背理法不要論ってどうなん？

背理法不要論ってどう ..

412:現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/04/13 07:57:58 DYqPl9DE.net
>>394　タイポ訂正

排中律否定は、ブラウアーの直観論理ですね（）
　↓
排中律否定は、ブラウアーの直観論理ですね

413:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
20/04/13 08:44:38 fblTsVTs.net
何か捻れとる

儂、最近あそこの「 0^0=1 ∵Bourbaki流集合論に基付き#{φ}^#{φ}=1である事ゆ因る」に疑問｡
集合じゃろうとも同値類どんどんぶっ込み拡張されるじゃろ？

414:現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/04/13 12:05:12 my5S7sSz.net
>>396
粋蕎さん、どうも

> 0^0=1

下記ですな

（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
0の0乗
(抜粋)
0 の 0 乗（ゼロのゼロじょう、英: zero to the power of zero, 0 to the 0th power）は、累乗あるいは指数関数において、底を 0、指数を 0 としたものである。その値は、代数学、組合せ論、集合論などの文脈ではしばしば 1 と定義される[注 1]一方で、解析学の文脈では二変数関数 xy が原点 (x, y) = (0, 0) において連続とならないため定義されない場合が多い。

[注 1]
1^ 0 と定義される場合もある。

目次
1 背景
2 1と定義される場合
2.1 モノイド論における扱い
2.2 集合論における扱い
3 定義されない場合
3.1 実解析における扱い
3.2 複素解析における扱い
4 コンピュータにおける扱い

415:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
20/04/14 00:50:49 x0tX+KLS.net
>>397
あ否、其れも其うですが

416:「背理法被害者の会」が主張しとる話です｡「集合に於いてφ乗は只一つ」言い、更に「竹内外史も『トポス』で『ブルバキ参照』」言っとります｡こんなん「0乗は只、1」言うんと変わっとらんと思うんです｡

417:現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/04/14 11:35:57 PFls8jJA.net
>>398
>あ否、其れも其うですが「背理法被害者の会」が主張しとる話です｡
>「集合に於いてφ乗は只一つ」言い

知っています
というか、過去にガロアスレで取り上げたことがある
”集合に於いて”という文脈が、判然としませんがねｗ（＾＾
まあ、下記でもご参考：>>397のwikipediaの英文版ですがね
ご注目は、”History of differing points of view”です
そして、各人が自分で判断すれば良いのでは？ｗｗ（＾＾

”集合に於いて”という文脈が、判然としませんが
デデキントの如く、ZFC：”自然数→実数→コーシー＆リーマンまでの解析”で、これZFCの射程とすれば
”集合に於いて”という文脈は、かなり小さい限定された範囲ですね（＾＾；

（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Zero to the power of zero
(抜粋)
Zero to the power of zero, denoted by 0^0, is a mathematical expression with no agreed-upon value. The most common possibilities are 1 or leaving the expression undefined, with justifications existing for each, depending on context.
In algebra and combinatorics, the generally agreed upon value is 0^0 = 1, whereas in mathematical analysis, the expression is sometimes left undefined. Computer programs also have differing ways of handling this expression.

History of differing points of view
The debate over the definition of 0^0 has been going on at least since the early 19th century.
At that time, most mathematicians agreed that 0^0=1, until in 1821 Cauchy[13] listed 0^0 along with expressions like 0/0 in a table of indeterminate forms.
In the 1830s Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja[14][15] published an unconvincing argument for 0^0=1, and Mobius[16] sided with him, erroneously claiming that lim t → 0^+ f(t)^g(t) ＝ 1 whenever lim t → 0^+ f(t)＝ lim t → 0^+ g(t)＝ 0 .
A commentator who signed his name simply as "S" provided the counterexample of (e^{-1/t )^t , and this quieted the debate for some time.

つづく

418:現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/04/14 11:36:37 PFls8jJA.net
>>399

つづき
More historical details can be found in Knuth (1992).[17]

More recent authors interpret the situation above in different ways:
・Some argue that the best value for 0^0 depends on context, and hence that defining it once and for all is problematic.[18]
According to Benson (1999), "The choice whether to define 0^0 is based on convenience, not on correctness. If we refrain from defining 0^0, then certain assertions become unnecessarily awkward. [...]
The consensus is to use the definition 0^0=1 0^0=1, althoug

419:h there are textbooks that refrain from defining 0^0."[19] ・Others argue that 0^0 should be defined as 1. Knuth (1992) contends strongly that 0^0 "has to be 1", drawing a distinction between the value 0^0, which should equal 1 as advocated by Libri, and the limiting form (an abbreviation for a limit of f(x)^g(x) where f(x),g(x) → 0 ), which is necessarily an indeterminate form as listed by Cauchy : "Both Cauchy and Libri were right, but Libri and his defenders did not understand why truth was on their side."[17] Vaughn gives several other examples of theorems whose (simplest) statements require 0^0 = 1 as a convention.[20] (引用終り) 以上

420:現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/04/14 11:37:48 PFls8jJA.net
>>400 タイポ訂正

The consensus is to use the definition 0^0=1 0^0=1, although there are textbooks that refrain from defining 0^0."[19]
　↓
The consensus is to use the definition 0^0=1, although there are textbooks that refrain from defining 0^0."[19]

421:１３２人目の素数さん
20/08/21 23:22:17 RM9y96NI.net
>>3
それ結構深い比喩かもとちょっと思った

422:１３２人目の素数さん
20/08/21 23:23:57 RM9y96NI.net
>>20
いやいや背理法だよ

423:１３２人目の素数さん
20/09/09 22:58:19 IR7822fG.net
とんでも数学

424:青戸六丁目被害者の会（本部：葛飾区青戸６－２６－６）
21/03/09 20:27:49.78 5gIZP/7W.net
●青戸六丁目被害者住民一同「色川高志の金属バット集団殴打撲殺を熱望します」
長木親父＆長木よしあき（盗聴盗撮犯罪者の色川高志を逮捕に追い込む会＆被害者の会会長）住所＝東京都葛飾区青戸6－23－20
●龍神連合五代目総長・色川高志（葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３）の挑発
色川高志「糞関東連合文句があったらいつでも俺様を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 糞関東連合の見立・石元・伊藤リオンの糞野郎どもは
龍神連合五代目総長の俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!　糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」(挑戦状)
●青戸六丁目被害者住民一同「盗聴盗撮犯罪者の色川高志の逮捕を要請します」
長木親父＆長木よしあき（盗聴盗撮犯罪者の色川高志を逮捕に追い込む会＆被害者の会会長）住所＝東京都葛飾区青戸6－23－20
●盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で生活保護費不正受給犯罪者の色川高志
色川高志の住所＝東京都葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３号室
【通報先】亀有警察署＝東京都葛飾区新宿4ー22ー19　℡０３ー３６０７ー０１１０
盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で生活保護費不正受給犯罪者である色川高志の盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／愛人変態メス豚家畜清水婆婆（青戸6－23－19）の
五十路後半強制脱糞
URLﾘﾝｸ(img.erogazou-pinkline.com)
アナル挿入食糞愛好家で生活保護費不正受給犯罪者の色川高志によりバスタブで清水婆婆の巨尻の肛門にシャワーのキャップをはずしてずっぽり挿入。
そして、大量浣腸。勢い良く噴出！腸内洗浄状態です。
URLﾘﾝｸ(101.dtiblog.com)
浣腸器と異なりどくどくと直腸内に注入され清水婆婆は激しくあえぎます

425:１３２人目の素数さん
21/05/31 23:26:01.40 kl5/EMI8.net
>>403
有理数と仮定して矛盾が起こるから有理数でないと結論するのは
厳密に言えば背理法ではなく
否定の定義
直観主義で排除しようとした背理法は
何々でないと仮定して矛盾が起こることから何々を結論すること

426:１３２人目の素数さん
21/06/01 07:11:22.95 KrMV1miB.net
π+ｅとπｅのどちらかは超越数
どちらも代数的とすると(π+ｅ)^2も代数的、(π-ｅ)^2=(π+ｅ)^2-4πｅも代数的、これらの平方根であるπ+ｅ、π-ｅも代数的、よってπも代数的になりπの超越性に矛盾する。
これを背理法抜きで証明できる？

427:１３２人目の素数さん
21/06/01 08:09:27.21 w+r2APAm.net
それも厳密には背理法ではない
超越数の定義が代数的ではないことだからだよ
代数的だとして矛盾が起こることが
代数的でないことの定義

428:１３２人目の素数さん
21/06/01 08:30:23.82 KrMV1miB.net
それ間違ってる

429:１３２人目の素数さん
21/06/01 14:04:28.04 BFiu2xxk.net
>>407
背理法抜きで構成的に証明するのは遥かに難しい

430:１３２人目の素数さん
21/06/01 16:07:18.00 +Il9kay+.net
>>409
間違いではないよ
直観主義論理の採用しなかつたこととは何かということと
否定の定義はなんとされているかを調べてごらん

431:１３２人目の素数さん
21/06/01 16:11:38.99 +Il9kay+.net
>>410
恐らく無理じゃないかな
超越数の定義が代数的数ではないことで
代数的数であると仮定して矛盾することが定義だから
これも背理法だと思い込んでると
背理法は使わざるを得ないことになる

432:１３２人目の素数さん
21/06/01 16:20:21.71 +Il9kay+.net
￢PとPから人が出る
すなわち
￢PからP→人が出て
P→人から￢Pが出る
というのは
直観主義論理より弱い最小論理でも採用してる公理

433:１３２人目の素数さん
21/06/01 16:46:13.55 BFiu2xxk.net
>>412
407は￢(AかつB)から(￢Aまたは￢B)を導いているから
直観主義論理では無効な議論だと思うけど

434:１３２人目の素数さん
21/06/01 16:51:56.68 +Il9kay+.net
>>414
確かに

435:１３２人目の素数さん
21/06/01 18:04:49.86 KrMV1miB.net
>>414
「a、bが超越数ならばa+bまたはabは超越数」の証明ならば背理法は不要
πやｅの超越性を前提にした上の話

436:１３２人目の素数さん
21/06/01 18:21:03.62 BFiu2xxk.net
>>416
背理法が不要というのは直観主義論理で
証明できるという意味？

437:１３２人目の素数さん
21/12/12 14:50:47.63 4jyqDRQu.net
>>407
Π+eとΠeのどちらかは超越数である。
まず、Π+e,とΠ-eのどちらかは超越数である。
何故ならば、Πは超越数かつΠ = {(Π+e)+(Π-e)}/2かつ代数的数全体は体なので。
Π+eが超越数とすると、「Π+eとΠeのどちらかは超越数である」は真。
Π-eが超越数とすると、(Π-e)^2 = (π+ｅ)^2-4πｅかつ代数的数全体は体であることより「Π+eとΠeのどちらかは超越数である」は真。
よってΠ+eとΠeのどちらかは超越数である。

438:１３２人目の素数さん
21/12/12 16:57:31.78 AuQR4hDN.net
開集合は直観論理だと何かに書いてあった

439:１３２人目の素数さん
21/12/15 21:36:14.12 Jcoq/m6X.net
背理法でしかできない証明ってないの？

440:１３２人目の素数さん
21/12/16 09:08:00.99 YO6Ttx2k.net
フェルマーの大定理？

441:１３２人目の素数さん
21/12/16 22:40:00.31 9DpUtLsu.net
>>420
解析学のいくつかの評価式については
背理法以外の証明は知られていない。

442:１３２人目の素数さん
21/12/17 00:55:42.42 UGPHpedN.net
>>422
例えば？

443:１３２人目の素数さん
21/12/17 08:55:41.61 p5svpt5g.net
背理法を他の同等の推論に置き換えるという意味だから
古典論理の否定ではないね
その程度の日本語も読めない馬鹿には数学は無理だから諦めろ

444:１３２人目の素数さん
21/12/17 13:03:41.52 oJ5boE7I.net
>>423
ヘルマンダーの有名な論文

445:１３２人目の素数さん
21/12/17 17:18:11.99 UGPHpedN.net
>>425
どれ？
FOURIER INTEGRAL OPERATORS ってやつ？

446:１３２人目の素数さん
21/12/17 18:06:52.24 oJ5boE7I.net
とにかくActa Mathに出たやつ

447:１３２人目の素数さん
21/12/17 18:27:35.09 oJ5boE7I.net
Proposition 3.4.5

448:１３２人目の素数さん
21/12/21 08:55:37.93 RnL9rMPq.net
名著「非圧縮性粘性�

449:ｬの数学的理論」の第89ページの証明中、「そうでなかったと仮定すると」で始まった文章が「矛盾する」で終わっていない。これは「見かけの背理法」か？

450:１３２人目の素数さん
22/04/13 23:13:17.51 MOUN8VRB.net
数学的帰納法不要論は？

451:１３２人目の素数さん
22/04/14 03:51:07 uHdSj82h.net
>>430
bounded arithmeticという分野がその辺りを研究している

452:１３２人目の素数さん
22/12/20 16:12:38.31 R0GrT6qP.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

453:１３２人目の素数さん
22/12/21 11:45:46.59 bG514WP3.net
無矛盾であることが証明された系、または無矛盾であることが証明不可能であることが証明された系でしか背理法は使えないのでは？
矛盾を導出したとして、その原因が「仮定」にあるのか系自体にあるのか判別できないから

454:１３２人目の素数さん
22/12/24 02:33:49.00 Twzd+IEU.net
>>433
背理法は偽の命題を導いてその仮定が偽だとする論法
理論の無矛盾性なんて関係ない
つまり、もし偽の命題を導いてその仮定が偽であるかどうか知りたいならそれを証明の中で用いているか調べさえすればいい

455:１３２人目の素数さん
22/12/24 04:15:02.18 /P8Bw71J.net
中学生のときに以下のような妄想をした。
命題の論理をつなげて公理から定理、定理、定理とどんどん論理の網を
広げて行く際に、まるで複素関数論の解析接続のように、論理の網を
どんどんと進めていくときに、その経路によって結果に違いが出る
ことが起こらないのかなと。例えばｙ＝√ｘのような代数函数の
リーマン面は原点と無限円点以外では二価になっていて、そのことを
しらなければ、ｘ＝1のときｙ＝1から接続して原点の周りを回ってくると
ｘ＝1でｙ＝－1になるので、よって1＝－1だ、みたいな間違った結果を
導くけれども、それに類したことが起こらないのかという感じの妄想だ。
つまり、命題を証明する手段の網目をつなぐときの経路によって
異なる結果が得られても良いのではないだろうか、それは別のリーマン面の
シートに入り込んだようなものだと考えれば矛盾ではないと。
そういう妄想を抱いたのだ。

456:１３２人目の素数さん
22/12/24 09:07:45.43 6P5AjeCt.net
矛盾とは何を指すのかという妄想は湧かなかった？

457:１３２人目の素数さん
22/12/24 09:25:24.79 OdkKx1mA.net
>>434
矛盾が導出された理由が追加した仮定にあるのか系自体にあるのかが証明できないので仮定が偽である証明にはならない

458:１３２人目の素数さん
22/12/24 19:18:29.62 QubhUbIE.net
延々とバグで紛れ込んだ裏面が続く悪夢的コンピューターゲーム。

459:１３２人目の素数さん
23/01/01 10:07:26.27 W1uGFZgv.net
排中律を証明できれば背理法を使ってもいいと思う。YESかNOか2択しかないっていう状況自体をまず証明してその上で背理法を使う。
これなら問題ないはず。

460:１３２人目の素数さん
23/01/02 11:01:19.68 Tjm8RrUz.net
ある命題が「正しい」か「正しくない」か「決定不能」であるかの
3種類の"状態"があると思いますが、決定する手順が存在しないで
決定不能であっても、もしもたまたま成立することを示す例が
見付かれば「正しい」になるし、成立しないことを示す例が
見付かれば「正しくない」になるでしょう。
しかしたとえば、平面幾何で平行線公理を除いた体系を考えて、
その中で「平行線公理」を普通の命題のように考えて、
それが正しいか正しくないかを決定しようとしても、
正しいあるいは正しくないという証明はできないはずです。
つまりそのような「決定不能」の場合には、どれだけ成立例
あるいは反例をさがしたとしても、見付かるということは
あり得ませんね。
そうなると、正しいか、正しくないかの二通りだというのは
無理があるのではないでしょうか？　排中律は成り立つのでしょうか？

461:１３２人目の素数さん
23/01/02 12:13:58.59 g8sppIUg.net
よく知らないけど直観主義論理はそういった違和感から産み出さたのかな？

462:１３２人目の素数さん
23/01/09 20:07:44.17 afxohR47.net
ある程度複雑な体系はその中では真偽を決定出来ない命題が存在する、
とゲーデルがのたまっているそうだから排中律は成り立たないのではないだろうか？
決定できない命題を1つをとり、それを肯定するあるいは否定する命題を公理系に
新たに付け加えたとしても、その拡大された体系の中にも真偽を決定出来ない命題が
存在する，そこでその決定出来なかった命題をまた1つとり、それを肯定あるいは
否定する命題を再度公理系に新たに付け加えたとしても、その拡大された体系の
中には、。。。。。いくらやってもキリがないことになる。
　こんなことでは安心して夜も寝られない。それでも排中律は成り立つと言えるの？　

463:１３２人目の素数さん
23/01/10 22:35:57.38 sWivYE4V.net
排中律は証明すべきものではないでしょう。
公理として認めてスタートするか、
認めないとするかを選べばいいだけ。
悩む時間があるなら、どっちかに決めて、
数学を始めた方が有意義。

464:１３２人目の素数さん
23/01/20 09:41:28.41 A5vIrXQO.net
決定不能な命題は真であると仮定しても偽であると仮定しても矛盾を導けないので気にする必要はない

465:１３２人目の素数さん
23/04/01 10:48:43.51 1/gRl0so.net
＞こんなことでは安心して夜も寝られない。それでも排中律は成り立つと言えるの？
君は排中律の意味が全く理解できていない。
すでにコメントにあるが、決定不能な命題がその理論に存在しても排中律には何の影響も与えない。
理論Tに対して、その理論で決定不能な命題をAとする。
TからはAも￢Aもどちらも証明できないということは、
（1）TにAを加えたT+A
（2）Tに￢Aを加えたT+￢A
という二つの新しい理論が考えられ、そのどちらも矛盾しない。
しかし、排中律が成り立つということは（1）かつ（2）を考えると「Aかつ￢A」となって矛盾する。
ただこれだけのことだ。

466:１３２人目の素数さん
23/04/01 11:16:51.79 SFuGsu5u.net
長～い背理法ってウザい

467:１３２人目の素数さん
23/04/01 13:09:41.82 0oPYJmC1.net
基礎論バカはまじ不要

468:１３２人目の素数さん
23/04/01 13:23:54.15 7ziiEkiM.net
数学バカはもっと不要

469:１３２人目の素数さん
23/04/02 15:03:00.34 icxGHFsq.net
>長～い背理法ってウザい
証明の長さに背理法か否かは全く関係がない．
長い証明はうざいかもしれないが，現状その証明しかないのならそれを理解するしかない．

470:１３２人目の素数さん
23/04/02 15:05:58.84 icxGHFsq.net
>基礎論バカはまじ不要
>数学バカはもっと不要
確かにバカは不要かもしれんな．
しかし，基礎論や数学に通じている人間は総じてバカではない．
これは他の理学の研究者などでも同じこと．
だから，そんな人間はこの世にほぼいないだろうな．
最もこの世に必要ない連中は，何も学ばずに思い込みで何らかの分野をバカ呼ばわりする本物のバカだけだろう．

471:１３２人目の素数さん
23/04/02 15:42:32.72 icxGHFsq.net
>ZFCなら排中律を証明できる
この事実だけなら確か1950年あたりには既に知られているはず．
直感主義論理で解析を実行しようという数学もあるけど，その場合の集合論では選択公理は入れてはいけない．
「Z＋選択公理」を集合論の前提にしてしまうと，論理が直観主義論理でも集合に関する全ての事柄で排中律が成り立ってしまうから，せっかく直観主義論理でやったら古典論理とどう違うのかを考えているのに，古典論理でやったのと区別がつかなくなる．
同じ理由で（普通の）正則性公理を仮定しても排中律が出る．
直観主義的集合論でも選択公理や正則性公理（基礎の公理）の名前は出てくるが，それは通常のZFCのそれらより弱い形のもので別物だ．

472:１３２人目の素数さん
23/04/02 15:42:46.97 SX50VDhd.net
本物のバカは希少種

473:１３２人目の素数さん
23/04/02 16:08:53.38 icxGHFsq.net
>>411
>直観主義論理の採用しなかつたこととは何かということと
自然演繹（推論）における「否定の導入」という推論規則が別名背理法なんだよ．
そして，背理法の原理はそのままこの否定の導入でもある．
演繹定理があるから否定の導入の推論規則は「公理」の形に書き換えることもできるから，やる意味はないが「対偶の公理」のように「背理法の公理」とすることもできる．
古典論理はこの「否定の導入」だけでなく「排中律」つまり実質は「二重否定の除去」に相当する否定の特徴づけが加えてある．
直観主義論理には否定に関しては「否定の導入」しかない．
理論Γと命題Aを仮定して，それがΓと矛盾する事を示して，¬Aを結論づける論法が背理法（否定の導入に対応）だ．
(1)．Γ,A ⊢ P(B,C,D,…）⇛⊥(矛盾)，よって¬A
対して，最初の仮定をAから¬Aに置き換えたものが
(2)．Γ,¬A ⊢ P(B,C,D,…）⇛⊥(矛盾)，よって¬(¬A)
となる．直観主義論理だと最後の¬(¬A)はAと同じと言い切れないが，古典論理ならおなじになる．
(2’)．Γ,¬A ⊢ P(B,C,D,…）⇛⊥(矛盾)，よってA
そして背理法とは，なんの断りもなければ，(1)，(2’)を自由に扱って良い古典論理の場合の事をさす．

474:１３２人目の素数さん
23/04/02 16:11:57.27 icxGHFsq.net
>>452
希少だが，声がでかいからバカが目立つ．
数学や基礎論に親でも殺されたのかというぐらいにヘイトがあるから真正のバカはすぐ分かる．

475:１３２人目の素数さん
23/04/02 18:03:14.26 qCWehNrF.net
声がデカいのはどう見ても基礎カスだろうが

476:１３２人目の素数さん
23/04/02 19:58:04.00 qCWehNrF.net
スレ見渡したけど、クソスレだった．．．

477:１３２人目の素数さん
23/04/24 12:44:53.70 jbDWs/M5.net
>>455
基礎論（この場合は証明論）に関する話題で基礎論を排除しようという奴らこそがキチガイ。

料理教室で「料理の先生煩い」と吠えるDQN猿と一緒。

478:１３２人目の素数さん
23/04/26 08:51:39.44 KQBwQ7v3.net
ブヒブヒブヒｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

479:１３２人目の素数さん
23/05/09 13:33:28.36 WePDQ/me.net
>>453
話の前後関係しらんけど
> 自然演繹（推論）における「否定の導入」という推論規則が別名背理法なんだよ
これは違うだろ
背理法は¬P→⊥からPを結論する
否定の導入はP→⊥から¬Pを結論する

480:過去ログ ★
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