面白い問題おしえて～な 27問目

面白い問題おしえて～ ..

514:イナ
18/09/17 02:49:49.68 +bylqonv.net
>>495
V=1/6
正四面体は0≦x≦1の範囲にある。
一方、3z≧x^2-2のx軸上の範囲は、
z=(x^2)/3-2/3のグラフより、
0≦x≦√2
z軸について下に凸だから、
3z≧x^2-2の領域は正四面体Vを包含する。
同様にx=y^2-1/2のグラフより、
求める物体は正四面体Vを放物面x=y^2-2で切りこみ、x＜y^2-1/2の部分を切りとったもの、すなわちy=0の平面からy=1/√2の平面までは三角錘台として求め、y=1/√2の平面からy=(√7-1)/2の平面まではy=tで水平に切った切り口の面積の和として求める。
具体的にはその区間で微分して積分する。
三角錘台は1/6-1/6(1-1/√2)^3
積分区間のy=tにおける断面積は、
1/2(1/2-t^2)^2
積分区間を表す括弧を【】にすると、
(求める物体の体積)=1/6-1/6(1-1/√2)^3+(1/2)∫【1/√2～(√7-1)/2】(1/2-t^2)^2}dx
1/6-1/6(1-1/√2)^3+(1/2)∫【1/√2～(√7-1)/2】(1/2-t^2)^2}dx
=(5√2+6)/24+(1/2)[t/4-t^3/3+t^5/5]【1/√2～(√7-1)/2】
=……ひたすらべつに面白くもない計算をし、
通分して表すと、
=(50√2+1453√7-3757)/240

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