コラッツ予想がとけたらいいな　その2

コラッツ予想がとけた ..

707:１３２人目の素数さん
19/04/20 06:11:30.83 qXeTVoFa.net
ちょっと言ってることがおかしいかもしれない。
ようするにコラッツ展開に対する不動点みたいなものはあるか？という話をしたいのだが

708:righ1113
19/04/20 06:22:48.34 58m0UT5j.net
なるほど、ちょっと考えてみます

709:１３２人目の素数さん
19/04/20 06:24:30.09 qXeTVoFa.net
朝の6時にスレチェックかよｗすげえｗ
まあ俺も人のこと言えないけどｗお疲れ様です。

710:１３２人目の素数さん
19/04/20 06:30:30.11 qXeTVoFa.net
新たな不動点が見つかったら新たなループが見つかるみたいな方向に持っていけたらベストなんだけど。
まあまだぼんやりしたイメージがあるだけです。

711:１３２人目の素数さん
19/04/20 07:07:33.52 qXeTVoFa.net
うーん、collatz_arrayの停止条件がx==1だとあんまり意味のない議論になってしまうかもしれないorz

712:righ1113
19/04/20 08:32:56.05 gsPKCWwo.net
x==collatz_number(x)をチェックすると
3*2^tは該当するみたい。そりゃそうか。
あと、「先頭nビットが一致する」だと意味ないかな？

713:１３２人目の素数さん
19/04/20 08:52:09.89 qXeTVoFa.net
>>681
意味ないかどうかはまだわかりませんが、先頭nビットについては >>530のような割とはっきりした規則性があるようなので、
規則性の見えなくなる後ろのほうのビットのふるまいを何とかできないかという思いはあります。

714:１３２人目の素数さん
19/04/20 08:53:34.80 qXeTVoFa.net
あ、でもnを増やしていったらなんか出てくるんだろうか？

715:１３２人目の素数さん
19/04/20 09:20:18.07 qXeTVoFa.net
ちなみに勢いで書いちゃったけど仮に不動点が見つかったとして、それをどう生かせばいいかまだ全然見えてませんｗ

716:１３２人目の素数さん
19/04/20 09:23:37.92 qXeTVoFa.net
不動点というキーワードでコラッツ展開をみたときに、
ちょうど3が不動点になっていたのでこれが1,4,2のループを表しているのでは？
という思い付きというか期待から書き込んでしまいました。

717:１３２人目の素数さん
19/04/20 10:25:47.50 kQapNYTQ.net
コラッツ展開は01の無限列なので2-進整数に対応させるのはどうだろう
整数は2-進整数に埋め込めるし、コラッツ展開は2-進整数に自然に拡張できる
以下、簡略表記として左を下位、繰り返しを()で括る、とすると
0=(0)…
-1=(1)…
はコラッツ展開が自身と一致する
1=1(0)… のコラッツ展開は (10)…
(10)…は×3で(11)… = -1 なので
(10)…のコラッツ展開は 1(0)… で元に戻る

718:１３２人目の素数さん
19/04/20 10:44:40.51 2B/xzIiP.net
見捨てられた過疎スレかと思ってたら
意外とそうでもないのか

719:１３２人目の素数さん
19/04/20 12:02:57.09 2B/xzIiP.net
2進整数とやらを標準ライブラリで持ってるプログラム言語はありますか？

720:righ1113
19/04/20 12:48:56.09 gsPKCWwo.net
>>688
Mapleにありそうだけど
Mapleってフリーじゃないもんね

721:１３２人目の素数さん
19/04/20 13:09:40.55 kQapNYTQ.net
無限桁の2進数みたいなものだから、プログラムで扱うのは難しいのでは？
有限桁以降が繰り返しのものに限定すれば扱えるのかな
(10)…と-1/3、(100)…と-1/7、みたいに、
理論上は(分母の素因数に2を含まない)有理数に対応するはず

722:１３２人目の素数さん
19/04/20 13:21:28.65 qXeTVoFa.net
とりあえず、2-進整数の厳密な定義ってどこかにあります？
四則演算とかも含めて。

723:１３２人目の素数さん
19/04/20 13:27:40.12 qXeTVoFa.net
ハスケルは遅延評価があるんでしたっけ？
ルビーにもあったかな？

724:righ1113
19/04/20 13:45:31.66 gsPKCWwo.net
>>692
Haskellはデフォルトで遅延評価です。
Rubyも遅延評価がありそうですが、僕は詳しくないです。

725:１３２人目の素数さん
19/04/20 13:52:34.74 qXeTVoFa.net
2-進整数、使えそうなら使いたいですね
でも2-進整数にしちゃうと不動点のアイディアをどう扱えばいいかわからなくなるかなぁ？

726:１３２人目の素数さん
19/04/20 14:00:26.66 kQapNYTQ.net
とりあえずwikipediaよりp進数(p-adic number)
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
「定義」の最後にあるp進整数環でpが2のものを考えてるんですが、付値やら完備化や、専門的過ぎてたぶんわけわからんと思います
計算だけなら「略式の解説」のこの辺
> 整数側に無限桁加えたもの、例えば …1246328.125 のようなものが p 進数であると解釈できる。
> p 進数の中でも、小数点以下がない …1246328 のようなものは p 進整数と呼ばれるものに対応する。
> p 進数同士の足し算、引き算、掛け算は、p 進表記の有理数における通常のアルゴリズムを自然に無限桁に拡張することで得られ、割り算は掛け算の逆演算として定義される。

727:１３２人目の素数さん
19/04/20 14:04:10.33 qXeTVoFa.net
なるほど、わからんｗ

728:１３２人目の素数さん
19/04/20 14:08:48.97 qXeTVoFa.net
自力実装は相当厳しいかなこりゃ。

729:１３２人目の素数さん
19/04/20 15:43:16.25 qXeTVoFa.net
まともにやるとクソ難しそうなのでとりあえずコラッツ展開を分数で表現してみた
def collatz_rational(x)
l=x.length
res=0r
x.reverse.each_with_index{|v,i|res+=v*(1/2r)**(i+1)}
res+=((1/2r)**l)*1/3r
return res
end
def collatz_rational_array(x,l)
res=[]
(0...l).each{|i|
if(x>=1/2r)
then
x-=1/2r
res<<1
else
res<<0
end
x*=2r
}
return res.reverse
end
(1..1000).each{|x|
a=collatz_array(x)
l=a.length
r=collatz_rational(a)
b=collatz_rational_array(r,l)
if(a!=b)
then
print "#{x} #{r} #{a} #{b}\n"
end
}

730:１３２人目の素数さん
19/04/20 15:48:17.01 qXeTVoFa.net
でも分数にしたところで不動点のアイディアとどう結び付けていいかわからぬｗ
まあもともと不動点はそれほど目があるアイディアじゃないかもだけど

731:１３２人目の素数さん
19/04/20 16:03:08.59 qXeTVoFa.net
ありゃ、バグがあるっぽい
すまん、直す

732:１３２人目の素数さん
19/04/20 17:07:12.41 qXeTVoFa.net
URLﾘﾝｸ(ideone.com)
うーん、こうかな？

733:１３２人目の素数さん
19/04/20 17:09:11.57 qXeTVoFa.net
ちょっと疲れたｗ
休憩ｗ

734:１３２人目の素数さん
19/04/20 18:15:52.88 qXeTVoFa.net
スタートは不動点だったはずだが脱線してしまったなｗ
うーん、どうしよう

735:righ1113
19/04/20 18:43:16.20 gsPKCWwo.net
不動点ではないですが、
x == collatz_number(collatz_array(y))
y == collatz_number(collatz_array(x))
のように、相互に参照しあっているものを考え中です。
ちゃんとしたものは後日upします。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

736:１３２人目の素数さん
19/04/20 19:51:06.44 kQapNYTQ.net
2-進整数の計算についての補足
桁が繰り返しである2-進整数に限ると、
繰り返しが1で埋まれば-1であることを利用して
以下のように有理数との対応がわかります
(1)…=-1/(2^1-1)
(10)…=-1/(2^2-1)
(100)…=-1/(2^3-1)
途中から繰り返す場合についても、例えば
1(100)…=1+2(-1/7)=5/7
のようになります
そして、このようなものに限ると有理数としての加減乗除でまったく問題なかったりします
循環小数=有理数、みたいなもんですね

737:１３２人目の素数さん
19/04/20 21:01:20.91 qXeTVoFa.net
不動点ということは繰り返し処理をかけても変わらないということですが、
コラッツ展開に対してさらにそのコラッツ展開を求めることに何の意味があるのかが不明瞭なのが現状痛いですね。
そこに何らかの意味が見いだせればもう少し面白くなるのですが

738:righ1113
19/04/21 01:05:53.95 eAsDk9Da.net
特に何か得られた訳ではないですが、upします。
URLﾘﾝｸ(github.com)
気がついた事は、（不動点じゃないですが）
例えばxが17~31の奇数の区間で、コラッツ展開先頭5ビットが1~31の奇数を、
コラッツ3x+1と3x-1で分けあうことです。

739:righ1113
19/04/21 01:27:22.72 eAsDk9Da.net
>>707
書いてから思ったのですが、
>>530と関連があるのかどうか、というところですかね。

740:１３２人目の素数さん
19/04/21 07

741::54:17.77 ID:npoMZDGj.net

742:１３２人目の素数さん
19/04/21 21:02:50.26 pvqV4cbN.net
コラッツ展開が長さnの循環列
⇔xに対し「x→(3x+1)/2」または「x→x/2」の変換をある順番でn回行ってxに等しくできる
⇔0≦∃k≦n, ∃y∈Z, ((3^k)x+y)/2^n=x.
これは有理数の範囲で一つの解をもつ

743:１３２人目の素数さん
19/04/21 21:18:37.12 58cJHsba.net
すいません、不動点はあまり実りがなさそうなので撤退します。申し訳ない。
今1～2^nのコラッツ展開の先頭nビットを並べてコラッツ展開のkビット目にどのようなパターンが表れるかというのを見ようかと思ってます。

744:１３２人目の素数さん
19/04/21 21:54:43.91 58cJHsba.net
むむ、綺麗な周期が表れるかと思ったらそうでもない？

745:１３２人目の素数さん
19/04/21 22:53:56.35 58cJHsba.net
いや、周期になるみたい。
でもパターンは凄い複雑。

746:708
19/04/22 06:24:26.02 xqP02tmi.net
p進体Q_pにおいて、分母がpで割り切れない有理数はp進整数環Z_pに含まれることが知られている
(フェルマーの小定理より任意の素数q≠pに対してp^(q-1)≡0(mod q) なので、-1/qのp進展開がq-1桁の循環になる)
コラッツ問題の有理数への拡張は、Z_2への拡張と考えたほうが実は自然なのでは？
というところで2-進整数ネタも一休み
また週末かなー

747:righ1113
19/04/26 08:31:01.99 RlIUNLEW.net
コラッツ展開のコラッツ展開をいくつか計算してみましたが、いまいちでした。
URLﾘﾝｸ(github.com)
-1, 0, 1だけが特別で、（>>686）
これ以外の数は、コラッツ展開を施すごとに、どんどん複雑になっていくようです。
「3x-1」シートは、3x-1にして負値を計算したものです。

748:１３２人目の素数さん
19/04/26 20:39:33.09 xTZynMFI.net
繰り返したら元に戻るとか、そういうことはない感じですかね
フーリエ変換に対する逆変換みたいなものが見つからないか、というのは今のところ夢想かなあ

749:１３２人目の素数さん
19/04/26 20:57:44.06 xTZynMFI.net
>522
の補題を自分の中で整理してたらこうなった。
写像f: Z→Zを次で定義する.
x∈Z に対し,
f(x)=x/2 (x∈0+2Z)
f(x)=(3x+1)/2 (x∈1+2Z)
このとき, 0≦n∈Z, x, y∈Z に対して次が成り立つ.
x-y∈(2^n)Z ⇒ 0≦∃m≦n, s.t.
(2^n)(f^n(x)-f^n(y))=(3^m)(x-y).
(超略証)nに関する帰納法.
定義から0と1の場合がOK.
1とkをあわせてk+1の場合が示される.

750:righ1113
19/04/26 22:52:24.34 edmDBtkV.net
>>716
繰り返したら元に戻るとか、
小さくなる、とかだったら良かったですけどね。

751:１３２人目の素数さん
19/04/27 17:46:18.20 PhPZ0MkR.net
>717 に引き続き, >523 を代数学風に整理.
前述(>717)のf, x∈Z, 0≦i∈Zに対し x_i=f^i(x)+2Z で定まる Z/2Zの列{x_i}(i≧0)を「xのコラッツ展開」と呼ぶことにする.
x,y∈Zとそのコラッツ展開{x_i},{y_i}について次が成り立つ.
x-y∈(2^n)Z⇔x_i=y_i (0≦∀i≦n).
系. コラッツ展開は単射.

752:１３２人目の素数さん
19/05/08 21:48:28.23 U/58yMQ3.net
コラッツ展開はかなりいい線いってるとは思うが、次の一歩が難しい？

753:１３２人目の素数さん
19/05/08 22:07:04.85 U/58yMQ3.net
例えばxのコラッツ展開のyビット目がxのサイズの多項式時間で求まれば大きな前進と言える？

754:１３２人目の素数さん
19/05/08 22:10:31.84 U/58yMQ3.net
ここでいうxのサイズっていうのは自然数xに対してそれを表すのに必要なビット数log(x)のことね

755:righ1113
19/05/09 06:34:48.07 ysyHHFnM.net
>>721
入力サイズに対して、
コラッツ操作で何回2で割るかが分からないので、
難しいと思います。
特殊な場合だと、
2^n±1は、コラッツ展開のnビット目までを
多項式(定数?)時間で求められます。

756:１３２人目の素数さん
19/05/09 07:08:14.74 +tHX/zWL.net
個人的には
・Z(有理整数環)→(Z/2Z)の列で単射になる
・>523の性質から、Z_2(2-進整数環)上にwell-definedに拡張できる
(環Zと素イデアル2Zの話が環Z_2と素イデアル2Z_2の話になるだけで、まったく同じロジックが展開できる)
・Z_2上全射(よって全単射)になる
ということでZ_2上で考えたらなんか出てこないかなー、とは。
コラッツ展開がループ
→一次方程式の解
→Q∩Z_2
とか。
なお、p-進整数環については、射影極限を経由するルートの方がわかりやすいかもしれません。

757:１３２人目の素数さん
19/05/09 08:06:12.63 +tHX/zWL.net
1ビットでも違うとそこから先は別物というか、カオス的な振る舞いをしますね
2で割ることで折りたたまれたフラクタル構造といいますか……

758:righ1113
19/05/09 08:26:35.55 c2RXSWlw.net
ところで、
>>686から書いている2-進整数とは少し違うものが英語版Wikipediaにあった。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
の"Iterating with odd denominators or 2-adic integers"
例えば、コラッツ展開(1011001)のループを考える。
このコラッツ展開の長さn=7で、"1"の個数m=4。
"1"のビット位置k_0,...k_(m-1)は、0, 2, 3, 6。
これらを元に、
(3^(m-1)*2^k_0 + ... + 3^0*2^k_(m-1))/(2^n - 3^m)
を計算すると、151/47になる。
この数を分数でコラッツ操作すると、
151/47 → 250/47 → 125/47 → 211/47 → 340/47 → 170/47 → 85/47 → 151/47 → ...
となって、確かにループしている。偶奇のコラッツ展開とも一致している。
(10)からは1が得られるし、(110)からは-5が得られる。
一つのループから一つの有理数が得られるようだ。
これも2-進整数って言うのかなあ。

759:１３２人目の素数さん
19/05/09 18:33:29.57 +tHX/zWL.net
2-進整数環Z_2においては、2Z_2の元でなければ可逆元となるので、47の逆元が2-進整数として存在します。
151/47と書くより151・47^-1と書く方が実情を正しく表現しているかもしれません。
また、加法・乗法は有理整数環上のものが延長されているので、分母が奇数の有理数についてはそのまま有理数として計算しても問題が発生することはありません。

760:righ1113
19/05/09 18:39:46.62 ysyHHFnM.net
ありがとうございます。
よく分かってないですが……
精進しますm(_ _)m

761:１３２人目の素数さん
19/05/09 19:13:07.75 yA5UfL3f.net
じゃあxのコラッツ展開のyビット目をもとめるのはNP困難か？
だったらどう？

762:１３２人目の素数さん
19/05/09 19:57:09.94 +tHX/zWL.net
分母が47の2-進整数は、
2^23-1 = 8388607 = 47×178481
であることから、
47^-1 が繰り返しが23桁の2-進整数となることがわかります。
具体的には
23桁の (11…1) = -1
であることから、
23桁の (10…0) = -1 × 47^-1 × 178481^-1
両辺に -1, 178481 をかけるという手順で求まります。

763:727
19/05/09 20:16:04.29 19c66qNB.net
NP困難がむりでも素因数分解とかグラフの同型問題とかに帰着出来たら一定の成果と言えると思う。

764:１３２人目の素数さん
19/05/09 20:21:22.85 19c66qNB.net
あれ、逆か？
素因数分解とかグラフの同型問題をコラッツに帰着できるか？
かな

765:１３２人目の素数さん
19/05/09 21:52:30.09 19c66qNB.net
自然数xのコラッツ展開のxビット目

766:、すなわちコラッツ展開の対角線に着目したら何か出てこないだろうか？

767:１３２人目の素数さん
19/05/09 22:16:54.60 19c66qNB.net
巨大数探索スレでは対角線というのは非常に注目されていて
ゲーデルの不完全性定理とかにもでてくる有用な概念らいしぞ。

768:１３２人目の素数さん
19/05/09 22:21:31.00 19c66qNB.net
例えば自然数xのコラッツ展開のyビット目をcollatz_bit(x,y)と置くとき、
collatz_bit(x,y)をxとyとcollatz_bit(z,z)で表すことが可能であれば、
本質的にコラッツの問題は対角線だけ着目すればいいという結論が出るかもわからない。
そうなったらちょっとすごい。

769:１３２人目の素数さん
19/05/09 23:11:30.02 19c66qNB.net
すまん、また先走ってしまったかもｗ

770:１３２人目の素数さん
19/05/11 00:46:16.20 fcymDsY6.net
>>719 の x-y∈(2^n)Z　という式をみて、ユークリッドの互除法みたいにどんどん小さくしていけないかなぁとふと思った。

771:１３２人目の素数さん
19/05/14 16:53:13.29 8Q7VJT2b.net
藁

772:１３２人目の素数さん
19/05/30 21:36:43.15 cLyNr8Oe.net
さすがの >>1もここまで荒らされてしまってはギブアップか？

773:righ1113
19/05/31 07:22:26.05 v8IIjC8x.net
>>739
荒らされてる……?
証明はここにあります。
URLﾘﾝｸ(github.com)
割数列を使っています。
また、定理証明支援系Idrisを使用しています。

774:１３２人目の素数さん
19/07/23 20:59:18.66 9Y319zyX.net
藤林丈司

775:前786
19/07/31 22:27:24.78 IpAiLCvW.net
覗いてみたらコラッツ展開が注目されてて嬉しい。
コラッツ展開については私も色々考えていますが、>>546で書いた通り 3x+1 に限らず任意の px+q (p,q は奇数) で同様のことができるので、
3x+1 の特殊性をどう出すかが悩みどころ。
>>740
プログラムのことは良くわかりませんが、定理7-2 では 0 の全ての拡張完全割数列が有限項であることを示しているのですか？

776:righ1113
19/07/31 23:12:25.82 MdqshjyU.net
>>742
お久しぶりです。
最近プログラムに大きく手を入れたのですが、そこちょっと引っかかっていました。
示せてないです……

777:righ1113
19/07/31 23:36:04.76 MdqshjyU.net
1つ前のバージョンでは、レベルというものを導入していて、
『レベル2の』0の全ての拡張完全割数列が有限項であること
は実際に計算できたので、それを証明としていました。

778:前786
19/08/01 18:21:35.97 VR/ErDyu.net
>>743
やはりそうですか…。
了解です。
ついでに添削
ch01
・コラッツ予想
＞コラッツ操作をおこなう数を「コラッツ値」と呼ぶことにする。
既に同じ意味で「初期値」という言葉が使われているので「初期値」で統一してはどうでしょうか。
「コラッツ値」を残すにしても、『初期値のことを「コラッツ値」とも呼ぶ』などと定義した方が意味がはっきりします。
・定義1-1
これも分かりにくいので、
自然数 n を初期値としてコラッツ操作を連続して行ったとき、各操作において 2 で割った回数を並べてできる数列を n の割数列と呼ぶ。
とか。
有限列になる場合、無限列になる場合もここではっきりさせておくべき。
また、「コラッツ列」が未定義なので付け加えるか表現を変えるか。
・定義1-2
＞初期値が3の倍数の…
上で提案した定義に則るなら「初期値が」は不要。
このままにしたければ定義1-1を「初期値が n の割数列」に変更。
・3の倍数だけ調べれば良い
「コラッツ逆操作」が未定義。
ch02
・定義2-1
＞A[6,-4] or B[1,-2]をつける
「つける」では通じないので、
有限または無限数列 [a_1, a_2, a_3, ...] を数列 [6, a_1-4, a_2, a_3, ...] に写す変換を A[6,-4] と書く。
とか。
また、

779:この時点ではまだ完全割数列を完全割数列に写すことが示されていないので、その旨を削るか、書くとすれば「すぐ後で示すが」などと書き加えた方がいいと思います。 (重要) ・全ての3の倍数の奇数は、完全割数列で表わされるある数が完全割数列で表わされる、という文言がそもそもおかしいですが、なにより 3 の倍数の割数列が完全割数列であるというのは完全割数列の定義そのもので、ここで示されることではありません。。タイトルを何かしら変えるべきでしょう。ここで示されているのは「star変換は完全割数列を完全割数列に写す」「任意の完全割数列は、ある完全割数列にstar変換を施したものとして得られる」です。

780:righ1113
19/08/01 18:38:18.77 mFTghELa.net
>>745
添削ありがとうございます。
すごく有難いです。

781:前786
19/08/01 18:51:35.06 VR/ErDyu.net
(重要)
ch03
コラッツ値が非負整数にならないものは禁止するのかしないのかはっきりさせて下さい。
禁止するならば、定義3-1は
n≧0 を 3 の倍数とする。整数列 [a_1, a_2, ...] が n の拡張完全割数列であるとは、
ある 3 の倍数 n'≧0 が存在して
・n' の割数列に、0 や負数が現れることも許してstar変換を有限回施すと数列[a_1, a_2, ...] が得られ、かつ
・n' に対応するコラッツ値の変換を施すと n が得られる
を満たすことを言う。
ってところですかね。
(重要)
ch04
「拡張コラッツ予想」とありますが、これは操作を定義しているだけで予想になっていません。
「拡張コラッツ操作」などと呼ぶべきでしょう。また、ここでも「1回の操作」をはっきり定義しておくといいでしょう。
拡張コラッツ予想とは
任意の拡張完全割数列は有限項である。
とかでしょうか。
あとはプログラムが分からないのでパスで

782:righ1113
19/08/10 16:30:41.61 WEEBIQI2.net
>>745
プログラムを変更して、
帰納法のbase caseは、『（拡張でない）完全割数列が有限項』を示せば良いようにしました。
0の完全割数列は[]と定義するので、有限項です。

783:前786
19/08/16 19:31:46.97 2gnceVey.net
どう改善したんです？

784:righ1113
19/08/17 09:46:57.28 /+c7d2Vv.net
すみません、2~3日まってください。

785:righ1113
19/08/18 20:20:16.33 /T55OTnz.net
すみません、もうしばらく時間をください。

786:righ1113
19/08/21 08:04:36.17 1YNIVvH6.net
GitHubのWikiとprogram3は直しかけです。
証明の流れは以下です。
①まず、二つの述語を用意します。
FirstLimited x　：　xの完全割数列は有限長である
AllLimited x　　：　xの完全割数列および拡張完全割数列達は全て有限長である
示したい命題は、x -> FirstLimited x です。　　　---(a)
②次に、パースの法則の述語論理版を用意します。
"∀x::nat. ￢(∀z::nat. (P z -> Q z))
　　-> (∀z::nat. (P z -> Q z) -> (∀n::nat. P n))
　　　-> P x"
これは定理証明支援系Isabelleで自動証明したので間違いないと思います。
③(∀z::nat. (P z -> Q z) -> (∀n::nat. P n))
のP, QにFirstLimited, AllLimitedを代入したものを証明します。
無限降下法はやめて、整礎帰納法を使います。
④ (x -> FirstLimited x -> AllLimited x) は、排中律により真か偽のどちらかです。
・真の場合
　　これと③を使って(a)が証明できます。
・偽の場合
　　これと③とパースの法則を使って(a)が証明できます。

787:１３２人目の素数さん
19/08/21 19:42:19.19 D7jjX8DP.net
>>752
> 示したい命題は、x -> FirstLimited x です。　　　---(a)
？？？
x は単なる自然数でしょ？　なのに、x -> ・・・　と含意命題の仮定部に出て来るとは？？？
示したい命題って、AllLimited x -> FirstLimited x ですか？

788:righ1113
19/08/21 20:01:27.13 1YNIVvH6.net
>>753
プログラムで「x ->」と書いたら、全称量化を意味します。
参考記事です。
URLﾘﾝｸ(mandel59.hateblo.jp)

789:前786
19/08/21 21:08:20.89 fPaJwHz3.net
となると④の命題は
任意の自然数xに対して「FirstLimited x ならば AllLimited x」
ですか。
②は
命題 -> 命題 -> 命題
の形になってるけどどういう意味？

790:righ1113
19/08/21 21:21:49.59 1YNIVvH6.net
②は
「任意の自然数xに対して、α -> β -> P x」
α：￢(∀z::nat. (P z -> Q z))
β：((∀z::nat. (P z -> Q z)) -> (∀n::nat. P n))
です。

791:righ1113
19/08/21 22:11:29.10 1YNIVvH6.net
＞　命題 -> 命題 -> 命題
は、
　十分条件1 -> 十分条件2 -> 命題
と書いても良いと思います。

792:前786
19/08/21 22:37:59.72 fPaJwHz3.net
A -> B -> C は
・「A ならば B」かつ「B ならば C」
・「A ならば B」ならば C
・A ならば「B ならば C」
のどれかかと思ったけど
・「A かつ B」ならば C
ってこと？

793:前786
19/08/21 22:41:32.77 fPaJwHz3.net
あ、それとも
・「A または B」ならば C
ですか？

794:righ1113
19/08/21 22:44:55.92 1YNIVvH6.net
>>758
・A ならば「B ならば C」
です。
（右結合といいます）

795:前786
19/08/22 01:12:58.29 giLkMHnx.net
分かりました。
あとは③の証明がちゃんとできてるかどうかですね。

796:１３２人目の素数さん
19/08/22 03:04:34.92 nw1u5r5f.net
>>754
はぁ～、依存型サポートしてる関数プログラミング言語のIdris独特の記法なのね、、、

797:righ1113
19/08/22 06:55:11.10 PJ5J9TL4.net
②の括弧の書き方が怪しいようです。
見直します。

798:前786
19/08/23 11:36:02.85 Zs0jDKxG.net
>>756の記号を使うと、②は
α：￢A
β：A -> B
の形をしていて、α が真なら β も常に真、したがって β があってもなくても変わらない
となってしまっているように見えますが、これも括弧の書き方のせいですかね。

799:righ1113
19/08/23 20:08:10.05 eq9wFyaJ.net
>>764
>>756は間違いでした。
自分が不用意に括弧を付け足したせいです。
(Isabelleも >>756にはNGを返します)
正しくは以下です。
「任意の自然数xに対して、α -> β -> P x」
α：￢(∀z::nat. (P z -> Q z))
β：(∀z::nat. (P z -> Q z) -> (∀n::nat. P n))
しかしこれだと、βに(∀z::nat. (P z -> Q z))を渡せないので、
コラッツ予想の証明には使えません。

800:righ1113
19/08/24 03:54:12.96 y6gPu1qv.net
②のαを少し変えて
「任意の自然数xに対して、α -> β -> P x」
α：(∀z::nat. ￢(P z -> Q z))
β：((∀z::nat. (P z -> Q z)) -> (∀n::nat. P n))
とすると、IsabelleもOKを返します。
これを使って上手いこと出来ないか考え中です。

801:righ1113
19/08/31 17:08:17.30 maX3S4cO.net
すごく時間がかかりそうです。

802:righ1113
19/09/04 14:27:10.54 0SsvI0JE.net
>>752の③からIdrisで直接(∀n::nat. FirstLimited n)を証明できる
目処が立ちました。
パースの法則は使わずに済みそうです。
Isabelleも使わずに済みそうです。
Idrisプログラムを書き上げる事とWikiを手直しする事が必要ですが、
3か月くらいかけてじっくり取り組もうと思います。

803:righ1113
19/09/11 08:56:27.39 eEtvbVM0.net
テレンスタオ氏によって
コラッツ予想に進展があったみたいですね。

804:１３２人目の素数さん
19/09/11 20:39:58.57 bzYg9Jhl.net
まじで
詳しく

805:１３２人目の素数さん
19/09/11 20:45:42.89 xhfGTjEt.net
URLﾘﾝｸ(terrytao.wordpress.com)

806:１３２人目の素数さん
19/09/11 20:54:44.39 bzYg9Jhl.net
>>771
分らんということが分かった

807:前786
19/09/11 21:26:42.43 8GdAP/RF.net
とりあえず出だしだけ見てみた。
この結果は Korec の結果を一般化(厳密にはちょっと違う)したもの。

・Korec の結果
自然数 N を初期値としてコラッツ操作を施して得られる数の最小値を Col_min(N) と書く。(コラッツ予想が正しければ常に Col_min(N)=1)
このとき、ほとんどすべての自然数に対して Col_min(N) < N^θ (ここで θ=(log3)/(log4)) が成り立つ。
「ほとんどすべての」というのは数学用語で、密度というものを使って定義される概念。
密度には種類があり、異なる密度に対しては「ほとんどすべての」の意味が異なる。
Korec が用いたのは natural density (自然密度？) というもの。

・Terence Tao の結果
上の N^θ の部分を一般化したもの。
f を自然数に対して実数を対応させる関数で、lim_[N→∞]f(N)=∞ を満たすものとする。
このとき、ほとんどすべての自然数に対して Col_min(N) < f(N) が成り立つ。
ただし、Korec とは異なり logarithmic density (対数的密度？) という密度を用いている。

808:１３２人目の素数さん
19/09/11 22:35:47.47 bzYg9Jhl.net
カンタン言うと無限大には多分発散しないよってこと？

809:１３２人目の素数さん
19/09/11 22:42:30.82 bzYg9Jhl.net
じゃなくて必ず元の値より小さくなるよってことだろうか？

810:１３２人目の素数さん
19/09/11 22:52:04.32 bzYg9Jhl.net
Col_minってなんか微妙な表現だな。
Col_minの上限が言えても無限大に発散しないことは言えなくない？

811:前786
19/09/12 00:31:35.05 HO87Fd5n.net
5ページの (1.8) に現れる数列は割数列(の最初のn項)ですね！
論文では n-Syracuse valuation と名付けられています。
その後「n-Syracuse valuation と n-Syracuse offset map について理解する必要がある。前者のために…」というくだりがあって次の話に続いているようです。
これ割数列がなかなか活躍してるのでは。

812:１３２人目の素数さん
19/09/12 06:51:26.68 KFZB1fcL.net
>>776
そのとおり。無限大に発散しないことは言えない。
個人的には、この手法を応用して
・ an＋b問題(ただしa≧5)ではほとんどの初期値で発散する
という予想が証明できることを期待したい。
・・・と思ったが、ブログのコメント欄を見てみると、
Tao氏本人が「今回の手法ではムリ」と書いていた。
どんだけ闇が深いんだこの問題ｗ

813:１３２人目の素数さん
19/09/17 21:04:04.67 umydRiIr.net
なんか言葉では表せないが、3n+1の抜けがないことを証明出来ないか。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

814:righ1113
19/09/18 10:45:47.10 X1ldMZz+.net
>779
Excelで書いてみました。
URLﾘﾝｸ(github.com)
（Downloadボタンを押してください）
ここから先はよく分からないのですが、
3の倍数の×印で全て覆える、という事でしょうか？

815:１３２人目の素数さん
19/09/18 12:14:52.09 Q9zF2o5s.net
>>780
ありがとうございます。
論文を見てそう考えました。
スラッシュしてあるのは前項により固定になっている所です。
それで固定になっていない所の位置変化に注目してます。
2^nになれば収束するので2^nの位置変化と3n+1の箇所が2^nを内包するn^2のシートを使われているかもと考えました。

816:righ1113
19/09/19 07:31:26.58 Ro0nf9Vh.net
すみません。返信遅くなります。

817:779です
19/09/19 15:32:22.38 MvMcPhmF.net
追記
3n+1がどのような代謝をするか考えると3n+1は初期のn/2は代謝させないで
後半のn/2をすべて代謝させるだけで初期のn/2で深度？がわかるようなそうじゃないような…
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

818:righ1113
19/09/20 04:18:16.82 3y2eEA/C.net
>>781
Excel更新しました。......が、あまりうまくいかないです。
3*奇数+1
はn^2正方形の辺上に並ぶかと思いましたが、違うようです。
>>783
OE : (3/2)n+1
が何故3n+1になるか分からないです。

819:779です
19/09/20 06:11:25.81 mz9+bxEb.net
お疲れ様です。
16がうまくいってるだけで正方マスはうまくいかないのかもしれないです。結局変化おこるのが斜めにずれて噛み合ってになるので2^nマスでしか起こらないのかもしれないです。

もうひとつの方なにやら壮大な計算ミスが起こっているようですごめんなさい。

820:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:37:10.76 KyAOfC1j.net
3715
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)

821:１３２人目の素数さん
19/10/03 20:20:37.21 PRx2pJec.net
なんかワケわからんくなってきた。
コラッツ予想ってどうなれば解けると言えるんだ？

822:１３２人目の素数さん
19/10/03 21:26:46.49 p16UL9SE.net
反例を見つけるか、すべての自然数がコラッツ操作によって１に収束することがいればいい。

823:BLACKX
19/10/03 21:49:54.55 PRx2pJec.net
そうか。とりあえずこれ見て。
どう思う？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

824:１３２人目の素数さん
19/10/03 22:32:42.14 p16UL9SE.net
これでエスパーするのはかなり厳しいｗ

825:BLACKX
19/10/03 23:04:43.87 Rbe16hSc.net
整数を代入した表通りに辿ると各整数で計算した値になるからそのままグラフにして座標のもう片方の数字を辿ってみた。
初めの数字はy座標から始めてyxyxと交互に座標を辿るとコラッツ数になる。
x/2だけは逆数でもたどれるからy=2xを介しても良い(逆数を介さなくてもそのまま行ける)
だから座標上の数列3式で全て対応可能だと思うよね。
というか対応可能じゃないと代入しただけだから困るが。
矢印の線は一例

826:righ1113
19/10/04 21:32:06.44 UHkJbXE/.net
>>791
スプレッドシートで描いてみました。
URLﾘﾝｸ(docs.google.com)
こういう形の図はコラッツ予想ではよく見るのですが、
＞　yxyxと交互に座標を辿るとコラッツ数になる。
という所は新しいかも、と思いました。

827:BLACKX
19/10/04 23:02:42.16 ZbCHQ69z.net
>>792
斜めのx/2介さない方が一貫性あるかなと思うんだが、この法則で1に収束すると言えないかな

828:righ1113
19/10/04 23:29:24.49 UHkJbXE/.net
>>793
う～ん、1に収束するかどうかは何とも言えないですねぇ。
もう少し、1に収束する根拠というか、詳細を書いてもらえないでしょうか。

829:BLACKX
19/10/04 23:31:03.67 ZbCHQ69z.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
なんかこういう感じの式で見たらメルセンヌの素数判定式と同じ類いの証明が出来そうな気がする。
それはコラッツ問題においてはn/2は0が原点となるし、3n+1は(1.0)もしくは(0.1)を取り問題帰着するし、
何処の座標でも合同の距離ベクトルであると言えるから代謝構成も同じと言えないか？
息抜きでかじった程度なので分からんが。

830:righ1113
19/10/04 23:41:27.20 UHkJbXE/.net
>>795
すぐにはコメントできないですねぇ。
じっくり考えてみます。

831:BLACKX
19/10/05 01:38:10.80 OL94vrVV.net
移動座標
xyは座標目盛り
40x、20y、10x、5y、16x、8y(真横)、4x
、2y(真横)、1x(END)
は並べかえると、
x:40、10、16、8、4、1
y:20、5、8、2、
ベクトル距離は、
x:-30、6、-12、-2、2
y:-15、3、-6、2、-3
(x.y)=(-19.-36)で初め(40.20)からでENDの読みがXだからyからxを足すと1が出てくるな

832:BLACKX
19/10/05 01:43:14.54 OL94vrVV.net
まぁ、操作そのものだから自明だが

833:righ1113
19/10/05 03:16:11.20 EPlAKeUQ.net
5x+1のループを描いてみました。÷2の描き方は変えてあります。
10, 5, 26, 13, 66, 33, 166, 83, 416, 208, 104, 52, 26, 13, ...
URLﾘﾝｸ(docs.google.com)
シート2です。（見づらくてすみません）
3x+1でもこのような可能性があるので、難しいと思いました。

834:BLACKX
19/10/05 09:09:17.25 uoHvpmE8.net
ちょっとかんがえてみるわ
でも5x+1の時は特殊性あって16で限定でx/2に対応する式だと思う。
そういう計算をしてるブログあるしトリガーを16で持たせたと言って過言じゃないと思う
xy対応グラフはn/2と3n+1限定の対応グラフだからトリガーがy=n/2とy=2xとy=x/3-1/3しか対応してない。
それは(-2.-1)の共有点もって無いと対応しない。y=2xの共有点はx/2
逆数なので、x=y

835:１３２人目の素数さん
19/10/05 13:04:34.60 fDQh4Kkd.net
>>791
分岐するところはどうなるの？

836:１３２人目の素数さん
19/10/06 04:55:26.48 nni1fM7t.net
2n+1→6n+4→3n+2
2n+2→n+1
どちらも和は4n+3で同じ
奇数と奇数+1の2つの数を変換しても和は保存された

837:BLACKX
19/10/06 10:57:34.94 X1pstQ7F.net
>>801
x=16の直線上に5、8、32は同じ直線上に居るようにxだけ読めればyの値を読むのでちゃんと結ぶよ

838:BLACKX
19/10/06 17:59:01.95 X1pstQ7F.net
なるほど。
ちょっと今日分かったとこワードで纏めるわ

839:BLACKX
19/10/07 04:21:08.42 zHCD2zLI.net
コラッツ小予想
URLﾘﾝｸ(dotup.org)

840:righ1113
19/10/07 08:58:21.68 H+XdBCjD.net
>>805
なるほど、4本の直線の間をぐるぐるしながら遷移するのですね。
4-2-1ループは例えば、
(2,1)→(4,1)→(4,2)→(1,2)→(1,4)→(2,4)→(2,1)→...
と遷移すれば良いかなと思いました。

841:BLACKX
19/10/07 18:56:22.72 6TY/9fav.net
>>806
そかそか、見落としとった
1は3n+1か！

842:１３２人目の素数さん
19/10/07 19:12:42.63 BmUoT7kv.net
コラッツ問題の定義に従えば
y=x,3x+1,x/2の3本の間を
3x+1→x
↑奇数
x
↓偶数
x/2→x
とx軸/y軸方向に行ったり来たりすることで表現できる
これを適宜y=xで反転して
・y=xで曲がらない
・折り返すところを省略
とやってる感じですかねー

843:righ1113
19/10/07 22:48:48.15 H+XdBCjD.net
>>808
そのような感じだと思います。

844:BLACKX
19/10/08 15:08:09.01 TzPmIY36.net
>>808
逆数の式の線上の座標が経由されてるのがよくわかりませんが、値が保存されるので収束するのがよくわかります。

845:前786
19/10/08 17:35:41.71 cGIo+lIN.net
y=3x+1, y=(1/3)x-(1/3) を奇数ライン
y=2x, y=x/2 を偶数ラインと呼ぶことにすると
奇数ラインからは偶数ラインにのみ移る。
この際、近い方の偶数ラインに向かって、原点から離れる方向に進む。
偶数ラインからは奇数ライン、偶数ライン両方に移り得る。
奇数ラインに移るときは上と同様、近い方の奇数ラインに向かって、原点から離れる方向に進む。
偶数ラインに移るときは原点に近づく方向に進む。
という動き方になっていますね。
外側で増加、内側で減少を繰り返していることになります。

あと個人的には、奇数に対して「3倍して1を加えて2で割る」までをひとつの操作とした場合どうなるか、というのも気になります。

846:BLACKX
19/10/08 20:24:00.32 nAoQTulA.net
あ、もう反例や否定意見が出てこないから、
さらに色々またワードに纏めるわ
今度はかなり遅れます。

847:１３２人目の素数さん
19/10/08 20:52:45.13 Ypehd4ey.net
よくわからんが期待できそうなの？

848:BLACKX
19/10/09 07:59:04.51 bxDyrUTc.net
>>813
次はこのスレの住人なら自分の頭の中を全部吐き出せば何か他の法則が見つかるのかなって感じ。まだ頭の中整理出来てないから1週間位掛かるかも

849:righ1113
19/10/09 09:48:49.82 QvxcI3Gv.net
>>811
偶数ラインの外側で増加、内側で減少しているのですね。
それとはちょっと違うかもですが、コラッツ操作で1に辿り着く時は、
『始点=3の倍数の奇数』
『最大点』
『終点=1』
の三つのポイントがあって、
『始点』→『最大点』を<上り>のフロー
『最大点』→『終点』を<下り>のフロー
として遷移するのかなあと思いました。

850:BLACKX
19/10/11 00:23:27.71 a9ESd36D.net
ちょっと教えてください。
5n+1ではy=2xとなる点は無いの？

851:righ1113
19/10/11 03:30:35.31 tbnZSvvM.net
>>816
>>805にならえば、
例えば5n+1で1→6→3→16→8→4→2→1→...は、
(2,1)→(6,1)→(6,3)→(16,3)→(16,8)→*(4,8)→(4,2)→
→*(1,2)→(1,6)→*(3,6)→(3,16)→*(8,16)→(8,4)→*(2,4)→(2,1)...
となって、印をつけた点がy=2x上にあります。

852:BLACKX
19/10/11 08:35:19.48 a9ESd36D.net
>>817
なるほど。ありがとうございます。
それなら3n+1も同一処理になりますね

853:righ1113
19/10/16 15:34:21.23 OTKtaZgW.net
>>768
うまくいきません。
「3か月で完成させる」は撤回します。
現状
----------
(ロ)二つの述語を用意します。
P(d, n) : FirstLimited(d, n)　:　nの完全割数列は有限長である
Q(d, n) : AllLimited(d, n)　　:　nの完全割数列および拡張完全割数列達は全て有限長である
示したい命題は、∀d.∀n.FirstLimited(d, n) です。　　　---(a)
(ハ)補題を二つ証明します。
makeFtoA　　　　　　 : ∀d.∀n.(∀z.P(d, z) -> (P(d, n) -> Q(d, n)))
makeLimitedDivSeq : ∀d.∀n.(∀z.(P(d, z) -> Q(d, z)) -> P(d, n))
※これは達成できました。
(ニ)
補題を使って、(a)を、相互再帰で証明します。
※ここがうまくいきません。
----------

854:BLACKX
19/10/22 11:27:16.05 iR/Ln1SE.net
ベクトルの面積で処理するのかなり難しい
ループするときの数式処理が難しくて結局0ベクトルになるから厳しかった。まだ諦めないけど

855:righ1113
19/10/22 12:04:20.87 QXGkAQTT.net
ベクトルの面積を処理しているのですか。
かなりオリジナリティ溢れる展開ですね。

856:１３２人目の素数さん
19/10/23 20:35:42.05 18OXj+iw.net
この場合の面積ってコラッツ問題における何の量を表しているんだろう？

857:righ1113
19/10/23 20:40:22.71 pRP9XRPU.net
>>822
う～ん、パッとはひらめかないですねー。

858:BLACKX
19/10/24 07:41:48.24 sFNWgaFI.net
ぐちゃぐちゃだけど雰囲気だけとりあえず見てくれ
確定だと思われる所まで貼るよ
結局ループ場合AnとDnはx=yで同じにならんといけないので固定
BnとCnの係数比になるから交点からの面積求めて差分の面積を係数比較したかったけどそこの所は無理っぽさがあった
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

859:righ1113
19/10/24 09:41:18.27 0pxG9RqR.net
う～ん......
雰囲気はつかめます。

860:BLACKX
19/10/25 07:20:11.74 n41S92Ki.net
一枚貼れてなかったすまぬ。
それとベクトルの向きと操作は前のは間違ってる。すまん
これが正しい
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

861:BLACKX
19/10/27 15:29:41.06 7c/8AR0O.net
やっとワード起こしました。
URLﾘﾝｸ(dotup.org)

862:righ1113
19/10/27 18:02:21.62 IamAjedT.net
>>827
ベクトルのところは、以下のように計算するのかな、と思いました。
（何も言えないですけど）
B→C：(0, -3)
C→D：(2, 0)
D→C：(0, 1)
C→B：(-3, 0)
B→A：(0, 2)
A→B：(1, 0)
--------------
総和：(0, 0)

863:１３２人目の素数さん
19/10/27 19:28:31.04 CU+gc259.net
>>827
ベクトルじゃなくて座標系スキームやな

864: あとなんで複素平面の所y/2xなん？ >∴arg[z]=arctan(y/x) if x>0 >arctan(y/2x)+π if x<0 and y>=0 >arctan(y/2x)-π if x<0 and y<0 ここはx/2で見てる訳じゃないので ∴arg[z]=arctan(y/x) if x>0 arctan(y/x)+π if x<0 and y>=0 arctan(y/x)-π if x<0 and y<0 Π/2　if x =0 and y>0 -Π/2　if x =0 and y<0 になると思うで

865:BLACKX
19/10/27 19:29:16.75 7c/8AR0O.net
>>828
そうですね！書いてるのベクトルじゃないじゃんってことですよね。ごめんなさい。ただの座標で書いてるのにベクトルって書いてますね。
(2.4)→(2.1)の４→１の時と同じような未知数で増減ループの場合以下となると思ったのでこれにしました。
B→C：(0 , y/3 - 1/3)
C→D：(2x , 0)
D→C：(0 , 2y)
C→B：(y/3 - 1/3 , 0)
B→A：(0 , 2y)
A→B：(2x , 0)

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