面白い問題おしえて～な 27問目

面白い問題おしえて～な 27問目 at MATH

[前50を表示]
600:１３２人目の素数さん
18/09/22 00:46:16.95 cnafI+Ld.net
単純に場合分けすればいい。
場合分けの確率も考慮して。

601:１３２人目の素数さん
18/09/22 01:13:07.94 mNByRw8N.net
>>536
とりあえず
＞n=2kのとき a[n]=k^2 - 2[(2k-1)/5]。
だとa[10] = 23になるけどn=10で21回の解があった。
import Data.Ratio
import Data.List
exchange (i, j) x = let
(a,b) = (min i j,max i j)
in
(take (a-1) x) ++ [x!!(b-1)] ++ (drop a $ take (b-1) x) ++ [x!!(a-1)] ++ (drop b x)
apply exs ns = foldr exchange ns exs
exs3 = [(5,7),(3,5),(5,6),(6,8),(4,6),(6,7),(7,9),(5,7),(2,3),(3,5),(5,7),(7,9),(1,3),(3,4),(4,6),(6,8),(8,10),(6,8),(4,6),(2,4),(1,2)] :: [(Int,Int)]
main = do
print $ apply exs3 [1..10]
print $ length exs3
―実行結果―
[10,9,8,7,6,5,4,3,2,1]
21

602:１３２人目の素数さん
18/09/22 04:03:54.10 5SVHXwna.net
>>574
>>581と同じ結果になった。
高１で習うただの条件付き確率
（あと、ノイズの相手をして増幅するのはやめてほしい＞各位）

603:１３２人目の素数さん
18/09/22 05:25:43.00 OM3JlOD/.net
ｋを正の整数の定数として
山札からダイヤがｎ枚抜き出された時の
ｎ＝３の時にｑ＝１０／４９になる関数を発見しました
５≦ｋ≦１５の範囲において以下の式が成り立つ
ダイヤである確率は
∵ｑ＝１－｛｛１６５ｎ－（ｋ－４）ｎ^2＋３５１｝／（２０８ｎ－ｋｎ^2＋４６８）｝
ｋ＝７，ｎ＝３の時ｑ＝１０／４９
ｋ＝７，０≦ｎ≦１３の範囲において
１／４
５２／２２３
１８７／８５６
１０／４９
２５／１３２
２３２／１３３３
７７／４８８
７４／５２７
２０５／１６８４
２０／１９７
７／８８
１０６／１９０９
１９／６５２
０

604:１３２人目の素数さん
18/09/22 10:00:34.86 1l7cVLlo.net
いや、普通に
事象A：箱の中のカードがダイヤ
事象B：残りから3枚引いたら全てダイヤ
P(B)
=(1/4)*(12/51)*(11/50)*(10/49)+(3/4)*(13/51)*(12/50)*(11/49)
=1320/(4*49*50*51)+5148/(4*49*50*51)
=6468/(4*49*50*51)
P_B(A)
=P(A∧B)/P(B)
={(1/4)*(12/51)*(11/50)*(10/49)}/{6468/(4*49*50*51)}
=1320/6468
=10/49
んにゃぴ…

605:１３２人目の素数さん
18/09/22 10:31:45.18 ctBQxeJa.net
>>586
すばらしい。よく見つけましたね。
次の２１個の敷き詰め方があるので、予想の反例とはならないですね。
┏━○┏━○┏━○
┃┏━┃┏━┃○
○┃┏━┃┏━
┏━┃┏━┃
┃┏━┃○
○┃┏━
┏━┃
┃○
○
＞n=2kのとき a[n]=k^2 - 2[(2k-1)/5]。
>>568で言ったように、その式は間違いでした。
n=16まで描いてみたところ、次のようになりそうです：
a[1]=0, a[2]=1, a[3]=1, a[4]=4, a[5]=4, a[6]=7, a[7]=9,
n≧8のとき、a[n] = n(n+3)/6 + 2 (n≡0 mod 3), (n-1)(n+4)/6 (n≡1,2 mod 3)

606:１３２人目の素数さん
18/09/22 10:36:51.84 yCmk73wm.net
D:ダイヤの枚数、H:それ以外のスートの枚数
抜き取ったｎ枚が全部ダイヤのとき
T=D+Hとして

求める確率ｐは　（　choose(n,r)は組み合わせｎCr = n!/((n-r)!*r!)
ｐ＝(D/T * choose(D-1,n)/choose(T-1,n)) /((D/T * choose(D-1,n)/choose(T-1,n)) + H/T * choose(D,n)/choose(T-1,n))
展開して整理すると
＝(D-n)/(D+H-n)
D=13　H=39　n=3　　なら p= 10/49

607:１３２人目の素数さん
18/09/22 11:38:21.07 ctBQxeJa.net
>>586,590
n=10で19回（最小）のものが見つかりました。（予想では21回が最小）
よって、>>536の予想は非成立です。残念。
a[10]=19 です。
[(1,3),(2,4),(3,5),(1,3),(5,7),(4,5),(7,9),(5,7),(3,5),(2,3),(9,10),(7,9),(5,7),(3,5),(1,3),(7,8),(5,7),(3,5),(5,6)]

608:１３２人目の素数さん
18/09/22 11:58:01.25 Vi+U3TOW.net
>>592
a[10] ≧ 19 は証明済みですか？
あとその shape は19個以下の◯と┌でタイリング出来ないことも証明済みですか？

609:イナ
18/09/22 16:22:13.18 kyhuudxO.net
>>580わかった。13枚ダイヤが出たら箱の中にダイヤがある確率は0。ダイヤ3枚はあとの人のために引かなかったことになる。>>574つまり分母が52-3で、分子が13-3。10/49
＿∥∩∩］∥◇|∩∩_∥
∩（(-｡-)｡∥>/( (`｡)∩
(^)(っ[￣]∥/（υυ(　
￣)「￣￣]∥＿υυ/(￣
)_)□/UU[∩∩_/∩∩(＿
~~ ~/＿/(＿＿)(^)＿)~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~　~~~ ~~~ ~ ~ ~　~ 前 >>579

610:１３２人目の素数さん
18/09/22 16:52:58.88 nx/h/NAd.net
平方数のフィボナッチ数は144しかないことを証明せよ。

611:イナ
18/09/22 22:17:18.43 kyhuudxO.net
>>595
フィボナッチ数列を漸化式、
ａn+1=ａn-1+ａn
ａ1=ａ2=1
(n≧2、Ｚэn　nは2以上の整数)とおくと、
ａ1=1=1^2
ａ12=144=12^2
この漸化式のグラフをxy平面に描くと、
y=x^2のグラフは、
(x,y)=(1,1)で漸化式のグラフと一致し、xが増加するにしたがってずっとyの値が上にあり、(x,y)=(12,144)でふたたび一致。以降はxがいくら増加しようとも永遠にyの値が下にあるグラフを描く。
1=1^2であるが、n≧2の整数であるから考えなくてよい。
∴ 12^2=144のみが題意を満たす

612:１３２人目の素数さん
18/09/22 22:36:43.31 xKGCFcHf.net
赤玉、青玉、白玉がk個ずつある。
これら3k個の玉を数珠状に並べるとき、
「どの連続した3個の玉の並びについても、赤玉、青玉、白玉が全て含まれることはない」
ような並べ方の総数をkで表せ。

613:１３２人目の素数さん
18/09/22 22:48:03.03 0FZwTfrH.net
>>597
回転、反転で一致するのは同一視するの？

614:１３２人目の素数さん
18/09/22 23:04:31.64 4iHvTstY.net
>>596
0点。

615:１３２人目の素数さん
18/09/23 00:14:21.34 ovyQ7zqo.net
>>595
α=(1-√5)/2、β=(1+√5)/2とし、Fn = (β^n-α^n)/(β-α)、Ln = β^n+α^n)とおく。
帰納法により
Lnは9の倍数⇔n ≡ 6 (mod 12)。
nが３の倍数でない偶数→Ln ≡ 3 (mod 4)。
また
Fm + Fn = FuLv (u = (m+n)/2、v=(m-n)/2)
であるから m-n = 2ik のとき
Fm ≡ (-1)^iFn (mod Lk)
である。
nを±1,2,12でない自然数とする。
m = {±1,2,12}をn ≡ m(mod 4)とし、n-m = 2ik (kは2以上の２のべき、i:奇数)とする。
このとき
Fn ≡ (-1)^iFm (mod Lk)
で、Lk ≡ 3 (mod 4)、Fmは平方数であるからFnは平方数でない。
以上によりフィボナッチ数列に現れる平方数は1と144のみである。

616:１３２人目の素数さん
18/09/23 01:11:10.26 vK5MD2zy.net
どうでもいいがF_n=n^2になってるんだね他の自然数の2乗でもいいのに

617:１３２人目の素数さん
18/09/23 02:38:25.44 U6w99AxU.net
>>600
訂正
n-m = 2ik (kは2以上の２のべき、i:奇数)とする。
kが4以上またはm≠12ならLkは3で割り切れないので >>400のままでよい。
kが2、m=12のとき。
n=12+4k (k:奇数)だからnは8の倍数。
l=n/2として
Fn = FlLl、(Fl,Ll)=1,2
よりFまたはFl/2のいずれかが平方数。
くりかえしてn=ki(kは2べき、iは奇数)とおくとき
Fi,Liがともに平方数、または2Fi,2Liがともに平方数。
Fiが平方数になる奇数 i は >>600よりi = 1。
しかしこのときL1=2は平方数でない。
2Fiが平方数となる奇数iは >>600と同様にしてi=±3。
i>0よりi=3であるがこのとき2L3=8は平方数でない。

618:１３２人目の素数さん
18/09/23 02:38:42.22 C9G/YLzt.net
t+1/t=10 のとき t-1/t の取りうる値は？

619:１３２人目の素数さん
18/09/23 03:01:38.33 mwubyJ5Y.net
>>603
±√((t+1/t)^2-4)=±√96 = ±4√3

620:１３２人目の素数さん
18/09/23 05:01:08.45 V1sXPyjQ.net

621:f="../test/read.cgi/math/1532793672/598" rel="noopener noreferrer" target="_blank" class="reply_link">>>598 同一視する

622:１３２人目の素数さん
18/09/23 06:37:15.84 V1sXPyjQ.net
次の命題の真偽を述べ、それを証明せよ。
「ある正n角形をSnを考える。Snの上にすべての頂点が乗る正k角形の全てからなる集合をA(k)とおくと、A(k)が無限集合になるkはk=nのみである。」

623:１３２人目の素数さん
18/09/23 08:05:30.23 6r+HqQTq.net
>>596
何の証明にもなってないだろｗ
そもそもFn=n^2を証明しろなんて問題じゃないから
これドヤ顔で回答するやつがコテ付けてこのスレに45レスもしてるのがやばいよ

624:１３２人目の素数さん
18/09/23 08:07:16.66 6r+HqQTq.net
途中送信した
条件は「Fn=n^2を満たすnを探せ」ではなく「Fn=m^2を満たすnmの組を探せ」だってことね

625:１３２人目の素数さん
18/09/23 08:43:31.68 mua95mzO.net
イナ ◆/7jUdUKiSM=稲次将人
プロフィール見ると東大出身らしいが
よく >>596みたいなクソ証明もどき載せられるような奴が東大入れたな

626:１３２人目の素数さん
18/09/23 08:59:47.01 n07erhZD.net
>>606
偽
(凡例)
nが合成数で、kがその約数 (k≠1, k≠n) のとき。
Snの周をk等分するk点がなすk角形は、中心の周りにk回対称なので、正k角形となる。
したがって A(k) に含まれる。
∴ A(k) は無限集合

627:１３２人目の素数さん
18/09/23 09:17:52.13 mwubyJ5Y.net
>>606
S6上にすべての頂点がのる正三角形は無限にあるので偽。

628:１３２人目の素数さん
18/09/23 09:18:51.71 mwubyJ5Y.net
>>609
出身？？？ということは大学出てるん？？？？

629:１３２人目の素数さん
18/09/23 09:27:29.40 mua95mzO.net
>>612
URLﾘﾝｸ(profile.ameba.jp)
大学院も出てるらしい
こんな酷い数学力でどんな論文書いたのか気になるわ

630:１３２人目の素数さん
18/09/23 11:26:59.61 d+w7eKka.net
まじか……高校生くらいやと思ってた……

631:１３２人目の素数さん
18/09/23 11:49:04.90 JiHXCGH8.net
>>600
m-n = 2ik のとき
Fm ≡ (-1)^iFn (mod Lk)
ここの証明ができてない

632:１３２人目の素数さん
18/09/23 12:27:55.49 Yv6k7igS.net
高校生でももうちょっとましな証明するぞ

633:１３２人目の素数さん
18/09/23 13:35:28.01 sar49wwC.net
>>536
URLﾘﾝｸ(oeis.org)

634:１３２人目の素数さん
18/09/23 14:12:35.55 v+jlLp8E.net
G:有限群 φ:Gの自己同型
・ ∀x∈G について φ(φ(x))=x
・ φ(x)=x をみたすxは単位元のみ
このときGは可換であることを示せ

635:１３２人目の素数さん
18/09/23 17:47:24.44 uIIfqULX.net
>>615
F[x] + F[y] = F[(x+y)/2]L[(x-y)/2]
により
F[y+2z] + F[y] ≡ 0 (mod L[z])
F[y+2z] ≡ (-1)F[y] (mod L[z])
これを繰り返し用いて
F[y+2iz] ≡ (-1)^i F[y] (mod L[z])。

636:１３２人目の素数さん
18/09/23 17:56:42.06 uIIfqULX.net
>>617
> a(n) = ceiling(n(n+1)/6) for n > 5
おお、これが作れるなら最小性の証明できる。
なら話は違うな。
存在証明か…

637:１３２人目の素数さん
18/09/23 18:17:25.49 yOcg8Lx3.net
>>597
K=3のときの並びをコンピュータで算出してみました。
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9]
[1,] 赤白赤白白青青赤青
[2,] 赤白赤白白青青青赤
[3,] 赤白赤赤白白青青青
[4,] 赤白白青白青青赤赤
[5,] 赤白白白青青赤赤青
[6,] 赤白白白青青赤青赤
[7,] 赤白白白青青青赤赤
[8,] 赤白白白赤赤青青青
[9,] 白赤赤赤青青白白青
[10,] 白赤赤赤白白青青青
[11,] 白赤白赤赤青青白青
[12,] 白赤白白赤赤青青青
[13,] 青赤赤赤白白青青白
[14,] 青赤赤赤青青白白白
[15,] 青赤青赤赤白白青白
[16,] 青赤青青赤赤白白白

638:１３２人目の素数さん
18/09/23 18:30:05.59 6r+HqQTq.net
>>613
いや、オッサンになって数学全く使わない仕事してんならこんなもんだろう。頑張ってる方

639:１３２人目の素数さん
18/09/23 18:40:15.59 VgtK+kEe.net
>>620
あ、いやちがう。
>>617のa[n]は
>Maximal number of points that can be placed on a triangular grid of side n so that there is no pair of adjacent points.
だ。
そのような点の配置から現問題の条件をみたす standard tableaux が作れるかどうかはわからない。

640:イナ
18/09/23 20:34:27.67 uxTCre2F.net
>>614おもに高校生のときに数学をやってたんだからあながち高校生で間違ってない。前 >>596いや高校生にちがいない。

641:１３２人目の素数さん
18/09/23 20:37:14.50 cLiFCohn.net
>>593
> a[10] ≧ 19 は証明済みですか？
PCで最小操作数（最短経路）をダイクストラ法で探索した結果です。
> あとその shape は19個以下の◯と┌でタイリング出来ないことも証明済みですか？
これもPCで探索した結果21が最小でした。
また >>617の参考文献で証明されていそうです。

>>617
ありがとう。>>590の訂正した式でよさそうです。
（ときたまOEISを使うのに、使うことを思いつかなかったとは…）
n=11で23回（最小）のものが見つかりました。（すでに間違いだと判明した）予想だと25回です。
操作2だけでは25回になるものでしたが、操作1を混ぜることで小さくなります。
すこし不思議に感じるかもしれませんが、これは操作2が常に転倒数を3だけ変化させるわけではなく、
1だけ変化させることもあることによります。
転倒数の変化を追うことで問題解決のヒントが得られるかもしれません。
(23,[(1,3),(2,4),(3,5),(1,3),(4,6),(6,8),(4,6),(8,10),(7,8),(5,7),(3,5),(2,3),(7,9),(5,7),(3,5),(1,3),(9,11),(7,9),(5,7),(3,5),(1,3),(7,8),(5,7)])

642:１３２人目の素数さん
18/09/23 20:48:48.84 eh0nZaxt.net
>>625
>PCで最小操作数（最短経路）をダイクストラ法で探索した結果です。
そうなんですか。
じゃあやっぱりこの問題手がかりなしですね。a[n] = ┌n(n-1)/6┐なら最小性が必然になりますが、
┌10・9/6┐=15 ≠ 19 = a[10]
なのであれば下からの評価はほとんど出来る気がしない。
まあ >>617のサイトみたく
n≧✕✕ ⇒ a[n] = ┌n(n-1)/6┐
となってる淡い期待もありますが。
望み薄ですねぇ。

643:１３２人目の素数さん
18/09/23 21:18:21.29 eh0nZaxt.net
>>626
嘘書いた。
nが偶数のときは一般論＋αから一瞬ででてくる下から評価は
a[n] ≧ ┌ n(n-2)/6 ┐+ n/2
であってn=10のときは
┌80/6┐+10/2 = 18
だからもしかしたら、もうちょい議論すれば正しい下から評価でても不思議はないか。

644:１３２人目の素数さん
18/09/24 13:35:23.55 C29H7b6e.net
>>618
x≠e である x∈G が φ(x) を対をなすので、#Gは奇数。
Feit-Thompson の定理より、Gは可解群。
次の補題に帰着した。
〔補題〕
位数が奇数の可解群はつねに可換群か？

645:１３２人目の素数さん
18/09/24 17:30:24.22 C29H7b6e.net
>>597
　環状に並べるとする。　ローテーションしてもよい。
・k=1 のとき
　なし。

・k=2 のとき
　AABBCC → ABBCCA →,
2 x 6 = 12
・k=3 のとき
　AAABBBCCC → AABBBCCCA → ABBBCCCAA [7] →,
　AAABBCBCC → AABBCBCCA → ABBCBCCAA [4] → AABABBCCC → ABABBCCCA [2] → ABAACCCBB → ABBCCCAAB → 　AABBBCCAC → ABBBCCACA [6] →,
　12 x 6 = 72

646:１３２人目の素数さん
18/09/24 18:23:39.53 C29H7b6e.net
>>628
有限群Gの位数が奇数　⇒　Gの部分群の位数も奇数。　　…　ラグランジュの定理（群論）
奇数位数の単純群が巡回群だけなら、「位数が奇数の有限群は可換群」と言いたい所。
これが端緒になって有限単純群の分類研究が始まったのかも知れない。

647:１３２人目の素数さん
18/09/24 18:25:37.79 H+RX+3OI.net
>>597はどうみても出題ミスやろ？
こんなん解けんやろ？
まぁ900くらいになったらみんな答え上げてくるけど >>597は答え上がらんと思う。

648:１３２人目の素数さん
18/09/24 19:05:09.02 XRbxrrvI.net
>>618
とりあえず自分も分かったことを書いてみる。
・主張が正しいとすれば、φは逆元をとる写像である。
G が可換であるとする。
任意の G の元 x に対して、
　φ(xφ(x)) = φ(x)x = xφ(x)
であるから、φの条件より xφ(x)=e　(e は単位元)。
したがって φ(x)=x^(-1)
・無限群だと反例がある。
G を 2 元生成自由群とする。生成元を a,b とする。
自己同型 φ:G→G を φ(a)=b, φ(b)=a によって定まるものとすれば、
φは条件を満たすが、G は非可換である。

649:１３２人目の素数さん
18/09/24 20:03:17.74 uYmlDx9K.net
>>632
逆に、φが自己同型かつ逆元をとる写像なら、逆元をとる操作を「~」として
xy = φ((xy)~) = φ(y~ x~) = φ(y~) φ(x~) = yx
から可換であることが分かる。
つまり、φが逆元をとる写像であることを位数の有限性を利用して示せばいいわけか。

650:１３２人目の素数さん
18/09/24 22:26:58.03 ZjPmyjiO.net
>>597
k=4のときをPCで列挙してみた。回転および鏡像で同じになるものは１通りと数える。
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
[1,] 赤赤赤赤白白白白青青青青
[2,] 赤赤赤赤白白白青白青青青
[3,] 赤赤赤赤白白白青青白青青
[4,] 赤赤赤赤白白青白白青青青
[5,] 赤赤赤赤白白青白青白青青
[6,] 赤赤赤赤白白青青白白青青
[7,] 赤赤赤赤白白青青青青白白
[8,] 赤赤赤赤青青白白白白青青
[9,] 赤赤赤白赤白白白青青青青
[10,] 赤赤赤白赤白白青白青青青
(中略)
[174,] 青赤青青赤赤赤白白青白白
[175,] 青赤青青赤赤白赤白白青白
[176,] 青赤青青赤青赤赤白白白白
[177,] 青赤青青青赤赤赤白白白白
[178,] 青赤青青青赤赤白赤白白白
[179,] 青赤青青青赤赤白白赤白白
[180,] 青赤青青青白白赤赤赤白白
１８０通り

651:１３２人目の素数さん
18/09/24 22:32:28.80 ZjPmyjiO.net
>>634
K=2のときは回転・反転を同一視すると
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 赤白白青青赤
の一通り

652:１３２人目の素数さん
18/09/24 22:33:51.36 ZjPmyjiO.net
>>635
回転・反転を考えなければ
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 赤白白青青赤
[2,] 赤青青白白赤
[3,] 赤赤白白青青
[4,] 赤赤青青白白
[5,] 白赤赤青青白
[6,] 白青青赤赤白
[7,] 白白赤赤青青
[8,] 白白青青赤赤
[9,] 青赤赤白白青
[10,] 青白白赤赤青
[11,] 青青赤赤白白
[12,] 青青白白赤赤
の１２通り

653:１３２人目の素数さん
18/09/24 23:12:26.71 ZjPmyjiO.net
k=5だと
並べ方は順列で15!/(5!5!5!)=756756通りのうち
３個連続に３色含まないのは13194通りまでは出せた。
回転・鏡像を同一視しての計算はR言語では計算が終わりそうにない。

654:１３２人目の素数さん
18/09/24 23:24:19.06 JXoVVin2.net
>>621
先頭と最後を繋げると３色揃うから間違っているな。
やり直そう。

655:１３２人目の素数さん
18/09/24 23:39:52.69 ZjPmyjiO.net
>>621
k=3で
> print(matrix(c("赤","白","青")[core],ncol=3*k),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9]
[1,] 赤白赤白白青青青赤
[2,] 赤白白青白青青赤赤
[3,] 赤白白白青青赤青赤
[4,] 赤白白白青青青赤赤
の４通り

656:１３２人目の素数さん
18/09/24 23:42:57.24 ZjPmyjiO.net
>>634
k=4で
> print(matrix(c("赤","白","青")[core],ncol=3*k),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
[1,] 赤赤赤赤白白白白青青青青
[2,] 赤赤赤赤白白白青白青青青
[3,] 赤赤赤赤白白白青青白青青
[4,] 赤赤赤赤白白青白白青青青
[5,] 赤赤赤赤白白青白青白青青
[6,] 赤赤赤赤白白青青白白青青
[7,] 赤赤赤赤白白青青青青白白
[8,] 赤赤赤赤青青白白白白青青
[9,] 赤赤赤白赤白白白青青青青
[10,] 赤赤赤白赤白白青白青青青
[11,] 赤赤赤白赤白白青青白青青
[12,] 赤赤赤白白赤白白青青青青
[13,] 赤赤赤白白白白青青赤青青
[14,] 赤赤赤白白白白青青青赤青
[15,] 赤赤赤白白白青白青青赤青
[16,] 赤赤赤白白青白白青青赤青
[17,] 赤赤赤白白青青赤青青白白
[18,] 赤赤赤青青白白赤白白青青
[19,] 赤赤白赤赤白白白青青青青
[20,] 赤赤白赤赤白白青白青青青
[21,] 赤赤白赤赤白白青青白青青
[22,] 赤赤白赤赤青青白白白青青

657:１３２人目の素数さん
18/09/24 23:43:13.27 ZjPmyjiO.net
[23,] 赤赤白赤白赤白白青青青青
[24,] 赤赤白赤白白白青青赤青青
[25,] 赤赤白赤白白白青青青赤青
[26,] 赤赤白赤白白青白青青赤青
[27,] 赤赤白白赤赤白白青青青青
[28,] 赤赤白白赤赤青青白白青青
[29,] 赤赤白白赤白白青青赤青青
[30,] 赤赤白白赤白白青青青赤青
[31,] 赤赤白白白赤赤青青白青青
[32,] 赤赤白白白白赤赤青青青青
[33,] 赤赤白白白白青青赤赤青青
[34,] 赤赤白白白白青青赤青赤青
[35,] 赤赤白白白白青青青赤赤青
[36,] 赤赤白白白青白青青赤赤青
[37,] 赤赤白白青白白赤赤青青青
[38,] 赤赤白白青白白青青赤赤青
[39,] 赤赤白白青青赤赤白白青青
[40,] 赤赤白白青青赤赤青青白白
[41,] 赤赤白白青青白白赤赤青青
[42,] 赤赤白白青青青白白赤赤青
４２通り

658:１３２人目の素数さん
18/09/24 23:57:20.85 ZjPmyjiO.net
>>637
修正
k=5だと
並べ方は順列で15!/(5!5!5!)=756756通りのうち
３個連続に３色含まないのは10050通りまでは出せた

659:１３２人目の素数さん
18/09/25 00:43:05.05 lW3vMOXE.net
>>618
これは使えるだろうか…
次の場合に示せれば十分である。
「ある元 x∈G が存在して、G は x,φ(x) で生成される。」　…(*)
∵
任意に x∈G をとる。
>>633より、φ(x)=x^(-1) を示せばよい。
x,φ(x) で生成される部分群を H とおく。
φ(H)⊂H が成り立つ。
H が有限群であることとφの単射性から、φ は H の自己同型を誘導する。
φ の H への制限を φ_H とおく。
H と φ_H は問題の条件および (*) を満たす。
もし H において >>618が成り立てば、>>632より φ(x)=x^(-1) である。□

660:１３２人目の素数さん
18/09/25 02:49:43.86 Mf+IIU9l.net
>>640 >>641
　k=4 のとき
[ 1] AAAABBBBCCCC →　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4
[ 8] AAAACCBBBBCC → [32] AABBBBAACCCC → [ 7] AAAABBCCCCBB →　　 6
[ 2] AAAABBBCBCCC → [14] AAABBBBCCCAC → [ 9] AAABABBBCCCC →　　12
[ 3] AAAABBBCCBCC → [35] AABBBBCCCAAC → [12] AAABBABBCCCC →　　12
[ 4] AAAABBCBBCCC → [13] AAABBBBCCACC → [19] AABAABBBCCCC →　　12
[ 5] AAAABBCBCBCC → [34] AABBBBCCACAC → [23] AABABABBCCCC →　　12
[ 6] AAAABBCCBBCC → [33] AABBBBCCAACC → [27] AABBAABBCCCC →　　12
[10] AAABABBCBCCC → [15] AAABBBCBCCAC → [25] AABABBBCCCAC →　　12
[11] AAABABBCCBCC → [36] AABBBCBCCAAC → [30] AABBABBCCCAC →　　12
[16] AAABBCBBCCAC → [24] AABABBBCCACC → [20] AABAABBCBCCC →　　12
[17] AAABBCCACCBB → [31] AABBBAACCBCC → [22] AABAACCBBBCC → [37] AABBCBBAACCC → [42] AABBCCCBBAAC →　　　12
[39] AABBCCAABBCC →　　　ABBCCAABBCCA →　　　　　　　　　　　　　2
[40] AABBCCAACCBB → [28] AABBAACCBBCC → [41] AABBCCBBAACC → 　　6
[29] AABBABBCCACC → [21] AABAABBCCBCC → [38] AABBCBBCCAAC →　　12
[26] AABABBCBCCAC →　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4

661:１３２人目の素数さん
18/09/25 03:09:21.14 Mf+IIU9l.net
>>628 >>630
　φはGの自己同型である。
　e以外の元x∈Gを2個1組の対 {x，φ(x)} に分けたもの。
　逆元でなくてもいいと思うけど・・・・

662:１３２人目の素数さん
18/09/25 07:01:02.48 rGkYItR+.net
>>597
朝になったらk=5の計算が終わってた。

> print(matrix(c("赤","白","青")[core],ncol=3*k),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15]
[1,] 赤赤赤赤赤白白白白白青青青青青
[2,] 赤赤赤赤赤白白白白青白青青青青
[3,] 赤赤赤赤赤白白白白青青白青青青
[4,] 赤赤赤赤赤白白白白青青青白青青
[5,] 赤赤赤赤赤白白白青白白青青青青
中略
[331,] 赤赤白白青白白白青青赤青赤赤青
[332,] 赤赤白白青白青白白赤赤青赤青青
[333,] 赤赤白白青白青青白白赤赤青赤青
[334,] 赤赤青赤赤青青白白赤白白白青青
[335,] 赤赤青赤青青白白赤白赤白白青青
３３５通りと算出。
全列挙はここにあげた
URLﾘﾝｸ(fast-uploader.com)

663:１３２人目の素数さん
18/09/25 12:06:32.28 jg+qtJMH.net
>>618
f：G→Gをf(x)＝x^{-1}φ(x)∈Gと定義する。
まず、fは単射であることを示す。f(x)＝f(y)ならば、
x^{-1}φ(x)＝y^{-1}φ(y)だから、式変形していけば
x^{-1}φ(x)＝y^{-1}φ(y)
yx^{-1}φ(x)＝φ(y)
yx^{-1}＝φ(y)φ(x)^{-1}
yx^{-1}＝φ(yx^{-1})
仮定により、yx^{-1}＝eでなければならない。よって、y＝xとなるので、fは単射である。
Gは有限集合だから、fは全射である。次に、φ(f(x))＝f(x)^{-1} (∀x∈G)を示す。
f(x)φ(f(x))＝x^{-1}φ(x)φ(x^{-1}φ(x))＝x^{-1}φ(x)φ(x)^{-1}x＝e
よって、φ(f(x))＝f(x)^{-1} (∀x∈G)である。fは全射だから、
φ(y)＝y^{-1} (∀y∈G)が成り立つ。よって、x,y∈Gに対して、
φ(xy)＝φ(x)φ(y)＝x^{-1}y^{-1},
φ(xy)＝(xy)^{-1}＝y^{-1}x^{-1}
となるので、x^{-1}y^{-1}＝y^{-1}x^{-1}である。両辺の ^{-1} を取って
yx＝xyとなる。よって、Gは可換である。

664:１３２人目の素数さん
18/09/25 12:15:24.76 YWtDoB9t.net
>>647
>f(x)φ(f(x))＝x^{-1}φ(x)φ(x^{-1}φ(x))
は何故？

665:１３２人目の素数さん
18/09/25 13:27:08.29 jg+qtJMH.net
>>648
f(x)φ(f(x))の2つのf(x)にf(x)＝x^{-1}φ(x)を代入すれば
f(x)φ(f(x))＝x^{-1}φ(x)φ(x^{-1}φ(x))

666:１３２人目の素数さん
18/09/25 13:56:33.88 OlBAWD/P.net
>>649
thx

667:１３２人目の素数さん
18/09/25 15:04:15.54 Mf+IIU9l.net
>>597
a_{kk+4}　？
k=0　　a_4 = 0,
k=1　　a_5 = 0,
k=2　　a_8 = 1,　　　>>635
k=3　　a_13 = 4,　　　>>639
k=4　　a_20 = 42,　　　>>640 >>641
k=5　　a_29 = 335,　　　>>646
k=6　　a_40 = 3154,
k=7　　a_53 = 30196,
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
　　(Number of 6's in the last section of the set of partitions of n)

668:１３２人目の素数さん
18/09/25 15:47:18.03 OlBAWD/P.net
>>651
>Number of 6's in the last section of the set of partitions of n)
の意味すらわからんorz。

669:１３２人目の素数さん
18/09/25 16:39:58.35 OlBAWD/P.net
lambda n: sum(list(p).count(6) for p in Partitions(n) if 1 not in p)
って python? R?
どういう計算してるんですか？

670:１３２人目の素数さん
18/09/25 18:02:48.30 k/07D+i/.net
>>653
> って python? R?
Sage(SageMath) URLﾘﾝｸ(www.sagemath.org)
Pythonを使った数式処理ソフト
> lambda n: sum(list(p).count(6) for p in Partitions(n) if 1 not in p)
> どういう計算してるんですか？
Also number of occurrences of 6 in all partitions of n that do not contain 1 as a part.

671:１３２人目の素数さん
18/09/25 18:18:39.16 wYx6NI6B.net
次の行列式を計算し、因数分解せよ。
determinant{{(b+c)^2, c^2, b^2}, {c^2, (c+a)^2, a^2}, {b^2, a^2, (a+b)^2}}
俺には手計算できないんだけど、できる？

672:１３２人目の素数さん
18/09/25 18:39:41.43 FzreliLu.net
>>651
Rで列挙してみたけど、
k=6にすると
順列候補が17,153,136
csvにしたら600Mバイトを越えて
メモリ不足で読み込めず、この計算は断念。

673:１３２人目の素数さん
18/09/25 18:53:49.84 SXQ8iiU3.net
>>654
6 = 6
8 = 6 + 2
９＝６＋３
10 = 6 + 4 = 6 + 2 + 2
11 = 6 + 5 = 6 + 3 + 2
12 = 6 + 6 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3 = 6 + 2 + 2 + 2
13 = 7 + 6 = 6 + 5 + 2 = 6 + 4 + 3 = 6 + 3 + 2 + 2
14 = 8 + 6 = 6 + 6 + 2 = 6 + 5 + 3 = 6 + 4 + 4 = 6 + 4 + 2 + 2 = 6 + 3 + 3 + 2 = 6 + 2 + 2 + 2
こういう意味かな？

674:１３２人目の素数さん
18/09/25 18:58:44.85 SXQ8iiU3.net
でもこの意味だと流石に一致する気が全くしないんだけど。

675:１３２人目の素数さん
18/09/25 18:59:57.77 SXQ8iiU3.net
あ、ちがう、a_{k+4}ね。なら可能性あるか……

676:１３２人目の素数さん
18/09/25 21:40:05.35 Eb9fo1bk.net
さすがにたまたま4項あっただけな希ガス

677:１３２人目の素数さん
18/09/25 22:17:32.79 rPFxES/9.net
>>647
お見事
ちなみにf(x)=x^{-1}φ(x)の意味を考えるとしたら
単位元とのズレ、とでもなるのでしょうか
またこのようなf(x)を考えるのはよくあること？

678:１３２人目の素数さん
18/09/26 00:10:59.85 zomwMvsu.net
>>655
2(ab+bc+ca)^3

679:１３２人目の素数さん
18/09/26 00:18:06.08 bt38Ex19.net
>>618
これは美しい証明を得たが、
それをみると自然に次の問が浮かんでくる

G:有限群 φ:Gの自己同型
・ ∀x∈G について φ^{n}(x)=x
・ φ(x)=x をみたすxは単位元のみ
このときGは可換であるか？
ただし、φ^{1}=φ(x)、 φ^{n}(x)=φ(φ^{n-1}(x)) である。

680:１３２人目の素数さん
18/09/26 01:01:21.81 QBwnT99Q.net
>>651
自分もPCで >>597を数えたら、k=6 で 3501、k=7 で 36820 だった。
def three_letter_nonadjacent_words(counter, word, letters="abc"):
if sum(counter) == 0:
yield word
return
for i,x in enumerate(letters):
if counter[i] > 0:
if len(word) < 2 or {x,word[-1],word[-2]} != set(letters):
c = list(counter)
c[i] -= 1
yield from three_letter_nonadjacent_words(tuple(c), word + x)
def circularly_legal(word, letters=set("abc")):
return {word[0],word[-1],word[-2]} != letters \
and {word[1],word[0],word[-1]} != letters
def circular_three_letter_nonajacent_words(k):
for word in three_letter_nonadjacent_words((k,)*3,""):
if not circularly_legal(word):
continue
yield word
def num_fixed_perms(word):
n = len(word)
r = 1
for i in range(1,n):
if word[i:] == word[:-i] and word[:i] == word[-i:]:
r += 1
rev = word[::-1]
if word == rev:
r += 1
for i in range(1,n):
if word[i:] == rev[:-i] and word[:i] == rev[-i:]:
r += 1
return r
def num_circular_three_letter_nonajacent_words(k):
#used Burnside's lemma
return sum(num_fixed_perms(word) for word in \
circular_three_letter_nonajacent_words(k)) // (6*k)
for k in range(1,7):
print(k, num_circular_three_letter_nonajacent_words(k))

681:１３２人目の素数さん
18/09/26 01:20:57.38 bjLF+FF2.net
やっぱり >>597は無理やろ？
せいぜい計算機でプログラミングの練習位にしかならんと思う。

682:１３２人目の素数さん
18/09/26 10:02:25.87 JunfIhlz.net
私もチャレンジしたところ、同じ結果が得られました。
当初、色の入れ替えも同一視するプログラムを作ってしまっていたため、
その結果があります。それも添えます。
k=8は、重複チェック用のメモリが確保できないとのメッセージが出たため、
実行できませんでした。(色入替同一視版は可能でした)
k=2...　１　　　　　(1)
k=3...　４　　　　　(2)
k=4...　４２　　　　(13)
k=5...　３３５　　　(67)
k=6...　３５０１　　(651)
k=7...　３６８２０　　(6258)
k=8...　？？？？？？　　(68747)

683:１３２人目の素数さん
18/09/26 10:51:16.17 zomwMvsu.net
>>598 >>605 のせいで難しい…
回転・反転を区別すれば a_{k-1}
ここに　tan(x) sinh(x) = Σ[n=0，∞] {a_n/(2n)!} x^{2n},
k=1　　a_0 = 0,
k=2　　a_1 = 2 パターン　　 >>629 >>636
k=3　　a_2 = 12 パターン　　 >>629
k=4　　a_3 = 142 パターン　　 >>629
k=5　　a_4 = 3192

684: パターン k=6　　a_5 = 116282 パターン a_n ～ 2 sinh(π/2) (2n)! (2/π)^(2n+1),　　　(n>>1) http://oeis.org/A009747 　　（Exponential generating function = tan(x)sinh(x) )

685:１３２人目の素数さん
18/09/26 11:36:44.96 CV990pYj.net
>>667
＞回転・反転を区別すれば a_{k-1}
＞ここに　tan(x) sinh(x) = Σ[n=0，∞] {a_n/(2n)!} x^{2n},
おお、これだけでも十分素晴らしい！
それで十分だから解答のせてたも！

686:１３２人目の素数さん
18/09/26 20:52:50.98 kMXjNQ4p.net
>>667
？
回転・反転を区別して、色の入れ替えを同一視するなら次になるけど：
k=1: 0
k=2: 2
k=3: 12
k=4: 142
k=5: 1675
k=6: 20648
k=7: 257740

687:１３２人目の素数さん
18/09/26 20:55:15.37 JunfIhlz.net
メモリを動的確保に変えて計算させました
k=8...　407629　　(68747)

688:１３２人目の素数さん
18/09/26 23:11:19.44 geJ49fv1.net
x^12+y^12+z^12-2*((xy)^6+(xz)^6+(yz)^6)=0
(x^n-y^n)≠√((2*y^n+2*x^n-z^n)*z^n)
(y^n-z^n)≠√((2*y^n+2*z^n-x^n)*x^n)
(x^n-z^n)≠√((2*x^n+2*z^n-y^n)*y^n)

√((2*y^n+2*x^n-z^n)*z^n)+√((2*y^n+2*z^n-x^n)*x^n)+√((2*x^n+2*z^n-y^n)*y^n)≠0

689:１３２人目の素数さん
18/09/27 00:27:52.60 Ny+jsTgk.net
結局 >>667 は間違ってるの？
でもまぁなんかの足しになるかもしれないから
>回転・反転を区別すれば a_{k-1}
>ここに　tan(x) sinh(x) = Σ[n=0，∞] {a_n/(2n)!} x^{2n},
を導出した過程をうｐして下さりませ。

690:１３２人目の素数さん
18/09/27 19:09:40.41 Ia/JTFRy.net
>>597
自分は >>665に同意。もしきれいな式があったら、興味を持つが。
以下、PCでの探索まとめ。
回転・反転を区別、色の入れ替えを同一視
k=1: 0
k=2: 2
k=3: 12
k=4: 142
k=5: 1675
k=6: 20648
k=7: 257740
k=8: 3255630
k=9: 41515401
回転・反転を同一視、色を区別
k=1: 0
k=2: 1
k=3: 4
k=4: 42
k=5: 335
k=6: 3501
k=6: 36820
k=8: 407629
k=9: 4612825
回転・反転・色の入れ替えを同一視
k=1: 0
k=2: 1
k=3: 2
k=4: 13
k=5: 67
k=6: 651
k=7: 6258
k=8: 68747
k=9: 770248

691:１３２人目の素数さん
18/09/27 19:13:11.34 Ia/JTFRy.net
有名問題だと思うけど。
すべての辺の長さが自然数の三角形で周の長さが nのもの(合同を同一視する)の個数を a[n]としたときの
a[n]の生成関数、つまり f(x) = Σ[n=0,∞] a[n] x^n となる関数 f(x)を求めよ。

692:１３２人目の素数さん
18/09/28 09:55:02.92 UYgVuIW1.net
>>673
この計算に使った言語は何でしょうか？

693:１３２人目の素数さん
18/09/28 11:49:51.98 phrHQfEJ.net
>>674
おっしゃる通りです。 Alcuin数列
　ｆ（ｘ） = (x^3)/{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
なお、これは周長が n+6 である不等整数辺⊿の数でもある。(辺長≧2 となる。)
　a≦b≦c　のとき (a,b,c) ⇔ (a+1,b+2,c+3)

694:１３２人目の素数さん
18/09/28 12:13:54.75 uvbX02Yn.net
>>672お願いします。

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