a^9=1+9b+(10Ｃ2)b^2+(11Ｃ3)b^3+(12Ｃ4)b^4+(13Ｃ5)b^5+(14Ｃ6)b^6+(15Ｃ7)b^7+(16Ｃ8)b^8
=1+9b+45b^2+165b^3+495b^4+1287b^5+(14Ｃ6)b^6+(15Ｃ7)b^7+(16Ｃ8)b^8
P8/a^8=1+8b+36b^2+120b^3+(11Ｃ4)b^4+(12Ｃ5)b^5+(13Ｃ6)b^6+(14Ｃ7)b^7
P7/a^7=1+7b+(8Ｃ2)b^2+(9Ｃ3)b^3+(10Ｃ4)b^4+(11Ｃ5)b^5+(12Ｃ6)b^6
=1+7b+28b^2+84b^3+(10Ｃ4)b^4+(11Ｃ5)b^5+(12Ｃ6)b^6
P6/a^6=1+6b+(7Ｃ2)b^2+(8Ｃ3)b^3+(9Ｃ4)b^4+(10Ｃ5)b^5
P5/a^5=1+5b+(6Ｃ2)b^2+(7Ｃ3)b^3+(8Ｃ4)b^4
=1+5b+15b^2+35b^3+56b^4

754:１３２人目の素数さん
18/10/02 07:32:49.03 +LHY32Zh.net
>>718
Rを使うと　負の二項分布を使ってpnbinom(n-1,n,a)で数値計算はできる。

755:イナ
18/10/02 10:50:51.36 K+aBpi/A.net
>>718
前 >>736一般項が出た。
Pn=a^n/(n-1)!Σ[k=1～n-2]{(n+k)!b^(k+1)}/(k+1)!

756:１３２人目の素数さん
18/10/02 12:38:55.19 eO27KDaY.net
>>735
おお、すごい。
流石にこれ以上は無理？

757:１３２人目の素数さん
18/10/02 13:11:05.17 0RVIqaz8.net
>>735
makelist((expand(sum(binomial(2*n-1,k)*a^k*(1-a)^(2*n-1-k),k,n,2*n-1))),n,0,10);
makelist((expand(n/2*a^n*binomial(2*n,n)*sum(binomial(n-1,k)/(n+k)*(-a)^(k),k,0,n-1))),n,0,10);
(%o1) [0,a,3*a^2－2*a^3,6*a^5－15*a^4+10*a^3,－20*a^7+70*a^6－84*a^5+35*a^4,70*a^9－315*a^8+540*a^7－420*a^6+126*a^5,－252*a^11+1386*a^10－3080
*a^9+3465*a^8－1980*a^7+462*a^6,924*a^13－6006*a^12+16380*a^11－24024*a^10+20020*a^9－9009*a^8+1716*a^7,－3432*a^15+25740*a^14－83160*a^13+
150150*a^12－163800*a^11+108108*a^10－40040*a^9+6435*a^8,12870*a^17－109395*a^16+408408*a^15－875160*a^14+1178100*a^13－1021020*a^12+556920*
a^11－175032*a^10+24310*a^9,－48620*a^19+461890*a^18－1956240*a^17+4849845*a^16－7759752*a^15+8314020*a^14－5969040*a^13+2771340*a^12－
755820*a^11+92378*a^10]
(%o2) [0,a,3*a^2－2*a^3,6*a^5－15*a^4+10*a^3,－20*a^7+70*a^6－84*a^5+35*a^4,70*a^9－315*a^8+540*a^7－420*a^6+126*a^5,－252*a^11+1386*a^10－3080
*a^9+3465*a^8－1980*a^7+462*a^6,924*a^13－6006*a^12+16380*a^11－24024*a^10+20020*a^9－9009*a^8+1716*a^7,－3432*a^15+25740*a^14－83160*a^13+
150150*a^12－163800*a^11+108108*a^10－40040*a^9+6435*a^8,12870*a^17－109395*a^16+408408*a^15－875160*a^14+1178100*a^13－1021020*a^12+556920*
a^11－175032*a^10+24310*a^9,－48620*a^19+461890*a^18－1956240*a^17+4849845*a^16－7759752*a^15+8314020*a^14－5969040*a^13+2771340*a^12－
755820*a^11+92378*a^10]
素晴らしい。

758:１３２人目の素数さん
18/10/02 17:12:04.16 xOs+qnbe.net
ｎ＝０，αｎ／βｎ，α＝｛２^ｎ＋２^（ｎ－1）｝，β＝｛２^（ｎ＋2）＋２^（ｎ－1）｝
分母と分子の両方にゼロ掛けているのに
なんで１／３が出力されるねん？(´・ω・`)

759:１３２人目の素数さん
18/10/02 18:09:37.32 aHJ20R9e.net
(1)実級数Σ_{n=1}^∞ a_nが絶対収束するならば
Σ_{n=1}^∞ (a_n)^2は収束するか？
(2)実級数Σ_{n=1}^∞ a_nが条件収束するならば
Σ_{n=1}^∞ (a_n)^2は収束するか？

760:１３２人目の素数さん
18/10/02 18:18:08.02 zN6Tq8dX.net
(1) a_n > 1 である n は有限個なのでそれらを除いて (a_n)^2 ≦ a_n。よって収束する。
(2) しない。反例：a_n = (-1)^n/√n。

761:１３２人目の素数さん
18/10/02 18:19:03.50 aHJ20R9e.net
>>743
早すぎワロタ
正解

762:学術
18/10/02 19:49:00.32 qfVJ5oyJ.net
間違ってるものを採点して生徒が伸びた方がいたと思う。
高速通信添削で赤入れるみたいにしちゃうといい。女子美味しいな。

763:学術
18/10/02 19:49:43.60 qfVJ5oyJ.net
フルハウスの意味表象記号観。

764:イナ
18/10/02 23:29:03.26 K+aBpi/A.net
前 >>738
Pn(n-1)!/a^n=(n+1)n(1-a)^2/2･1+(n+2)(n+1)n(1-a)^3/3･2･1+……+(2n-2)(2n-3)……n(1-a)^(n-1)/(n-1)!
Pn={a^n/(n-1)!}{(n+1)n(1-a)^2/2･1+(n+2)(n+1)n(1-a)^3/3･2･1+……+(2n-2)(2n-3)

765:……n(1-a)^(n-1)/(n-1)!} 通分するのかな。

766:１３２人目の素数さん
18/10/03 01:24:31.41 7h2ip4rW.net
>>743 (2)
S = Σ_{n=1}^{∞} a_n = Σ_{n=1}^{∞} (-1)^n /√n　が収束すること。
S = -1 + 1/√2 - Σ_{m=2}^{∞} ( 1/√(2m-1) - 1/√(2m) )
　> -1 + 1/√2 - (1/2)Σ_{m=2}^{∞} ( 1/√(2m -3/2) - 1/√(2m +1/2) )　　…　(*)
　= -1 + 1/√2 - 1/√10
　= -0.60912098483…
S = -1 + Σ_{m=1}^{∞} ( 1/√(2m) - 1/√(2m+1) )
　< -1 + (1/2)Σ_{m=1}^{∞} ( 1/√(2m -1/2) - 1/√(2m +3/2) )　　　　…　(*)
　= -1 + 1/√2 - 1/√3 + 1/√14
　= -0.60298224609…
S = -0.60489864342163…

767:１３２人目の素数さん
18/10/03 02:07:38.39 7h2ip4rW.net
>>748 (補足)
　f(n) = 1/√n の平均変化率 {1/√(n-h) - 1/√(n+h)}/(2h) が h>0 と共に増加すること。
　{f(n-h) - f(n+h)}/2h = {1/√(n-h) - 1/√(n+h)}/(2h)
　= {√(n+h) - √(n-h)}/{2h √(nn-hh)}
　= 1 / {√(nn-hh)･(√(n-h) + √(n+h)}
　= 1 / {√(nn-hh)･√[2n+2√(nn-hh)]},
あるいは平均値の定理により
　f(n-L-h) - f(n+k+h) - {f(n-h) - f(n+h)} - {f(n-L+k-h) - f(n-L+k+h)} + {f(n+k-L) - f(n-L+h)}
　= {f(n-L-h) -f(n-h) -f(n-L+k-h) +f(n+k-h)} - {f(n-L+h) -f(n+h) -f(n-L+k+h) +f(n+k+h)}
　= -2h {f '(a-L) - f '(a) - f '(a-L+k) + f'(a+k)}　　　　(n-h<a<n+h)
　= -2h {f '(a-L) - f '(a)} -2h {f '(a-L+k) - f '(a+k)}
　= 2hk {f "(b-L) - f "(b)}　　　(a<b<a+k)
　= -2hkL f '''(c)　　　　　　　(b-L<c<b)
　> 0

768:１３２人目の素数さん
18/10/03 05:10:42.84 DaTYnnLD.net
[0,π]上の連続関数fに対して、
lim(n→∞)∫_0^π f(x)cos(nx) dx=0
となることを証明せよ

769:１３２人目の素数さん
18/10/03 13:43:17.24 rOBG/Z0C.net
>>751
(p,q) := 2/π∫ pq dx とする。
これは双線形であり、{cos nx} は (cos lx, cos mx) = δ(l,m) となる。
Nを自然数とし
a[n] = (cos nx, f)、g = Σ[m:1～N] a[m] cos mx、h = f-g とおく。
n: 1～N に対し
(h, cos nx) = (f-g, cos nx) = (f, cos nx) - (Σ[m:1～N] a[m] cos mx, cos nx) = a[n] - a[n] = 0
であるから (h,g) = 0 である。
よって
(f, f) = (g+h, g+h) = (g, g) + 2(g, h) + (h, h) = (g, g) + (h, h) ≧ (g, g) = (Σ[l:1～N] a[l] cos lx, Σ[m:1～N] a[m] cos mx) = Σ[m:1～N] a[m]^2
である。
これが任意のNで成立するから
Σ[m:1～∞] a[m]^2
は収束するので lim(n→∞)a[n]=0 である。

770:１３２人目の素数さん
18/10/03 15:09:19.50 sCRZrnTp.net
>>751
正解！
ベッセルの不等式証明してくれた感じかな

771:１３２人目の素数さん
18/10/03 15:16:20.13 AdKJHB0+.net
【世界教師マⅰトレーヤ】　トランプは現在、ツイートを囮にして、史上最悪の法案にサインする気でいる
ｽﾚﾘﾝｸ(liveplus板)
山本太郎もブチ切れる、労働者へのゲスい裏切り！

772:１３２人目の素数さん
18/10/04 00:09:55.61 wFWA09/F.net
>>734
　p(n+1) - p(n) = (2a-1) C[2n-1, n] (a(1-a))^n,　　　　　(n≧1)
の両辺に t^n を掛けて和をとると
　G(t)/t - p(1) - G(t) = (2a-1)Σ[n=1,∞] C[2n-1, n] (a(1-a)t)^n
　= (1/2)(2a-1) {1/√(1-4a(1-a)t) -1},　　　　　… (*)
　
　(2(1-t)/t) G(t) = 1 + (2a-1)/√(1-4a(1-a)t),
　G(t) = Σ[n=1,∞] p(n) t^n = (t/2(1-t)) {1 + (2a-1)/√(1-4a(1-a)t)},
*) 一般化された二項定理
　1/√(1-4x) = 1 + 2Σ[n=1,∞] C[2n-1, n] x^n,

773:１３２人目の素数さん
18/10/04 02:29:02.41 gUoKrYzL.net
>>718 の答えは今出てる答えで正解でいいのかな？
流石にもうこれ以上はどうしょうもない気がする。

774:１３２人目の素数さん
18/10/04 02:43:03.87 pCjQRYKm.net
母函数面白いね
カタラン数のそれに近い感じもある

775:イナ
18/10/04 10:21:42.56 jwM/NwpW.net
>>755
>>718の答え、>>747でいいの？
確率をnとaで表せってことだよね？
……があるままでいいってこと？
通分して分子が簡単になったりして。
前 >>747

776:イナ
18/10/04 11:08:57.18 jwM/NwpW.net
前 >>757
通分すると、
Pn={a^n/(n-1)!(n-1)!}[(n+1)!{(n-1)(n-2)……3}(1-a)^2+(n+2)!{(n-1)(n-2)……4)}(1-a)^3+……+(2n-2)!(1-a)^(n-1)]
簡単にならないなら……を許可するしかないか。それかΣとkを使うか。

777:１３２人目の素数さん
18/10/04 22:51:50.84 wFWA09/F.net
>>756
Catalan(n) = C[2n, n] - C[2n, n-1] = {1/(n+1)} C[2n, n]
Σ[n=0,∞] Catalan(n) t^n = {1 - √(1-4t)}/(2t),

778:１３２人目の素数さん
18/10/04 23:00:52.73 LFy1EKo2.net
カタラン数を語らん！

779:１３２人目の素数さん
18/10/04 23:14:12.31 VmTW+2yt.net
このスレで見つけた問題。
[0,n]×[0,n]の格子点の隣接する格子点をむすんで得られるグラフを考える。（図１参照）
このグラフの左下と右上を結ぶグラフ上の経路で長さ2nのもののうちy≦xの部分にある横線をちょうどk回通るものの個数を求めよ。
>>432より
>―図１―(n=6の場合)
>┌─┬─┬─┬─┬─┬─┐
>│　│　│　│　│　│　│　
>├─┼─┼─┼─┼─┼＝┤
>│　│　│　│　│　│　│　
>├─┼─┼─┼─┼＝┼＝┤
>│　│　│　│　│　│　│　
>├─┼─┼─┼＝┼＝┼＝┤
>│　│　│　│　│　│　│　
>├─┼─┼＝┼＝┼＝┼＝┤
>│　│　│　│　│　│　│　
>├─┼＝┼＝┼＝┼＝┼＝┤
>│　│　│　│　│　│　│　
>└＝┴＝┴＝┴＝┴＝┴＝┘

780:１３２人目の素数さん
18/10/08 18:08:41.43 vYJ1GP+F.net
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781:１３２人目の素数さん
18/10/11 17:11:17.49 +nerrO/K.net
不思議な現象に遭遇したけど、よくわからないのでみんなの知恵を借りたい。
a1,a2,…を不定元とし、σをその添字を１だけ大きくする作用素とする。
次で有理式の列{F[n]; n=0,1,2,…}を定める：
F[0] = 1, F[n] = (F[n-1] + σF[n-1])/(a1+a2+…+an) (n≧1)。
F[1] = (1 + 1)/(a1) = 2/a1,
F[2] = (2/a1 + 2/a2)/(a1+a2) = 2/a1a2,
F[3] = (2/a1a2 + 2/a2a3)/(a1+a2+a3) = 2(a1+a3)/a1a2a3(a1+a2+a3),
F[4] = (2(a1+a3)/a1a2a3(a1+a2+a3) + 2(a2+a4)/a2a3a4(a2+a3+a4))/(a1+a2+a3+a4)
　　 = 2(a1a2+a2a3+a3a4)/a1a2a3a4(a1+a2+a3)(a2+a3+a4)
のようになるが、既約分数表示での分母を見ると偶数項の因数は約分で消え、奇数項の因数しか現れていない。
PCで調べるとF[8]まではそうなっている。
なので「F[n]を既約分数で表したとき分母には奇数項の因数しか現れない」と予想するが、
これは正しいだろうか？
また関連しそうなことがあったら教えてください。

782:１３２人目の素数さん
18/10/12 20:40:52.47 PScjLvUl.net
1/a(a+b)(a+b+c)…(a+b+c+…+z) を [a,b,c,…,z] と書くことにする。
[] = 1,[a] = 1/a, [a,b] = 1/a(a+b) など。
次を示せ。
(1) [a][b] = [a,b] + [b,a]
(2) [a,b][x] = [a,b,x] + [a,x,b] + [x,a,b]
(3) [a,b][x,y] = [a,b,x,y] + [a,x,b,y] + [a,x,y,b] + [x,a,b,y] + [x,a,y,b] + [x,y,a,b]
(4) [a][b][c] = [a,b,c] + [a,c,b] + [b,a,c] + [b,c,a] + [c,a,b] + [c,b,a]
また、一般にどのようなことがいえるだろうか？
（>>763 を考えた背景にあるもの）

783:１３２人目の素数さん
18/10/14 10:12:53.96 Rg/i5zok.net
E, A, B を同じ型の正方行列とし、Eを単位行列とする。
E-ABが逆行列Cをもつとき、E-BAが正則であることを示し、その逆行列をE, A, B, Cを用いて表せ。

784:１３２人目の素数さん
18/10/14 11:38:51.05 8dVZheoh.net
>>765
C = (E-AB)^-1 = E + AB + (AB)^2 + … とおもえば
(E-BA)^-1 = E + BA + (BA)^2 + … = E + BA + B(AB)A + B (AB)^2 C + … = E + BCA と予想できて、
あとは計算で (E-BA)(E+BCA) = (E+BCA)(E-BA) = E。

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