面白い問題おしえて～な 27問目

面白い問題おしえて～ ..

615:１３２人目の素数さん
18/09/23 00:14:21.34 ovyQ7zqo.net
>>595
α=(1-√5)/2、β=(1+√5)/2とし、Fn = (β^n-α^n)/(β-α)、Ln = β^n+α^n)とおく。
帰納法により
Lnは9の倍数⇔n ≡ 6 (mod 12)。
nが３の倍数でない偶数→Ln ≡ 3 (mod 4)。
また
Fm + Fn = FuLv (u = (m+n)/2、v=(m-n)/2)
であるから m-n = 2ik のとき
Fm ≡ (-1)^iFn (mod Lk)
である。
nを±1,2,12でない自然数とする。
m = {±1,2,12}をn ≡ m(mod 4)とし、n-m = 2ik (kは2以上の２のべき、i:奇数)とする。
このとき
Fn ≡ (-1)^iFm (mod Lk)
で、Lk ≡ 3 (mod 4)、Fmは平方数であるからFnは平方数でない。
以上によりフィボナッチ数列に現れる平方数は1と144のみである。

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