面白い問題おしえて～な 27問目

面白い問題おしえて～な 27問目 at MATH

[前50を表示]
500:１３２人目の素数さん
18/09/15 15:06:24.20 Vl7XZ52q.net
t:歩行時間
l:歩行距離
迎えの車速:rv
同乗の車速:v
通常走行時間:d/rv+d/v
早退時走行時間:(d-l)/rv+(d-l)/v
d/rv+d/v - ((d-l)/rv+(d-l)/v)= 10/60
l (r + 1)/rv=10/60
l/v=10/60*r/(r+1)
5+d/v - {4+t+(d-l)/v}= 10/60
1-t+l/v=10/60
t=50/60+l/v=(50+10*r/(r+1))/60
迎えの車速が社長同乗時のr倍とすると
社長の歩いた時間は
　50+10*r/(r+1) 分

501:イナ
18/09/15 15:30:03.04 6DLGbKCd.net
>>483実際そんなもんかも。午後4時台はわりと進むと思うけど午後5時台の下りは混む可能性が高い。速度半分はかなりリアルですね。前 >>482

502:１３２人目の素数さん
18/09/15 17:08:30.20 Vl7XZ52q.net
>>484
ABの傾きが60
BCの傾きが-30
CC'=10/60のときHH'を求めよという幾何の問題になるな。
どうすれば簡単に求まるだろ？

503:１３２人目の素数さん
18/09/15 17:37:35.43 VibLIqgl.net
>>487
リアルさでいうなら、社長は早く帰宅しなければならない用事ができた。
５時に到着するようにクルマが会社に向かっている、社長は自宅に向かって歩きだした
４時３０分にクルマと合流した、いつもより何分早く帰宅できるか？
こういう方が現実にはありそう。

504:１３２人目の素数さん
18/09/15 18:02:29.87 Vl7XZ52q.net
>>489
>486の式の10/60をXに置き換えて
社長の歩行時間をt hourとすると
X= (r + 1) (1- t ) hour早く到着。

505:イナ
18/09/15 18:06:40.63 6DLGbKCd.net
>>489一時間余裕が生まれたから健康と気分転換のために散歩しよう、電源切って。前 >>487このほうが社長らしいと思います。

506:１３２人目の素数さん
18/09/15 20:47:26.08 LMepW5/l.net
どのような非負整数a,b,cに対しても、下記の方程式を満たす非負整数m,nが存在すると言えるか。
a(m+bn)-cn^2=1

507:１３２人目の素数さん
18/09/15 20:48:24.35 LMepW5/l.net
>>492
訂正
正しくはam(m+bn)-n^2=1

508:１３２人目の素数さん
18/09/15 22:07:59.67 Vl7XZ52q.net
>>490
一般化してみた。
歩行時間:t
歩行距離:l
迎えの車速:rv
同乗の車速:v
出発時刻差:s
到着時刻差:X
通常走行時間:d/rv+d/v
早退時走行時間:(d-l)/rv+(d-l)/v
d/rv+d/v - ((d-l)/rv+(d-l)/v)= X
l (r + 1)/rv=X
l/v=X*r/(r+1)
s0+s+d/v - {s0+t+(d-l)/v}= X
s-t+l/v=X
X=(r + 1) (s - t)
t = (r s + s - X)/(r + 1)

509:１３２人目の素数さん
18/09/15 22:17:09.08 LMepW5/l.net
xyz空間の4点
O(0,0,0),A(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1)
を頂点とする四面体Vがある。
Vの内部で、領域
2x≧2y^2-1かつ3z≧x^2-2
の内部にもある部分の体積を求めよ。

510:１３２人目の素数さん
18/09/16 01:18:06.94 yOmOmGvY.net
>>492-493
方程式 x^2+abx-a =0 の解をα,βとしQ(α) = Kとおくと
N(n+mα) = (n+mα)(n+mβ) = n^2 - abmn - am^2。
よってKの基本単数をεとするとき
∃m n n^2 - abmn -am^2 = -1 ⇒ N(ε) = -1。
ここで a=2、b=1のときK=Q(√3)でありε=2+√3、N(ε) = 1ゆえ与式は解を持たない。

511:１３２人目の素数さん
18/09/16 09:41:27.00 iQSIwjej.net
別スレより
Aをn次交代行列とする。det(A) をその行列式、Pf(A) をPfuffianとする。
このとき
　det(A) = Pf(A)^2
を示せ。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)

512:１３２人目の素数さん
18/09/16 22:19:20.63 F9M9l7xY.net
>>495
誰かこの傑作を解いて

513:１３２人目の素数さん
18/09/16 22:52:52.67 6dAlb6yD.net
だいたい前スレからの流れだと、これ以上待っても答え出そうになさそうなタイミングで自分が解答貼るのが通例だな。

514:イナ
18/09/17 02:49:49.68 +bylqonv.net
>>495
V=1/6
正四面体は0≦x≦1の範囲にある。
一方、3z≧x^2-2のx軸上の範囲は、
z=(x^2)/3-2/3のグラフより、
0≦x≦√2
z軸について下に凸だから、
3z≧x^2-2の領域は正四面体Vを包含する。
同様にx=y^2-1/2のグラフより、
求める物体は正四面体Vを放物面x=y^2-2で切りこみ、x＜y^2-1/2の部分を切りとったもの、すなわちy=0の平面からy=1/√2の平面までは三角錘台として求め、y=1/√2の平面からy=(√7-1)/2の平面まではy=tで水平に切った切り口の面積の和として求める。
具体的にはその区間で微分して積分する。
三角錘台は1/6-1/6(1-1/√2)^3
積分区間のy=tにおける断面積は、
1/2(1/2-t^2)^2
積分区間を表す括弧を【】にすると、
(求める物体の体積)=1/6-1/6(1-1/√2)^3+(1/2)∫【1/√2～(√7-1)/2】(1/2-t^2)^2}dx
1/6-1/6(1-1/√2)^3+(1/2)∫【1/√2～(√7-1)/2】(1/2-t^2)^2}dx
=(5√2+6)/24+(1/2)[t/4-t^3/3+t^5/5]【1/√2～(√7-1)/2】
=……ひたすらべつに面白くもない計算をし、
通分して表すと、
=(50√2+1453√7-3757)/240

515:１３２人目の素数さん
18/09/17 03:40:22.83 xEisEVSk.net
直方体ABCD-EFGHにおいて、
　(△BDE)^2=(△ABD)^2+(△ADE)^2+(△AEB)^2
が成り立つことを示せ
(ただし、△BDEなどはその三角形の面積を表す)

516:１３２人目の素数さん
18/09/17 12:57:45.00 6l7hT17C.net
正八面体の投影図が六角形となる必要十分条件を求めよ。(ただし平行四辺形の辺上に点が存在するものは平行四辺形とする)

517:イナ
18/09/17 13:00:23.53 +bylqonv.net
前 >>500訂正。
放物面x=y^2-1/2
(-2じゃなく-1/2)予測変換してしまうんで。

518:１３２人目の素数さん
18/09/17 13:36:17.70 iDwWzM3i.net
>>501
4面体ABDE で考える。
　△BDE = (1/2)｜↑BD×↑BE｜,
を求める。
　A (0, 0, 0)
　B (b, 0, 0)
　D (0, d, 0)
　E (0, 0, e)
とおくと、
　↑BD = (-b, d, 0)
　↑BE = (-b, 0, e)
(1/2)↑BD×↑BE = (de/2, eb/2, bd/2) = (⊿ADE, ⊿AEB, ⊿ABD)
これより求める関係が出る。
なお、(1/2)↑BD×↑BE = △BDE ↑ｎ,
　↑ｎは平面BDEの法線単位ベクトル。
もちろん、DE^2 = x, EB^2 = y, BD^2 = z とおいてヘロンの公式
　S = (1/4)√{2(xy+yz+zx) -xx -yy -zz},
を使ってもできます。

519:１３２人目の素数さん
18/09/17 13:47:13.51 kitNQFyN.net
>>501
△BDE、△ABD、△ADE、△AEBの単位法線ベクトルをそれぞれn、e、b、d、平面BDEへの射影像の面積をS、Se、Sb、Sdとする。
　△ABD = (ne)△BDE、△ADE = (nb)△BDE、△AEB = (nd)△BDE
により
　与式右辺 = ((ne)^2 + (nb)^2 + (nd)^2)(△BDE)^2 = (△BDE)^2 = 与式左辺 (∵ n は単位ベクトルで(e,b,d)は正規直交規定)。

520:１３２人目の素数さん
18/09/17 13:49:28.65 kitNQFyN.net
>>504カブスマ
 >>505
間違いじゃないが
＞平面BDEへの射影像の面積をS、Se、Sb、Sdとする。
はいらなかった。

521:１３２人目の素数さん
18/09/17 13:59:07.52 iDwWzM3i.net
>>497
nが奇数なら0、nが偶数のときはパフィアンの2乗になる。
分かスレ４４６　939-944　を参照。

522:１３２人目の素数さん
18/09/17 14:00:00.18 xEisEVSk.net
>>504,505
明快ですね
自分が用意してたのは、>>504のように頂点の座標を決めて
△BDEを含む平面x/b+y/d+z/e=1と原点との距離を求め、
四面体ABDEの体積を2通りに表す、という方針でした

523:イナ
18/09/17 14:38:02.41 +bylqonv.net
1/6=0.166……＞(50√2+1453√7-3757)/240=0.6……
おかしい。間違ってる。
前 >>503

524:イナ
18/09/17 15:37:41.63 +bylqonv.net
前 >>509y=tで切った切り口の面積が違った。やりなおしたい。時間をくれないか。

525:学術
18/09/17 15:48:12.76 jlhqH3K5.net
ベクレルが課題。

526:１３２人目の素数さん
18/09/17 18:29:57.52 PkdZ1PhU.net
>>507
そうです。それを証明して下さいが題意。
wikipediaに載ってる定義どうりにやって力押ししてもできるかもしれませんが、用意の解答は一工夫しました。
自然な問題なのでいろんな面白いルートがありそう。

527:１３２人目の素数さん
18/09/17 20:20:23.27 UGjqumaZ.net
>>497 >>507
あ、nは偶数です。てかnが奇数のときのPfaffianの定義はしりません。
定義はwikiのサイト
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
によるものとします。

528:１３２人目の素数さん
18/09/17 22:08:24.85 oyf1BTQk.net
nを2以上の自然数としる。
1～nの自然数を小さい方から並べた順列 1,2,3,……,n を、
次の操作1 or 操作2 を繰り返して n,n-1,……,2,1と逆順にしたい。
[操作1] 隣接する2項を入れ替える。
[操作2] 隣接する3項 x, y, z について(yはそのままで) xとzを入れ替える。
操作を行う必要回数をa[n] とおく。この a[n] を求めたいのです。
例えばn=4のときは
1234 → 3214 →3412 → 4312 → 4321 で4回で行けそうです。
調べると a[2]=a[3]=1, a[4]=a[5}=4, a[6]=a[7]=7, a[8]=14 になるみたい(自信無し)なのですが
一般項は求められるでしょうか。漸化式でも分かればいいのですが。
宜しくお願いします。

529:イナ
18/09/17 23:50:37.55 +bylqonv.net
前 >>510
正四面体(V=1/6の三角錘)に放物曲面x=y^2-1/2の切れ目を入れる。点B(0,1,0)を含む一角をとりのぞくだけだから、求める体積は0.15ぐらい。
0≦t≦1/√2の値をとるxy平面と平行な平面z=tで切った切り口の面積をtで表す。
0≦y≦1/√2の範囲は切り口が平面だから角錐台として体積V1を求める。
1/√2≦y≦(√7-1)/2の部分を微分積分。
体積V2=∫【1/√2～(√7-1)/2】{(1-t)-(t^2-1/2)}dt
V1=(1/√2)(1-1/√2)+(1/2)(1/√2)^2+……
(つづく)

530:１３２人目の素数さん
18/09/18 00:23:52.23 DDbX/VPU.net
>>514
a[6] = 7 はどうやんの？

531:１３２人目の素数さん
18/09/18 01:32:00.80 Jl+kWzy4.net
色んなやり方ありますがたとえば
123456 → 132456 → 132465 → 136425 → 631425 → 634125 → 634521 → 654321

532:１３２人目の素数さん
18/09/18 01:38:30.14 4du09Zrz.net
どの面も出るのが同様に確からしい８面ダイスを
独立に２回振った時に少なくとも一回は４の目が出る
確率はいくらですか？
　１..２..３..４..５..６.７..８
１■■■□■■■■
２■■■□■■■■
３■■■□■■■■
４□□□□□□□□
５■■■□■■■■
６■■■□■■■■
７■■■□■■■■
８■■■□■■■■
一回目i，二回目ｊとして
Ω＝｛（i，j）|１≦i≦８，１≦ｊ≦８｝から
#A＝６４－４９＝１５なので
少なくとも一回は４の目が出る確率は
P(A)＝１５／６４ですか？

533:１３２人目の素数さん
18/09/18 01:54:40.72 uKx/Thq1.net
次の行列式を計算し、因数分解せよ。
determinant{{ax, az+cx, cz}, {ay+bx, aw+dx+bz+cy, cw+dz}, {by, bw+dy, dw}}

534:１３２人目の素数さん
18/09/18 01:58:54.74 H/WECQa6.net
>>516
なるほど。
なんか Coxeter Group の reduced expression の理論とかいうのがあるらしいけどそれ使えないのかな？

535:１３２人目の素数さん
18/09/18 02:03:13.03 H/WECQa6.net
>>519
(%i1) determinant(matrix([a*x,a*z+c*x,c*z],[a*y+b*x,a*w+d*x+b*z+c*y,c*w+d*z],[b*y,b*w+d*y,d*w])),factor;
(%o1) (a*d－b*c)*(b*z+c*y－d*x－a*w)*(y*z－w*x)

536:イナ
18/09/18 02:05:40.00 1O5/8SmF.net
前 >>515
z=t平面の切り口の面積を、
0≦t≦1/√2の範囲で積分し、あとの部分は三角錘台として求める。
z軸に垂直な面でスライスすれば、積分区間は0～1/√2でいいことに気づいた。
放物曲面の屋根がついた部分=∫【0～1/√2】{(1-t)-t^2-1/2)dt
=[3t/2-t^2/2-t^3/3]【0～1/√2】
=(2√2)/3-1/4
三角錘台=1/6-1/2√2
V=(2√2)/3-1/4+1/6-1/2√2
=0.152368927……
あってる。

537:イナ
18/09/18 02:31:32.09 1O5/8SmF.net
前 >>522
通分したかたちで表すと、
V=(2√2)/3-1/4+1/6-1/2√2
=(5√2-1)/12
≒0.5……
あってない。Googleの演算順序が読みちがえていい値になっただけ。

538:１３２人目の素数さん
18/09/18 03:08:29.08 uKx/Thq1.net
>>521
手計算で出せる人間いるのかな？

539:１３２人目の素数さん
18/09/18 04:41:58.58 VmGjAMY2.net
>>508
頂点Aから平面BDEまでの距離をhとする。
４面体A-BDEの体積Vは
　V = (b/3)⊿ADE = (d/3)⊿AEB = (e/3)⊿ABD = (h/3)△BDE,
(右辺) = (⊿ADE)^2 + (⊿AEB)^2 + (⊿ABD)^2 = (3V/b)^2 + (3V/d)^2 + (3V/e)^2,
(左辺) = (△BDE)^2 = (3V/h)^2,
ところで　h = 1/√(1/bb + 1/dd + 1/ee)　だから成立。

540:１３２人目の素数さん
18/09/18 06:19:38.19 VmGjAMY2.net
>>524
[ax, az+cx, cz]
[ay+bx, aw+bz+cy+dx, cw+dz]
[by, bw+dy, dw]
　　||
[a, c, 0, 0] [x, z, 0]
[b, d, a, c] [0, x, z]
[0, 0, b, d] [y, w, 0]
　　　　　　 [0, y, w]
　　||
[a, 0, c, 0] [x, z, 0]
[b, a, d, c] [y, w, 0]
[0, b, 0, d] [0, x, z]
　　　　　　 [0, y, w]
では出ませぬ^^

541:１３２人目の素数さん
18/09/18 06:35:28.90 uKx/Thq1.net
>>526
結果から、行列の積に書き直してからdet計算するのかと思ったけど、3次行列だった…。

542:１３２人目の素数さん
18/09/18 06:38:51.57 VmGjAMY2.net
>>526　の続き
　[a, c, 0, 0]
　[b, d, a, c]
　[0, 0, b, d]
の任意の3列からなる正方行列は、1行目 or 3行目の非0成分が1個だけで
　[a, c]　= ad-bc
　[b, d]
を因子にもつ。
同様に
　[x, z, 0]
　[y, w, 0]
　[0, x, z]
　[0, y, w]
の任意の3行からなる正方行列は、1列目 or 3列目の非0成分が1個だけで
　[x, z]　= wx-yz
　[y, w]
を因子にもつ。
∴　(ad-bc) ( ????? ) (wx-yz) の形になるのは分かるが…

543:１３２人目の素数さん
18/09/18 07:24:09.24 jt6dJF0A.net
>>514
a[7]=7 はどうやるの？

544:１３２人目の素数さん
18/09/18 11:48:44.48 uKx/Thq1.net
次の行列式を計算し、因数分解せよ。
determinant{{a, b, c, 0}, {y, x, 0, -c}, {z, 0, -x, -b}, {0, -z, -y, -a}}
これも手計算は無理？

545:イナ
18/09/18 13:11:40.78 1O5/8SmF.net
積分する区間をもっと限定できる。前 >>523
P(0,1/√2,0)
Q(0,1/√2,1-1/√2)
R(1-1/√2,1/√2,0)
S((3-√7)/2,(√7-1)/2,0)
T((3-√7)/2,1/√2,0)
物体PQRSのうち、放物曲面PQSを持つ物体PQSTの部分のみ微分積分する。
(つづく)

546:１３２人目の素数さん
18/09/18 13:25:52.02 B1WJ6rBc.net
>>530
それは１列目と４列目、2列目と３列目ひっくり返して >>497でいける。

547:１３２人目の素数さん
18/09/18 18:02:58.18 PmqjCaim.net
>>514,520
あかん。s[1]=(12

548:)、…、s[n-1]=(n-1 n)、t[1]=(13)、…t[n-2]=(n-2 n)で(s[i]s[i+1])^3 = 1、(s[i]t[i])^3=1、…全部いれてもCoxter Systemにならん。なのでもちろん reduced expression の理論もつかえない。なので解けるにしても一般論は使えず、ゴリゴリやるしかなさそう。

549:イナ
18/09/18 18:53:58.62 1O5/8SmF.net
座標を整理する。
P(0,1/√2,0)
Q(0,1/√2,1-1/√2)
R(1-1/√2,1/√2,0)
S((3-√7)/2,(√7-1)/2,0)
T((3-√7)/2,1/√2,0)
放物曲面を平面z=tで切ったときのQSとの交点をUとすると、
U((3-√7)t/(2-√2)+(3-√7)/2,√(t+1/2),t)
三角錘台PQR-OCA=1/6-1/6(1-1/√2)^3
=(7√2)/24-1/4―①
三角錘台PQR-OCAより上の部分のうち平面のみで囲まれた部分QRST=(1/3)(1/2){1-1/√2-(3-√7)/2}{(√7-1)/2-1/√2}(1-1/√2)
=(1/6)(√7-√2-1)/2}{(√7-√2-1)/2}{(2-√2)/2}
=(8-3√2-√14)/48―②
三角錘台PQR-OCAより上の部分のうち放物曲面PQSの屋根を持つ部分=∫【0～1-1/√2】(3-√7)t/(2-√2)+(3-√7)/2-(t^2-1/2)}dt
=∫【0～1-1/√2】{(3-√7)t/(2-√2)+(4-√7)/2-t^2}dt
=[(4-√7)t/2+(3-√7)t^2/2(2-√2)-t^3/3]【0～1-1/√2】
=35/12-(19√2)/24-(7√7)/4+(3√14)/4―③
①+②+③=17/6-(27√2)/48-(7√7)/4+(35√14)/48
=0.136065255……
前 >>531頂点B付近を意外と大きくえぐってくるな。
問題 >>495禿げたくない。

550:１３２人目の素数さん
18/09/18 21:47:37.31 i+qJz8xt.net
>>514,529
a[7]=7 にはならない。なぜなら、
順列7654321は転倒数が21であり、操作1,2は転倒数を高々それぞれ1,3しか増加させないので、
操作数が7なら、すべて操作2でなくてはならないが、この場合、互いに独立した1357と246の隣接互換での操作に等しい。
それぞれ7531と642にする操作数は、それぞれ6,3なので、合わせて9となり、矛盾する。
また、順列7654321は置換として奇置換であり、操作1,2も奇置換であるから、操作数は奇数。
したがって、上のすべて操作2の場合が最小となり、a[7]=9。
PCにやらせた結果も、a[7]=9。
PCの結果は、a[2]=a[3]=1, a[4]=a[5]=4, a[6]=7, a[7]=9, a[8]=14, a[9]=16。
（a[9]=16 出すのに数時間かかった。）

551:１３２人目の素数さん
18/09/18 21:49:30.43 i+qJz8xt.net
>>514
根拠は薄弱だが、下のような n-1個から始まる階段状の○に
┏━を最大限敷き詰めたときの、
┃
┏━と○の個数の合計が、a[n]であると予想する。
┃
n=8の場合：
○○○○○○○
○○○○○○
○○○○○
○○○○
○○○
○○
○
に最大限敷き詰めて、
┏━┏━○┏━
┃○┃┏━┃
┏━○┃○
┃○┏━
┏━┃
┃○
○
で、a[8]=7+7=14。
これがもし正しいなら、n=2k+1のとき a[n]=k^2、n=2kのとき a[n]=k^2 - 2[(2k-1)/5]。
ただし、[]はガウス記号(floor関数)。
実際 n=16のとき上の式で a[16]=64-6=58 であるが、下のように58回でできる：
(56)(45)(67)(34)(56)(78)(bc)(ab)(cd)(8a) (68)(ac)(46)(8a)(ce)(24)(68)(ac)(ef)(12)
(46)(8a)(ce)(fg)(24)(68)(ac)(ef)(46)(8a) (ce)(68)(ac)(8a)(34)(56)(78)(45)(67)(56)
(ab)(cd)(bc)(13)(35)(13)(24)(ce)(eg)(ce) (df)(78)(ab)(8a)(68)(89)(9b)(79)。
ここで、()は互換（操作1,2を表す）で、10～16をa～gとした。
最小回数であることは確かめていない。（簡単にできる方法ある？）

552:学術
18/09/18 23:10:13.17 bdccv7Cm.net
しかし穴埋め問題なんて見りゃわかるだろうさ。独りよがりでない事。

553:学術
18/09/18 23:13:04.59 bdccv7Cm.net
不自然さを競うなよ。理系頭脳は秩序だったフィクションだと世界を気付かない。

554:１３２人目の素数さん
18/09/18 23:36:35.93 Fj5Ev5sJ.net
>>536
その “敷き詰め” から逆順に持っていく “置換” はどう対応してるんですか？

555:１３２人目の素数さん
18/09/18 23:41:45.83 hNCQZTmT.net
あ、わかった┌が一個飛びの置換で◯が隣接する置換か。
でもその “敷き詰め” の “┌” と “◯” の合計が
＞n=2k+1のとき a[n]=k^2、n=2kのとき a[n]=k^2 - 2[(2k-1)/5]
になるのは何故ですか？

556:１３２人目の素数さん
18/09/19 04:38:55.67 xWCfGFrt.net
正八面体Kの各辺の中点を通る球C、Vの内接球Dを考える。
Kの外側かつCの内部である領域の体積（すなわち、8つの閉領域の和集合の体積）をVとおくとき、Dの体積とVの大小を比較せよ。

557:１３２人目の素数さん
18/09/19 08:00:10.05 FaK0ssKS.net
慶應義塾大学の大学院生が発見、世界でたった一組の三角形
URLﾘﾝｸ(univ-journal.jp)
これまで知られていなかった定理の証明に成功
辺の長さが全て整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、
周の長さも面積も共に等しい組が（相似を除いて）たった1組しかない。
これまで知られていなかった定理の証明に成功した。

558:１３２人目の素数さん
18/09/19 08:23:55.03 hJ1rl5wX.net
>>542
>>441

559:１３２人目の素数さん
18/09/19 08:55:36.98 4b08hYvS.net
「同じ長さの針金が二本ある。
　一本の針金を、2箇所の有理点で切り(※)、三角形状に並べたら直角三角形になった。
　もう一本の針金を、別の2箇所の有理点で切り、三角形状に並べたら二等辺三角形になった。
　偶然にもこの二つの三角形の面積が等しくなった。
　さて、この二本の針金、どのような長さに切ったか？」
初見では「そんなもの、いくらでもあるだろう」「確定できるの？」等と思うと思うが、
実は、ユニークな答えが存在する立派な問題だった、ようだ。この点は面白い。
※:針金全体の長さを1としたとき、切り分けた針金の長さが有理数になるような切り方。

560:１３２人目の素数さん
18/09/19 08:56:01.99 hjAe7KFT.net
アンドリュー・ワイルズ　　フェルマーの最終定理を証明
グリゴリー・ペレルマン　　ポアンカレ予想を解明
望月新一　　　　　　　　　　ABC予想を証明
ヴォルフガング・ハーケン　四色問題を証明

561:１３２人目の素数さん
18/09/19 11:37:28.33 OD14AjpY.net
>>514
奇数のときは外出の答えでいいみたい。
偶数のときがムズい。

562:１３２人目の素数さん
18/09/19 11:42:10.41 Z3PLanp/.net
なんだよ外出って？どこ行くんだよ、ああ？

563:１３２人目の素数さん
18/09/19 11:44:49.60 0dtRTn7i.net
概出の書き間違いでしょ

564:１３２人目の素数さん
18/09/19 12:06:30.28 OD14AjpY.net
>>546
撤回。奇数でもムズい。ギブ。

565:１３２人目の素数さん
18/09/19 12:15:41.64 OD14AjpY.net
うん、やっぱり無理。>>514は出来たら論文級やね。一抜けた。

566:イナ
18/09/19 12:22:01.90 dCVYbNeW.net
>>542
377+352+135=864
366×2+132=864
前 >>534こちらは解答待ちです。
(1/2)(352×135)=23760
66×√(366^2-66^2)=23760
たまたま一つみつけたんじゃないの？　ほかにないことをどうやって示したの？

567:１３２人目の素数さん
18/09/19 12:44:19.43 J/Jlclj7.net
>>514
俺はコンピュータアルゴリズムが専門なんだけど、操作1だけで考えるとソートアルゴリズムなんで、
x,y,z
x,z,y
z,x,y
z,y,x
の試行を操作2で置き換えると考えてみたらうまくいきそう。

568:１３２人目の素数さん
18/09/19 13:29:32.09 QW/ibDMV.net
>>522
と思ったんだけど結構ムズいよ。
操作１だけで全ひっくり返しを最低何回で表示できるか？っていうのはCoxeter Groupのlongest elementのreduced expressionを求める問題として古くからもあり、結果もでてる。
結果は1～nの文字を操作１だけで全ひっくり返す必要回数はn(n-1)/2。
操作２は操作１を３回で表示できるから最低でも┌n(n-1)/6┐は必要だとわかる。(┌ ┐はceiling、切り上げ関数。)
この回数での解が見つかれば終わりで、nが小さいときにはそういう解があるんだけどnが大きくなるとトタンに無理。
となると必要回数の評価はCoxeter Groupの理論が使えない。
それで操作２も含めてCoxeter Systemの中に組み入れられないかとも思ったけど残念ながら操作２を含めるとCoxeter Systemにならない。
で、既存の理論使うのは無理。
となると必要最低回数(＝下からの評価)が激ムズになる。
結局のところ「おお、こんな回数でできるんや。きっとこれが最小回数。でも証明できんなぁ。」まではいっても、そこまでの尻切れトンボで終わる可能性しか見えない。
数学やってるとそういうのイヤなんだよねぇ。前にあった８面体の話と同じ運命を辿るっぽい。

569:１３２人目の素数さん
18/09/19 13:41:14.17 J/Jlclj7.net
奇数偶数の話もあったけど、
1,3,5,7,9
2,4,6,8,10
というふうに分ければ操作2は操作1になる。どうにかならんか？

570:１３２人目の素数さん
18/09/19 16:13:49.45 wiQUfdGa.net
abcd
1342
1324
1423
1432
4132
4231
4123
2314
2413
2341
2431
3142
3241
3214
3124
これに一つ足りないabcdの組み合わせは何ですか？

571:１３２人目の素数さん
18/09/19 18:14:01.27 E6LIP1oB.net
>>554
そう、それが最初に考えたことでたとえばn=9のとき13579と2468それぞれにわけて考えて
(13)(35)(57)(79)(57)(35)(13) (35)(57)(35)
(24)(46)(68)(46)(24) (46)
はそれぞれ13579と2468の総ひっくり返しのreduced expressionになってる。
実際 5・4/2 + 4・3/2 = 16 で置換群の Longest Element の公式とピッタリ。
しかし、問題はそこじゃない。
これがホントにこれ以上短い表現を持たないかどうか。
一般論が教えてくれるのは奇数は奇数、偶数は偶数で一個飛ばしの交換しか使わない場合にはこれが最短というだけ。
隣接する交換を使ったらもっと短くなる可能性を否定できない。
ただ、多分これが最短の表示だとは思う。
証明に一般論使えないだけで。
奇数のときはこれでなんとかなるかもしれないけど、偶数の場合はなぁんも思いつかん。

572:１３２人目の素数さん
18/09/19 18:38:35.63 J/Jlclj7.net
>>556
さっき確かめたらa[６]で操作１を使った最短パターンが出ててたわ。
操作２だけじゃ最短にならない。

573:１３２人目の素数さん
18/09/19 19:07:50.53 RUIjKzd7.net
>>557
偶数のときは必然的に最低でもn/2回の操作１が必要であることはわかる。
なぜなら偶数のときは1→n、2→n-1…と奇偶を変えないといけないから。
操作２は奇偶を変えないので操作１は絶対必要。
操作１一回につき奇偶を変えられるのは２つなので最低n/2回の操作１が必要なのはわかる。
で、話が(12)(34)(56)…(n-1 n)やったあとに、あとは操作２だけでなんとかなるならまだいいんだけどn=4、6ぐらいで確かめると、そうはいかない事がわかるのでもうお手上げ。
勘でゴチャゴチャやれば “多分これじゃね？” ってのが出てくるかもくらいが関の山。
それが最簡表示であることを証明できる気はとてもしない。
nが奇数で操作２だけでなんとかなる場合ならできるかもしれないけど。
少なくとも掲示板で暇つぶしに解くレベルの問題じゃない希ガス。

574:イナ
18/09/19 21:12:42.92 dCVYbNeW.net
もしたった一つに決まるなら、
a^2=b^2+c^2
bc/2=(d/2)√{e^2-(d/2)^2}
a+b+c=d+2e
この3式で未知数5つ。あとa～eが2以上の自然数ってことぐらい。一つに決まるには条件が足りなくない？
前 >>551逆に条件が足りてるなら方程式で解いてくれよ。

575:１３２人目の素数さん
18/09/20 04:16:16.04 7+n0UQHR.net
>>559
直角⊿の直辺を a, b とし、二等辺△を二等分した直角⊿の斜辺をc, 底辺をd' とする。
周長:　a+b + √(aa+bb) = 2c + 2d'
面積:　(1/2)ab = d'√(cc-d'd') 　　(c>d')
となる。　>>443
ピタゴラス数を
　a = kk-LL,
　b = 2kL,
　c = 6(mm+nn),
　d' = 6(mm-nn),
とおけば、
　周長/2:　k(k+L) = 12mm,　　　…… (1)
　面積:　　kL(kk-LL) = 6(mm-nn)・12mn
辺々割って
　L(k-L) = 6(mm-nn)n/m,　　　…… (2)
これらを満たす正の整数の組は (k, L, m, n) = (16, 11, 6, 5) しかないという…
　　>>447

576:イナ
18/09/20 07:54:33.81 NGgbPn0s.net
前 >>559
a^2=b^2+c^2
bc/2=(d/2)√{e^2-(d/2)^2}
a+b+c=d+2e
>>560わかりました。ここから16、11、6、5という数字を導きたいと思います。
いずれも吉数ですね。しかもかなりの大吉数。
a^2=b^2+c^2
bc/2=(d/2)√{e^2-(d/2)^2}
√(b^2+c^2)+b+c=d+2e
つづく……。

577:１３２人目の素数さん
18/09/20 16:17:59.42 inhvJQZo.net
>>536 の
「○と┏」　の話は　逆順化の操作とどのように対応しているのでしょうか。
アイデアというか概略を教えて下さい

578:１３２人目の素数さん
18/09/20 17:41:21.98 Ajky0sy3.net
半径が等しい2つの円CとDを、CとDの交点がちょうど2つとなるように空間に配置する。
このとき各円は、その交点を境に短い弧と長い弧に分かれる（分かれた弧の長さが等しい場合、どちらを短い弧としてもよい）。
短い弧同士、長い弧同士の長さはそれぞれ等しいことを証明せよ。

579:１３２人目の素数さん
18/09/20 18:21:27.27 PyzagyfR.net
>>563
グラフ書いて交点を結ぶ直線を中心に対称というのじゃだめ？

580:１３２人目の素数さん
18/09/20 19:04:38.49 W+nuqQRz.net
C（もしくはD）を、交点を結ぶ直線まわりに回転させて同一平面にのせないとダメでね

581:１３２人目の素数さん
18/09/20 19:35:23.14 CBHJ7d6o.net
>>565
じゃあ、回転移動で重ねればいいってことか。

582:１３２人目の素数さん
18/09/20 20:32:59.50 pG3+oaY5.net
>>444の記事の論文ってどこに掲載されるの？もう手に入る？だれか手に入れた？

583:１３２人目の素数さん
18/09/20 20:38:04.18 tRde1W/e.net
>>540
> ＞n=2k+1のとき a[n]=k^2、n=2kのとき a[n]=k^2 - 2[(2k-1)/5]
> になるのは何故ですか？
すまん。特定の敷き詰め方で考えていたので、間違ってますね。
n=2k+1のとき、操作2だけでk^2回でできるけど、操作1も使うと回数を減らせるのかが、関心事。
n=15のとき、「○と┏」では43回でできる予想になるけど、どうなのか。
>>562
隣接互換での逆順化（reduced word）は階段状のタブローの標準版あるいはbalanced tableauに対応するので、
階段状のタブローで考えて、nが9以下で数が合ったので、それっぽいかなと思っただけです。
いろいろ試して、「○と┏」から単純に作った標準版からは直接問題の逆順化には対応しないことが分かったので、予想は間違ってそう。
参考論文
Balanced tableaux
URLﾘﾝｸ(www.sciencedirect.com)

584:１３２人目の素数さん
18/09/20 23:29:08.08 ir0WpWQ+.net
>>563
n=15のとき43個の◯と┌での敷き詰めがあるという事？
どんな敷き詰めですか？

585:１３２人目の素数さん
18/09/21 01:05:25.74 e6rI4s7l.net
>>569
┏━○┏━○┏━○┏━○┏━
┃┏━┃┏━┃┏━┃┏━┃
○┃┏━┃┏━┃┏━┃○
┏━┃┏━┃┏━┃┏━
┃┏━┃┏━┃┏━┃
○┃┏━┃┏━┃○
┏━┃┏━┃┏━
┃┏━┃┏━┃
○┃┏━┃○
┏━┃┏━
┃┏━┃
○┃○
┏━
┃
塊のまんまで┌を移動させる規則を作ればできそうな気もしてきた。

586:１３２人目の素数さん
18/09/21 01:41:21.45 ipgK9BRD.net
>>570
thx
┌─
│◯
は
│├┤│
├┤├┤
│├┤│
を操作２回
├┼┤│
│├┼┤
で実現できるので大丈夫だけど
┌─
│┌─
　│◯
は
│├┤├┤│
├┤├┤├┤
│├┤├┤│
を操作３回で実現できるという意味だと思いますができます？

587:１３２人目の素数さん
18/09/21 12:42:29.36 b65ucfBh.net
>>447 >>560
ピタゴラス数を
　a = i(kk-LL),
　b = i(2kL),
　c = j(mm+nn),
　d' = j(mm-nn),
とおけば、
　ik(k+L) = 2jmm,　　　　…… (1)
　iL(k-L) = j(mm-nn)n/m,　…… (2)
　gcd(i, j) = 1,　　　　　…… (3)
これらを満たす正の整数の組は (i, j, k, L, m, n) = (1, 6, 16, 11, 6, 5) しかない…

588:１３２人目の素数さん
18/09/21 16:22:16.43 b65ucfBh.net
半径が等しい2つの円CとDを、CとDの交点がちょうど3つとなるように空間に配置する。
無理だろうな。

589:１３２人目の素数さん
18/09/21 18:58:01.97 NuyD1SeT.net
ジョーカーを除いたトランプ５２枚の中から１枚の
カードを抜き出し、表を見ないで箱の中にしまった
そして、残りのカードをよく切ってから
３枚抜き出したところ、３枚ともダイヤであった
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか

590:１３２人目の素数さん
18/09/21 19:04:27.89 5gy9lheO.net
箱の中のカードがダイヤとはどういうことか

591:イナ
18/09/21 21:19:58.61 drfzqsLH.net
前 >>574
1/4
∵52枚のカードから１枚引くとき、52枚のうち13枚はダイヤだったから

592:イナ
18/09/21 21:26:33.08 drfzqsLH.net
前 >>576訂正。前の前 >>561
>>574
1/4
∵52枚のカードから１枚引くとき、52枚のうち13枚はダイヤだったから

593:１３２人目の素数さん
18/09/21 21:35:38.11 u3X4Ifqb.net
これが有名なシュレディンガーのダイヤか。。

594:イナ
18/09/21 22:38:44.33 drfzqsLH.net
前 >>577
そのダイヤがどんなダイヤだろうと関係ない。ましてや有名か否かなど。
52枚のうち13枚はダイヤ。それがトランプのルール。
引いたあと箱の中のカードが影響を受けるならそれはマジック。

595:１３２人目の素数さん
18/09/22 00:11:57.64 o6fBynpB.net
>>579
ジョーカーを除いたトランプ５２枚の中から１枚の
カードを抜き出し、表を見ないで箱の中にしまった
そして、残りのカードをよく切ってから
13枚抜き出したところ、13枚ともダイヤであった
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか

596:１３２人目の素数さん
18/09/22 00:27:50.92 Mhmq7VtT.net
>>574
10/49

597:１３２人目の素数さん
18/09/22 00:37:02.39 3QVpguls.net
>>579
最初に1枚を引いた時点では1/4だけど、その後残りのカードの情報を知ったら可能性は絞られるんじゃない

598:１３２人目の素数さん
18/09/22 00:38:50.94 3QVpguls.net
箱の中のカードは影響を受けない
が、確率は観測の影響を受ける

599:１３２人目の素数さん
18/09/22 00:44:09.96 ctBQxeJa.net
>>571
考えている対応関係は >>568の論文のFig.5.2のようなもので、○と┏の位置が直接あみだくじの横棒の位置に対応していません。
例えば下のものに数を入れて標準盤もどきにして
┏━○
┃○
○
１１４
１３
２
１１４④
１３③
２②
①
　 ↓
１１□③
１３④
２②
①
　 ↓
□１１③
□１②
２④
①
　 ↓
□１１③
□１②
□①
④
　 ↓
□□□①
□□②
□③
④
というような感じで
①②③④
├┼┤│
││├┤
│├┤│
├┤││
④③②①
に対応しないかなあ、と考えています。

600:１３２人目の素数さん
18/09/22 00:46:16.95 cnafI+Ld.net
単純に場合分けすればいい。
場合分けの確率も考慮して。

601:１３２人目の素数さん
18/09/22 01:13:07.94 mNByRw8N.net
>>536
とりあえず
＞n=2kのとき a[n]=k^2 - 2[(2k-1)/5]。
だとa[10] = 23になるけどn=10で21回の解があった。
import Data.Ratio
import Data.List
exchange (i, j) x = let
(a,b) = (min i j,max i j)
in
(take (a-1) x) ++ [x!!(b-1)] ++ (drop a $ take (b-1) x) ++ [x!!(a-1)] ++ (drop b x)
apply exs ns = foldr exchange ns exs
exs3 = [(5,7),(3,5),(5,6),(6,8),(4,6),(6,7),(7,9),(5,7),(2,3),(3,5),(5,7),(7,9),(1,3),(3,4),(4,6),(6,8),(8,10),(6,8),(4,6),(2,4),(1,2)] :: [(Int,Int)]
main = do
print $ apply exs3 [1..10]
print $ length exs3
―実行結果―
[10,9,8,7,6,5,4,3,2,1]
21

602:１３２人目の素数さん
18/09/22 04:03:54.10 5SVHXwna.net
>>574
>>581と同じ結果になった。
高１で習うただの条件付き確率
（あと、ノイズの相手をして増幅するのはやめてほしい＞各位）

603:１３２人目の素数さん
18/09/22 05:25:43.00 OM3JlOD/.net
ｋを正の整数の定数として
山札からダイヤがｎ枚抜き出された時の
ｎ＝３の時にｑ＝１０／４９になる関数を発見しました
５≦ｋ≦１５の範囲において以下の式が成り立つ
ダイヤである確率は
∵ｑ＝１－｛｛１６５ｎ－（ｋ－４）ｎ^2＋３５１｝／（２０８ｎ－ｋｎ^2＋４６８）｝
ｋ＝７，ｎ＝３の時ｑ＝１０／４９
ｋ＝７，０≦ｎ≦１３の範囲において
１／４
５２／２２３
１８７／８５６
１０／４９
２５／１３２
２３２／１３３３
７７／４８８
７４／５２７
２０５／１６８４
２０／１９７
７／８８
１０６／１９０９
１９／６５２
０

604:１３２人目の素数さん
18/09/22 10:00:34.86 1l7cVLlo.net
いや、普通に
事象A：箱の中のカードがダイヤ
事象B：残りから3枚引いたら全てダイヤ
P(B)
=(1/4)*(12/51)*(11/50)*(10/49)+(3/4)*(13/51)*(12/50)*(11/49)
=1320/(4*49*50*51)+5148/(4*49*50*51)
=6468/(4*49*50*51)
P_B(A)
=P(A∧B)/P(B)
={(1/4)*(12/51)*(11/50)*(10/49)}/{6468/(4*49*50*51)}
=1320/6468
=10/49
んにゃぴ…

605:１３２人目の素数さん
18/09/22 10:31:45.18 ctBQxeJa.net
>>586
すばらしい。よく見つけましたね。
次の２１個の敷き詰め方があるので、予想の反例とはならないですね。
┏━○┏━○┏━○
┃┏━┃┏━┃○
○┃┏━┃┏━
┏━┃┏━┃
┃┏━┃○
○┃┏━
┏━┃
┃○
○
＞n=2kのとき a[n]=k^2 - 2[(2k-1)/5]。
>>568で言ったように、その式は間違いでした。
n=16まで描いてみたところ、次のようになりそうです：
a[1]=0, a[2]=1, a[3]=1, a[4]=4, a[5]=4, a[6]=7, a[7]=9,
n≧8のとき、a[n] = n(n+3)/6 + 2 (n≡0 mod 3), (n-1)(n+4)/6 (n≡1,2 mod 3)

606:１３２人目の素数さん
18/09/22 10:36:51.84 yCmk73wm.net
D:ダイヤの枚数、H:それ以外のスートの枚数
抜き取ったｎ枚が全部ダイヤのとき
T=D+Hとして

求める確率ｐは　（　choose(n,r)は組み合わせｎCr = n!/((n-r)!*r!)
ｐ＝(D/T * choose(D-1,n)/choose(T-1,n)) /((D/T * choose(D-1,n)/choose(T-1,n)) + H/T * choose(D,n)/choose(T-1,n))
展開して整理すると
＝(D-n)/(D+H-n)
D=13　H=39　n=3　　なら p= 10/49

607:１３２人目の素数さん
18/09/22 11:38:21.07 ctBQxeJa.net
>>586,590
n=10で19回（最小）のものが見つかりました。（予想では21回が最小）
よって、>>536の予想は非成立です。残念。
a[10]=19 です。
[(1,3),(2,4),(3,5),(1,3),(5,7),(4,5),(7,9),(5,7),(3,5),(2,3),(9,10),(7,9),(5,7),(3,5),(1,3),(7,8),(5,7),(3,5),(5,6)]

608:１３２人目の素数さん
18/09/22 11:58:01.25 Vi+U3TOW.net
>>592
a[10] ≧ 19 は証明済みですか？
あとその shape は19個以下の◯と┌でタイリング出来ないことも証明済みですか？

609:イナ
18/09/22 16:22:13.18 kyhuudxO.net
>>580わかった。13枚ダイヤが出たら箱の中にダイヤがある確率は0。ダイヤ3枚はあとの人のために引かなかったことになる。>>574つまり分母が52-3で、分子が13-3。10/49
＿∥∩∩］∥◇|∩∩_∥
∩（(-｡-)｡∥>/( (`｡)∩
(^)(っ[￣]∥/（υυ(　
￣)「￣￣]∥＿υυ/(￣
)_)□/UU[∩∩_/∩∩(＿
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